第四節(jié) 參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

1、 前面我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì)前面我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). . 它是用樣本算得它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù)的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). . 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的精確度以及誤差范圍，使用起來把握不大的精確度以及誤差范圍，使用起來把握不大. . 區(qū)間區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷 . . 譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根譬如，在估計(jì)湖中魚數(shù)的問題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚數(shù)N的極大似然估計(jì)為的極大似然估計(jì)為1000條條.

2、 若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理若我們能給出一個(gè)區(qū)間，在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中. 這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有這樣對(duì)魚數(shù)的估計(jì)就有把握多了把握多了. 實(shí)際上，實(shí)際上，N的真值可能大于的真值可能大于1000條，也可能小于條，也可能小于1000條條. 也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的能以比較高的可靠程度可靠程度相信它包含真參數(shù)值相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值湖中魚數(shù)的真值 這里所說的這里所說的“可靠程度可靠程度”是用概率來度量的，是用概率來度量的，稱為稱為置信概率置信概率、置信度置信度或或置信水平

3、置信水平. 習(xí)慣上把置信水平記作習(xí)慣上把置信水平記作 1 ，這里，這里 是一個(gè)是一個(gè)很小的正數(shù)很小的正數(shù).（ ）1 1、置信區(qū)間定義、置信區(qū)間定義滿足滿足設(shè)設(shè) 是是 一個(gè)待估參數(shù)，給定一個(gè)待估參數(shù)，給定 , 0 X1,X2,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量若由樣本若由樣本12(,)n XXX 12(,)n XXX () 和和 分別稱為置信下限和置信上限分別稱為置信下限和置信上限. 則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平（置信度的置信水平（置信度 )為為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 1( , ) 1P 這里有兩個(gè)要求這里有兩個(gè)要求:基本思想基本思想尋找兩個(gè)樣本函數(shù)尋找兩個(gè)樣本函數(shù)(統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量) (

4、 , ) 使區(qū)間使區(qū)間 以指定概率包含真值以指定概率包含真值指定的概率指定的概率 (1)置信度置信度 估計(jì)的可信度估計(jì)的可信度區(qū)間的長(zhǎng)度區(qū)間的長(zhǎng)度 估計(jì)的精度估計(jì)的精度可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高在保證可靠度的條件下盡可能提高精度精度.(1) 要求要求 以很大的可能被包含在區(qū)間以很大的可能被包含在區(qū)間 內(nèi)，就是說，概率內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大要盡可能大 .即要求估計(jì)盡量可靠即要求估計(jì)盡量可靠. ( , ) P (2) 估計(jì)的精度要盡可能的高估計(jì)的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間長(zhǎng)度如要求區(qū)間長(zhǎng)度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則

5、盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則. 關(guān)于定義的說明關(guān)于定義的說明.) ,( , , , 是隨機(jī)的是隨機(jī)的而區(qū)間而區(qū)間沒有隨機(jī)性沒有隨機(jī)性但它是一個(gè)常數(shù)但它是一個(gè)常數(shù)雖然未知雖然未知被估計(jì)的參數(shù)被估計(jì)的參數(shù) : 1),(),(2121的本質(zhì)是的本質(zhì)是因此定義中下表達(dá)式因此定義中下表達(dá)式 nnXXXXXXP). ,(1 ,1 ) ,( 的概率落入隨機(jī)區(qū)間的概率落入隨機(jī)區(qū)間以以而不能說參數(shù)而不能說參數(shù)的真值的真值的概率包含著參數(shù)的概率包含著參數(shù)以以隨機(jī)區(qū)間隨機(jī)區(qū)間 : 1),(),(2121還可以描述為還可以描述為另外定義中的表達(dá)式另外定義中的表達(dá)式 nnXXXXXXP若反復(fù)抽樣多次若反復(fù)抽樣多次

6、(各次得到的樣本容量相等各次得到的樣本容量相等,都是都是n) ), ,( 間間每個(gè)樣本值確定一個(gè)區(qū)每個(gè)樣本值確定一個(gè)區(qū)按按伯努利大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理, , 在這樣多的區(qū)間中在這樣多的區(qū)間中, .%100 ,)%1(100 不不包包含含的的約約占占真真值值的的約約占占包包含含 , 的的真真值值的的真真值值或或不不包包含含每每個(gè)個(gè)這這樣樣的的區(qū)區(qū)間間或或包包含含 例如例如 , 1000 0.01, 次次反復(fù)抽樣反復(fù)抽樣若若 .10 1000 個(gè)個(gè)真值的約為真值的約為個(gè)區(qū)間中不包含個(gè)區(qū)間中不包含則得到的則得到的 在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位點(diǎn)在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位點(diǎn).2、置信區(qū)間的求法、置信

