函數(shù)單調(diào)性教學設(shè)計

1、函數(shù)的單調(diào)性教學設(shè)計一內(nèi)容和內(nèi)容解析函數(shù)的單調(diào)性是研究當自變量x不斷增大時，它的函數(shù)y增大還是減小的性質(zhì)如函數(shù)單調(diào)增表現(xiàn)為“隨著x增大，y也增大”這一特征與函數(shù)的奇偶性不同，函數(shù)的奇偶性是研究x成為相反數(shù)時，y是否也成為相反數(shù)，即函數(shù)的對稱性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極值類似，是函數(shù)的局部性質(zhì)，在整個定義域上不一定具有這與函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的最大值、最小值不同，它們是函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)函數(shù)單調(diào)性的研究方法也具有典型意義，體現(xiàn)了對函數(shù)研究的一般方法這就是，加強“數(shù)”與“形”的結(jié)合，由直觀到抽象；由特殊到一般首先借助對函數(shù)圖象的觀察、分析、歸納，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的增、減變化的直觀特征，進一步量化，發(fā)現(xiàn)增

2、、減變化數(shù)字特征，從而進一步用數(shù)學符號刻畫函數(shù)單調(diào)性的概念是研究具體函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)，在研究函數(shù)的值域、定義域、最大值、最小值等性質(zhì)中有重要應(yīng)用（內(nèi)部）；在解不等式、證明不等式、數(shù)列的性質(zhì)等數(shù)學的其他內(nèi)容的研究中也有重要的應(yīng)用（外部）可見，不論在函數(shù)內(nèi)部還是在外部，函數(shù)的單調(diào)性都有重要應(yīng)用，因而在數(shù)學中具有核心地位教學的重點是，引導(dǎo)學生對函數(shù)在區(qū)間（a，b）上“隨著x增大，y也增大（或減小）”這一特征進行抽象的符號描述：在區(qū)間（a，b）上任意取x1，x2，當x1x2時，有 f（x2）f（x1）（或f（x2）f（x1），則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)增（或單調(diào)減）二目標和目標解析本節(jié)課要

3、求學生理解函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)的意義，掌握用函數(shù)單調(diào)性的定義證明簡單函數(shù)在某區(qū)間上具有某種單調(diào)性的方法（步驟）1能夠以具體的例子說明某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)；2能夠舉例，并通過繪制圖形說明函數(shù)在定義域的子集（區(qū)間）上具有單調(diào)性，而在整個定義域上未必具有單調(diào)性，說明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；3對于一個具體的函數(shù)，能夠用單調(diào)性的定義，證明它是增函數(shù)還是減函數(shù)：在區(qū)間上任意取x1，x2，設(shè)x1x2，作差f（x2）f（x1），然后判斷這個差的正、負，從而證明函數(shù)在該區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)三教學問題診斷分析學生已有的認知基礎(chǔ)是，初中學習過函數(shù)的概念，初步認識到函數(shù)是一個刻畫某些運動變化數(shù)量

4、關(guān)系的數(shù)學概念；進入高中以后，又進一步學習了函數(shù)的概念，認識到函數(shù)是兩個數(shù)集之間的一種對應(yīng)學生還了解函數(shù)有三種表示方法，特別是可以借助圖象對函數(shù)特征加以直觀考察此外，還學習過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等幾個簡單而具體的函數(shù)，了解它們的圖象及性質(zhì)尤其值得注意的是，學生有利用函數(shù)性質(zhì)進行兩個數(shù)大小比較的經(jīng)驗“圖象是上升的，函數(shù)是單調(diào)增的；圖象是下降的，函數(shù)是單調(diào)減的”僅就圖象角度直觀描述函數(shù)單調(diào)性的特征學生并不感到困難困難在于，把具體的、直觀形象的函數(shù)單調(diào)性的特征抽象出來，用數(shù)學的符號語言描述即把某區(qū)間上“隨著x的增大，y也增大”（單調(diào)增）這一特征用該區(qū)間上“任意的x1x2，有f（x1）f（x

5、2）”（單調(diào)增）進行刻畫其中最難理解的是為什么要在區(qū)間上“任意”取兩個大小不等的x1，x2教學中，通過一次函數(shù)、二次函數(shù)等具體函數(shù)的圖象及數(shù)值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，相應(yīng)地，即“隨著x的增大，y也增大”，初步提出單調(diào)增的說法通過討論、交流，讓學生嘗試，就一般情況進行刻畫，提出“在某區(qū)間上，如果對于任意的x1x2有f（x1）f（x2）”則函數(shù)在該區(qū)間上具有“圖象是上升的”、“隨著x的增大，y也增大”的特征進一步給出函數(shù)單調(diào)性的定義然后通過辨析、練習等幫助學生理解這一概念企圖在一節(jié)課中完成學生對函數(shù)單調(diào)性的真正理解可能是不現(xiàn)實的在今后，學生通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，尋找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運

