不等式的基本性質(zhì)

1、不等式的基本性質(zhì)要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法（1 1）作差法）作差法第七編 不等式7.1 7.1 不等關(guān)系與不等式不等關(guān)系與不等式 基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)R);,(000bababababababa = = b b, ,b b c c _._. (2) (2)同向相加性：同向相加性：a a b b, ,c c d d _._.).0R(111，bababababababa = = c ca a+ +c c b b+ +d d不等式的基本性質(zhì) (3) (3)乘法單調(diào)性：乘法單調(diào)性： a a b b, ,c c00 _;_; a a b b, ,

2、c c0 b b0,0,c c d d00 _;_; a a b b0(0(n nN N+ +) ) a an n b bn n; ; a a b b0(0(n nN N+ +, ,n n2)2) 雙向性：雙向性：a a b b _. _. 3.3.不等式的一些常用性質(zhì)不等式的一些常用性質(zhì) (1)(1)倒數(shù)性質(zhì)倒數(shù)性質(zhì) a a b b, ,abab0 0 a a00 bcbcacac bdbdb b b b0,00,0c c d d 00a a x x b b或或a a x x b b0 b b0,0,m m0,0,則則真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：.dbca .ax

3、b111 ).(;0 mbmambabmambab).(;0 mbmbmabambmaba不等式的基本性質(zhì)基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.若若x x+ +y y00，a a00,0,則則x x- -y y的值為的值為 （ ） A.A.大于大于0 B.0 B.等于等于0 0 C. C.小于小于0 D.0 D.符號(hào)不能確定符號(hào)不能確定 解析解析 方法一方法一 因?yàn)橐驗(yàn)閍 a0,0,0,所以所以y y00,0, 所以所以x x00，所以，所以x x- -y y0.0.應(yīng)選應(yīng)選A.A. 方法二方法二 a a0,0,0,取取a a=-2=-2得得-2-2y y0,0, 又又x x+ +y y0,0,兩式相加得兩

4、式相加得x x- -y y0. 0. A不等式的基本性質(zhì)2.2.設(shè)設(shè)a a、b b為非零實(shí)數(shù)為非零實(shí)數(shù), ,若若a a b b, ,則下列不等式成立的是則下列不等式成立的是 （ ） A.A.a a2 2 b b2 2 B.B.abab2 2 =16b b2 2=1,=1,故故A A錯(cuò)；錯(cuò)； 又又 故故D D錯(cuò)；錯(cuò)； 再令再令a a=1,=1,b b=4,=4,則則abab2 2=16=16a a2 2b b=4=4，故，故B B錯(cuò)，故選錯(cuò)，故選C. C. baab2211baab, 441baabC不等式的基本性質(zhì)3.3.若若a a2 2 b b2 2, ,則下列不等式成立的是則下列不等式成立

5、的是 （ ） A.A.a a b b B. B. C.| C.|a a|b b| D.| D.以上均不對(duì)以上均不對(duì) 解析解析 a a2 2 b b2 2 | |a a| |2 2|b b| |2 2 | |a a| b b, ,則則acac2 2 bcbc2 2 B. B.若若a a b b0 abab b b2 2 C. C.若若a a b b00，則，則 D.D.若若a a b b0 y y B.B.x x y y00 C. C.x x y y D.D.y y x x0 y y00或或x x y y0. 11時(shí)，時(shí)，x x3 3與與x x2 2- -x x+1.+1. 作差，通過分解因式判

6、斷差的符號(hào)作差，通過分解因式判斷差的符號(hào). . 解解 （1 1）( (x x-3)-3)2 2-(-(x x-2)(-2)(x x-4)-4) = =x x2 2-6-6x x+9-(+9-(x x2 2-6-6x x+8)=10,+8)=10, ( (x x-3)-3)2 2(x x-2)(-2)(x x-4).-4).題型分類題型分類 深度剖析深度剖析思維啟迪思維啟迪不等式的基本性質(zhì)(2)(2)x x3 3-(-(x x2 2- -x x+1)=+1)=x x3 3- -x x2 2+ +x x-1 -1 = =x x2 2( (x x-1)+(-1)+(x x-1)=(-1)=(x x-

7、1)(-1)(x x2 2+1),+1),x x1,1,x x3 3-(-(x x2 2- -x x+1)0,+1)0,當(dāng)當(dāng)x x11時(shí)，時(shí)，x x3 3 x x2 2- -x x+1.+1. （1 1）作差法步驟：作差）作差法步驟：作差變形變形判判斷差的符號(hào)斷差的符號(hào). .作商法的步驟：作商作商法的步驟：作商變形變形判斷判斷商與商與1 1的大小的大小. .（2 2）兩種方法的關(guān)鍵是變形）兩種方法的關(guān)鍵是變形. .常用的變形技巧有因式常用的變形技巧有因式分解、配方、有理化等，也可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為易于比較分解、配方、有理化等，也可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為易于比較大小的兩個(gè)代數(shù)式來達(dá)到目的大小的兩個(gè)代數(shù)式來達(dá)到目