7、區(qū)間的求法()1P aXb(),2P Xb()2P Xa若若 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量 , 則有則有12,ax 2.bx 所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為122(,)xx ()1P aXb(),3P Xb2()3P Xa所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為1 23,ax 3.bx 1 233(,)xx 由此可見，置由此可見，置信水平為信水平為 的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是不唯一的不唯一的.1 同樣對(duì)于同樣對(duì)于 N(0, 1)求參數(shù)求參數(shù) 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 例例 設(shè)設(shè)X1,Xn是取自是取自 的樣本，的樣本， 2, 已已知知),(2 N 1nXU 取明確問題明確問題,是求什

8、么是求什么參數(shù)的置信區(qū)間參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？置信水平是多少？尋找未知參尋找未知參數(shù)的一個(gè)良數(shù)的一個(gè)良好估計(jì)好估計(jì).選選 的點(diǎn)估計(jì)為的點(diǎn)估計(jì)為 , ,X解解 尋找一個(gè)待估參數(shù)和尋找一個(gè)待估參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)統(tǒng)計(jì)量的函數(shù) ，要求，要求其分布為已知其分布為已知.,1 對(duì)給定的置信水平對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得2,z 對(duì)于給定的置信水平對(duì)于給定的置信水平, 根據(jù)根據(jù)U的分布，確定一的分布，確定一個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間, 使得使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平取值于該區(qū)間的概率為置信水平.2|1XPzn 為什么為什么這樣取？這樣取？ ,1/2/ znXP,1 2/2/ znXznXP

9、即即 分位點(diǎn)的定義知分位點(diǎn)的定義知由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 ., 1 2/2/ znXznX的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為于是得于是得這樣的置信區(qū)間常寫成這樣的置信區(qū)間常寫成.2/ znX其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為. 22/ zn 從例從例1解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下的一般步驟如下:1. 明確問題明確問題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間是求什么參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 尋找參數(shù)尋找參數(shù) 的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì) 3. 尋找一個(gè)待估參數(shù)尋找一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量

10、和估計(jì)量 T 的函數(shù)的函數(shù) U(T, ),且其分布為已知且其分布為已知.T(X1,X2,Xn) 4. 對(duì)于給定的置信水平對(duì)于給定的置信水平 ，根據(jù)，根據(jù)U(T, )的分布，確定常數(shù)的分布，確定常數(shù)a, b，使得使得 1 1 P(a U(T, )b) = 5. 對(duì)對(duì)“aU(T, )b”作等價(jià)變形作等價(jià)變形,得到如下形式得到如下形式 1P 即即 1 于是于是 就是就是 的的100( )的置信區(qū)間的置信區(qū)間. ( , ) 可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找一個(gè)可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找一個(gè)待估參數(shù)待估參數(shù) 和估計(jì)量和估計(jì)量T 的函數(shù)的函數(shù)U(T, ), 且且U(T, )的分布為已知的分布為已

11、知, 不依賴于任何未知參數(shù)不依賴于任何未知參數(shù) . 而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要. 需要指出的是，給定樣本，給定置信水平需要指出的是，給定樣本，給定置信水平 ，置信區(qū)間也不是唯一的置信區(qū)間也不是唯一的. .對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間. . 1.在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)a =-b時(shí)時(shí)求得的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短求得的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短. 2.即使在概率密度不對(duì)稱的情形，如即使在概率密度不對(duì)稱的

12、情形，如 分布，分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間置信區(qū)間.2 222111,( ,),()1nniiXXXNX SXXn 設(shè)設(shè)取取自自總總體體 1.總總體體均均值值 的的區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì) 2(1),總總體體方方差差已已知知的的置置信信區(qū)區(qū)間間尋找待估參數(shù)的較優(yōu)的點(diǎn)估計(jì)量尋找待估參數(shù)的較優(yōu)的點(diǎn)估計(jì)量11=niiXXn 構(gòu)造不依賴待估參數(shù)、具有已知分布的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造不依賴待估參數(shù)、具有已知分布的統(tǒng)計(jì)量(0,1)XNn ，且且不不依依賴賴于于未未知知參參數(shù)數(shù) 121()1XP KKn 對(duì)對(duì)于于已已知知的的置置信信度度，令令 12(

