量子霍爾效應(yīng)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上量子霍爾效應(yīng) 童國(guó)平 浙江師范大學(xué)數(shù)理信息學(xué)院內(nèi)容提要 引言 經(jīng)典Hall效應(yīng) 電子的Landau能級(jí) 磁通量子化 整數(shù)量子Hall效應(yīng)(IQHE) 分?jǐn)?shù)量子Hall效應(yīng)(FQHE) 展 引言 (1985年第一次諾貝獎(jiǎng)) 1930年, Landau 證明量子力學(xué)下電子對(duì)磁化率有貢獻(xiàn), 同時(shí)也指出動(dòng)能的量子化導(dǎo)致磁化率隨磁場(chǎng)的倒數(shù)周期變化.引言 1975年S.Kawaji等首次測(cè)量了反型層的霍爾電導(dǎo), 1978年 Klaus von Klitzing 和Th. Englert 發(fā)現(xiàn)霍爾平臺(tái), 但直到1980年, 才注意到霍爾平臺(tái)的量子化單位 1985年, Klaus v

2、on Klitzing 獲諾貝爾物理獎(jiǎng). 引言1998年第二次諾貝爾獎(jiǎng) 1982年, 崔琦, H.L. Stomer 等發(fā)現(xiàn)具有分?jǐn)?shù)量子數(shù)的霍爾平臺(tái), 一年后, R.B.Laughlin給出了一個(gè)波函數(shù), 對(duì)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)給出了很好的解釋. 1998年諾貝爾物理獎(jiǎng)授予Horst Stomer, 崔琦和Robert Laughlin, 以表彰他們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)及對(duì)這一新的量子液體的深刻理解.量子霍爾效應(yīng)經(jīng)典霍爾效應(yīng) 1879年,由Johns Hopkins 大學(xué)的研究生Edwin Hall發(fā)現(xiàn), 其導(dǎo)師是Henry A. Rowland 教授.經(jīng)典霍爾效應(yīng)長(zhǎng)條形導(dǎo)體:電流密度:橫向電場(chǎng):

3、霍爾電阻率:電阻率與磁場(chǎng)成正比經(jīng)典霍爾效應(yīng) 根據(jù)德魯特電導(dǎo)理論, 金屬中的電子在被雜質(zhì)散射前的一段時(shí)間t內(nèi)在電場(chǎng)下加速, 散射后速度為零. 稱為弛豫時(shí)間. 電子的平均遷移速度為 電流密度為 若存在外加靜磁場(chǎng), 則電導(dǎo)率和電阻率都變?yōu)閺埩看颂?, 仍然成立.有磁場(chǎng)時(shí), 加入羅侖茲力, 平面電子運(yùn)動(dòng)的Langevin方程為 穩(wěn)態(tài)時(shí), , 假定磁場(chǎng)沿z方向, 在xy 平面內(nèi) 其中 (回旋頻率) (經(jīng)典電導(dǎo)率)由此易得電導(dǎo)率與電阻率的關(guān)系為如果 , 則當(dāng) 時(shí), 也為0. 另一方面 由此, 當(dāng) 時(shí), , 為霍爾電導(dǎo)電子在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的Landau能級(jí)由量子力學(xué), 電子處在磁場(chǎng)中的哈密頓量為這里選擇矢量

4、勢(shì) 波函數(shù)為(因?yàn)镠中不顯含x, z)根據(jù)薛定諤方程可求得電子的能量為或其中 n = 0, 1, 2, 3, 4, H的本征函數(shù)為在xy平面內(nèi)單位面積態(tài)之?dāng)?shù)目為 對(duì)于某一個(gè)Landau能級(jí), 在y方向的平衡位置數(shù)目也由 決定,故能級(jí)的簡(jiǎn)并度是 .磁通量子化選標(biāo)量函數(shù)僅依賴方位角作規(guī)范變換,并選取 若波函數(shù)描述延展態(tài),則方位角可以取任意值. 若滿足周期性,則單值性要求:其中 為磁通量子. 整數(shù)量子Hall效應(yīng)(IQHE) 二維電子系統(tǒng) 目前, 二維電子氣主要以下面三個(gè)方式實(shí)現(xiàn) 1, MOSFET(金屬-氧化物-半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)管) 硅中空穴向z方向運(yùn)動(dòng),在SiO2和Si 的表面出現(xiàn)負(fù)電荷.電子密度為