8、的. . 探究提高探究提高不等式的基本性質(zhì)知能遷移知能遷移1 1 (1)(1)比較比較x x6 6+1+1與與x x4 4+ +x x2 2的大小的大小, ,其中其中x xR R; ; (2) (2)設(shè)設(shè)a aR R, ,且且a a0,0,試比較試比較a a與與 的大小的大小. . 解解 （1 1）( (x x6 6+1)-(+1)-(x x4 4+ +x x2 2) ) = =x x6 6- -x x4 4- -x x2 2+1=+1=x x4 4( (x x2 2-1)-(-1)-(x x2 2-1)-1) =( =(x x2 2-1)(-1)(x x4 4-1)=(-1)=(x x2 2

9、-1)(-1)(x x2 2-1)(-1)(x x2 2+1)+1) =( =(x x2 2-1)-1)2 2( (x x2 2+1).+1). 當(dāng)當(dāng)x x= =1 1時(shí)，時(shí)，x x6 6+1=+1=x x4 4+ +x x2 2; ; 當(dāng)當(dāng)x x1 1時(shí)，時(shí)，x x6 6+1+1x x4 4+ +x x2 2. . a1不等式的基本性質(zhì)（2 2）當(dāng)當(dāng)-1-1a a011時(shí)時(shí), , 當(dāng)當(dāng)a a-1-1或或00a a1 b b成立的充要條件是成立的充要條件是 （ ） A.A.a a2 2 b b2 2 B. B. C.lg C.lg a alg lg b b D. D. 可用特殊值代入驗(yàn)證，也可

10、用不等式的可用特殊值代入驗(yàn)證，也可用不等式的 性質(zhì)推證性質(zhì)推證. . 解析解析 方法一方法一 取取a a=1,=1,b b=-2=-2，可驗(yàn)證，可驗(yàn)證A A、B B、C C均不正均不正 確，故選確，故選D.D. 方法二方法二 a a b b 2 2a a22b b 0 0 ba11ba2121.2121ba思維啟迪思維啟迪D不等式的基本性質(zhì)探究提高探究提高 （1 1）判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題的真假）判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題的真假 時(shí)時(shí), ,先把要判斷的命題與不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮先把要判斷的命題與不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮 , ,找到與命題相近的性質(zhì)找到與命題相近的性質(zhì), ,并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題的真

11、假并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題的真假, ,當(dāng)然判斷的同時(shí)可能還要用到其他知識(shí)，比如對(duì)數(shù)函當(dāng)然判斷的同時(shí)可能還要用到其他知識(shí)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì). .(2)(2)特殊值法是判斷命題真假時(shí)常用到的一個(gè)方法特殊值法是判斷命題真假時(shí)常用到的一個(gè)方法, ,在命題真假未定時(shí)在命題真假未定時(shí), ,先用特殊值試試可以得到一些先用特殊值試試可以得到一些對(duì)命題的感性認(rèn)識(shí)，如正好找到一組特殊值使命題對(duì)命題的感性認(rèn)識(shí)，如正好找到一組特殊值使命題不成立不成立, ,則該命題為假命題則該命題為假命題. .不等式的基本性質(zhì)(3)(3)說明一個(gè)命題為假命題時(shí)說明一個(gè)命題為假命題時(shí), ,可以用特殊值法可以用特殊

12、值法, ,但不但不 能用特殊值法肯定一個(gè)命題，只能利用所學(xué)知識(shí)嚴(yán)能用特殊值法肯定一個(gè)命題，只能利用所學(xué)知識(shí)嚴(yán) 密證明密證明, ,在用不等式性質(zhì)證明命題時(shí)在用不等式性質(zhì)證明命題時(shí), ,可適當(dāng)使用可適當(dāng)使用一些不等式性質(zhì)的推廣命題一些不等式性質(zhì)的推廣命題, ,本題就可以利用結(jié)論本題就可以利用結(jié)論“a ab,b,n nN N+ +，n n為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則 ” ”. . nnba 不等式的基本性質(zhì)知能遷移知能遷移2 2 已知已知a a、b b、c cR R，則下列推理：，則下列推理： a a3 3 b b3 3, ,abab0 0 a a2 2 b b2 2, ,abab0 0 00a a b b