13、)()2XXPKPKnn21KKK 密密度度函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)稱稱()1XPKn 可得到可得到 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1 查找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表確定分位點(diǎn)查找標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表確定分位點(diǎn)2=K z 22()1XPzzn 22Xzzn 反反解解不不等等式式： 22XzXznn得得到到參參數(shù)數(shù)置置信信區(qū)區(qū)間間： 222(,)()XzXzXznnn或或例例1 已知某商場(chǎng)每天的銷售額服從正態(tài)分布，且已知某商場(chǎng)每天的銷售額服從正態(tài)分布，且20.06. 為了解每天的平均銷售情況，隨機(jī)抽取為了解每天的平均銷售情況，隨機(jī)抽取14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.16天的銷售額

14、天的銷售額(單位：萬元單位：萬元)試求平均每天銷售額試求平均每天銷售額 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 (0.05). 解：解：1(14.615.114.914.815.215.1)14.956x 0.051=0.95當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，置置信信概概率率，2 1.96,Z 查查表表20.0614.951.966xZn (14.75, 15.15).所所求求置置信信區(qū)區(qū)間間為為練習(xí)練習(xí)2 設(shè)總體設(shè)總體1( , 4), ,nXNXX 為樣本，為樣本，(1) 當(dāng)當(dāng)n=16時(shí)時(shí), 求求 為為0.9及及0.95的置信區(qū)間長(zhǎng)度；的置信區(qū)間長(zhǎng)度；(2) n為多大時(shí)為多大時(shí), 可使可使 的的0.9的置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過的置信區(qū)間長(zhǎng)

15、度不超過1； n為多大時(shí)為多大時(shí), 可使可使 的的0.95的置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過的置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過1. 1 練習(xí)練習(xí)1 設(shè)總體設(shè)總體19( , 0.81), ,XNXX 為樣本，為樣本，樣本均值為樣本均值為5，求，求 的置信度為的置信度為95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間. (2)10.9, 1.645 2. (1) 10.95, 1.96 說明在樣本容量一定的條件下，置信度越高，置說明在樣本容量一定的條件下，置信度越高，置信區(qū)間越長(zhǎng)，精度越低信區(qū)間越長(zhǎng)，精度越低.10.9, 44n時(shí)時(shí)1 10.95, 62n時(shí)時(shí)1 說明在置信區(qū)間長(zhǎng)度（精度）不變的條件下，提說明在置信區(qū)間長(zhǎng)度（精度）不變的條件下，提

16、高可信度就必須加大樣本容量高可信度就必須加大樣本容量.1. ( 4.412, 5.588 )2222 S由由于于未未知知，一一個(gè)個(gè)自自然然的的想想法法就就是是用用的的估估計(jì)計(jì)量量來來代代替替， 故故選選取取統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量XTSn (1)t n 此分布不依賴于此分布不依賴于任何未知參數(shù)任何未知參數(shù)可得到可得到 的的置信水平為置信水平為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1 2|(1)1XPtnSn 由由22(1), (1)SSXtnXtnnn2(2),總總體體方方差差未未知知的的置置信信區(qū)區(qū)間間 9() 510 485 505 505 490 495 520 515 490=02.01.某某種種袋袋裝裝商

17、商品品的的重重量量服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布，某某日日隨隨機(jī)機(jī)抽抽取取 袋袋檢檢驗(yàn)驗(yàn)重重量量 單單位位：克克 為為試試在在下下，求求 的的置置信信區(qū)區(qū)間間例例解：因方差未知，解：因方差未知，501.6712.250.01xs，2 (1)=3.355ttn 查查表表 分分布布表表得得，212.25(1)501.673.3559sxtnn0.01(487.97, 515.37). 得得在在下下 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為 258012. ( =0.01).3xs某某旅旅行行社社隨隨機(jī)機(jī)訪訪問問了了名名旅旅客客，得得知知平平均均消消費(fèi)費(fèi)額額元元，樣樣本本標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差元元 若若消消費(fèi)費(fèi)額額服服從從正正態(tài)態(tài)