5、: MOSFET 示意圖 p-Si 空穴型MOSFET 的電子能級(jí)結(jié)構(gòu)2, 超晶格例: GaAs/AlGaAs 異質(zhì)結(jié)的電子能級(jí)結(jié)構(gòu)電子密度: 3, 液氦表面 液氦表面有一個(gè)超過(guò)1eV的勢(shì)壘,阻止電子透射到液氦中去,而鏡象電荷(+e)勢(shì)又吸引電子于表面.電子密度: 整數(shù)量子Hall效應(yīng)(IQHE) 實(shí)驗(yàn)條件 極低溫(1.5K) 強(qiáng)磁場(chǎng)(18T) 比較純的樣品 實(shí)驗(yàn)裝置示意圖實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的霍爾電阻 1. 霍爾電阻有臺(tái)階2. 臺(tái)階處縱向電阻為零.3. 臺(tái)階高度為 , i 為整數(shù), 對(duì)應(yīng)于占滿第 i 個(gè)Landau能級(jí),精度大約為5ppm. 由于雜質(zhì)的作用, Landau能級(jí)的態(tài)密度將展寬(如下圖).

6、 兩種狀態(tài): 擴(kuò)展態(tài) 和 局域態(tài) 只有擴(kuò)展態(tài)可以傳導(dǎo)霍爾電流(0度下), 因此若擴(kuò)展態(tài)的占據(jù)數(shù)不變, 則霍爾電流不變. 當(dāng)Fermi能級(jí)位于能隙中時(shí), 出現(xiàn)霍爾平臺(tái). Laughlin(1981) 和 Halperin(1982)基于規(guī)范變換證明, 只要第 i 個(gè)擴(kuò)展態(tài)占滿, 則霍爾電阻由下式精確給出霍爾平臺(tái)是怎樣產(chǎn)生的?無(wú)序引起的金屬絕緣體相變問(wèn)題 朗道的費(fèi)米液體理論，實(shí)質(zhì)上說(shuō)的是庫(kù)侖相互作用仍保持動(dòng)量空間中費(fèi)米面的存在，或說(shuō)金屬金屬無(wú)相變，莫特現(xiàn)象反映了在窄能帶的晶體場(chǎng)中，庫(kù)侖相互作用可能導(dǎo)致金屬絕緣體的相變。 那末在非晶體場(chǎng)中又怎樣呢？1958年安得森指出在一個(gè)強(qiáng)隨機(jī)場(chǎng)中電子的波函數(shù)會(huì)局

7、域化，即有金屬絕緣體的相變。這一工作在當(dāng)時(shí)并未引起注意，因?yàn)榻Y(jié)論似乎是在意料之中的。 從緊束縛近似提供的能帶圖像不難理解，在能帶中心附近的態(tài)應(yīng)該保持?jǐn)U展態(tài)，至少對(duì)不是非常強(qiáng)的無(wú)序系統(tǒng)來(lái)說(shuō)應(yīng)該成立；在能帶邊緣的那些態(tài)是局域態(tài)。 1968年莫特對(duì)這種從局域態(tài)到擴(kuò)展態(tài)的過(guò)渡，提出了遷移率邊緣的臨界能量Ec的概念。 莫特在1973年又進(jìn)一步提出Ec處有一個(gè)電導(dǎo)率的突變，即從局域態(tài)的min=0到擴(kuò)展態(tài)min0的突變. 1974年沙勒斯(Thouless)等提出了局域化問(wèn)題的標(biāo)度描述。 1979年阿伯拉姆(Abraharms)等在沙勒斯等工作基礎(chǔ)上提出了局域化標(biāo)度理論，結(jié)論是電導(dǎo)率應(yīng)該是連續(xù)變化而不是突變

8、的。以后就有一系列用場(chǎng)論的重整化群方法研究無(wú)序引起的金屬-絕緣體相變。結(jié)論是D=l，2維在無(wú)序的作用下應(yīng)該是絕緣體，無(wú)相變。而在D=3時(shí)有金屬-絕緣體相變。但在有磁場(chǎng)存在時(shí)，上述結(jié)論并不成立。負(fù)磁阻現(xiàn)象(D=2)表明，此時(shí)無(wú)序系統(tǒng)可能有擴(kuò)展態(tài)。事實(shí)上，量子霍爾效應(yīng)正是在研究電子的局域化問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)的。量子霍爾效應(yīng)表明，在有磁場(chǎng)時(shí)，2維無(wú)序系統(tǒng)應(yīng)有擴(kuò)展態(tài)，否則=0了。 怎么來(lái)解釋實(shí)驗(yàn)中 出現(xiàn)的平臺(tái)呢？(見上圖)。平臺(tái)的存在說(shuō)明有電子的態(tài)僅對(duì)電子密度n有貢獻(xiàn)，但對(duì) 無(wú)貢獻(xiàn)。這就表明有局域態(tài)，為解釋這一點(diǎn)必須考慮雜質(zhì)的存在。雜質(zhì)使朗道能級(jí)變寬而成了能帶，并且互相重疊起來(lái)。理論計(jì)算表明大部分電子狀態(tài)局域

