第三章(第3節(jié))單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動

1、任意激勵任意激勵列車在起動時各車廂掛鉤之間的沖擊力；列車在起動時各車廂掛鉤之間的沖擊力；火炮在發(fā)射時作用于支承結(jié)構(gòu)的反座力；火炮在發(fā)射時作用于支承結(jié)構(gòu)的反座力；地震波或爆炸形成的沖擊波等對建筑物的作用；地震波或爆炸形成的沖擊波等對建筑物的作用； 在許多實際問題中，在許多實際問題中，激勵并非是周期性函數(shù)，而是激勵并非是周期性函數(shù)，而是任意的時間函數(shù)，任意的時間函數(shù)，或者是在極短時間間隔內(nèi)的沖擊作用?；蛘呤窃跇O短時間間隔內(nèi)的沖擊作用。精密儀表在運輸過程中包裝箱速度的突變。精密儀表在運輸過程中包裝箱速度的突變。 系統(tǒng)在任意激勵作用下的振動狀態(tài)，包括激勵作用停系統(tǒng)在任意激勵作用下的振動狀態(tài)，包括激勵作

2、用停止后的自由振動，稱為止后的自由振動，稱為任意激勵的響應(yīng)任意激勵的響應(yīng)。 簡諧激勵是周期激勵的一種特例；周期激勵是任意激簡諧激勵是周期激勵的一種特例；周期激勵是任意激勵的一種特例。勵的一種特例。求解系統(tǒng)任意激勵響應(yīng)的方法求解系統(tǒng)任意激勵響應(yīng)的方法 該方法是用傅里葉積分來表示激勵，它是由傅里葉該方法是用傅里葉積分來表示激勵，它是由傅里葉級數(shù)通過包括令周期趨近于無窮大的極限過程來得到的。級數(shù)通過包括令周期趨近于無窮大的極限過程來得到的。實質(zhì)上激勵不再是周期性的。實質(zhì)上激勵不再是周期性的。 該方法是將激勵視為持續(xù)時間非常短的脈沖的疊加，該方法是將激勵視為持續(xù)時間非常短的脈沖的疊加，引用卷積積分的方

3、法，對具有任何非齊次項的微分方程，引用卷積積分的方法，對具有任何非齊次項的微分方程，都可以用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式把解表示出來，而且所得到的都可以用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式把解表示出來，而且所得到的解除代表強(qiáng)迫振動外，還包括伴隨發(fā)生的自由振動。解除代表強(qiáng)迫振動外，還包括伴隨發(fā)生的自由振動。傅里葉積分法傅里葉積分法卷積積分法卷積積分法1 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)單位脈沖單位脈沖 一單位脈沖輸入，具有零初始條件的系統(tǒng)響應(yīng)，一單位脈沖輸入，具有零初始條件的系統(tǒng)響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)。 寬度寬度T0，高度，高度1/T0的矩形脈沖，如圖的矩形脈沖，如圖3.3-1(a)所示。所示。這個矩形脈沖的面積為這個矩形脈

4、沖的面積為1。 為了得到單位脈沖，使脈沖寬度為了得到單位脈沖，使脈沖寬度T0接近于零，而保接近于零，而保持面積為持面積為1。圖 3.3-11 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)單位脈沖單位脈沖在極限情況下，單位脈沖的數(shù)學(xué)定義為在極限情況下，單位脈沖的數(shù)學(xué)定義為 這個脈沖發(fā)生在這個脈沖發(fā)生在t=0處，如圖處，如圖3.3-1(b)所示。如果單位脈沖發(fā)生在所示。如果單位脈沖發(fā)生在t=a處，處，則它可由下式定義則它可由下式定義 1d)()00)(tttt（(3.3-1) 1d)()0)(tatatat（(3.3-2)注意，注意，(t-a)是一個沿著時間軸的正向移動了是一個沿著時間軸的正向移動了a時間的單時間的單位脈沖。

5、位脈沖。 圖 3.3-11 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)單位脈沖單位脈沖 數(shù)學(xué)上，單位脈沖必須數(shù)學(xué)上，單位脈沖必須具有零脈沖寬度、單位面具有零脈沖寬度、單位面積和無限的高度積和無限的高度。這樣的脈沖模型不可能在現(xiàn)實應(yīng)用中。這樣的脈沖模型不可能在現(xiàn)實應(yīng)用中實現(xiàn)。實現(xiàn)。 在具體系統(tǒng)的脈沖試驗中，若激勵的持續(xù)時間同在具體系統(tǒng)的脈沖試驗中，若激勵的持續(xù)時間同系統(tǒng)的固有周期系統(tǒng)的固有周期(T=1/f )相比時非常的短，則激勵就可相比時非常的短，則激勵就可以考慮為一個脈沖。以考慮為一個脈沖。 函數(shù)的單位為函數(shù)的單位為s-1，在其它方面的情況，在其它方面的情況，函數(shù)將有函數(shù)將有不同的量綱。不同的量綱。 具有上述特性的任

