高中數(shù)學(xué)最全必修一函數(shù)性質(zhì)詳解與知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與題型詳解

1、WORD格式.(經(jīng)典 )高中數(shù)學(xué)最全必修一函數(shù)性質(zhì)詳解及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型詳解分析一、函數(shù)的概念與表示1、映射：（1）對(duì)映射定義的理解。（2）判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是映射的方法。一對(duì)多不是映射，多對(duì)一是映射集合 A，B 是平面直角坐標(biāo)系上的兩個(gè)點(diǎn)集，給定從AB 的映射 f:(x,y) (x2+y 2,xy) ，求象 (5， 2)的原象 .13. 已知集合 A 到集合 B0，1，2，3的映射 f:x x 1 ，則集合 A 中的元素最多有幾個(gè) ?寫(xiě)出元素最多時(shí)的集合 A.2、函數(shù)。構(gòu)成函數(shù)概念的三要素定義域?qū)?yīng)法則值域兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的條件：三要素有兩個(gè)相同1、下列各對(duì)函數(shù)中，相同的是（）A、 f ( x

2、)lg x2, g(x)2 lg xB、 f (x) lg x1 , g (x)lg( x 1) lg( x1)x1C、 f (u)1u, g( v)1vD、f（ x） =x， f (x)x 21u1v2、 M x | 0x2,N y | 0y3 給出下列四個(gè)圖形，其中能表示從集合M 到集合N 的函數(shù)關(guān)系的有（）A、 0個(gè)B、 1個(gè)C、 2個(gè)D、3個(gè)yyyy322221111O1 2 xO1 2 xO1 2 xO1 2x二、函數(shù)的解析式與定義域函數(shù)解析式的七種求法待定系數(shù)法： 在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法。專(zhuān)業(yè)資料整理例 1設(shè) f (x) 是一次函數(shù)，且f f ( x)4 x3 ，

3、求 f (x).配湊法：已知復(fù)合函數(shù)f g (x) 的表達(dá)式，求 f (x) 的解析式， f g( x) 的表達(dá)式容易配成g ( x) 的運(yùn)算形式時(shí)，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)f (x) 的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是 g( x) 的值域。例 2 已知 f (x1) x 21 ( x0) ，求 f ( x) 的解析式xx2三、換元法： 已知復(fù)合函數(shù) f g (x) 的表達(dá)式時(shí)，還可以用換元法求f ( x) 的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例 3 已知 f ( x 1) x2 x ，求 f ( x 1)四、代入法： 求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)函數(shù)時(shí)，一般用代

4、入法。例 4 已知：函數(shù) yx 2x與 yg( x) 的圖象關(guān)于點(diǎn) ( 2,3) 對(duì)稱(chēng)，求 g( x) 的解析式五、構(gòu)造方程組法： 若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡(jiǎn)約，則可以對(duì)變量進(jìn)行置換，設(shè)法構(gòu)造方程組，通過(guò)解方程組求得函數(shù)解析式。 例 5 設(shè) f ( x)滿(mǎn)足 f ( x)2 f (1 )x, 求 f ( x)x例 6 設(shè) f (x) 為偶函數(shù)， g( x) 為奇函數(shù)，又 f (x)g (x)x1 , 試求 f ( x)和g ( x) 的解析式1六、賦值法： 當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時(shí)，往往可以對(duì)具有“任意性”的變量進(jìn)行賦值，使問(wèn)題具體化、簡(jiǎn)單化，從而求得解析式。例 7已知： f

5、 (0)1，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y，等式 f ( xy)f ( x)y(2xy1) 恒成立，求 f (x)七、遞推法： 若題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系，則可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過(guò)迭加、迭乘或者迭代等運(yùn)算求得函數(shù)解析式。例 8設(shè) f (x) 是 N 上的函數(shù)，滿(mǎn)足f (1)1，對(duì)任意的自然數(shù)a,b都有 f ( a)f (b)f (ab)ab ，求f (x)1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；（3）對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零； （ 4）指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；6.（ 05 江蘇卷）函數(shù)ylog 0.5 (

