第三章 恒定電流的電場和磁場

1、13.1 3.1 恒定電流的電場恒定電流的電場（第一部分）（第一部分）3.2 3.2 磁感應強度磁感應強度3.3 3.3 恒定磁場的基本方程恒定磁場的基本方程3.4 3.4 矢量磁位矢量磁位3.5 3.5 磁偶極子磁偶極子3.6 3.6 磁介質中的場方程磁介質中的場方程 （第二部分）（第二部分）3.7 3.7 恒定磁場的邊界條件恒定磁場的邊界條件3.8 3.8 標量磁位標量磁位3.9 3.9 互感和自感互感和自感3.10 3.10 磁場能量磁場能量3.11 3.11 磁場力磁場力2 恒定電流的電場的基本特征恒定電流的電場的基本特征（第一部分）（第一部分） 磁感應強度與磁場強度磁感應強度與磁場強

2、度 恒定磁場的基本方程恒定磁場的基本方程 磁介質中的場方程磁介質中的場方程 （第二部分）（第二部分） 恒定磁場的邊界條件恒定磁場的邊界條件 自感與互感的計算自感與互感的計算 磁場能量與能量密度磁場能量與能量密度3 電流與電流密度的概念和計算方法電流與電流密度的概念和計算方法 電荷守恒定律電荷守恒定律/歐姆定律歐姆定律/焦耳定律焦耳定律 恒定電場的基本方程恒定電場的基本方程 電動勢、漏電電導及接地電阻的概念和計算電動勢、漏電電導及接地電阻的概念和計算 恒定電場的邊界條件恒定電場的邊界條件 靜電比擬法靜電比擬法4 電流：電流：電荷在電場作用下定向運動形成電電荷在電場作用下定向運動形成電 流，習慣上

3、規(guī)定正電荷運動的方向流，習慣上規(guī)定正電荷運動的方向 為電流的方向。為電流的方向。 恒定電流：恒定電流：若電流不隨時間變化而變化若電流不隨時間變化而變化 恒定電場：恒定電場：恒定電流的空間存在的電場恒定電流的空間存在的電場5一、電流強度（標量）（一、電流強度（標量）（A） 單位時間通過某導線截面的電荷量單位時間通過某導線截面的電荷量 dtdqtqit 0limi為時間的函數，若電荷流動的速度不變，稱恒定電流為時間的函數，若電荷流動的速度不變，稱恒定電流即直流電流即直流電流Idtdqi 二、電流密度（矢量）（二、電流密度（矢量）（A/m2）體電流密度體電流密度大小為大小為與正電荷運動方向垂直的單位

4、面積上的電流強度。與正電荷運動方向垂直的單位面積上的電流強度。方向為方向為正電荷運動的方向。正電荷運動的方向。 ndSdInSIJS 0lim如圖，設通過如圖，設通過 S的電流為的電流為I，該點處的電流密度為，該點處的電流密度為61、體電流密度、體電流密度ndSdInSIJS 0lim SSdJI與與I的關系的關系與與的關系的關系vJ 2、面電流密度、面電流密度ndldInlIJlS 0limvJS 3、線電流密度、線電流密度vnIJll 若電流僅分布在導體表面的一薄層內，引入面電流密度若電流僅分布在導體表面的一薄層內，引入面電流密度如果電流流過一根非常細的導線時，引入線電流密度如果電流流過一

5、根非常細的導線時，引入線電流密度與與S的關系的關系lIJ dl 與與I的關系的關系電流密度動態(tài)演示：電流密度動態(tài)演示：7 VSdVdtddtdqSdJ 電荷守恒的數學表達式（電流連續(xù)性方程的積分形式）電荷守恒的數學表達式（電流連續(xù)性方程的積分形式） VSdVtSdJ 電流連續(xù)性方程的微分形式電流連續(xù)性方程的微分形式 0 tJ 恒定電流場的基本方程之一：恒定電流場的基本方程之一：微分形式：微分形式： 積分形式：積分形式： 表明：無散表明：無散，即即電流密度電流密度矢量線是無起點無終點閉合曲線矢量線是無起點無終點閉合曲線0 J0 SSdJ電荷定恒定律：電荷定恒定律：任一封閉系統(tǒng)的電荷總量不變。即任

6、意任一封閉系統(tǒng)的電荷總量不變。即任意體積體積V內的電荷增量必定等于流入這個體積的電荷增量。內的電荷增量必定等于流入這個體積的電荷增量。8電流分類：電流分類： 傳導電流：傳導電流：指導體中的自由電子或半導體中的自由電指導體中的自由電子或半導體中的自由電荷在電場作用下作定向運動所形成的電流。如金屬中、荷在電場作用下作定向運動所形成的電流。如金屬中、電解液中的電流。電解液中的電流。 運流電流：運流電流：指帶電粒子在真空中或氣體中運動時形成指帶電粒子在真空中或氣體中運動時形成的電流。如真空管中的電流。的電流。如真空管中的電流。歐姆定律微分形式：歐姆定律微分形式：EJ 其中其中為電導率，單位：西門子為電

7、導率，單位：西門子/米（米（S/m） 恒定電場中，僅理想導體（恒定電場中，僅理想導體（ ）內才有：）內才有：靜電場中，導體內有：靜電場中，導體內有： 歐姆定律積分形式：歐姆定律積分形式：RIU 0E 0E 注意：注意：只適用于傳導電流、電源外部，不適用于運流電流只適用于傳導電流、電源外部，不適用于運流電流9如右圖，考慮一橫截面為如右圖，考慮一橫截面為S，長度為，長度為 ，電導率為，電導率為 的均勻導電媒質。該導電媒質橫界面的均勻導電媒質。該導電媒質橫界面S的總電流為：的總電流為： 電場電場E在長度在長度l方向上產生的電壓降為：方向上產生的電壓降為： 上兩式與式上兩式與式 相結合相結合得到導電媒