6、用函數(shù)的單調(diào)性解決具體問題，等一系列學習活動可以逐步理解這個概念 四教學支持條件分析為了有效實現(xiàn)教學目標，條件許可，可以借助計算機或者計算器繪制函數(shù)圖象，同時輔以坐標計算、跟蹤點以及等手段觀察函數(shù)的數(shù)字變化特征五教學過程設(shè)計1認識研究函數(shù)單調(diào)性的必要性前面已經(jīng)學習過函數(shù)的概念、函數(shù)表示法，緊接著對函數(shù)要研究些什么？那就是函數(shù)的性質(zhì)（特征）研究函數(shù)的性質(zhì)，是為了更好地把握變化規(guī)律對于運動變化問題，最基本的就是描述變化的快或慢、增或減相應(yīng)的，函數(shù)的特征就包含：函數(shù)的增與減（單調(diào)性），函數(shù)的最大值、最小值，等使學生感受到，緊接研究函數(shù)的性質(zhì)是必然的學習任務(wù)也可以由教師引導(dǎo)，借助對一些函數(shù)圖象的觀察、

7、對所觀察到的特征進行歸類，引入函數(shù)的某個性質(zhì)的研究比如，觀察圖1中各個函數(shù)的圖象，你能說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化特征？有圖象上升的特征，圖象有時上升有時下降的特征，圖象關(guān)于y軸對稱的特征，等我們將逐一研究這些特征2函數(shù)單調(diào)性的認識問題串的設(shè)計大體從兩個層次上展開，目的是經(jīng)歷從直觀到抽象，從特殊到一般的過程首先利用圖象描述變化規(guī)律，如上升、下降，從幾何直觀角度認識函數(shù)單調(diào)性；然后從數(shù)值變化角度描述變化規(guī)律，圖象上升（下降），也就是隨著x的增大y也增大（或減?。?；最后用數(shù)學符號語言描述問題1  如圖2，觀察一次函數(shù)f（x）x和二次函數(shù)f（x）x2的圖象，說說隨著x的增大，圖象的

8、升降情況 函數(shù)f（x）x的圖象由左到右是上升的；函數(shù)f（x）x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的意圖：通過幾何直觀，引導(dǎo)學生關(guān)注圖象所反映出的特征，體驗自變量從小到大變化時，函數(shù)值大小變化在圖象上的表現(xiàn)初步提出函數(shù)單調(diào)性的意義：函數(shù)圖象的升降反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)單調(diào)性我們把二次函數(shù)f（x）x2在y軸左側(cè)下降稱為f（x）x2在區(qū)間上“單調(diào)減”；在y軸右側(cè)上升稱為函數(shù)f（x）x2在區(qū)間上“單調(diào)增”下面以二次函數(shù)f（x）x2為例，通過列出x，y的對應(yīng)值來研究它的上升與下降情況問題2 觀察下列表格，描述二次函數(shù)f（x）x2隨x增大函數(shù)值的變化特征：x432101234f（x）

9、x216941014916意圖：從一個特殊例子，結(jié)合前面的圖象特征，從數(shù)值變化角度認識函數(shù)的單調(diào)性圖象在y軸左側(cè)“下降”，也就是說，在區(qū)間上，隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）值反而隨著減??；圖象在y軸右側(cè)“上升”，也就是說，在區(qū)間上，隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）值也隨著增大問題3  對于一般函數(shù)f（x），如果在區(qū)間上有“圖象上升”、“隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）值也增大”的特點，那么應(yīng)該怎樣刻畫呢？意圖：從形象到抽象，從具體到一般先讓學生嘗試描述一般函數(shù)f（x）在上“圖象上升”、“隨著x的增大，相應(yīng)的f（x）值也增大”的特征這個問題具有較高的思維要求，需要“跳一跳才能摘到果子”教學上，可

10、以讓學生開展討論、交流通過學生的活動，逐漸認識函數(shù)單調(diào)性的刻畫方法在這個過程中，二次函數(shù)的特征是一個具體的載體，可以起到驗證、支持作用如果學生主動提出函數(shù)單調(diào)增的一般定義，則可以議論“為什么？”，讓學生以二次函數(shù)f（x）x2為例解釋定義的合理性給出函數(shù)單調(diào)性的一般定義一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2時，都有f（x1）f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1x2時，都有f（x1）f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)練習下列說法是

11、否正確？請畫圖說明理由：（1）如果對于區(qū)間上的任意x有f（x）f（0），則函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)增；（2）對于區(qū)間上（a，b）的某3個自變量的值x1，x2，x3，當ax1x2x3b時，有f（a）f（x1）f（x2）f（x3）f（b），則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）單調(diào)增意圖：使學生進一步體驗到定義中“任意”二字的必要性3單調(diào)性概念的應(yīng)用通過具體的函數(shù)單調(diào)性的證明過程進一步加深對函數(shù)單調(diào)性的認識例1  物理學中的波利爾定律（k是正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當體積V減小，壓強p將增大試用函數(shù)的單調(diào)性證明之分析怎樣來證明“體積V減小，壓強p將增大”呢，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，只要證明函數(shù)（k是正常數(shù)）是減函數(shù)怎樣證明函數(shù)（k是正常數(shù)）是減函數(shù)呢，只要在區(qū)間（0，）（因為體積V0）任意取兩個大小不相等的值，證明較小的值對應(yīng)的函數(shù)值較大，即設(shè)V1V2，去證明p1p2也就是只要證明p1p20證明 設(shè)V1V2，V1，V2（0，+）.因為k是正常數(shù)，V1V2，所以0，p1p2所以，體積V減小，壓強p將增大 教師把重心放在思路的分析（函數(shù)單調(diào)性的理解、運用）上，而讓學生進行具體證明步驟的書寫練習畫出反比例函數(shù)y的圖象（1）指出這個函數(shù)的定義域I是什么；（2）它在定義域I上具有怎樣的單調(diào)性？證明你的結(jié)論答