6、4 x23x) 的定義域?yàn)? 求函數(shù)定義域的兩個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題（ 1） 已知 f (x)的定義域是 -2,5,求 f(2x+3)的定義域。.（2）已知 f ( 2x 1的)定義域是 -1,3,求 f( )x的定義域例 2設(shè) f ( x) lg 2x ，則 f ( x) f ( 2 ) 的定義域?yàn)?_2x2x變式練習(xí)： f (2 x)4x2 ，求f ( x ) 的定義域。三、函數(shù)的值域1 求函數(shù)值域的方法直接法：從自變量x 的范圍出發(fā)，推出y=f(x) 的取值范圍，適合于簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)；換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式；判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出

7、y 的取值范圍；適合分母為二次且x R 的分式；分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式（x 有范圍限制時(shí)要畫(huà)圖）；單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；圖象法：二次函數(shù)必畫(huà)草圖求其值域；利用對(duì)號(hào)函數(shù)幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對(duì)值函數(shù)1（直接法） yx212 f ( x)2242xx23（換元法） yx2x 12x34. （法） y3x5.x21xx2y6. (分離常數(shù)法 ) y4x21x 1 y3x1x4) 7. ( 單調(diào)性 ) yx31，2x( 2( x1,3) 8. yx12xx 11yx 1x19(圖象法 ) y32xx2 (1x2) 10(對(duì)勾函數(shù)) y2x8 (x4)

8、x11. ( 幾何意義 ) yx2x1四函數(shù)的奇偶性1定義 :2. 性質(zhì)：y=f(x) 是偶函數(shù)y=f(x) 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng) ,y=f(x) 是奇函數(shù)y=f(x) 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) ,若函數(shù) f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則f(0)=0.奇±奇=奇 偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇兩函數(shù)的定義域 D1，D2，D1D2 要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)3奇偶性的判斷看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)看 f(x)與 f(-x)的關(guān)系1已知函數(shù) f (x) 是定義在 (,) 上的偶函數(shù) . 當(dāng) x (, 0) 時(shí)， f ( x)xx 4 ，則當(dāng)x( 0,) 時(shí)

9、， f ( x).2已知定義域?yàn)?R 的函數(shù) f (x)2xb 是奇函數(shù)。（）求 a,b 的值；（）若對(duì)任意的 t R ，2x 1a不等式 f (t22t )f (2t 2k)0 恒成立，求 k 的取值范圍；3已知 f ( x) 在（ 1，1）上有定義，且滿(mǎn)足 x, y( 1,1)有 f ( x) f ( y)xy),f (xy1證明： f ( x) 在（ 1，1）上為奇函數(shù)；4若奇函數(shù) f (x)( xR) 滿(mǎn)足 f (2)1， f ( x 2)f ( x)f (2) ，則 f (5)_五、函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)單調(diào)性的定義： 2設(shè) yf g x 是定義在 M 上的函數(shù)，若 f(x) 與 g(

10、x) 的單調(diào)性相反，則 y f g x在 M 上是減函數(shù)；若 f(x) 與 g(x) 的單調(diào)性相同，則 yf g x在 M 上是增函數(shù)。2例 函數(shù) f ( x) 對(duì)任意的 m, nR ，都有 f (m n)f (m)f (n) 1 ，并且當(dāng) x0 時(shí)，f ( x) 1 ，求證： f ( x) 在 R 上是增函數(shù)；若 f (3)4，解不等式 f (a 2a5)23函數(shù) ylog 0.1 (6x 2x 2 ) 的單調(diào)增區(qū)間是 _4(高考真題 )已知 f (x)(3a1)x4a, x1,) 上的減函數(shù)，那么 a 的取值范圍是log ax, x1是 (（A） (0,1)（B） (0, 1 )（C） 1

11、 ,1)（D） 1 ,1)3737一：函數(shù)單調(diào)性的證明1.取值2，作差3，定號(hào)4，結(jié)論二：函數(shù)單調(diào)性的判定，求單調(diào)區(qū)間yx22x3yx22 x3yx25x4y1x 22x3.221 x 4 xylog 2 ( x23 x2)yyx 21y12 1522xxxa（ a0 ）y xa（ a0 ）y xxx三：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1.比較大小例：如果函數(shù)fx x 2bxc對(duì)任意實(shí)數(shù) t 都有()f (2 t)f (t2) ，那么 A、 f (2)f (1)f (4)B、 f (1)f (2)f (4) C、 f (2)f (4) f (1)C、f (4)f (2)f (1)2.解不等式 例：定義在（ 1