8、質中的電流得到導電媒質中的電流與電壓的關系為：與電壓的關系為： EJ 均勻導電媒質均勻導電媒質 10材材 料料 電導率電導率/(S/m) 鐵鐵(99.98%) 107 黃銅黃銅 1.56107 鋁鋁 3.55107 金金 3.10107 鉛鉛 5.55107 銅銅 5.80107 銀銀 6.20107 硅硅 1.5610-3 表表3-1 常用材料的電導率常用材料的電導率 11電動勢：電動勢：電源：電源：一種將其他形式的能量（機械的，化學的，熱的等）轉化為電能的裝置。一種將其他形式的能量（機械的，化學的，熱的等）轉化為電能的裝置。非靜電力：非靜電力：不是由不是由靜止電荷產生的力靜止電荷產生的力。

9、例如在電池內，非靜電力指的是由化學。例如在電池內，非靜電力指的是由化學 反應產生的使正、負電荷分離的化學力。反應產生的使正、負電荷分離的化學力。非庫侖場：非庫侖場：非靜電力對電荷的影響等效為一個非保守電場非靜電力對電荷的影響等效為一個非保守電場 ，只存在電源內部。，只存在電源內部。E 庫侖場：庫侖場：恒定分布的電荷產生的場，保守場恒定分布的電荷產生的場，保守場 ，同時存在電源內部和外部，同時存在電源內部和外部。電動勢：電動勢：電源內部搬運單位正電荷從負極到正極時非靜電力所作的功。電源內部搬運單位正電荷從負極到正極時非靜電力所作的功。ldEAB 電動勢用總電場的回路積分表示：電動勢用總電場的回路

10、積分表示：l dEES )(含電源的歐姆定律的微分形式：含電源的歐姆定律的微分形式：)(EEJ 電池作用原理電池作用原理12焦耳定律：焦耳定律：電流產生的熱量跟電流、電阻和通電時間的電流產生的熱量跟電流、電阻和通電時間的關系。即電流通過導體的熱量跟電流的平方成正比，跟關系。即電流通過導體的熱量跟電流的平方成正比，跟導體的電阻成正比，跟通過時間成正比。導體的電阻成正比，跟通過時間成正比。 ),(2SAJRtIQ 單位單位焦耳定律的微分形式：焦耳定律的微分形式： 2EEJp l S 證明：證明：當導體上電壓為當導體上電壓為U，電流為，電流為I時，功率為時，功率為 P = UI在導體中，沿電流線方向

11、取長度為在導體中，沿電流線方向取長度為l、截面為、截面為S的體的體積元，該體積無消耗的功率為積元，該體積無消耗的功率為當當V0時，取時，取P/V的極限，得導體內任一點的極限，得導體內任一點熱功熱功率密度率密度，即，即2EEJp PU IE l J SEJ V 20limVPpEJEV 或或13 接地：接地：將金屬導體埋入地內，而將設備中需要接地的將金屬導體埋入地內，而將設備中需要接地的部分與該導體連接。部分與該導體連接。 接地體或接地電極：接地體或接地電極：埋在地內的導體或導體系統(tǒng)。埋在地內的導體或導體系統(tǒng)。 接地電阻：接地電阻：電流由電極流向大地時所遇到的電阻。當電流由電極流向大地時所遇到的

12、電阻。當遠離電極時，電流流過的面積很大，而在接地電極附遠離電極時，電流流過的面積很大，而在接地電極附近，電流流過的面積很小，或者說電極附近的電流密近，電流流過的面積很小，或者說電極附近的電流密度最大，因此，接地電阻主要集中在電極附近。度最大，因此，接地電阻主要集中在電極附近。 跨步電壓：跨步電壓：人跨一步（約人跨一步（約0.8m）的兩腳間的電壓。如）的兩腳間的電壓。如果短路，大的電流流入大地時，接地電極附近地面兩果短路，大的電流流入大地時，接地電極附近地面兩點間電壓可能達到相當大的數值。點間電壓可能達到相當大的數值。14設經引線由設經引線由O點流入半球形電極的電流為點流入半球形電極的電流為I，

13、則距球心為，則距球心為r處的地中任一點的電流密度為：處的地中任一點的電流密度為： 則電場強度為：則電場強度為： rerIJ22 rerIE22 由于電流沿徑向一直流出去，直至無窮遠處由于電流沿徑向一直流出去，直至無窮遠處所以電極在大地中的電壓為：所以電極在大地中的電壓為： 故得接地電阻為：故得接地電阻為： 同理，全球接地電阻同理，全球接地電阻 接地電導接地電導 aaIrdEU212URIa14Ra aG4 例：求半球形電極的接地電阻例：求半球形電極的接地電阻 15減小接地電阻方法：減小接地電阻方法： 增大半徑增大半徑a 采用大塊接地導體采用大塊接地導體采用若干個具有一定粗細，一定長度的導體柱組

14、成的采用若干個具有一定粗細，一定長度的導體柱組成的接地系統(tǒng)接地系統(tǒng)采用多根細長導體輻射狀散開平鋪于地下。采用多根細長導體輻射狀散開平鋪于地下。 增大電導率增大電導率在接地電極附近的地質中灌入鹽液或其他導電液體。在接地電極附近的地質中灌入鹽液或其他導電液體。14Ra 結論：結論：當流入地面電流一定，電阻越小，電壓越小，因當流入地面電流一定，電阻越小，電壓越小，因此為了使人接近接地電極時更安全，此為了使人接近接地電極時更安全，應該減小接地電阻。應該減小接地電阻。電阻越小，接地儀器設備的外殼越接近大地的電位電阻越小，接地儀器設備的外殼越接近大地的電位16例：例：如圖一半徑為如圖一半徑為10cm的半球

15、形接地導體電極，電極平的半球形接地導體電極，電極平面與地面重合，已知土壤的導電率為面與地面重合，已知土壤的導電率為=10-2S/m。求：。求：1）接地電阻；）接地電阻；2）若有短路電流）若有短路電流100A流入地中，某人正以流入地中，某人正以0.5m的步距向的步距向接地點前進，前腳距半球中心點的距離為接地點前進，前腳距半球中心點的距離為2m，求此人的，求此人的跨步電壓及土壤的損耗功率跨步電壓及土壤的損耗功率解：解：接地電極的接地電阻為接地電極的接地電阻為11159220.01 0.1Ra 已知流入地中電流為已知流入地中電流為I，則在距求心，則在距求心r處的電場強度為處的電場強度為22IEr 跨

