平面向量基本定理

1、平面向量基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解平面向量基本定理的內(nèi)容，了解向量一組基底的含義2在平面內(nèi)，當(dāng)組基底選定后，會用這組基底來表示其他向量.3會應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題.知識點(diǎn)一平面向量基本定理定理：如果ei,02是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向_a,有且只有一對實(shí)數(shù)入，d使a=Xiei+202.(1) 基底：把不共線的向量ei,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.思考如圖所示，ei,e2是兩個不共線的向量，試用©,e表示向量AB,CD,EF,GH,HG,a.答案通過觀察，可得：AB=2ei+3e2,CD=ei+4勺，EF=4ei4e2,G

2、H=2ei+5e2,HG=2ei5e2,a=2ei.知識點(diǎn)二兩向量的夾角與垂直(i)夾角：已知兩個非零向量a和b,如圖，作OA=a,OB=b,則/AOB=0(0°i80°,叫做向量a與b的夾角.范圍：向量a與b的夾角的范圍是0°i80°. 當(dāng)0=0°寸，a與b同向. 當(dāng)0=180°時，a與b反向.垂直：如果a與b的夾角是90°則稱a與b垂直，記作a丄b.思考在等邊三角形ABC中，試寫出下面向量的夾角. AB、AC；ABCA:BA、CA；Ab、BA.答案AB與Ac的夾角為60°AB與CA的夾角為120° B

3、A與CA的夾角為60°AB與BA的夾角為180°題型探究重點(diǎn)突破題型一對向量的基底認(rèn)識例1如果e1,e2是平面a內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是. ？ei+血2（入讓R）可以表示平面a內(nèi)的所有向量；對于平面a內(nèi)任一向量a，使a=砂+e的實(shí)數(shù)對（人2有無窮多個； 若向量入亀+we2與辰汁ee2共線，則有且只有一個實(shí)數(shù)入使得Xie1+we2=Xe1+儀代）；若存在實(shí)數(shù)人使得淪1+虔2=0,則=尸0.答案解析由平面向量基本定理可知，是正確的.對于，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是惟一的.跟蹤訓(xùn)練1設(shè)6、e2是不共線的

4、兩個向量，給出下列四組向量：ei與e“+e?;&2勺與e22e仁ei2e?與4e22e仁ei+e?與eie?.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號是.（寫出所有滿足條件的序號）答案解析對于4e?2ei=2ei+4e?=2(ei2e2),ei2e?與4e?2ei共線，不能作為基底.題型二用基底表示向量例2如圖所示，已知？ABCD中，E、F分別是BC、DC邊上的中點(diǎn)，若AB=a,AD=b,試以a、b為基底表示DE、BF.解四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別是BC、DC邊上的中點(diǎn)，Ad=Bc=2Be,Ba=Cd=2CF,ififififi.BE=AD=b,CF=BA=AB=尹.>

5、;>>>>>>.DE=DA+AB+BE=AD+AB+BE=b+a+?b=a如,-f-f-f-f-fiBF=BC+CF=AD+CF=b2a.跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E,F為BC的三等分點(diǎn)，若AB=a,AC=b,用a、b表示Ad、Al、Af.解Ad=Ab+BD=Ab+bc=a+|(ba)=；a+fb;ffffifAE=AB+BE=AB+3BC,121=a+3（b_a）=§a+3b;ffff2fAF=AB+BF=AB+3BC3,212=a+3（ba）=§a+3b.題型三向量夾角問題ab與a的夾角ab與a的夾角例3已知|a|

6、=|b|=2，且a與b的夾角為60°設(shè)a+b與a的夾角為a,是求a+3解如圖，作f=a,Ofe=b,且/AOB=60°以O(shè)A、OB為鄰邊作?OACB,則Oc=a+b,BA=OAOB=ab,BC=OA=a.因?yàn)閨a|=|b|=2，所以O(shè)AB為正三角形，所以/OAB=60°=/ABC,即ab與a的夾角3=60°因?yàn)閨a|=|b|,所以平行四邊形OACB為菱形，所以O(shè)C丄AB,所以/COA=90°60°=30°即a+b與a的夾角a=30°所以a+3=90°.flA解由向量運(yùn)算的幾何意義知a+b,ab是以a、b為

