數(shù)值計(jì)算方法期末復(fù)習(xí)答案終結(jié)版

1、名詞解釋*,*、*1 .誤差：設(shè)X為準(zhǔn)確值X的一個(gè)近似值，稱e(x)=x-x為近似值X的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。2 .有效數(shù)字：有效數(shù)字是近似值的一種表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其*精確程度。如果近似值x的誤差限是,父化"，則稱x準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后n位,并從第一個(gè)不是零的數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均稱為有效數(shù)字。3 .算法：是指解題方案的準(zhǔn)確而完整的描述，是一系列解決問(wèn)題的清晰指令，算法代表著用系統(tǒng)的方法描述解決問(wèn)題的策略機(jī)制。計(jì)算一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要預(yù)先設(shè)計(jì)好由已知數(shù)據(jù)計(jì)算問(wèn)題結(jié)果的運(yùn)算順序，這就是算法。4 .向量范數(shù)：設(shè)對(duì)任意向量XwRn,按一定的規(guī)則有一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為iix

2、ii,若iixii滿足(1) |，仁0,且|X|=0當(dāng)且僅當(dāng)X=0；(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,都有11ctX|=|5|X|；(3)對(duì)任意X,穴Rn,都有iix+y同xii+iioi則稱|X|為向量X的范數(shù)。5.插值法：給出函數(shù)f(x)的一些樣點(diǎn)值，選定一個(gè)便于計(jì)算的函數(shù)形式，如多項(xiàng)式、分段線性函數(shù)及三角多項(xiàng)式等，要求它通過(guò)已知樣點(diǎn)，由此確定函數(shù)？(x)作為f(x)的近似的方法。*.*6相對(duì)誤差：設(shè)x為準(zhǔn)確值x的一個(gè)近似值，稱絕對(duì)誤差與準(zhǔn)確值之比為近似值x的相對(duì)誤，*、差，記為er(x),即er(x)=eXx7.矩陣范數(shù)：對(duì)任意n階方陣A,按一定的規(guī)則有一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為|A|。若|A|滿足(1)|

3、A|戶0,且|A"=0當(dāng)且僅當(dāng)A=0;(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,都有11aA仔a|A|;(3)對(duì)任意兩個(gè)n階方陣A,B,都有|A+B|-A|+|B|;(4)|AB|二|A|B|稱|A|為矩陣A的范數(shù)。8.算子范數(shù)：設(shè)A為n階方陣,|*|是Rn中的向量范數(shù)，則11A|=11Ax|max種矩陣范數(shù)，稱其為由向量范數(shù)ii,ii誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)，也稱算子范數(shù)9 .矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性：對(duì)任意n維向量X,都有l(wèi)|Ax|.|A|x|這一性質(zhì)稱為矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性。10 .1-范數(shù)，-范數(shù)和2-范數(shù):n(1) 1-范數(shù)|Xl|*工Xi|i1(2)8一范數(shù)|Xbmax|)一1七也(3) 2-

4、范數(shù)|x2*JI+X2”士京2二、簡(jiǎn)答題1 .高斯消元法的思想是：先逐次消去變量，將方程組化成同解的上三角形方程組，此過(guò)程稱為消元過(guò)程。然后按方程相反順序求解上三角形方程組，得到原方程組的解，此過(guò)程稱為回代過(guò)程。2,迭代法的基本思想是：構(gòu)造一審收斂到解的序列，即建立一種從已有近似解計(jì)算新的近似解得規(guī)則，由不同的計(jì)算規(guī)則得到不同的迭代法。3,雅可比(Jacobi)迭代法的計(jì)算過(guò)程(算法)：(1)輸入A=(aj),bb,，0),維數(shù)n,X(0)=(才0)旬0),，(0),名，最大容許迭代次數(shù)No(2)置k=1n(3)對(duì)i=1,2,，nx=(b£a父°)a口j1j-i：(4)若|

5、x-x卜巴輸出x停機(jī)；否則轉(zhuǎn)5。(5)k<N,置k+1nk,x=為(i=1,2,，n),轉(zhuǎn)3,否則，輸出失敗信息，停機(jī)。4,插值多項(xiàng)式的誤差估計(jì)：(P102)f(n1)(由R(x)nd/n1(x);f(n1)(j(n1)!(x-x0)(xx1)(x-xn)當(dāng)x=x(i=0,1,，n)時(shí)，上式自然成立，因此，上式對(duì)a,b上的任意點(diǎn)都成立，這就叫插值多項(xiàng)式的誤差估計(jì)。5,反幕法的基本思想：設(shè)A為階非奇異矩陣，兒，U為A的特征值和相應(yīng)的特征向量，1則A的特征值是A的特征值的倒數(shù)，而相應(yīng)的特征向量不變，即1111Au=u九因此，若對(duì)矩陣A用幕法，即可計(jì)算出A的按模最大的特征值，其倒數(shù)恰為A的按模