16、步電壓跨步電壓159.2OBABOAUEdrV 損耗功率損耗功率261.59 10PI RW17恒定電流場的基本性質：恒定電流場的基本性質：無散無旋場無散無旋場微分形式：微分形式： 積分形式：積分形式： 0 J0E 0 SSdJ0lE dl 20E 由于恒定電場的旋度為零，可以引入電位由于恒定電場的旋度為零，可以引入電位在均勻導體內部（電導率為常數），有在均勻導體內部（電導率為常數），有E 18 在兩種介質在兩種介質分界面分界面上，介質性質有上，介質性質有突變突變，電場也，電場也會突變會突變 邊界條件：邊界條件：場分量在界面上的變化規(guī)律場分量在界面上的變化規(guī)律 恒定電流場的邊界條件：恒定電流場

17、的邊界條件：分界面兩邊恒定電流產分界面兩邊恒定電流產生的電場突變所遵循的規(guī)律，稱為靜電場的邊界生的電場突變所遵循的規(guī)律，稱為靜電場的邊界條件條件 推導恒定電流場邊界條件的依據推導恒定電流場邊界條件的依據是恒定電流場方是恒定電流場方程的積分形式：程的積分形式：0SJ dS 0lE dl 19電流密度電流密度的法向分量的法向分量 在分界面上構造如圖非常薄的柱形閉合面，由在分界面上構造如圖非常薄的柱形閉合面，由 側側下下上上SdJSdJSdJSdJS由于由于h0 SJ dSJ dSJ dS上上下下又又S很小，所以很小，所以S上電流密度上電流密度可看成常數可看成常數210SJ dSJn SJn S 0

18、)(12 JJnnnJJ21 nn 2211 表明：表明：電流密度的法向分量在邊界面兩側連續(xù)電流密度的法向分量在邊界面兩側連續(xù)或或或或0SJ dS 20電場強度電場強度的切向分量的切向分量 在分界面上構造如右圖狹長回路，由在分界面上構造如右圖狹長回路，由0lE dl labcdbcdaE dlE dlE dlE dlE dllabcdE dlE dlE dl10200lE dlEllEll 0)(120 EEl21()0nEE ttEE12 表明：表明：電場強度的切向分量在邊界面兩側是連續(xù)的電場強度的切向分量在邊界面兩側是連續(xù)的 由于由于h0 又又l很小，所以很小，所以l上電場強上電場強度度可

19、看成常數可看成常數或或或或21恒定電場的邊界條件動態(tài)演示：恒定電場的邊界條件動態(tài)演示：21分界面上電場分界面上電場的方向的方向分析電場強度經過兩種電介質界面時，其方向改變情況分析電場強度經過兩種電介質界面時，其方向改變情況1、法線方向上：、法線方向上： 2、切線方向上：、切線方向上： nnJJ21 222111coscos EE ttEE21 2211sinsin EE 1122tantan 特殊情況：特殊情況：垂直分界面入射時：垂直分界面入射時：方向不發(fā)生改變，類似光折射方向不發(fā)生改變，類似光折射當當1 2 ：即第一種媒質為良導體，第二種媒質為不即第一種媒質為良導體，第二種媒質為不良導體時，

20、只要良導體時，只要1/2，得，得20，即在不良導體中，電力，即在不良導體中，電力線近似垂直于界面，可以將良導體的表面看作等位面線近似垂直于界面，可以將良導體的表面看作等位面說明：電場強度和電位移矢量方說明：電場強度和電位移矢量方向在經過分界面兩邊時方向將發(fā)向在經過分界面兩邊時方向將發(fā)生改變，改變量與媒質性質有關生改變，改變量與媒質性質有關22恒定電場（電源外）恒定電場（電源外）靜電場（靜電場（=0=0的區(qū)域的區(qū)域）0E 0E 0J 0D JE DE E E 20 20 12nnJJ 12nnDD 12ttEE 12ttEE UE dl UE dl SIJ dS SqD dS 2321SE dS

21、qCUE dl 21SE dSIGUE dl 恒定電場：恒定電場： 靜電比擬法：靜電比擬法：當某一特定的靜電場問題的解已知時，當某一特定的靜電場問題的解已知時，與其相應的恒定電場的解可以通過對偶量的代換直與其相應的恒定電場的解可以通過對偶量的代換直接得出。接得出。利用靜電比擬法，直接由電容得到漏電導利用靜電比擬法，直接由電容得到漏電導, , , ,EJ IG靜電場：靜電場：, , , ,ED qC漏電電導定義：漏電電導定義：兩個導體之間的漏電流兩個導體之間的漏電流I與它們之間與它們之間的電壓的電壓U的比值為該導體系統(tǒng)的漏電導，用的比值為該導體系統(tǒng)的漏電導，用G表示。而表示。而導體與大地之間的漏

22、電阻一般稱為導體與大地之間的漏電阻一般稱為接地電阻接地電阻。說明：說明：漏電導與形狀、位置、介質有關，與漏電導與形狀、位置、介質有關，與I和和U無關。無關。孤立導體與無窮遠處的導體之間存在漏電導。孤立導體與無窮遠處的導體之間存在漏電導。2425常見導體系統(tǒng)的電容常見導體系統(tǒng)的電容 平行板：平行板： 其中其中S：面積，：面積，d：距離。：距離。 同軸線：同軸線：其中其中L ：長度，：長度，a，b：內外導體內外半徑：內外導體內外半徑 平行雙導線：平行雙導線：其中其中L：長度，：長度，D：導線間距，：導線間距，d：導線直徑。：導線直徑。 同心球：同心球： 其中其中a，b：內外球半徑。：內外球半徑。

23、孤立導體：孤立導體： 其中其中a：球半徑。：球半徑。 dSC abLCln2 dDLC2ln ababC 4aC4 26由靜電比擬法可行常見導體系統(tǒng)的漏電導由靜電比擬法可行常見導體系統(tǒng)的漏電導 平行板：平行板： 其中其中S：面積，：面積，d：距離。：距離。 同軸線：同軸線：其中其中L ：長度，：長度，a，b：內外導體內外半徑：內外導體內外半徑 平行雙導線：平行雙導線：其中其中L：長度，：長度，D：導線間距，：導線間距，d：導線直徑。：導線直徑。 同心球：同心球： 其中其中a，b：內外球半徑。：內外球半徑。 孤立導體：孤立導體： 其中其中a：球半徑。：球半徑。 SGd 2lnLGba 2lnLG

