D12習(xí)題課 第三次

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習(xí)題課習(xí)題課級數(shù)的收斂、求和與展開級數(shù)的收斂、求和與展開 第十一章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(0 xunn 求和)(xS展開(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)(0 xunn基本問題基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級數(shù)展開.時(shí)為數(shù)項(xiàng)級數(shù);0 xx 當(dāng)nnnxaxu)(當(dāng)時(shí)為冪級數(shù);目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 正項(xiàng)級數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分審斂法部分和極限1目

2、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 任意項(xiàng)級數(shù)審斂法為收斂級數(shù)1nnuLeibniz審斂法審斂法: 若,01nnuu且,0limnnu則交錯(cuò)級數(shù)nnnu1) 1(收斂 ,概念概念:且余項(xiàng).1nnur1nnu若收斂 ,1nnu稱絕對收斂1nnu若發(fā)散 ,1nnu稱條件收斂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: :1 ,p 當(dāng)時(shí)01 ,p當(dāng)時(shí)1( 1)npnn例例1. 討論級數(shù)的斂散性,并在收斂時(shí)指出是絕對收斂,還是條件收斂. 01,11,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 收收斂斂當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 發(fā)發(fā)散散pnpnp 01pnn 收收斂斂1( 1);npnn絕對收斂01pnn 發(fā)發(fā)散散, ,( 1),nnpun單調(diào)遞減lim0,nn

3、u0,nu級數(shù)的一般項(xiàng) 不趨于1( 1);npnn 收收斂斂1( 1);npnn條件收斂0 ,p 當(dāng)時(shí)1( 1).npnn發(fā)散11( 1)1.nppnnnnp 1 時(shí), 絕對收斂 ; 0 p1 時(shí), 條件收斂 ;p0 時(shí), 發(fā)散 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11ln) 1()3(nnnn)11(ln1lnnnnun因單調(diào)遞減, 且但對nnn1ln1nkkk1ln)1ln()1ln( n)(n所以原級數(shù)僅條件收斂 .kkSnkn1ln1由Leibniz審斂法知級數(shù)收斂 ;0limnnu目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11! ) 1() 1()4(nnnnn因nnuu12)2(! )2(nnn1

4、)111 (12nnnn1! ) 1(nnnn1e1所以原級數(shù)絕對收斂 .目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、求冪級數(shù)收斂域的方法二、求冪級數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù): 再討論Rx 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性 .P323 題7. 求下列級數(shù)的斂散域:.2)4(21nnnxn練習(xí)練習(xí):,lim1nnnaaR0(0)nnnna xa 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù): 先求收斂半徑 R : 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如何求缺項(xiàng)冪級數(shù)的收斂半徑？1lim |nnnaRa答答：如果一個(gè)冪級數(shù)有無限多個(gè)項(xiàng)的系數(shù)為零這樣的冪級數(shù)稱為缺項(xiàng)冪級數(shù)，對這種冪級數(shù)，不能直接用公式 1

5、）進(jìn)行變量替換將原冪級數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)無缺項(xiàng)的冪級 數(shù)計(jì)算出后一冪級數(shù)的收斂半徑，再根據(jù)兩變量之間的關(guān)系得出原冪級數(shù)的收斂半徑2）對缺項(xiàng)冪級數(shù)需要將各項(xiàng)取絕對值后得到的級數(shù)按照比值審斂法或根值審斂法來求.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnnxn212)4()()(lim1xuxunnn解解: 因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x當(dāng)時(shí)，即22x,2時(shí)當(dāng)x故收斂域?yàn)? )2,2(級數(shù)收斂;一般項(xiàng)nun不趨于0,nlim級數(shù)發(fā)散; P323 題7. 求下列級數(shù)的收斂域:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂域。的收斂域。11(2)nnxn 解：令解：令 ，原級數(shù)變?yōu)椋?/p>

6、數(shù)變?yōu)?2xt11nntn1limnnnaRa11limlim1nnnnnn1R 所以所以 ，即，即 時(shí)，冪級數(shù)收斂。時(shí)，冪級數(shù)收斂。121x 13x當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級數(shù)為時(shí)，級數(shù)為 ，為交錯(cuò)級數(shù)收斂，為交錯(cuò)級數(shù)收斂， 1x 11( 1)nnn當(dāng)當(dāng) 時(shí)，級數(shù)為時(shí)，級數(shù)為 ，為，為P-級數(shù)發(fā)散，級數(shù)發(fā)散，3x 11nn 故此冪級數(shù)的收斂域?yàn)楣蚀藘缂墧?shù)的收斂域?yàn)?。1,3)例例4. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求部分和式極限三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法 求和 映射變換法 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分nnnxa0)(*xS對和函數(shù)求積或求導(dǎo))(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和