7、鄰邊的平行四邊形兩條對角線.如圖，/|a|=|b|=|ab|,/BOA=60°又OC=a+b,且在菱形OACB中,對角線OC平分/BOA,a與a+b的夾角是30°題型四平面向量基本定理的應(yīng)用例4如圖所示，在OAB中，OA=a,OB=b,點(diǎn)M是AB上靠近B的一個三等分點(diǎn)，點(diǎn)fifiN是OA上靠近A的一個四等分點(diǎn).若OM與BN相交于點(diǎn)P,求OP.4ffff2ff2ff12解OM=OA+AM=OA+3AB=OA+3QBOA)=3a+_b,因?yàn)镺P與Om共線，故可設(shè)Op=tOM=3a+又NP與NB共線，可設(shè)NP=sNB,OP=ON+sNB=4<5a+s(ObON)=3(1s)

8、a+sb,所以31-s=3,所以O(shè)P=備+5b.105f1f跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，在厶ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且AN=?NC,liliBN與CM相交于E,設(shè)Ab=a,AC=b,試用基底a,b表示向量Ae.易得AN=1ac=1b，由N,E,B三點(diǎn)共線，設(shè)存在實(shí)數(shù)m,滿足AE=mAN+(1-m)AB=gmb+(1m)a.3由C,E,M三點(diǎn)共線，設(shè)存在實(shí)數(shù)n滿足：AE=nAM+(1n)AC=*na+(1n)b.1所以§mb+(11m)a=qna+(1n)b,由于a,b為基底，所以11m=2n,13m=1n,解得3m弋,4n=5,所以AE=|a+1b.易錯易誤向量夾角概念不清致誤例5已知O

9、)A=2a,O)B=2b,O)C=a+3b,求向量BA與BC的夾角.錯解由已知得，BA=O)AO)B=2a2b,Be=O)CO)B=(a+3b)2b=a+b,顯然BA=2Bc，可見BA與BC共線，故BA與BC的夾角為0°錯因分析兩個向量共線分為同向共線與反向共線兩種情況，當(dāng)兩個向量同向共線時，其夾角為0°當(dāng)兩個向量反向共線時，其夾角為180°上面的解答沒有注意到這個問題，導(dǎo)致出錯.正解由已知得，E3A=(5AOfe=2a2b,BC=OCOfe=(a+3b)2b=a+b.顯然BA=2BC,可見BA與BC共線，且是反向共線，故BA與BC的夾角為180°.1設(shè)

10、ei,e2是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是（）C.ei+2e?和2ei+e?C.ei+2e?和2ei+e?B.3ei4e?和6ei8e?D.ei和ei+e?4.設(shè)向量m=?a3b,5.如圖所示，已知梯形設(shè)AD=a,AB=b,試用a、b為基底表示DC、BC、EF?.如圖，已知AB=a,AC=b,BD=3DC，用a,b表示AD，則AD等于（）B.1a+4b443.在直角三角形ABC中，/BAC=30°,則AC與BA的夾角等于（）A.30°B.60°C.1?0°D.150°n=4a?b,p=3a+?b,試用m,n表示p,

11、p=ABCD中，AB/DC，且AB=?CD,E、F分別是DC、AB的中點(diǎn),課時箱練一、選擇題1.下列關(guān)于基底的說法正確的是（）平面內(nèi)不共線的任意兩個向量都可作為一組基底； 基底中的向量可以是零向量；平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的.A.B.C.D.如圖所示，矩形ABCD中，BC=5ei,DC=3e2,則O）C等于（）B2(5ei-3e2)d*2(5e23ei)A.2(5ei+3e2)C2(3e25ei)如圖，已知E、F分別是矩形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)G,若AB=Aa11a4a+4b3 1C.a-b4 411B.3a+3bD.4a+

12、4b4.設(shè)向量e1和e是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則實(shí)數(shù)y的值為（）右3xe1+(10y)es=(4y-7)&+2xe,13若D點(diǎn)在三角形ABC的邊BC上，且CD=4DB=rAB+sAC，則3r+s的值為（）A.16512B.yc.8D'4、填空題已知&、e2不共線，a=ej+2e2,b=2ej+，要使a、b能作為平面內(nèi)的一組基底，則實(shí)數(shù)入的取值范圍為.5. 如圖，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)AO=（用a和b表示）.&若|a|=|b|=|ab|=r(r>0)，貝Ua與b的夾角為>>>9. 如圖，在平行四邊形ABCD中，E和F

13、分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若AC=4E+AF,HFHF其中入吐R，貝U?d-10. 設(shè)D,E分別是ABC的邊AB,BC上的點(diǎn)，AD=AB,BE=£bC,若DE=W+W)23(入，b為實(shí)數(shù))，貝y入+的值為三、解答題11判斷下列命題的正誤，并說明理由：(1) 若aei+be2=c®+de2(a、b、c、dR)，貝Ua=c,b=d;e1+e2、e1+e2、(2) 若e1和e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底，那么該平面內(nèi)的任一向量可以用e1e2表示出來.12. 如圖，平面內(nèi)有三個向量6A、OBoC，其中弘與覓的夾角為120°O)A與O)C的夾角為30°且|OA