24、Dd 4abGba 4Ga 27漏電導的計算方法漏電導的計算方法 從比擬法出發(fā)，利用從比擬法出發(fā)，利用C-G和的和的- -比擬關系，直接由比擬關系，直接由電容值得到對應的漏電導值。電容值得到對應的漏電導值。 從定義出發(fā)，設兩導體之間的漏電流從定義出發(fā)，設兩導體之間的漏電流I，求，求U值，得值，得GIGU lUE dl 假定假定IIJnS J UGJE E 282930ab r例例3-1 設同軸線的內導體半徑為設同軸線的內導體半徑為a 、外導體內半徑、外導體內半徑b，其，其間媒質的電導率為間媒質的電導率為，求同軸線單位長度的漏電電導。，求同軸線單位長度的漏電電導。解：解：漏電電流的方向是沿半徑方

25、向從內導體到外導體，漏電電流的方向是沿半徑方向從內導體到外導體，如令沿軸線方向單位長度從內導體流向外導體電流為如令沿軸線方向單位長度從內導體流向外導體電流為I，則媒質內任一點的電流密度和電場為則媒質內任一點的電流密度和電場為122rrLIIJeerLr 2rIEer 兩導體間的電位差為：兩導體間的電位差為：ln2baIbUEdra 漏電電導為：漏電電導為：02lnIGbUa 31例例3-2 一個同心球電容器的內、外半徑為一個同心球電容器的內、外半徑為a、b，其間媒，其間媒質的電導率為質的電導率為，求該電容器的漏電電導。，求該電容器的漏電電導。解：解：媒質內的漏電電流沿徑向從內導體流向外導體，媒

26、質內的漏電電流沿徑向從內導體流向外導體，設流過半徑為設流過半徑為r的任一同心球面的漏電電流為的任一同心球面的漏電電流為I，則媒，則媒質內任一點的電流密度和電場為質內任一點的電流密度和電場為24rIJer 24rIEer 內外導體間的電壓為：內外導體間的電壓為：114baIUEdrab 漏電電導為：漏電電導為：4IabGUba ab r3233 磁感應強度與磁場強度磁感應強度與磁場強度 恒定磁場的基本方程恒定磁場的基本方程 磁介質中的場方程磁介質中的場方程 恒定磁場的邊界條件恒定磁場的邊界條件 自感與互感的計算自感與互感的計算 磁場能量與能量密度磁場能量與能量密度34 恒定磁場：恒定磁場：磁場不

27、隨時間變化而變化（如恒定電流磁場不隨時間變化而變化（如恒定電流產生的磁場）。產生的磁場）。 磁通量：磁通量：垂直于某一面積所通過的磁力線的多少。垂直于某一面積所通過的磁力線的多少。 磁感應強度：磁感應強度：大小為穿過單位面積的磁通量。方向大小為穿過單位面積的磁通量。方向為磁力線的切線方向。為磁力線的切線方向。 特斯拉（特斯拉（T）單位太大，工程上常用高斯（）單位太大，工程上常用高斯（G）單位。）單位。1G=10-4T。 通電導線所受的力：通電導線所受的力：在磁場中垂直于磁場方向的通在磁場中垂直于磁場方向的通電導線，所受的磁場力（安培力）電導線，所受的磁場力（安培力）F=BIL（左手定（左手定則

28、）。則）。()BSWb 2(/)()BSWbmT 35 左手定則：左手定則：伸開左手，使大拇指跟其余四個手指垂伸開左手，使大拇指跟其余四個手指垂直，并且都跟手掌在一個平面內，把直，并且都跟手掌在一個平面內，把 手放入磁場中，手放入磁場中，讓磁感線垂直穿入手心，并使伸開的四指指向電流讓磁感線垂直穿入手心，并使伸開的四指指向電流的方向。那么，拇指的方向。那么，拇指 所指的方向，就是通電導線在所指的方向，就是通電導線在磁場中的受力方向。磁場中的受力方向。 磁場強度：磁場強度：在任何磁介質中，在任何磁介質中，磁場強度的大小磁場強度的大小為磁為磁場中某點的場中某點的磁感應強度磁感應強度B與同一點的與同一

29、點的磁導率磁導率的比值。的比值。方向為磁力線的切線方向。方向為磁力線的切線方向。(/)HBAm 36一、安培定律：一、安培定律：描述電流回路間的相互作用力的大小。描述電流回路間的相互作用力的大小。 安培定律指出：在真空中載有安培定律指出：在真空中載有電流電流I1的回路的回路C1對另一載有電對另一載有電流流I2的回路的回路C2的作用力為：的作用力為： 21311220124CCRRl dIl dIF 70410/H m 112212I dlI dlCC其其中中: 和: 和是是和和回路上的電流元矢量回路上的電流元矢量12RdldlRR 是是到到的的距距離離矢矢量量, , 0為真空中的磁導率為真空中

30、的磁導率Amperes law 37二、畢奧二、畢奧薩伐爾定律：薩伐爾定律：描述回路描述回路C1在在P點產生的磁感應強度點產生的磁感應強度將安培定律改寫為：將安培定律改寫為： 則回路則回路C1在在P點產生的磁感應強度為：點產生的磁感應強度為：單位特斯拉，簡稱特（單位特斯拉，簡稱特（T）或（）或（Wb/m2） 21311022124CCRRl dIl dIF 131104CRRl dIB 可理解為可理解為C1產生磁場，產生磁場，C2在磁場受力在磁場受力 38例例 判斷下列各點磁感應強度的方向和大小判斷下列各點磁感應強度的方向和大小+39按習慣按習慣“帶撇號帶撇號”表示源點，表示源點， “不帶撇號