7、, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)） 數(shù)項(xiàng)級數(shù) 求和nnnxa0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21( 1)nnnnxn 的收斂域及和函數(shù)對端點(diǎn) x =1, 1limnnnaaR解解:21(1)( 1)1nnn 2( 1)nnn 1對端點(diǎn) x = 1, 11( 1),nnnn 發(fā)散; 級數(shù)為11( 1),nnnn發(fā)散 . ( 1,1).故收斂域?yàn)?limn級數(shù)為求冪級數(shù)21( 1)( 1,1) ,( ),nnnns xxn 在內(nèi)設(shè)則例例6. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1( 1)( )()nnnns xnxxn11( )nns xnx1)(nnxx()1xxx2)

8、1 (xx11nnxnx1nnxx( 1,1).x 11( )( )( )s xs xs xln(1).x2)1 (xx1( 1) ()nnnxn11( 1)nnnnxn11()nnx 11x2220( )(0)( )dxs xss xx01d1xxxln(1).x( 1,1).x 2( )s x( 1,1).x 12( )( )s xs x2(0)0s目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求冪級數(shù).!) 12(1) 1(120的和函數(shù)nnnxnn法法1 易求出級數(shù)的收斂域?yàn)?,(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21x

9、x,cos2sin21xxx ),(x目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 法法2 先求出收斂區(qū)間, )(xS則210001( )d( 1)d(21)!xxnnnnS xxxxn220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(設(shè)和函數(shù)為),(x120!) 12(1) 1(nnnxnn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習(xí)練習(xí):.) 1()4(1nnnnx;212) 1()1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x 1221nnxx222211xxx22xx222)2(2xx顯然 x

10、 = 0 時(shí)上式也正確,. )2,2(x故和函數(shù)為而在2xx0,)2(2)(222xxxSP320 題8. 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：級數(shù)發(fā)散,目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (4)nnxnn1111原式101dxnntt 011dxnnttx01d1xtt01d1xttxt)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( x101dxnntt011dxnnttxx0目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx顯然 x = 0 時(shí), 級數(shù)收斂于0, 根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10

11、xx = 1 時(shí), 級數(shù)也收斂 . 即得)1(ln)11(1lim0 xxx0)1(lnlim10 xxx又 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、函數(shù)的冪級數(shù)展開法四、函數(shù)的冪級數(shù)展開法 直接展開法 間接展開法練習(xí)練習(xí):1) 將函數(shù)2)2(1x展開成 x 的冪級數(shù). 利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法函數(shù)的冪級數(shù)展開法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常用函數(shù)的麥克勞林展開式常用函數(shù)的麥克勞林展開式231ln(1)( 1)231nnxxxxxn 352113521sin()!()!

12、mmxxxxxm 2462cos1( 1)2!4!6!(2)!mmxxxxxm 212!nxxxexn 2(1)(1)(1)(1)12!nnxxxxn 2111nxxxx 特別目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12( )arctan12xf xx x分析：分析：用先積分后求導(dǎo)方法解：解：因?yàn)?2( )14fxx 而 222011( 1) 4141(2 )nnnnxxx 1 1(, )2 2x 例例8. . 將函數(shù)將函數(shù)展開成又因?yàn)橛忠驗(yàn)?，(0)4f 1 1(, )2 2x 所以所以12202( )2( 1)414nnnnfxxx 1 1(, )2 2x 并求1002( )(0) 2( 14)dn

13、nxnnf xfxx1210( 1)42421,nnnnxn從 0 到 x 積分, 得的冪級數(shù),的和. 01( 1)21nnn方法:求導(dǎo)展開積分目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1210( 1)4( )2421nnnnf xxn 定義且連續(xù), 域?yàn)?1.22x上式右端的冪級數(shù)在1( )2f xx 而在有所以展開式對于是收斂( )f x1210( 1),421nnnxn1122x1 1(, )2 2x 12x 12x 收斂 ,也是成立的,故因?yàn)?，1( )02f 12101( 1)41( )2( )24212nnnnfn 10( 1)421nnn 0 0( 1).214nnn 目錄 上頁 下頁 返回

