函數(shù)的冪級數(shù)展開41737

1、2 函數(shù)的冪級數(shù)展開教學(xué)計(jì)劃：課時教學(xué)目的：讓學(xué)生掌握函數(shù)的冪級數(shù)展開方法教學(xué)重點(diǎn)：對初等函數(shù)的冪級數(shù)展開教學(xué)難點(diǎn)：用間接的方法以冪級數(shù)形式表示某些非初等函數(shù)教學(xué)方法：講授法教學(xué)步驟：一 泰勒級數(shù)在第六章3的泰勒定理中曾指出,若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在直至階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則(1)這里為拉格朗日型余項(xiàng)(2)其中在與之間,稱(1)為在的泰勒公式如果在(1)中抹去余項(xiàng),那么在附近可用(1)式右邊才多項(xiàng)式來近似代替,如果函數(shù)在處存在任意階的導(dǎo)數(shù),這時稱形式為 (3)的級數(shù)為函數(shù)在的泰勒級數(shù)對于級數(shù)(3)是否能在附近確切地表達(dá),或說在的泰勒級數(shù)在附近的和函數(shù)是否就是,這就是本節(jié)所要討論的問題先看一個例子例由

2、于函數(shù)在處任何導(dǎo)數(shù)都等于0(第六章4第二段末尾），即所以在的泰勒級數(shù)為顯然它在上收斂,且其和函數(shù)由此看到,對一切都有這個例子說明,具有任意階導(dǎo)數(shù)的函數(shù),其泰勒級數(shù)并不是都能收斂于函數(shù)本身下面定理指出：具備什么條件的函數(shù),它的泰勒級數(shù)才能收斂于本身定理14.11設(shè)在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù),那么在區(qū)間內(nèi)等于它的泰勒級數(shù)的和函數(shù)的充分條件是：:對一切滿足不等式的,有這里是在的泰勒公式余項(xiàng)我們可自行由第六章3泰勒定理推出本定理的證明如果能在的某鄰域上等于其泰勒級數(shù)的和函數(shù),則稱函數(shù)在的這一鄰域內(nèi)可以展開成泰勒級數(shù),并稱等式 (4)的右邊為在處的泰勒展開式，或稱冪級數(shù)展開式由級數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)可推得：:若為冪

3、級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù),則就是在上的泰勒展開式,這是冪級數(shù)展開的唯一性問題在實(shí)際應(yīng)用上,主要討論函數(shù)在處的展開式,這時(3)式可以寫作稱為麥克勞林級數(shù)從定理14.11知道,余項(xiàng)對確定函數(shù)能否展開為冪級數(shù)是極為重要的,下面我們重新寫出當(dāng)時的積分型余項(xiàng)、拉格郎日型余項(xiàng)和柯西型余項(xiàng),它們分別是二 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例2求次多項(xiàng)式函數(shù)的展開式解由于總有因而=即多項(xiàng)式函數(shù)的冪級數(shù)展開式就是它本身例3求函數(shù)的展開式.解由于所以的拉格郎日余項(xiàng)為顯見.它對任何實(shí)數(shù),都有.因而.由定理14.11得到例函數(shù)由于.現(xiàn)在考察正弦函數(shù)的拉格郎日余項(xiàng),由于,所以在內(nèi)能展開為麥克勞林級數(shù).同樣可證(或逐項(xiàng)求導(dǎo)),在內(nèi)

4、有 . 例函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)是.從而, 所以的麥克勞林級數(shù)是, (5)用比式判別法容易求得級數(shù)(5)的收斂半徑,且當(dāng)時收斂,時發(fā)散,故級數(shù)(5)的收斂域是.現(xiàn)在討論在這收斂區(qū)間上它的余項(xiàng)的極限情形當(dāng)時用拉格朗日余項(xiàng)，有. 對于的情形，拉格朗日余項(xiàng)不易估計(jì)，改用柯西余項(xiàng)進(jìn)行考察。我們有.因?yàn)?，故?即，所以.這就證得在上等于起麥克勞林級數(shù)（5）將(5)式中換成后就得到函數(shù)在處的泰勒展開式：.它的收斂域?yàn)槔懻摱?xiàng)式函數(shù)的展開式.當(dāng)為正整數(shù)時,由二項(xiàng)式定理直接展開,就得到的展開式,這已在前面例2中討論過下面討論不等于正整數(shù)時的情形,這時于是的麥克勞林級數(shù)是（6）運(yùn)用比式判別法,可得(6)的收斂半徑現(xiàn)在

5、內(nèi)考察它柯西余項(xiàng)由比式判別法，級數(shù)當(dāng)時收斂，故有又由于有,且，從而有再當(dāng)時,有.于是當(dāng)時是與無關(guān)的有界量;當(dāng)時,也有同樣結(jié)論.綜上所述,當(dāng)時,。所以在上,（7）對于收斂區(qū)間端點(diǎn)的情形,它與的取值有關(guān),其結(jié)果如下(其推導(dǎo)參見菲赫金哥爾茨著微積分學(xué)教程第二卷第二分冊):當(dāng)時,收斂域?yàn)楫?dāng)時,收斂域?yàn)?當(dāng)時,收斂域?yàn)?當(dāng)(7)式中時就得到（8）當(dāng)時得到（9）一般的說,只有少數(shù)比較簡單的函數(shù),其冪級數(shù)展開式能直接從定義出發(fā),并根據(jù)定理14.11求得更多的情況是從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積等方法,間接地求得函數(shù)的冪級數(shù)展開式例以與分別代入(8)與(9)式,可得（10）（11）對于(10)、(11)分別逐項(xiàng)求積可得函數(shù)與的展開式:由此可見,熟悉某些初等函數(shù)的展開式，對于一些函數(shù)的冪級數(shù)展開是極為方便的特別是前面介紹的例3至例7的結(jié)果，對于用間接方法求冪級數(shù)展開式特別有用作為本節(jié)的結(jié)束，最后舉例說明怎樣用冪級數(shù)形