13、10,0, 即即a a b b,正確正確. .由由a a3 3 b b3 3, ,abab00可得可得a a b b, ,abab00，即即a a b b00或或b b a a0 b b2 2, ,abab00可得可得a a b b00或或a a b b0 b b00時(shí)時(shí) 但但a a b b00時(shí)，時(shí)， 故故不正確不正確. . 22cbca,2222ccbcca,11ba,11ba,11ba不等式的基本性質(zhì)00a a b b1,loglog)logb b(1+(1+a a),), 故故正確正確. . 答案答案 C C,11log)1 (log,11log)1 (log, 0)1 (log11l

14、og)1 (log2aaaaaaababbbbb又不等式的基本性質(zhì)題型三題型三 不等式性質(zhì)的應(yīng)用不等式性質(zhì)的應(yīng)用 【例例3 3】（1212分）已知分）已知-1-1a a+ +b b33且且22a a- -b b4,4,求求2 2a a+3+3b b的的 取值范圍取值范圍. . 思維啟迪思維啟迪 將將2 2a a+3+3b b用用a a+ +b b和和a a- -b b表示出來，再利用不表示出來，再利用不 等式的性質(zhì)求解等式的性質(zhì)求解2 2a a+3+3b b的范圍的范圍. . 解解 設(shè)設(shè)2 2a a+3+3b b= =m m( (a a+ +b b)+)+n n( (a a- -b b),),

15、 2 2分分 4 4分分 5 5分分,32nmnm.21,25nm).(21)(2532bababa不等式的基本性質(zhì)-1-1a a+ +b b3,23,2a a- -b b4, 4, 8 8分分 1010分分即即 1212分分 由由a a f f1 1( (x x1 1, ,y y1 1)b b, ,c c f f2 2( (x x1 1, ,y y1 1) b b a a- -b b0,0,a a b b a a- -b b0. b b acac bcbc或或a a b b acac b b a an n b bn n對(duì)于正數(shù)對(duì)于正數(shù)a a、b b才成立才成立. .4. 4. a a b b

16、, ,對(duì)于正數(shù)對(duì)于正數(shù)a a、b b才成立才成立. .5.5.注意不等式性質(zhì)中注意不等式性質(zhì)中“”與與“”區(qū)別，如：區(qū)別，如：a a b b, ,b b c c a a c c, ,其中其中a a c c不能推出不能推出失誤與防范失誤與防范,1111babababa或1ba.cbba不等式的基本性質(zhì)一、選擇題一、選擇題 1.1.下列四個(gè)數(shù)中最大的是下列四個(gè)數(shù)中最大的是 （ ） A.lg 2 B. A.lg 2 B. C.(lg 2) C.(lg 2)2 2 D.lg(lg 2) D.lg(lg 2) 解析解析 因?yàn)橐驗(yàn)閘g 2(0,1)lg 2(0,1)，所以，所以lg(lg 2)0;lg(l

17、g 2) a a B.B.a a c cb b C. C.c c b b a a D.D.a a c c b b 解析解析 c c- -b b=4-4=4-4a a+ +a a2 2=(2-=(2-a a) )2 20,0, c cb b, ,已知兩式作差得已知兩式作差得2 2b b=2+2=2+2a a2 2, ,即即b b=1+=1+a a2 2, , b b=1+=1+a a2 2 a a,c cb b a a. . ,1, 043)21(1222aaaaaA不等式的基本性質(zhì)3.3.已知已知a a, ,b b為非零實(shí)數(shù)為非零實(shí)數(shù), ,且且a a b b, ,則則 （ ） A.A.a a2

18、 2 b b2 2 B.B.a a2 2b b abab2 2 C.2 C.2a a-2-2b b0 D. 0 D. 解析解析 取取a a=-4,=-4,b b=2=2即可判斷選項(xiàng)即可判斷選項(xiàng)A A、B B、D D錯(cuò)錯(cuò). . ba11C不等式的基本性質(zhì)4.4.已知已知a a、b b滿足滿足00a a b b11，下列不等式中成立的是，下列不等式中成立的是 （ ） A.A.a aa a b bb b B.B.a aa a b ba a C. C.b bb b b ba a 解析解析 取特殊值法取特殊值法. .D,)21()21(.C,)21()41(.A,)21(,)21()41(,21,414

19、1212121212141錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)則令abbbbabbbababaB不等式的基本性質(zhì)5.5.設(shè)設(shè)00b b a a11，則下列不等式成立的是，則下列不等式成立的是 （ ） A.A.abab b b2 21 B. 1 B. C.2 C.2b b22a a2 D.2 D.a a2 2 abab11 解析解析 y y=2=2x x是單調(diào)遞增函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù), ,且且00b b a a1,1, 2 2b b22a a221 1, ,即即2 2b b22a a2. 2. 0loglog2121abC不等式的基本性質(zhì)6.6.若若 則下列不等式則下列不等式: :a a+ +b b |b b|; |; a a