14、 結(jié)束 2( )arctanln 1.f xxxx將展開成麥克勞林級數(shù)例例9.解解:23ln(1),23xxxx462221ln(1)( 1),23nnxxxxxn ( 11)x 201arctan1xxdxx又246201( 1)xnnxxxxdx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 35721( 1)35721nnxxxxxn ( 11)x 2222101arctanln 11( 1)( 1)212nnnnnnxxxxxnn故222200112122()()nnnnnnxxnn 220( 1).(21)(22)nnnxnn( 11)x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解: :21( 1),2 (

15、21)nnnxnn考慮21( 1)( )2 (21)nnnxs xnn設(shè)21,1x 1,1.其收斂域?yàn)?1( 1)()2 (21)nnnxnn221=( 1)nnnx21,1x分析:211=()nnx1( 1)(21)nnnn求級數(shù)的和.21( 1)( )()2 (21)nnnxs xnn1221( 1)nnnx ( 1,1) .在內(nèi)(0)0, (0)0,ss201( )(0)d1xs xsxxarctan , x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0( )(0)arctan dxs xsx xarctanxx 0 x2d1xxxarctanxx 22011d(1)21xxx21ln(1),2x0

16、 xarctanxx 1( 1)(21)nnnn2arctan1 ln(1 1) 1( 1)22 (21)nnnn2 (1)s 1,1x ln2.2 1( 1)ln2.(21)2nnnn 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 設(shè))(xf0,arctan12xxxx0,1x, 將 f (x)展開成x 的冪級數(shù) ,1241) 1(nnn的和. ( 2001考研 )解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctan2011dxxx,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(nnnxn于是并求級數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 02212

17、) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0(1)(1)nnnx求級數(shù)的收斂域及和函數(shù).1(1)(1)lim | lim | |1|,nnnnunxxun由解解: :|1| 1,2.xx所以當(dāng)即0時(shí)，原級數(shù)收斂1112B 00 ,( 1) (1),nnxn當(dāng)時(shí)級數(shù)為時(shí)級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 1.R |1| 1,x當(dāng)發(fā)散;(0,2).收斂域?yàn)?2 ,(1),nxn當(dāng)時(shí)

18、級數(shù)為發(fā)散.|1| 1,x 當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂0910B 12nnn0并求的值.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0(1)(1)nnnx求級數(shù)的收斂域及和函數(shù).解解: :0,2在內(nèi)，110( )(1)(1)xxnns t dtntdt1112B10(1)nnx0(1)(1)( ),nnnxs x02x 11( )()2xdxs xs t dtdxx對上式兩邊求導(dǎo)，得11(1)( )22nnnnnn00122114.(2)xx 從而12nnn0并求的值.(1)0.s且21.(2) x1.2xx11 (1)xx0910B 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11212(21).nnnnnnx寫出冪級數(shù)的收斂半徑及

19、其和函數(shù),并求的和例例3. 解解1;R 收斂半徑為( 1 1). 所以收斂域?yàn)椋?21lim | lim | 1,23nnnnanRan01 ,( 1) (21),nnxn 當(dāng)時(shí) 級數(shù)為發(fā)散;01 ,(21),nxn當(dāng)時(shí)級數(shù)為發(fā)散.0( 1,1) ,( )(21),nns xnx在內(nèi)設(shè)則大作業(yè)大作業(yè) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2231,xxx122212135.2(1)nnxnxxx 121nns xnx12 ()nnxx=2()11xxxxx112nnnnnxx1112nnnnxnxx 1xx從而11212(21).nnnnnnx寫出冪級數(shù)的收斂半徑及其和函數(shù),并求的和例例3. ( 1,

20、1).x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1121.23.(21)nnnnnnx求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求121lim | lim | 1,23nnnnanRan解二解二: :( 1,1) ,( ),s x在內(nèi)設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為則111( )(21)(1)nnnnnns xnxnxnx( 1 1). 所以收斂域?yàn)椋?,x 且時(shí) 通項(xiàng)極限不為零,原級數(shù)發(fā)散1111()nnnnxxnx2()1xx=1()nnxx2221()1(1)xxxxx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 322222311111xxxxxxxxx 12221213|5.2(1)xnnnxxx從而2221()1(1)xxxxx目錄 上頁 下