9、化了，即被雜質(zhì)所束縛，只有那些處在能帶中心的狀態(tài)仍然是擴(kuò)展態(tài)。改變電子濃度就改變了費(fèi)米能級(jí)。當(dāng)費(fèi)米能級(jí)處在局域態(tài)區(qū)時(shí)霍爾電導(dǎo)取量子數(shù)值，而當(dāng)費(fèi)米能級(jí)跨過(guò)一個(gè)擴(kuò)展態(tài)時(shí)，霍爾電導(dǎo)率就改變一個(gè)量子數(shù)。 然而，考慮了局域態(tài)后，又為什么霍爾電導(dǎo)仍是量子化了的呢？對(duì)此，普拉格(Prange)認(rèn)為局域態(tài)的存在并不影響霍爾電流。當(dāng)電子費(fèi)米能級(jí)位于局域態(tài)時(shí)，擴(kuò)展態(tài)的電子會(huì)補(bǔ)償應(yīng)由局域態(tài)貢獻(xiàn)的霍爾電流。后來(lái)，勞甫林(Laughlin)又提出了規(guī)范不變的觀點(diǎn)。所謂規(guī)范不變實(shí)質(zhì)即電荷守恒。從這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)勞甫林的這一觀點(diǎn)是普拉格觀點(diǎn)的另一種更實(shí)質(zhì)化、一般化的說(shuō)法。然而作為物理的機(jī)理來(lái)說(shuō)，哈伯林(Halperin)的“邊界

10、流”觀點(diǎn)是十分重要的。邊界流是一種拓?fù)湓ぐl(fā)流。正是邊界流的存在，才得以使量子化在有局域態(tài)存在時(shí)仍成立。不過(guò)，對(duì)此也有人持反對(duì)意見。應(yīng)該說(shuō)，即使在今天，整數(shù)量子霍爾效應(yīng)(IQHE)的解釋還是不完全清楚的。 整數(shù)量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)是在MOS器件上作出的，這是一個(gè)2維有邊界的現(xiàn)象。所謂邊界，就是系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在有一定的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下考慮無(wú)序(雜質(zhì))問(wèn)題，這本身就是一個(gè)新問(wèn)題。在這一方面，一些形式上拓?fù)鋯?wèn)題的研究固然重要，但可能還只是問(wèn)題的第一步，真正的物理還在于考慮無(wú)序后的局域態(tài)、擴(kuò)展態(tài)和邊界流等問(wèn)題。 應(yīng)用:1. 1990年起, 國(guó)際電阻標(biāo)準(zhǔn)為: 精度2. 精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù) 精度 分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng) 整

11、數(shù)霍爾效應(yīng)發(fā)現(xiàn)才2年，緊接著崔琦(Taui，美籍華裔)、斯多麥(Stormer)和谷沙特(Gossard)又發(fā)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)(FQHE)，這就提出了更深層的問(wèn)題。他們?cè)贕aAsAlGaAs異質(zhì)結(jié)上觀察到，上述 的表示式中M為分?jǐn)?shù)，而不僅是整數(shù)。實(shí)驗(yàn)是在高度凈化，溫度更低(1K)，磁場(chǎng)更強(qiáng)(約15特斯拉)的條件下進(jìn)行的。此后的大量實(shí)驗(yàn)卻發(fā)現(xiàn)M=p/q，p是奇數(shù)或偶數(shù)，而對(duì)最低朗道能級(jí)，q總是奇數(shù)。1987年后又發(fā)現(xiàn)偶分母分?jǐn)?shù)態(tài)M=5/2。 如前所述整數(shù)量子霍爾效應(yīng)(IQHE)可以用單粒子近似很好地描述，其物理圖像已基本清楚。不過(guò)仍存在一些問(wèn)題值得深入研究。分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)(FQHE)必須是