12、，1 ）上的函數(shù) f ( x) 是減函數(shù)，且滿(mǎn)足：圍。 例：設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且f (1a)f (a)，求實(shí)數(shù)，a 的取值范求滿(mǎn)足不等式的 x 的取值范圍 .3.取值范圍 例: 函數(shù)在上是減函數(shù) ,則的取值范圍是 _例：若 f ( x)(3a1)x4ax1）log a xx1是 R 上的減函數(shù)，那么 a 的取值范圍是（A. (0,1)1)C. 11)1B. (0,7,D. ,1)3374. 二次函數(shù)最值 例：探究函數(shù)f()x221在區(qū)間 0,1 的最大值和最小值。xax例：探究函數(shù) f ( x)x22x1在區(qū)間 a, a1 的最大值和最小值。5.抽象函數(shù)單調(diào)性判斷例：已知函數(shù) f ( x)

13、 的定義域是 (0,) ，當(dāng) x1 時(shí)， f (x) 0，且 f ( xy) f (x)f ( y)求 f (1) ，證明 f ( x) 在定義域上是增函數(shù)如果 f ( 1)1，求滿(mǎn)足不等式 f ( x)f ( 1) 2 的 x 的取值范圍3x22例：已知函數(shù)()對(duì)于任意x，R，總有( )f() ()，且當(dāng)x>0 時(shí)，()<0，(1) .f xyf xyf xyf xf3(1) 求證： f(x)在 R 上是減函數(shù)； (2) 求 f(x)在 3,3 上的最大值和最小值x1例：已知定義在區(qū)間 (0， ) 上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足 f()f(x1 ) f(x2 )，且當(dāng) x>1 時(shí)，

14、f(x)<0. x2(1) 求 f(1)的值； (2) 判斷 f(x)的單調(diào)性； (3) 若 f(3) 1，解不等式 f(|x|)<2.六函數(shù)的周期性：1（ 定義）若 f ( xT )f ( x)(T0)f ( x)是周期函數(shù)，T 是它的一個(gè)周期。說(shuō)明：nT也是f (x)的周期（推廣）若 f ( xa)f ( xb) ，則 f (x) 是周期函數(shù)， ba 是它的一個(gè)周期對(duì)照記憶 f ( xa)f ( xa) 說(shuō)明： f (ax)f (ax) 說(shuō)明：2若 f (x a)f ( x) ； f (x a)1； f (x a)1；則 f ( x) 周期是 2af ( x)f ( x)1 已

15、知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿(mǎn)足 f(x+2)=f(x),則,f(6) 的值為(A) 1(B) 0(C)1(D)22定義在 R 上的偶函數(shù) f ( x) ，滿(mǎn)足 f (2 x) f (2x) ，在區(qū)間 -2,0 上單調(diào)遞減，設(shè)af ( 1.5), b f ( 2), cf (5)，則 a, b, c 的大小順序?yàn)?_3已知 f (x)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且f (x2)1f ( x) , 若 f (1)23, 則1f ( x)f (2005)=.4已知 f ( x) 是(- ，)上的奇函數(shù)， f (2x)f ( x) ，當(dāng) 0 x 1時(shí)， f(x)=x ，則f(7.5)=_例 11 設(shè)

16、 f ( x) 是定義在 R 上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x 恒滿(mǎn)足 f ( 2x)f ( x) ，當(dāng)x 0,2 時(shí) f ( x) 2 xx 2 求證： f (x) 是周期函數(shù)； 當(dāng) x 2,4 時(shí)，求 f ( x) 的解析式；計(jì)算：七二次函數(shù) (涉及二次函數(shù)問(wèn)題必畫(huà)圖分析 )1、已知函數(shù) f ( x) 4x 2mx 5在區(qū)間 2,) 上是增函數(shù)，則 f (1) 的范圍是（）（ A） f (1)25(B)f (1)25(C)f (1)25(D)f (1)25.2、方程mx 22mx10 有一根大于1，另一根小于1，則實(shí)根m 的取值范圍是_八指數(shù)式與對(duì)數(shù)式1冪的有關(guān)概念(1)零指數(shù)冪 a01(a0)

17、(2)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪 an1a0, nNanmn am(3)正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 a na0, m, nN , n1 ；(5)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 am110, m, nN , n1nmaa nn am(6)0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義 .2有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)1 ar as ar sa 0,r , sQ2 arsars a0, r , sQ3abrar br a0b,0r ,Q3根式 根式的性質(zhì) :當(dāng) n 是奇數(shù)，則 n a na ；當(dāng) n 是偶數(shù)，則 nanaaa0aa04對(duì)數(shù) (1)對(duì)數(shù)的概念 :如果 a bN (a0, a1) ,那么 b 叫做以 a 為底 N 的對(duì)數(shù) ,記 blo