20、 b b c c0,0, 則則x x, ,y y, ,z z的大小順序是的大小順序是_._. 解析解析 方法一方法一 y y2 2- -x x2 2=2=2c c( (a a- -b b)0,)0,y y x x. . 同理，同理，z z y y,z z y y x x. . 方法二方法二 令令a a=3,=3,b b=2,=2,c c=1=1， 故故z z y y x x. . z z y y x x,)(22cbax ,)(22bac ,26,20,18zyx則 zcaby,)(22不等式的基本性質(zhì)8.8.下列四個(gè)不等式：下列四個(gè)不等式： a a00b b; ;b b a a0;0;b b

21、00a a; ;00b b b b0,0,則則 若若a a b b0,0,則則 若若a a b b0,0,則則 設(shè)設(shè)a a, ,b b是互不相等的正數(shù)，則是互不相等的正數(shù)，則 其中正確命題的序號(hào)是其中正確命題的序號(hào)是_._.（把你認(rèn)為正確命題（把你認(rèn)為正確命題 的序號(hào)都填上）的序號(hào)都填上） ;11ba;11bbaa;22bababa. 21|baba不等式的基本性質(zhì)解析解析 作差可得作差可得 而而a a b b0,0,則則此式錯(cuò)誤此式錯(cuò)誤. .a a b b00，則，則 進(jìn)而可得進(jìn)而可得 所所以可得以可得 正確正確. .若若 錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .a a- -b b0 b b, ,e e f f, ,

22、c c00，求證：，求證：f f- -acac b b, ,c c0,0,acac bcbc. . 又又e e f f,e e+ +acac f f+ +bcbc. . e e- -bcbc f f- -acac, ,即即f f- -acac e e- -bcbc. . 不等式的基本性質(zhì)11.200811.2008年北京成功舉辦了第年北京成功舉辦了第2929屆奧運(yùn)會(huì)，中國取得屆奧運(yùn)會(huì)，中國取得 了了5151金、金、2121銀、銀、2828銅的驕人成績(jī)銅的驕人成績(jī). .下表為北京奧運(yùn)會(huì)下表為北京奧運(yùn)會(huì) 官方票務(wù)網(wǎng)站公布的幾種球類比賽的門票價(jià)格，某官方票務(wù)網(wǎng)站公布的幾種球類比賽的門票價(jià)格，某 球迷

23、賽前準(zhǔn)備用球迷賽前準(zhǔn)備用12 00012 000元預(yù)訂元預(yù)訂1515張下表中球類比賽張下表中球類比賽 的門票：的門票： 若在準(zhǔn)備資金允許的范圍內(nèi)和總票數(shù)不變的前提下若在準(zhǔn)備資金允許的范圍內(nèi)和總票數(shù)不變的前提下, , 該球迷想預(yù)訂上表中三種球類比賽門票，其中足球該球迷想預(yù)訂上表中三種球類比賽門票，其中足球 比賽門票數(shù)與乒乓球比賽門票數(shù)相同，且足球比賽比賽門票數(shù)與乒乓球比賽門票數(shù)相同，且足球比賽比賽項(xiàng)目比賽項(xiàng)目票價(jià)（元票價(jià)（元/ /場(chǎng)）場(chǎng)）男籃男籃1 0001 000足球足球800800乒乓球乒乓球500500不等式的基本性質(zhì)門票的費(fèi)用不超過男籃比賽門票的費(fèi)用，求可以預(yù)訂門票的費(fèi)用不超過男籃比賽門

24、票的費(fèi)用，求可以預(yù)訂的男籃比賽門票數(shù)的男籃比賽門票數(shù). . 解解 設(shè)足球比賽門票數(shù)與乒乓球比賽門票數(shù)都預(yù)訂設(shè)足球比賽門票數(shù)與乒乓球比賽門票數(shù)都預(yù)訂n n( (n nN N* *) )張，則男籃比賽門票預(yù)訂（張，則男籃比賽門票預(yù)訂（15-215-2n n）張，）張，由由n nN N* *，可得，可得n n=5,15-2=5,15-2n n=5.=5.可以預(yù)訂男籃比賽門票可以預(yù)訂男籃比賽門票5 5張張. . .1455724)215(000180000012)215(0001500800nnnnnn解得得不等式的基本性質(zhì)12.12.設(shè)設(shè)f f( (x x)=)=axax2 2+ +bxbx,1,1f f(-1)2,2(-1)2,2f f