21、頁 返回 結(jié)束 .)1(2)1(13的的收收斂斂域域與與和和函函數(shù)數(shù)求求冪冪級級數(shù)數(shù) nnnnxn,2)1(3 xt令令例例4.解解,)1(1 nnntn則冪級數(shù)成為則冪級數(shù)成為,)1(nunn 記記, 1lim1 nnnuu因?yàn)橐驗(yàn)? 1)1(1的的收收斂斂半半徑徑為為所所以以冪冪級級數(shù)數(shù) nnntn,1處處而在收斂區(qū)間的右端點(diǎn)而在收斂區(qū)間的右端點(diǎn) t,)1(1收收斂斂級級數(shù)數(shù) nnn目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,1 , 1()1(1 的的收收斂斂域域是是故故nnntn 1,)1()(),1 , 1(nnntntt 記記對對 nnntnt1)1()( ,1處處在在左左端端點(diǎn)點(diǎn) t 11nn

22、發(fā)散，發(fā)散，級數(shù)級數(shù).21 , 21(33 從從而而原原級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域?yàn)闉橛钟忠蛞?)0( 11)1( nnnt 11)(nnt,11t 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )0()()( tt故故,)1(11收收斂斂處處由由于于在在 nnntntuutd)(0 uutd110 ),1ln(t ,1)1ln(連連續(xù)續(xù)在在且且函函數(shù)數(shù) tt因此因此 1 , 1(),1ln()( ttt 因因此此目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)1ln()(2)1(3中中代代入入將將ttxt 的的和和函函數(shù)數(shù)便便得得原原級級數(shù)數(shù)nnnnxn31)1(2)1( 21 , 21(,2)1(2ln)(333 xxx

23、s目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1111.33ABCD7.( )2fx 是周期為 的周期函數(shù)，在區(qū)間sin 3()x則其付氏展開式中系數(shù)為1212,10( )1, 01,1xxf xxx 1,1)上的表達(dá)式01( )(cossin),2nnnan xn xf xabll,nnab其中系數(shù)為1( )cos,(0,1,2,)lnln xaf xdxnll1( )sin,(1,2,)lnln xbf xdxnll目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 131( )sin3bf xxdx1111.33ABCD01sin3xxdx120sin3 xdx112sin3 xdx1.37.( )2fx 是周期為 的周期

24、函數(shù)，在區(qū)間sin 3()x則其付氏展開式中系數(shù)為1212,10( )1, 01,1xxf xxx 1,1)上的表達(dá)式目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 201( 1) (2 )(1)2(2 )!nnnxn 21( 1) (2 )1()2 (2 )!nnnxxn 21( )cos(1cos2 )2f xxx2( )cosf xx 4. 函數(shù)函數(shù) 的麥克勞林展式為的麥克勞林展式為_.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5. ( )f x是周期為2的周期函數(shù),則傅立葉級數(shù)在答案:定理3 的和為_.,) 的和為231,x 則該傅立葉級數(shù)在 ,3 )1)2(32 x )(. 5xF( ) , ,)f xx , )

25、2(kxf其它其它目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、計(jì)算題四、計(jì)算題并指出是絕對收斂還是條件收斂？并指出是絕對收斂還是條件收斂？ 211.( 1) ln(1)11nnuuunnnnn 設(shè)，試判定級數(shù)與的斂散性，解解:111,ln(1),nnnuunn級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù) 且1ln(1)lim1.1nnn 即11nn發(fā)散,1nnu發(fā)散.111ln(1)ln(1)limln(1)0,1nnnn由于，且1,nnu則由萊布尼茨定理知收斂 從而知其條件收斂目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22221111,ln (1),nnnuunnn級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù) 且(21ln (1)lim1,1nnn 即21,.nnu由比較

26、審斂法知發(fā)散11,nn發(fā)散四、計(jì)算題四、計(jì)算題并指出是絕對收斂還是條件收斂？并指出是絕對收斂還是條件收斂？ 211.( 1) ln(1)11nnuuunnnnn 設(shè)，試判定級數(shù)與的斂散性，解解:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 212.(1)2.nnnnnx 求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域解解: :1( )lim|( )nnnuxu x12.R原 級 數(shù) 的 收 斂 半 徑 為1222(21)2lim(1)2nnnnnnnxnnx 2212lim1nnnxnn 212lim21nnnxnn 1221112lim11nnnnx 22x2112221,;xx 當(dāng)即時(shí)級數(shù)絕對收斂2112221,;xxx 當(dāng)即或時(shí) 級數(shù)發(fā)散目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 212.(1)2.nnnnnx 求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域解解: :1,2x 當(dāng)時(shí)1,2R原 級 數(shù) 的 收 斂 半 徑 為11,nn發(fā)散111limnnnn 1111,:1