31、不帶撇號”表示場表示場點點源點：源點：場點：場點：1r r 2r r 1dl dl 則線電流中：則線電流中：面電流中：面電流中：體電流中：體電流中： CRRlIdB304 SdRRrJBSS 30)(4 VdRRrJBV 30)(4 此三個公式作用：此三個公式作用：已知回路的電流分布可求磁感應強度已知回路的電流分布可求磁感應強度40 CRRl dIB304 21311022124CCRRl dIl dIF 由由可得電流元可得電流元Idl在外磁場在外磁場B中所受的力為：中所受的力為：而而BlIdFd 已知外磁場已知外磁場B，回路，回路C受到的力為：受到的力為： CBlIdF以速度以速度v運動的點

32、電荷運動的點電荷q在外磁場在外磁場B中受到的力為：中受到的力為：BvqF )(BvEqF 以速度以速度v運動的點電荷運動的點電荷q在外電磁場在外電磁場(E,B)中受到的力為：中受到的力為：洛侖茲力公式洛侖茲力公式41例：例：一根沿一根沿z軸放置長度為軸放置長度為2l的直導線通過的直導線通過z方向的電流為方向的電流為I。求其在周圍產生的磁感應強度。求其在周圍產生的磁感應強度。( , , )Pz Idz ll 解：解：選擇柱坐標系，源點坐標選擇柱坐標系，源點坐標為為(0,0,z)，場點坐標為，場點坐標為(,0, z)其中：其中：()zRezz e 根據畢奧根據畢奧-薩伐爾定律：薩伐爾定律：0032

33、44zRCCIdz eeIdlRBRR Re cot,csc zzR)cos(cos4sin4210021 IedeIB 21, 0 20IeB 034CIdzeR 由由若導線無限長，則若導線無限長，則42 有向曲面有向曲面S的磁通量：的磁通量： 閉合曲面閉合曲面S的磁通量：的磁通量： 磁通連續(xù)性原理（積分形式）：磁通連續(xù)性原理（積分形式）： 表明：表明：磁感應強度磁感應強度穿過任意閉合曲面的通量恒為零。即穿過任意閉合曲面的通量恒為零。即磁力線是連續(xù)的。磁力線是連續(xù)的。磁通連續(xù)性原理（微分形式）：磁通連續(xù)性原理（微分形式）： 表明：表明：磁感應強度磁感應強度是一個無散場，磁力線是連續(xù)的閉是一個

34、無散場，磁力線是連續(xù)的閉合曲線。合曲線。 SSdB SSdB0 SSdB0 B43證明磁通連續(xù)性原理證明磁通連續(xù)性原理以載流回路以載流回路C產生的磁感應強度為例產生的磁感應強度為例034CIdlRBR 034SSCIdlRB dSdSR 034CSIdlRdSR 31RRR 014CSIdldSR VSAdVA dS 014SCVIdlB dSdVR 0SB dS 由于由于由于由于=044000CCCSB dlIB dlIB dlJ dS 或或或或單根導線電流單根導線電流 積分形式：積分形式： 微分形式：微分形式： JB0 注意：注意：用安培環(huán)路定律求解磁場分布只適用于某些用安培環(huán)路定律求解磁

35、場分布只適用于某些呈軸呈軸對稱分布對稱分布的磁場的求解的磁場的求解 表明：表明：恒定磁場是有旋場，旋渦源為電流恒定磁場是有旋場，旋渦源為電流物理意義：物理意義：磁感應強度沿任意回路的環(huán)量等于真空磁導磁感應強度沿任意回路的環(huán)量等于真空磁導率乘以該回路包圍的電流的代數和。率乘以該回路包圍的電流的代數和。推導用斯托克斯定理推導用斯托克斯定理多根導線電流多根導線電流分布電流分布電流動畫演示動畫演示45 表明：表明：無散場，磁力線連續(xù)，無頭無尾且不相交，磁無散場，磁力線連續(xù)，無頭無尾且不相交，磁力線構成閉合回路；力線構成閉合回路；有旋場，電流是磁場的旋渦源。有旋場，電流是磁場的旋渦源?？偨Y：真空中恒定磁

36、場的基本方程總結：真空中恒定磁場的基本方程積分形式：積分形式： 微分形式：微分形式： Il dBC0 JB0 0 SSdB0 B46例：例：一根沿一根沿z軸放置無限長直導線通過軸放置無限長直導線通過z方向的電流為方向的電流為I。用用安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律求其在周圍產生的磁感應強度。求其在周圍產生的磁感應強度。 20IeB 解：解：取圓柱坐標系，由對稱性可知，磁感應線是圓心在取圓柱坐標系，由對稱性可知，磁感應線是圓心在軸線上的圓。沿磁感應線取半徑為軸線上的圓。沿磁感應線取半徑為的積分路徑的積分路徑C，依，依安掊環(huán)路定律安掊環(huán)路定律0CB dlI 02BI 與前面解法相比：與前面解法相比：用安培

37、環(huán)路定律求解用安培環(huán)路定律求解對稱分布的電流產生的磁場要簡單得多對稱分布的電流產生的磁場要簡單得多47例例3-5 半徑為半徑為a的無限長直導線，載有電流的無限長直導線，載有電流I，計算導體，計算導體內、外的磁感應強度。內、外的磁感應強度。解：解：取圓柱坐標系，取圓柱坐標系，z軸與導體中軸線重合。由對稱性軸與導體中軸線重合。由對稱性可知，磁感應線是圓心在導體中軸線上的圓。沿磁感可知，磁感應線是圓心在導體中軸線上的圓。沿磁感應線取半徑為應線取半徑為r的積分路徑的積分路徑C，依安掊環(huán)路定律得，依安掊環(huán)路定律得02CSB dlrBJ dS而而20zrae IaJra 2022IBrra 022IrBe

38、a 02BrI 02IBer 當當ra時時當當ra時時48J xyz例：例：內、外半徑分別為內、外半徑分別為a、b的無限長中空導體圓柱，導的無限長中空導體圓柱，導體內沿軸向有恒定的均勻傳導電流，體電流密度為體內沿軸向有恒定的均勻傳導電流，體電流密度為導體磁導率為導體磁導率為。求空間各點的磁感應強度。求空間各點的磁感應強度。J 解：解：電流均勻分布在導體截面上，呈軸對稱分布，取圓電流均勻分布在導體截面上，呈軸對稱分布，取圓柱坐標系，依安掊環(huán)路定律得柱坐標系，依安掊環(huán)路定律得在在rb 區(qū)域：區(qū)域：2202()BrJba 220()2JBbar CSB dlJ dS 49一、矢量磁位的引入一、矢量磁