6、最小的特征值。6 .雅可比(Jacobi)迭代法是：選取初始向量X(0)代入迭代公式Xik+1LBxk(+)g(k=0,12,產(chǎn)生向量序列X的,由上述計(jì)算過(guò)程所給出的迭代法。7 .數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問(wèn)題是：(1)避免兩個(gè)相近的數(shù)相減(2)避免大數(shù)“吃”小數(shù)的現(xiàn)象(3)避免除數(shù)的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值(4)要簡(jiǎn)化計(jì)算，減少運(yùn)算次數(shù)，提高效率(5)選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法8.高斯消去法的計(jì)算量：由消去法步驟知，在進(jìn)行第k次消元時(shí)，需作除法n-k次，乘法(nk)(n-k+1)次，故消元過(guò)程中乘除運(yùn)算總量為nJnJ乘法次數(shù)工(n-k)(n-k+1)=n(n2-1)除法次數(shù)£(n-k)=-(

7、n-1)二3''2''在回代過(guò)程中，計(jì)算xk需要(n-k十1)次乘除法，整個(gè)回代過(guò)程需要乘除運(yùn)算的總量為n工(n-k+1)=n(n+1),所以，高斯消去法的乘除總運(yùn)算量為kJ2N=n(n2-1)口(n-1)口(n1尸1n2-322339.迭代法的收斂條件：對(duì)任意初始向量X(0)和右端項(xiàng)g,由迭代格式x(k1)=Mx(k)g(k=0,1,2,產(chǎn)生的向量序列x(k)收斂的充要條件是P(M)<1。10.迭代法的誤差估計(jì)：設(shè)有迭代格式x(kHt)=Mx(k)十g,若11M|<1,寸)收斂于x*,則有K誤差估計(jì)式|x(k)-x*|<|M|x(1)-x(0

8、)|o1-|M|計(jì)算題1.假定運(yùn)算中數(shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)，試求*x=1.21父3.659.81的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，計(jì)算結(jié)果有幾位有效數(shù)字?解:e(xi_X2)=e(xi),e(x2)由式k、xic/、上x(chóng)2er(x1±x2)=er(x1)士x土x2xI土x2ere(xix2)：x2e(xi)xe(x2)陽(yáng)/、和«得(x2)er(xx2):e(xi)0(x2)*e(x)=3.65e(i.2i)i.2ie(3.65)-e(9.8i)因?yàn)槭街袛?shù)據(jù)都精確到兩位小數(shù)，即其誤差限均為1Mi0/,故有2*|e(x)|<3.65|e(i.2i)|i.2i|e(3.65)|e(9

9、.8i)|i2<(3.65i.2ii)-i0=0.0293*|e(x)|0.0293|er(x)|=2*川一=0.0054|x|5.3935一、*.所以，x的絕對(duì)誤差限為0.0293,相對(duì)誤差限為0.0054,計(jì)算結(jié)果有兩位有效數(shù)字22.求矩陣A=I42377的三角分解。45uij=aiji解：由式<Uij=aj-工likUkjkmjlij=(aij_£likukj)/ujjlk3(j=1,2,n)(i=2；,n,j=i,n)(j=1,2；,n-1,i=j1；,n)，U12=ai2=2,ui3=ai3-342,l21-a21/U11一二一2l3i-a3i/Uii一一122

10、U22=a22一l2iUi2-7-22=3,U23=a23一l2iUi3=7-23=1l32=(a32l3iUi2)/U22=4-(-1)2/3=2U33=a33-(l3iU3l32U23)=5(-1)321=6所以100223A=210031：-1211_0062-13.用幕法(k=2)求矩陣A=1020-1x=(0，0，0)T.(P77)解：y(0)=x(0)=(0，0，1)T01I的按模最大的特征值和相應(yīng)的特征向量。取2x(1)=Ay=(0，-1,2)丁，,二2(1)xa=(0，-0.5,1)Tx(2)=Ay=(0.5，-2,2.5)T,a=2.54.已知函數(shù)yTnx,x的已是10,11

11、,12,13,14對(duì)應(yīng)的y=lnx的值分別是2.3026,2.3979,2.4849,2.5649,2.6391用Lagrange線性插值求ln11.5的近似值。解：取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)a=11,x1=12,插值基函數(shù)為l0(x)=-(x-12)l1(x)=x-11%一xx1-xg由式中1(x)=yO2二瓦+y12二顯得L1(x)-2.3979(x-12)2.4849(x-11)將x=11.5代入，即得ln11.5L(11.5)=2.39790.52.48490.5=2.4414f(n1)()按式R(x)=m(x)(a，b得(n1)!“(Inx)R1(x)(x-11)(x-12)2!因?yàn)?Inx)&qu

12、ot;=二,亡在11和12之間，故x"1.1|(lnx)|=-2=0.008264511于是_.1_|R,(11.5)|0.00826450.50.5=1.033061010x1-x2-2x3=725.用Jacobi迭代法(k=1)求解線性方程組，x1+10x2-2x3=83.-Xi-x2.5x3=42解：由Jacobi迭代法得計(jì)算公式x(k41)=-£ajxy+a得aiij1aiijdx產(chǎn)=0.1x2k)+0.2x3k)+7.2x2k1)=0.1x(k)0.2x3k)8.3x3k%=0.2x(k)+0.2x2k)+8.4取x(0)=(0,0,0)T,代入上式得x(1)=7