6、何函數(shù)具有上述特性的任何函數(shù)( (并不一定是矩形脈沖并不一定是矩形脈沖) )，都可用來作為一個脈沖，而且稱為都可用來作為一個脈沖，而且稱為函數(shù)。函數(shù)。1 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng) 如果在如果在t=0與與t=a處分別作用有瞬時沖量處分別作用有瞬時沖量 ，則對應(yīng)，則對應(yīng)的的脈沖力脈沖力可方便地寫成可方便地寫成F式中式中 的單位為的單位為Ns。F 單自由度阻尼系統(tǒng)對脈沖力單自由度阻尼系統(tǒng)對脈沖力 的響應(yīng)，的響應(yīng)，系統(tǒng)振動微分方程為系統(tǒng)振動微分方程為 )()(tFtF假定系統(tǒng)在作用脈沖力假定系統(tǒng)在作用脈沖力F(t)之前處于靜止，即之前處于靜止，即 )()0()(atatFttFtF(3.3-3

7、)(tFkxxcxm (3.3-4)0)0()0(xx(3.3-5)由于由于F(t)作用在作用在t=0處，對于處，對于t0+，系統(tǒng)不再受脈沖力的作系統(tǒng)不再受脈沖力的作用，但其影響依然存在。用，但其影響依然存在。1 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng) 把求解單自由度阻尼系統(tǒng)對脈沖力把求解單自由度阻尼系統(tǒng)對脈沖力F(t)的響應(yīng)問題的響應(yīng)問題變換為系統(tǒng)對于零初始條件的響應(yīng)問題變換為系統(tǒng)對于零初始條件的響應(yīng)問題，將變成將變成t=0+處處的初始條件引起的自由振動。的初始條件引起的自由振動。 為了找出為了找出t=0+的初始條件，對方程的初始條件，對方程(3.3-4)在區(qū)間在區(qū)間0-t 0+上積分兩次，有上積

8、分兩次，有 000000ddd)0()0(ttkxtcxxxmtttFdd)(0000 (3.3-6)因為因為常量FttFttFttFd)(d)(d)( 0 0 (3.3-7)則方程則方程(3.3-6)中中的左端第二項、第三項、右端項的積分的左端第二項、第三項、右端項的積分值均為無限小量，可以略去不計。值均為無限小量，可以略去不計。1 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)根據(jù)式根據(jù)式(3.3-6),考慮到考慮到x(0-)=0，則有，則有也就是說，在脈沖力也就是說，在脈沖力 作用的極短時間內(nèi)，質(zhì)量作用的極短時間內(nèi)，質(zhì)量m還還來不及發(fā)生位移來不及發(fā)生位移。)(tFx(0+)= 0(3.3-8) 對方程

9、對方程(3.3-4)在區(qū)間在區(qū)間0-t 0+上積分一次，有上積分一次，有ttFtkxxxcxxmd)(d)0()0()0()0(0000_(3.3-9)同理，得同理，得mFx)0(3.3-10)若系統(tǒng)在脈沖力作用之前靜止，脈沖力使速度產(chǎn)生瞬時若系統(tǒng)在脈沖力作用之前靜止，脈沖力使速度產(chǎn)生瞬時變化，可以認(rèn)為在變化，可以認(rèn)為在 t=0 時作用的脈沖力等效于時作用的脈沖力等效于初始速度初始速度 mFv01 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng) 方程方程(3.3-4)等價于初始速度引起的自由振動，即等價于初始速度引起的自由振動，即mFxxkxxcxm)0(, 0)0(0 (3.3-11)其解為其解為)0(

10、0)0( 1 , sine)(2tttmFtxnddtdn(3.3-12)令令 ，則系統(tǒng)受單位脈沖力，則系統(tǒng)受單位脈沖力 F(t)=(t) 的的作用，其響作用，其響應(yīng)稱為應(yīng)稱為脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)。1F1 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)為脈沖響應(yīng)為)0( 0)0(sin1)(tttemthdtdn(3.3-13)2 卷積積分卷積積分 利用脈沖響應(yīng)，可以計算對任意激勵函數(shù)利用脈沖響應(yīng)，可以計算對任意激勵函數(shù)F(t)的響的響應(yīng)，把應(yīng)，把F(t)視為一系列幅值不等的脈沖，用脈沖序列近視為一系列幅值不等的脈沖，用脈沖序列近似地代替激勵似地代替激勵F(t )。 如圖如圖3.3-2所示，在任意時刻所