39、位的引入二、庫侖規(guī)范二、庫侖規(guī)范0B ()0A BA 引入矢量磁位的意義：引入矢量磁位的意義：引入引入輔助函數輔助函數，可通過間接，可通過間接求解方法求解空間磁場分布，簡化電磁問題求解。求解方法求解空間磁場分布，簡化電磁問題求解。要求：要求：磁感應強度與矢量磁位滿足一一對應關系磁感應強度與矢量磁位滿足一一對應關系矢量磁位的任意性：矢量磁位的任意性：矢量磁位不是唯一確定的，它加上矢量磁位不是唯一確定的，它加上任意一個標量任意一個標量的梯度后，仍然表示同一個磁場的梯度后，仍然表示同一個磁場恒定磁場的矢量磁位恒定磁場的矢量磁位單位：特斯拉單位：特斯拉米米(Tm或或Wb/m)BA 若若則對于則對于AA

40、 有：有：AAAB 050AA 而而0AA 上式表明：上式表明： 是性質不同的兩種矢量場，這意味著是性質不同的兩種矢量場，這意味著滿足滿足AA 和和BAA 的的 有有很很多多庫侖規(guī)范條件：庫侖規(guī)范條件：必須引入新的限定條件，對矢量磁位進必須引入新的限定條件，對矢量磁位進行限定，這種新引入的限定條件稱為庫侖規(guī)范。行限定，這種新引入的限定條件稱為庫侖規(guī)范。由亥姆霍茲定理可知：由亥姆霍茲定理可知：矢量場的性質由其散度和旋度確矢量場的性質由其散度和旋度確定，對于矢量磁位，其旋度已確定定，對于矢量磁位，其旋度已確定(等于磁感應強度等于磁感應強度)，只須對其散度進行限定即可唯一確定。只須對其散度進行限定即

41、可唯一確定。在恒定磁場中一般采用庫侖規(guī)范條件，即令在恒定磁場中一般采用庫侖規(guī)范條件，即令0A 注意：注意：規(guī)范條件是人為引入的限定條件規(guī)范條件是人為引入的限定條件51三、矢量磁位的求解三、矢量磁位的求解矢量磁位滿足的方程矢量磁位滿足的方程由矢量恒等式：由矢量恒等式：應用庫侖規(guī)范應用庫侖規(guī)范0A 磁矢位的拉普拉斯方程：磁矢位的拉普拉斯方程：BA 0BJ 0AJ 2()AAA 20()AAJ 20AJ 20A 2222xxyyzzAeAeAeA 泊松方程泊松方程在直角坐標系中，可以寫成對各個分量的運算，即在直角坐標系中，可以寫成對各個分量的運算，即2為矢量拉普拉斯算符為矢量拉普拉斯算符5204VJ

42、AdVR 寫成矢量形式：寫成矢量形式：體電流：體電流：面電流：面電流：線電流：線電流：04SSJAdSR 04lIdlAR 202020 xxyyzzAJAJAJ VzzVyyVxxdVRJAdVRJAdVRJA 444000 CSSl dASdASdB磁通計算公式：磁通計算公式：寫成分量形式：寫成分量形式： 對矢量磁位的說明：對矢量磁位的說明：矢量磁位的方向與電流密度矢量的方向相同矢量磁位的方向與電流密度矢量的方向相同引入矢量磁位可以大大簡化磁場的計算引入矢量磁位可以大大簡化磁場的計算 53例例3-6 求長度為求長度為l的載流直導線的磁矢位的載流直導線的磁矢位解：解：取圓柱坐標系，磁矢位只有

43、取圓柱坐標系，磁矢位只有z分量。分量。/201 22224()lzlIdzArzz 1 22201 222( 2)( 2)ln4( 2)(2)lzlzrIlzlzr 1 22201 2222( 2)ln42(2)zllrIAllr 200lnln42zIIllArr當當lz時時當當lr時時zzz OR r( , , )rz 2l2l 54當當l時，上式為無窮大。這是因為當電流分布在時，上式為無窮大。這是因為當電流分布在無限區(qū)域時，不能把無窮遠處作為磁矢位的參考點，無限區(qū)域時，不能把無窮遠處作為磁矢位的參考點，而以上的計算均基于磁矢位的參考點在無窮遠處。實而以上的計算均基于磁矢位的參考點在無窮遠

44、處。實際上，當電流分布在無限區(qū)域時，一般指定一個磁矢際上，當電流分布在無限區(qū)域時，一般指定一個磁矢位的參考點，就可以使磁矢位不為無窮大。當指定位的參考點，就可以使磁矢位不為無窮大。當指定r=r0 處為磁矢位的零點時，可得出處為磁矢位的零點時，可得出 02zAIBAeerr 00ln2zIrAr 利用上式，用圓柱坐標旋度公式，可求出利用上式，用圓柱坐標旋度公式，可求出55補充：補充： 建立非齊次方程直接求解法建立非齊次方程直接求解法若已知空間電流密度矢量分布，則可建立方程：若已知空間電流密度矢量分布，則可建立方程：0BJ 0BJ 2()BBB 20()BBJ 20BJ 直接求解法在理論上可以求出

45、空間磁場分布，但計直接求解法在理論上可以求出空間磁場分布，但計算十分復雜，很難得出解析解，因此一般不采用此法算十分復雜，很難得出解析解，因此一般不采用此法小結：求解磁場的方法小結：求解磁場的方法場源積分法（畢奧場源積分法（畢奧-薩伐爾定律）薩伐爾定律）非齊次方程直接求解法非齊次方程直接求解法安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律通過矢量磁位間接求解通過矢量磁位間接求解05657磁偶極子定義：磁偶極子定義：一個載流的小閉和圓環(huán)稱為磁偶極子。一個載流的小閉和圓環(huán)稱為磁偶極子。 解釋：解釋：永久磁針的兩端分別存在正磁荷和負磁荷。永久磁針的兩端分別存在正磁荷和負磁荷。定義式為：定義式為： zeIaSIm2 磁矩：磁