13、.2x21)=8.3x31)=8.4x144=0.18.30.28.47.2=9.71x22)-0.17.20.28.48.3=10.70x32)=0.27.20.28.38.4=11.506.設(shè)有方程組Ax=b,其中A=1121212112112121,討論用Jacobi迭代法求解的收斂性。故A為對(duì)稱正定矩陣，A不是弱對(duì)角Jacobi迭代法的迭代矩陣為解：因?yàn)锳為對(duì)稱矩陣，且其各階主子式皆大于零,占優(yōu)陣，故不能判別Jacobi迭代的收斂性。易算出一0-1241-DA=-02_1_1:.22其特征方程121、33、=h+九12=(，)(，1)=02有根兀=石=1，%=-1,因而P(B)=1。由

14、向量序列x(k)收斂的充要條件是P(B)<1,故2Jacobi迭代法不收斂。7.用反幕法(k=1)求矩陣x(0)=(0,0,0)T200一-A0,-1接近2.93的特征值，并求相應(yīng)的特征向量，取2解：對(duì)A-2.93I作三角分解得A-2.93I=J-0.930-1-0.93-10-1-0.93ir00.93-0.930.9310-0.93+0.93一8.已知函數(shù)y=lnxx的值是10,11,12,13,14對(duì)應(yīng)的y=1nx的值分別是2.3026,2.3979,2.4849,2.5649,2.6391用Lagrange拋物線插值求ln11.5的近似值。解：取=11,x1=12,x2=13,插

15、值多項(xiàng)式為(x-12)(x-13)(x-11)(x-13)(x-11)(x-12)L2(x)=2.39792.48492.5649(11-12)(11-13)(12-11)(12-13)(13-11)(13-12)=1.19895(x-12)(x-13)-2.4849(x-11)(x-13)1.28245(x-11)(x-12)所以ln11.5：L2(11.5)=1.19895(-0.5)(-1.5)-2.48490.5(-1.5)1.282450.5(-0.5)=2.442275因?yàn)?lnx)"'=今，于是x"'.2一_21max3|(lnx)償彳=0.1

16、50310因此用拋物線插值法計(jì)算的誤差為|(lnx)|1R2(11.5)111(11.5一11)(11.5一12)(11.5一13)11-，八八，一2-，八八八八八，八50.1503100.50.51.5=9.393810一6查表可得ln11.5=2.442347三、證明題1.若x的近似值x=Ww1a2烝父10mg#0)有n位有效數(shù)字，則，X10中為其相對(duì)誤差2a1限。反之，若X*的相對(duì)誤差限與滿足/<1乂10則X"至少具有n位有效數(shù)字2(詡1)證明：由式|x-x*|Jx10m得2*1m_n|e(x)|=|x-x|<-10從而有1 m,n10|e(x*)|斗|一1101x

17、0.a1a2an102al所以工乂10*是x*的相對(duì)誤差限2 al*、若辭w父103*,由式|e.(x*)目絲口怪與得2(a11)x*m|e(x)|=|xe(x)|三。aa2an10；r4al1)10m,-110“1=-10mjl2(a11)2由式|x-x|£3父10,x至少有n包有效數(shù)子。2.設(shè)%,“，,xn為n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，L(x),(i=0,1，,n)為這組點(diǎn)上的Lagrange插值基函數(shù),n試證明Zli(x)三1。i=e證明：上式的左端為插值基函數(shù)的線性組合，具組合系數(shù)均為1。顯然，函數(shù)f(x)三1在這nn+1個(gè)節(jié)點(diǎn)處取值均為1,即V=f(x)=1(i=01'，n,

18、由式Ln(x)=£yJi(x)知，它的niH次Lagrange插值多項(xiàng)式為nLn(x)=li(x)i=0對(duì)任意x,插值余項(xiàng)為Rn(X)=f(X)-Ln(X)=f(n1)()(n1)!,"n：1(x)=0n所以Ln(X)=vliX3fX(=)1i03設(shè)A為任意n階方陣，為任意由向量范數(shù)誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)，則P(A)<|A證明：對(duì)A的任一特征信%及相應(yīng)的特征向量Ui,都有I'ill|Ui|H|iUi|H|AUi|,|A|Ui|因?yàn)镼為非零向量，于是有|4|A|由九i的任意性即得P(A)M|A114.設(shè)A為n階方陣，則limAk_t;k=0的充分必要條件為P(A)<1o證明：必要性。若limAk=0kF由相關(guān)定義得0<：(AK>；AK)-泌于是由極限存在準(zhǔn)則,lim：A(k>kf)所以P(A)<1o充分性。若P(A)<1,取工1一；(A)>0,由|A|MP(A)+a,存在一種矩陣范數(shù)H,使得|A|；(A)+；：J：(A)：二12而|Ak|A|k,于是IJmAk=LUlAmk中所以