11、示，在任意時刻t=處，相應(yīng)的時間增量為處，相應(yīng)的時間增量為，由，由一個大小為一個大小為F()的脈沖，相應(yīng)的脈沖，相應(yīng)的力可以用數(shù)學(xué)表示為的力可以用數(shù)學(xué)表示為 tF因為在因為在t= 處對脈沖響應(yīng)為處對脈沖響應(yīng)為h(t-)，所以此脈沖的響應(yīng)為其所以此脈沖的響應(yīng)為其單位脈沖響應(yīng)和脈沖強(qiáng)度的乘積，即單位脈沖響應(yīng)和脈沖強(qiáng)度的乘積，即 thF圖 3.3-22 卷積積分卷積積分)()()(thFtx(3.3-14) 通過疊加，求出序列中每一脈沖引起的響應(yīng)的總和通過疊加，求出序列中每一脈沖引起的響應(yīng)的總和為為令令0，并取極限，上式表示為積分形式，并取極限，上式表示為積分形式tthFtx 0 d)()()(3.

12、3-15)上式稱為上式稱為卷積積分卷積積分，又稱為，又稱為杜哈梅杜哈梅(Duhamel)積分積分，它，它將響應(yīng)表示成脈沖響應(yīng)的疊加。將響應(yīng)表示成脈沖響應(yīng)的疊加。tdtdteFmtxn 0 )(dsin)(1)(3.3-16)代入代入h(t-)的表達(dá)的表達(dá)式式(3.3-13)，得到，得到2 卷積積分卷積積分 若在若在t=0時，任意激勵時，任意激勵F(t)作用的瞬時，系統(tǒng)的初始作用的瞬時，系統(tǒng)的初始位移和初始速度為位移和初始速度為 000 ,0 , 0 xxxxt則系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵和初始條件引起的響應(yīng)的疊加，則系統(tǒng)的響應(yīng)是由激勵和初始條件引起的響應(yīng)的疊加，即即tdtdddndtteFmtxxtx

13、etxnn 0 )(000d)(sin)(1sincos)(3.3-17)它表示它表示單自由度有阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)對任意初始條件單自由度有阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)對任意初始條件和任意激勵的響應(yīng)。和任意激勵的響應(yīng)。2 卷積積分卷積積分 令令t-=u，則，則-d=du，此外考慮，此外考慮(3.3-15)中的積分限中的積分限界，當(dāng)界，當(dāng)=0時時，u=t，當(dāng)，當(dāng)=t時時, ,u=0，將其代入式，將其代入式(3.3-15)，得到得到上式為上式為卷積積分的另一種表達(dá)形式卷積積分的另一種表達(dá)形式。 式式(3.3-15)中的中的 和式和式(3.3-18)中的中的u只是積分變量，只是積分變量，可見卷積積分對于激勵可見

14、卷積積分對于激勵F(t)和脈沖響應(yīng)和脈沖響應(yīng)h(t)是對稱的，即是對稱的，即tuuhutFtx 0 d)()()(3.3-18)tthtFthFtx 0 0 d)()(d)()()(3.3-19) 卷積積分在線性系統(tǒng)研究中是一個有力的工具。卷積積分在線性系統(tǒng)研究中是一個有力的工具。雖雖然然Duhamel積分積分不便于筆算，但是用電子計算機(jī)就可容不便于筆算，但是用電子計算機(jī)就可容易地進(jìn)行計算。易地進(jìn)行計算。 2 卷積積分卷積積分例題（例題（3.3-1） 例例3.3-1 設(shè)一單自由度無阻尼系統(tǒng)受到的簡諧激勵設(shè)一單自由度無阻尼系統(tǒng)受到的簡諧激勵如下：如下：)0( 0)0(sin)(0tttFtF試用

15、卷積積分計算其響應(yīng)。試用卷積積分計算其響應(yīng)。解：解：在方程在方程(3.3-16)中，令中，令=0，d=n，則則tnntFmtx 0 d)(sin)(1)(tnntmF 0 0d)(sinsinttkFnnnsinsin11202 卷積積分卷積積分例題（例題（3.3-1）因為當(dāng)因為當(dāng)t0時沒有激勵，所以其響應(yīng)應(yīng)該寫成下面的形時沒有激勵，所以其響應(yīng)應(yīng)該寫成下面的形式式)0( 0)0( sinsin)/(1)(20ttttkFtxnnn上式右端第一項代表強(qiáng)迫振動，它是按激勵頻率上式右端第一項代表強(qiáng)迫振動，它是按激勵頻率進(jìn)行進(jìn)行的穩(wěn)態(tài)運動，即使振動系統(tǒng)有阻尼也并不衰減；第二項的穩(wěn)態(tài)運動，即使振動系統(tǒng)有