46、矩：大小為電流環(huán)的面積與電流的乘積大小為電流環(huán)的面積與電流的乘積 方向與環(huán)路的法線方向一致。方向與環(huán)路的法線方向一致。證實：證實：在磁場的實驗研究中已證實，一微小的永久磁針周在磁場的實驗研究中已證實，一微小的永久磁針周圍的磁場分布與微小電流環(huán)周圍的磁場分布相同。圍的磁場分布與微小電流環(huán)周圍的磁場分布相同。對偶：對偶：磁偶極子及其磁場與電偶極子及其電場是對偶的磁偶極子及其磁場與電偶極子及其電場是對偶的58載流圓環(huán)磁矢位載流圓環(huán)磁矢位本問題的電流分布具有對稱性，所以磁矢位在球面坐本問題的電流分布具有對稱性，所以磁矢位在球面坐標系中只有標系中只有分量，并只是分量，并只是r和和的函數。故將場點選的函數

47、。故將場點選取在取在xoz平面。平面。200cos4IaAdR 1 22221)ar rrrr |ra 221 2(2)Rrar r 式中：式中：zxyOR r r 59又：又：如果如果ra，則，則1 2221121)ar rRrrr 1 22121)r rrr 211r rrr (sincos ),(cossin )xzxyrr eera ee 所以：所以：111sincosaRrr積分后得出積分后得出20022sinsin()44mI aArarr 03()4mrArar 6003()4mrArar 球面坐標系中求旋度得球面坐標系中求旋度得2sinsinsinrreeerrrBArArAr

48、A 03(2cossin )4rmeer 61電偶極子電偶極子磁偶極子磁偶極子304p rr 302cossin4rpEeer 03()4mrArar 03(2cossin )4rmBeer 2、存在對偶關系。、存在對偶關系。01pE 0mB 比較：比較：1、在遠離偶極子處，磁偶極子和電偶極子的場、在遠離偶極子處，磁偶極子和電偶極子的場分布是相同的，但在偶極子附近，二者場分布不同。分布是相同的，但在偶極子附近，二者場分布不同。引申：引申：磁力線是閉合的，電力線是間斷的。磁力線是閉合的，電力線是間斷的。62磁介質的分類：磁介質的分類： 順磁質：磁介質中磁場增強順磁質：磁介質中磁場增強r1如：錳，

49、鋁，氧氣，氮氣如：錳，鋁，氧氣，氮氣 抗磁質：磁介質中磁場減弱抗磁質：磁介質中磁場減弱r1如：鐵，鎳，鈷如：鐵，鎳，鈷 現在將一個長螺線管通電流現在將一個長螺線管通電流I0，造成一個均勻磁場，造成一個均勻磁場 B0，將磁介質充滿磁場（保持電流不變）。實驗發(fā)現：各種將磁介質充滿磁場（保持電流不變）。實驗發(fā)現：各種磁介質中的磁場有的減弱，磁介質中的磁場有的減弱， 有的加強。有的加強。均勻各向同性介均勻各向同性介質充滿磁場所在空間時，有：質充滿磁場所在空間時，有： 磁介質定義：磁介質定義：磁場作用下磁化，并影響磁場分布的物質磁場作用下磁化，并影響磁場分布的物質 0B 0rBB 63磁介質磁化的有關概

50、念：磁介質磁化的有關概念： 分子電流及磁矩分子電流及磁矩電子繞核運動，形成分子電流電子繞核運動，形成分子電流分子電流將產生微觀磁場分子電流將產生微觀磁場分子電流的磁特性可用分子磁矩表示分子電流的磁特性可用分子磁矩表示 順磁質的磁化順磁質的磁化磁化前，分子磁矩取向雜亂無章，磁介質宏觀上無任磁化前，分子磁矩取向雜亂無章，磁介質宏觀上無任何磁特性何磁特性外加磁場時：大量分子的分子磁矩取向與外加磁場趨外加磁場時：大量分子的分子磁矩取向與外加磁場趨于一致，宏觀上表現出磁特性。于一致，宏觀上表現出磁特性。 磁化現象：磁化現象：磁介質在外磁場作用下，產生感應磁矩，磁介質在外磁場作用下，產生感應磁矩，產生二次

51、磁場，疊加于原場之上，使磁場發(fā)生變化。產生二次磁場，疊加于原場之上，使磁場發(fā)生變化。磁化結果使介質中合成磁場可能減弱，也可能增強。磁化結果使介質中合成磁場可能減弱，也可能增強。磁化現象動態(tài)顯示磁化現象動態(tài)顯示64 磁化強度磁化強度描述介質磁化的程度，等于單位體積內的分子磁矩，即描述介質磁化的程度，等于單位體積內的分子磁矩，即0limVmMV N VmMNmV 若若V內每個分子內每個分子的磁矩相同，單位的磁矩相同，單位體積內分子數為體積內分子數為N 磁介質被磁化后，內部和表面會出附加電流，稱這種磁介質被磁化后，內部和表面會出附加電流，稱這種電流為磁化電流（束縛電流）電流為磁化電流（束縛電流） 體

52、磁化電流：內部出現的附加電流體磁化電流：內部出現的附加電流 面磁化電流：表面出現的附加電流面磁化電流：表面出現的附加電流mJM mSJMn 磁化電流動態(tài)顯示磁化電流動態(tài)顯示媒質表面外法向媒質表面外法向6566證明：證明：體積元為體積元為V的磁介質產生的磁矢位為的磁介質產生的磁矢位為03( )4M rVRAR 全部磁介質產生的磁矢位為全部磁介質產生的磁矢位為03( )4VM rVRAdVR 014VMdVR SR r r Vn 0044VVMMAdVdVRR VSFdVFdS 0044VSMMnAdVdSRR mJM mSJMn 利用恒等式利用恒等式利用恒等式利用恒等式()AAA 67例例3-7

53、 半徑為半徑為a、高為、高為L的磁化介質柱，磁化強度為的磁化介質柱，磁化強度為M0,求磁化體電流和磁化面電流。求磁化體電流和磁化面電流。解：解：取圓柱坐標系的取圓柱坐標系的z軸與磁介質柱的中軸線重合，磁軸與磁介質柱的中軸線重合，磁介質的下底面位于介質的下底面位于z=0處，上底面位于處，上底面位于z=L處。處。 00mzJMM e 00mSzzJMnM ee 00mSzzJMnM ee00mSzrJMnM eeM e 在界面在界面z=0上上在界面在界面z=L上上在界面在界面r=a上上z0M 68在磁介質中，將真空中的安培環(huán)路定律修正為：在磁介質中，將真空中的安培環(huán)路定律修正為：由于由于 CCl