18、分分布布，求求平平均均消消費(fèi)費(fèi)額額的的置置信信區(qū)區(qū)間間練練習(xí)習(xí)212(1)802.06425sxtnn(75.097, 84.95)22 ()().Xt上上述述求求 的的置置信信區(qū)區(qū)間間都都是是在在 服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布條條件件下下當(dāng)當(dāng) 給給定定時(shí)時(shí)，查查正正態(tài)態(tài)分分布布表表已已知知 或或 分分布布表表未未知知 ，確確定定出出臨臨界界值值，從從而而確確定定置置信信區(qū)區(qū)間間 (50)Xnn 如如果果 的的分分布布是是未未知知的的，這這時(shí)時(shí)只只要要 充充分分大大，由由中中心心極極限限定定理理，得得(0,1)XNn 近近似似(0,1)XNn 近近似似2() 已已知知2() 未未知知(1)Xt n

19、Sn 近近似似而而當(dāng)當(dāng)n很大時(shí)，很大時(shí)，t分布漸近趨于正態(tài)分布，因此分布漸近趨于正態(tài)分布，因此(0,1)XNSn 近近似似例例3 有一批產(chǎn)品，其中含有一定數(shù)量的次品，為了有一批產(chǎn)品，其中含有一定數(shù)量的次品，為了估計(jì)這批產(chǎn)品的次品率，抽取估計(jì)這批產(chǎn)品的次品率，抽取70件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)次品有發(fā)現(xiàn)次品有12件，求次品率件，求次品率p的置信區(qū)間的置信區(qū)間(0.05). (1, )XXBp解解：設(shè)設(shè) 表表示示抽抽到到產(chǎn)產(chǎn)品品的的結(jié)結(jié)果果，= , ppX 由由于于所所以以求求次次品品率率 置置信信區(qū)區(qū)間間的的問問題題轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的的均均值值 置置信信區(qū)區(qū)間間的的問

20、問題題. .7011120.1717070iixx 7022221115812()12 ()58 () 0.1441697070iisxxn 70n 由由于于較較大大(0,1)XpNSn 近近似似所所以以()1XpPKSn 令令22SSXZpXZnn()()2XpXpPKPKSSnn 20.144=0.1711.960.1710.08940sxzn (0.082 0.26).p次次品品率率 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為，22. 總總體體方方差差的的區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)22S 總總體體方方差差可可用用其其估估計(jì)計(jì)量量代代替替，引引入入統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量222(1)nS 2(1)n 212 1nKK 對(duì)對(duì)給給定

21、定的的置置信信度度1-1- ，在在分分布布表表中中，查查自自由由度度對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的兩兩個(gè)個(gè)臨臨界界值值，使使得得222122PKPK2222112 ( -1)(1)KnKn 得得，2221222(1)(1)( -1)1nSPnn 即即有有22222212(1)(1)1( -1)(1)nSnSPnn 22222122(1)(1) , ( -1)(1)1.nSnSnn 故故是是方方差差的的置置信信度度為為的的置置信信區(qū)區(qū)間間 25100= . 540 0s 某某批批產(chǎn)產(chǎn)品品的的強(qiáng)強(qiáng)力力服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布，為為確確定定該該批批產(chǎn)產(chǎn)品品的的強(qiáng)強(qiáng)力力方方差差，隨隨機(jī)機(jī)抽抽取取見見進(jìn)進(jìn)行行強(qiáng)強(qiáng)力力測(cè)測(cè)

22、試試，測(cè)測(cè)的的強(qiáng)強(qiáng)力力標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差為為（單單位位：公公斤斤）試試在在下下，對(duì)對(duì)強(qiáng)強(qiáng)力力方方差差進(jìn)進(jìn)例例行行區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì). .解：解：2 25, 10000, =0.025, 1=0.97522ns由由題題22122 (24)12.401(24)39.364 查查表表得得，20.95 方方差差的的置置信信度度為為的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為2222212(1)(1), ( -1)(1)nSnSnn (6096.94, 19353.28) 練習(xí)練習(xí)1 有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機(jī)地取有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機(jī)地取 16 袋袋 , 稱得稱得重量重量(以克計(jì)以克計(jì))如下如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)