16、阻尼也并不衰減；第二項是按固有頻率是按固有頻率n進(jìn)行的自由振動，只要振動有極微小進(jìn)行的自由振動，只要振動有極微小的阻尼就會迅速衰減，所以是瞬態(tài)振動。的阻尼就會迅速衰減，所以是瞬態(tài)振動。 應(yīng)用卷積積分，則穩(wěn)態(tài)振動與瞬態(tài)振動同時得出。應(yīng)用卷積積分，則穩(wěn)態(tài)振動與瞬態(tài)振動同時得出。 2 卷積積分卷積積分例題（例題（3.3-2） 例例3.3-2 試確定單自由度試確定單自由度無阻尼系統(tǒng)在零初始條件下對無阻尼系統(tǒng)在零初始條件下對圖圖3.3-3中激勵函數(shù)的響應(yīng)。中激勵函數(shù)的響應(yīng)。解：解：由圖可得激勵函數(shù)為由圖可得激勵函數(shù)為 )()0 ( )(211221111tttttttFttttFtF當(dāng)當(dāng)0tt1時，時，

17、 時，由方程時，由方程(3.3-17)得到得到11)(ttFtF111 0 11sind)(sin)(ttttkFttmFtxnntnn圖 3.3-32 卷積積分卷積積分例題（例題（3.3-2）1221)(ttttFtF當(dāng)當(dāng)t1tt2時，有時，有1122121121sin)()(sin)()(sinttttttttttttkFnnnnnn1 0 11d)(sin)(tnnttmFtx21 1221d)(sinttnnttttmF3 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng) 如圖如圖3.3-4所示的單所示的單位階躍函數(shù)在數(shù)學(xué)上可位階躍函數(shù)在數(shù)學(xué)上可以定義為以定義為單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)是無量綱的函數(shù)。是無量綱

18、的函數(shù)。顯然，函數(shù)在顯然，函數(shù)在t=a處有一處有一突變，其值從突變，其值從0跳到跳到1。 )(0)(1)(atatatu(3.3-20) 如果突變發(fā)生于如果突變發(fā)生于t=0處，那么這一函數(shù)可以簡單地寫處，那么這一函數(shù)可以簡單地寫成成u(t)，其在數(shù)學(xué)上可以定義為其在數(shù)學(xué)上可以定義為)0(0)0(1)(tttu圖 3.3-43 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù) 當(dāng)一個任意函數(shù)當(dāng)一個任意函數(shù)F(t)與單位階躍函數(shù)與單位階躍函數(shù)u(t-a)相乘時，相乘時，F(xiàn)(t)u(t-a)相對于相對于ta的部分則的部分則不受影響，即不受影響，即)( 0)()()()(atattFatutF(3.3

19、-21) 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)u(t-a)與脈沖函數(shù)與脈沖函數(shù)(t-a)之間存在著密之間存在著密切的積分關(guān)系，即切的積分關(guān)系，即taatu d)()(3.3-22)反過來，則反過來，則(t-a)可以視為可以視為u(t-a)對時間導(dǎo)數(shù)，即對時間導(dǎo)數(shù)，即tatuatd)(d)(3.3-23)3 單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng) 當(dāng)初始條件為零時，系統(tǒng)對在當(dāng)初始條件為零時，系統(tǒng)對在t=0處所作用的單位處所作用的單位階躍函數(shù)階躍函數(shù)u(t)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)，用，用g(t)表示。表示。 將將F()=u()代入卷積積分，可得單位階躍響應(yīng)，有代入卷積積分，可得單位階躍響應(yīng)，有tthutg 0 d)()()(d)(sin1 0 )(temdttdn(3.3-24)考慮到考慮到)(i)(ieei 21)(sinttdddt(3.3-25)因而積分因而積分(3.3-24)可以改寫成可以改寫成令令t-=，d=-d，并互換積分的限界后，積分，并互換積分的限界后，積分(3.3-26)成為成為ttttdddnemtg 0 )(i)(i)(deei 21)(3.3-26)tdndndtddndnddnmmtg0)i()i( 0 ii)i(e