54、dMIl dB00 將上式改寫為：將上式改寫為： 令：令： 真空中與磁介質中統(tǒng)一形式的安培環(huán)路定律真空中與磁介質中統(tǒng)一形式的安培環(huán)路定律積分形式：積分形式： Il dHC 微分形式：微分形式： JH MJm SdJJIIl dBSmCm )()(00 Il dMBC 0 MBH 0 磁場強度（輔助物理量）磁場強度（輔助物理量）單位為單位為A/m69)(0MHB 各向同性各向同性/各向異性；線性各向異性；線性/非線性；均勻非線性；均勻/非均勻非均勻對于線性各向同性的磁介質：對于線性各向同性的磁介質： HMm HHHMHBrm 000)1()(r：介質的相對磁導率介質的相對磁導率根據根據 與與 的

55、關系可將磁介質分為：的關系可將磁介質分為： M H 本構關系：本構關系： 和和 的關系，表示磁介質的磁化特性的關系，表示磁介質的磁化特性 H B m為磁化率，為無量綱量，順磁質為正，抗磁質為負為磁化率，為無量綱量，順磁質為正，抗磁質為負：介質的磁導率介質的磁導率鐵磁材料：鐵磁材料：BH和和的關系是非線性的，并且的關系是非線性的，并且BH不不是是的單值函數，會出現磁滯現象的單值函數，會出現磁滯現象70磁滯現象：磁滯現象：指鐵磁物質磁化狀態(tài)的變化總是落后于外加指鐵磁物質磁化狀態(tài)的變化總是落后于外加磁場的變化，在外磁場撤消后，鐵磁質仍能保持原有的磁場的變化，在外磁場撤消后，鐵磁質仍能保持原有的部分磁

56、性部分磁性OBHACDB.EF.HCBs.BrHs.初始磁初始磁化曲線化曲線Br剩磁剩磁.HsBs. 飽和磁感應強度飽和磁感應強度矯頑力矯頑力HC磁滯回線磁滯回線71微分形式：微分形式： 積分形式：積分形式： 磁矢位的微分方程：磁矢位的微分方程：在介質中同樣定義磁矢位：在介質中同樣定義磁矢位： 在線性均勻各向同性介質中，采用庫侖規(guī)范：在線性均勻各向同性介質中，采用庫侖規(guī)范： 0H JH HB 0SH dS SCSdJl dHAB 0 AJA 2基本性質：基本性質：無散場。磁力線連續(xù)，無頭無尾且不相交。無散場。磁力線連續(xù)，無頭無尾且不相交。有旋場。電流是磁場的旋渦源，磁力構成閉合回路。有旋場。電

57、流是磁場的旋渦源，磁力構成閉合回路。72例例3-8 同軸線內導體半徑為同軸線內導體半徑為a、外導體內半徑為、外導體內半徑為b，外半，外半徑為徑為c，設內外導體分別流過反向的電流，設內外導體分別流過反向的電流I，兩導體之間，兩導體之間介質的磁導率為介質的磁導率為，求各區(qū)域，求各區(qū)域22IrHea abcHBM解：解：如無特別聲明，對良導體（不包括鐵等磁性物質）如無特別聲明，對良導體（不包括鐵等磁性物質）一般取磁導率一般取磁導率0 ，因同軸線無限長，則其磁場沿軸線無，因同軸線無限長，則其磁場沿軸線無變化，該磁場只有變化，該磁場只有分量，且其大小只是分量，且其大小只是r的函數。的函數。當當ra時時0

58、22IrBea 0M 2IHer 當當arb時時2IBer 002IMer 22222IcrHer cb 當當bc時，全為零時，全為零73靜電場的基本方程（真空中和介質中）靜電場的基本方程（真空中和介質中） D SD dSq 0lD dl 0D 積分形式：積分形式： 微分形式：微分形式： DE 靜電場基本性質：靜電場基本性質：有散無旋場有散無旋場恒定電流產生的電場的基本方程（真空中和介質中）恒定電流產生的電場的基本方程（真空中和介質中） 0J 0SJ dS 0lE dl 0E 積分形式：積分形式： 微分形式：微分形式： JE 恒定電流場基本性質：恒定電流場基本性質：無散無旋場無散無旋場74恒定

59、磁場的基本方程（真空中和介質中）恒定磁場的基本方程（真空中和介質中） 恒定磁場基本性質：恒定磁場基本性質：無散有旋場無散有旋場微分形式：微分形式： 積分形式：積分形式： 0H JH HB 0SH dS SCSdJl dH例：例：判斷矢量場的性質判斷矢量場的性質?F?F ?F?F ?F?F =0=0=0 0 0=0750SB dS SH dlI 在兩種在兩種介質分界面上介質分界面上，介質性質有突變，介質性質有突變，磁場將磁場將發(fā)生突變發(fā)生突變 磁場的邊界條件：磁場的邊界條件：分界面兩邊磁場突變所遵循的分界面兩邊磁場突變所遵循的規(guī)律，稱為磁場的邊界條件規(guī)律，稱為磁場的邊界條件 推導磁場邊界條件的依

60、據推導磁場邊界條件的依據是磁場方程的積分形式是磁場方程的積分形式76磁感應強度磁感應強度的法向分量的法向分量 在分界面上構造如圖非常薄的柱形閉合面，由在分界面上構造如圖非常薄的柱形閉合面，由由于由于h0 SB dSB dSB dS上上下下又又S很小，所以很小，所以S上磁感應強度上磁感應強度可看成常數可看成常數210SB dSBn SBn S 21()0nBB 12nnBB 表明：表明：磁感應強度的法向分量在邊界面兩側連續(xù)磁感應強度的法向分量在邊界面兩側連續(xù)或或0SB dS 側側下下上上SdBSdBSdBSdBS77磁場強度磁場強度的切向分量的切向分量 在分界面上構造如右圖狹長回路，由在分界面上