12、高遷移率的樣品在更低的溫度下才能觀察到。分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)也是一個(gè)強(qiáng)磁場(chǎng)中的電子強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，因?yàn)橐忉尫謹(jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)必須考慮電子相互作用。這從理論上提出了一類全新的問(wèn)題。分?jǐn)?shù)效應(yīng) 崔琦, Stomer 等發(fā)現(xiàn), 當(dāng)Landau能級(jí)的占據(jù)數(shù)這里 p, m 為整數(shù), m為奇數(shù)時(shí), 有霍爾平臺(tái).分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)不可能在單粒子圖象下解釋, 引入相互作用在超強(qiáng)磁場(chǎng)下, 電子位于第一Landau能級(jí). 其單粒子波函數(shù)為這里 z =x+iy. 這一狀態(tài)對(duì)應(yīng)于電子在一由下式給出的面積內(nèi)運(yùn)動(dòng). Laughlin 建議了如下形式的波函數(shù)這一狀態(tài)的占據(jù)數(shù)為 Laughlin 計(jì)算了m=3, m=5時(shí)這一波函數(shù)的能量

13、, 發(fā)現(xiàn)比對(duì)應(yīng)密度下CDW的能量要低. 這一狀態(tài)稱為分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài), 或Laughlin態(tài), 當(dāng)密度改變從而偏離占據(jù)數(shù)1/3, 1/5時(shí), 對(duì)應(yīng)于準(zhǔn)粒子激發(fā), 激發(fā)譜具有能隙, 準(zhǔn)粒子的電荷為分?jǐn)?shù)(1/3, 1/5?). 因此Laughlin態(tài)是一個(gè)不可壓縮的量子液體狀態(tài). FQHE 態(tài). 綠球代表被暫時(shí)凍結(jié)的電子, 藍(lán)色為代表性電子的電荷密度, 黑色箭頭代表磁通線. 同 IQHE一樣, Fermi 能級(jí)處于能隙位置時(shí), 出現(xiàn)FQHE 平臺(tái). 不同之處在于IHQE的能隙來(lái)源于單粒子態(tài)在強(qiáng)磁場(chǎng)中的量子化, 而FQHE的能隙來(lái)源于多體關(guān)聯(lián)效應(yīng). Haldane 和 Halperin, 利用級(jí)聯(lián)模型

14、, 指出Laughlin 態(tài)的準(zhǔn)粒子和準(zhǔn)空穴激發(fā)將凝聚為高階分?jǐn)?shù)態(tài), 如從 1/3 態(tài)出發(fā), 加入準(zhǔn)粒子導(dǎo)致 2/5態(tài), 加入空穴導(dǎo)致2/7態(tài). 準(zhǔn)粒子由這些態(tài)激發(fā)出來(lái)并凝聚為下一級(jí)的態(tài)? . P 為偶數(shù), 對(duì)應(yīng)于 粒子型元激發(fā)對(duì)應(yīng)于 空穴型元激發(fā)級(jí)聯(lián)模型的特點(diǎn): 1, 無(wú)法解釋那一個(gè)子態(tài)是較強(qiáng)的態(tài). 2, 幾次級(jí)聯(lián)后, 準(zhǔn)粒子的數(shù)目將超過(guò)電子的數(shù)目.3, 系統(tǒng)在分?jǐn)?shù)占據(jù)數(shù)之間沒有定義.4, 準(zhǔn)粒子具有分?jǐn)?shù)電荷.復(fù)合費(fèi)米子模型 (CF) Jain 一個(gè)復(fù)合費(fèi)米子由一個(gè)電子和偶數(shù)個(gè)磁通線構(gòu)成. 復(fù)合費(fèi)米子包含了所有的多體相互作用. FQHE是CF在一個(gè)有效磁場(chǎng)下的IQHE. CF 具有整數(shù)電荷.

15、 CF 模型可以給出所有觀察到的分?jǐn)?shù)態(tài), 包括這些態(tài)的相對(duì)強(qiáng)度及當(dāng)減小溫度, 提高樣品質(zhì)量時(shí)出現(xiàn)的次序. CF 指出: v=1/2 態(tài), 對(duì)應(yīng)的有效磁場(chǎng)為0, 是具有金屬特征的特殊狀態(tài). 利用一維結(jié)觀察分?jǐn)?shù)電荷 (Kane, Fisher )C.L. Kane and M.P.A. Fisher, 揂 Shot in the Arm for Fractional Charge,?Nature 389, 119 (1997). 利用邊緣態(tài)研究Luttinger液體, (文小剛, X. G. Wen)C.L. Kane and M.P.A. Fisher, Transport in a Single Channel Luttinger Liquid, Phys. Rev. Lett- 68, 1