18、g a N (a0,a 1)(2) 對(duì)數(shù)的性質(zhì)：零與負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù) log a 10 log a a1(3) 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logMN=logM+logN對(duì)數(shù)換底公式： log a Nlog m N0且 a1,m0且 m1)( N 0, alog m a對(duì)數(shù)的降冪公式： log a mN nn log a N (N0, a0且 a1)m113lg 8 lg 125lg 2 lg 5(1) (1) 2(4ab)1(2)42 ( a3 b 3 ) 2lg10lg 0.1(0.1)十指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1、 指數(shù)函數(shù) y=ax 與對(duì)數(shù)函數(shù) y=log ax (a>0 , a 1)互為反函數(shù)名稱(chēng)指數(shù)

19、函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)一般形式Y(jié)=ax(a>0且 a1)y=log x (a>0 , a 1)a.定義域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )過(guò)定點(diǎn)（， 1）（1，）指數(shù)函數(shù) y=ax 與對(duì)數(shù)函數(shù) y=log a x (a>0 , a 1)圖象關(guān)于 y=x 對(duì)稱(chēng)圖象a> 1,在(-,+ )上為增函數(shù)a>1, 在 (0,+ )上為增函數(shù)單調(diào)性 a<1, 在(-,+ )上為減函 a<1, 在(0,+ )上為減函數(shù)數(shù)值分布y>1 ?y<1?y>0?y<0?2. 比較兩個(gè)冪值的大小，是一類(lèi)易錯(cuò)題，解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要分清底數(shù)相同還是

20、指數(shù)相同，如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；指數(shù)相同，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關(guān)系（對(duì)數(shù)式比較大小同理）記住下列特殊值為底數(shù)的函數(shù)圖象：3、研究指數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題，盡量化為同底，并注意對(duì)數(shù)問(wèn)題中的定義域限制4、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的絕大部分問(wèn)題是指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合問(wèn)題，討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決問(wèn)題的重要途徑。1、（1） ylg x lg( 5 3x) 的定義域?yàn)?_；1（ 2） y2 x 3 的值域?yàn)?_；.（ 3） y lg(x 2x) 的遞增區(qū)間為 _ ，值域?yàn)?_2、（1） log 21 x10，則 x _243、要使函數(shù) y12x4x a 在 x,1 上 y

21、0 恒成立。求 a 的取值范圍。4.若 a2x+ 1 ·ax 1 0（a0 且 a1），求 y=2a2x3·ax+4 的值域 .22十函數(shù)的圖象變換（1）1、平移變換：（左 +右-，上 +下- ）即yf ( x )h0 ,右移; h0, 左移yf ( xh )yf ( x )k0 ,下移; k0, 上移yf ( x )k 對(duì)稱(chēng)變換：（對(duì)稱(chēng)誰(shuí)，誰(shuí)不變，對(duì)稱(chēng)原點(diǎn)都要變）yf ( x)x 軸yf( x )yf ( x)y 軸yf (x )yf ( x)原點(diǎn)yf (x )yf ( x)yxf1y( x )yf ( x)y 軸右邊不變，左邊為右邊部分的對(duì)稱(chēng)圖yf ( x )yf ( x)保留x 軸上方圖，將x 軸下方圖上翻yf ( x )1f(x) 的圖象過(guò)點(diǎn) (0,1) ，則 f(4-x) 的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（）A.(3,0)B.(0,3)C.(4,1)D.(1,4)2作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖： （1）y=|log 2x |；2）y=|2x -1|；（3）y=2 |x|；函數(shù)圖像的變換函數(shù)圖象及變化規(guī)則掌握幾類(lèi)基本的初等函數(shù)圖像是學(xué)好本內(nèi)容的前題1、基本函數(shù)（ 1）一次函數(shù)、（2）二次函數(shù)、（ 3）反比例函數(shù)、（4）指數(shù)函數(shù)、（ 5）對(duì)數(shù)函數(shù)、（6）三角函數(shù)。2、圖象的變換（1）平移變換（左加右減）.函數(shù) y=f(x