14、|=|QB|=1,|QC|=2逅若OC=bOA+pOB(入卩R)，求H卩的值.13. 已知單位圓0上的兩點(diǎn)A、B及單位圓所在平面上的一點(diǎn)P,OA與0B不共線.(1)在厶OAB中，點(diǎn)P在AB上，且AP=2PB,若AP=rOB+sOA,求r+s的值;P滿足0P=mP滿足0P=m0A+OB(m為常數(shù))，若四邊形OABP為平行四邊形，求m的值.當(dāng)堂檢測答案答案B解析B中，t6ei8e?=2(34e2),(6ei8e2)/(3ei4e2),3ei4e2和6©i8e2不能作為基底.1. 答案B解析AD=AB+BD=AB+4BC=AB+4(AC-AB)=4AB+沁=4a+1b2. 答案D解析由向量

15、夾角定義知，AC、BA的夾角為150°4.答案7134m+百n解析設(shè)p=xm+yn，則3a+2b=x(2a3b)+y(4a2b)=(2x+4y)a+(3x2y)b,得2x+4y=3,3x2y=2得2x+4y=3,3x2y=27x一4,5.解連接FD,/DC/AB,AB=2CD,E、F分別是DC、AB的中點(diǎn),DC綊FB.四邊形DCBF為平行四邊形.依題意，DC=FB=2AB=KBC=FD=AD-AF=AD-?AB2b,1fEF=DFDE=FDDE=BC2DC=(a2b)x2b=ba.課時精練答案一、選擇題1. 答案C錯，正確.錯，正確.解析零向量與任意向量共線，故零向量不能作為基底中的

16、向量，故答案A->1->1->->1解析0C=2AC=2(BCBA)=2(5ei+3e2).2. 答案D解析易知CF=1cD,CE=2cB.設(shè)CG=力A,則由平行四邊形法則可得CG=XCB+CD)=2QE+2QF,由于E,G、F三點(diǎn)共線，則2入+2匸1,即匸1，從而CG=1CA,從而Ag=3Ac=3(a+b).3. 答案B解析因?yàn)?xe1+(10y)e2=(4y7)e1+2xe2,所以(3x4y+7)e1+(10y2x)e2=0,3x4y+7=0,x=3,又因?yàn)閑1和e是某一平面內(nèi)所有向量的一組基底，所以芒解得/故10y2x=0,ly=4,選B.4. 答案C解析/CD=

17、4DB=rAB+sAC,f4f4ffCD=§CB=5(AB-AC)=rAB+sAC,r=-545'-3r+12二、填空題5. 答案(4)U(4,+R)解析若能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與b不共線.a=ei+2e2,b=2ei+型，由kb即得入工4.6. 答案3a+3b解析設(shè)AO=2AC,>>>>1->->1->則AO=XAD+DC)=XAD+2AB)=；AD+?AB.因?yàn)镈,O,B三點(diǎn)共線，所以入+婦1，所以入=3,所以AO=|ad+3ab=|a+3b.0A&答案60°解析作OA=a,Ob=b,則BA=ab,/AOB

18、為a與b的夾角，由|a|=|b|=|a口知厶AOB為等邊三角形，則/AOB=60°.AnE9. 答案3解析設(shè)Ab=a,Ad=b,f1f1則AE=2a+b,AF=a+b,又TAC=a+b,f2f>24二AC=3(AE+AF),即=尸3，入+尸3.1io.答案2>1>2f1->2f->1->2f解析易知DE=2AB+3BC=?AB+§(ACAB)=-AB+勺AC.所以入+&=2.三、解答題解（1）錯，當(dāng)e1與e2共線時，結(jié)論不一定成立.正確，假設(shè)e1+e2與e1e2共線，則存在實(shí)數(shù)入使e1+e2=Xe1e2）,即（1/）e1=（1+證2.因?yàn)?入與1+入不同時為0,所以e1與e2共線，這與e1與e2不共線矛盾.所以e1+e2與e1e2不共線，因而它們可以作為基底，該平面內(nèi)的任一向量可以用e1+e2、e1e?表示出來.OAM11. 解如圖，以O(shè)C為對角線作？OMCN，使得M在直線OA上，N在直線OB上,則存在入p,使Om=?Oa,ON=QB,即Oc=OM+O