第1章 最優(yōu)化的基本要素

1、本課主要內(nèi)容l 最優(yōu)化概述l 最優(yōu)化的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)l 線性規(guī)劃l 整數(shù)規(guī)劃l 一維最優(yōu)化方法l 無約束多維非線性規(guī)劃方法l 約束問題的非線性規(guī)劃方法l 非線性規(guī)劃中的一些其他方法第一章第一章 最優(yōu)化的基本要素最優(yōu)化的基本要素 1-1 1-1 緒論緒論1-2 1-2 優(yōu)化問題的示例優(yōu)化問題的示例1-3 1-3 優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型 1-4 1-4 優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法 優(yōu)化是從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求優(yōu)化是從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。最優(yōu)的方案。 優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)的、工程的和社會的實優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)

2、的、工程的和社會的實際問題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化問題。際問題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化問題。 1-1 1-1 緒論緒論 優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以（以maxmax表示表示) )或極小或極小( (以以minmin表示表示) )的過程。優(yōu)化方法也的過程。優(yōu)化方法也稱數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用科學(xué)方法和手段進(jìn)行決策及確定最稱數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用科學(xué)方法和手段進(jìn)行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學(xué)。優(yōu)解的數(shù)學(xué)。近十幾年來，最優(yōu)化方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天近十幾年來，最優(yōu)化方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車、自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)

3、以及電機(jī)、電器等工航空、造船、機(jī)床、汽車、自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機(jī)、電器等工程設(shè)計領(lǐng)域，并取得了顯著效果。程設(shè)計領(lǐng)域，并取得了顯著效果。l第一階段第一階段人類智能優(yōu)化人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏輯：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。l第二階段第二階段數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計算機(jī)的出現(xiàn)推動數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。子計算機(jī)的出現(xiàn)推動數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。l 第三階段第三階

4、段工程優(yōu)化工程優(yōu)化：近二十余年來，計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工：近二十余年來，計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標(biāo)工能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標(biāo)工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和直覺的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過程和方程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和直覺的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過程和方法學(xué)研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新法學(xué)研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提

5、高工程優(yōu)化效率的新的途徑。的途徑。l 第四階段第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、如遺傳算法、 模擬退火算法、模擬退火算法、 蟻群算法、蟻群算法、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。 已知：制造一體積為已知：制造一體積為100m100m3 3，長度不小于，長度不小于5m5m，沒有，沒有上蓋的箱盒，試確定箱盒的長上蓋的箱盒，試確定箱盒的長x x1 1，寬，寬x x2 2，高，高x x3 3，使箱，使箱盒用料最省。盒用料最

6、省。 分析：分析：（1 1）箱盒的表面積的表達(dá)式；）箱盒的表面積的表達(dá)式；（2 2）優(yōu)化變量確定：長）優(yōu)化變量確定：長x x1 1，寬，寬x x2 2，高，高x x3 3 ；（3 3）優(yōu)化約束條件：）優(yōu)化約束條件： （a a）體積要求；）體積要求； （b b）長度要求；）長度要求；x x1 1x x2 2x x3 3箱盒的優(yōu)化問題箱盒的優(yōu)化問題1-2 1-2 優(yōu)化問題示例優(yōu)化問題示例數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型123,x xx122313min2()Sx xx xx x123123500100 xxxx x x優(yōu)化變量：優(yōu)化變量：目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：約束條件： 某工廠生產(chǎn)某工廠生產(chǎn)A A 和和B

7、 B 兩種產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品，A A 產(chǎn)品單位價格為產(chǎn)品單位價格為P PA A 萬元，萬元， B B 產(chǎn)品單位價格為產(chǎn)品單位價格為P PB B 萬元。每生產(chǎn)一個單位萬元。每生產(chǎn)一個單位A A 產(chǎn)品需消產(chǎn)品需消耗煤耗煤a aC C 噸，電噸，電a aE E 度，人工度，人工a aL L 個人日；每生產(chǎn)一個單位個人日；每生產(chǎn)一個單位B B 產(chǎn)品需消耗煤產(chǎn)品需消耗煤b bC C 噸，電噸，電b bE E 度，人工度，人工b bL L 個人日。現(xiàn)有可利個人日?，F(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤用生產(chǎn)資源煤C C 噸，電噸，電E E 度，勞動力度，勞動力L L 個人日，欲找出其個人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。最

8、優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。 分析：分析：（1 1）產(chǎn)值產(chǎn)值的表達(dá)式；的表達(dá)式；（2 2）優(yōu)化變量確定：）優(yōu)化變量確定： A A 產(chǎn)品產(chǎn)品x xA A， B B 產(chǎn)品產(chǎn)品x xB B ；（3 3）優(yōu)化約束條件：）優(yōu)化約束條件： （a a）生產(chǎn)資源）生產(chǎn)資源煤煤約束；約束； （b b）生產(chǎn)資源）生產(chǎn)資源電電約束；約束； （b b）生產(chǎn)資源）生產(chǎn)資源勞動力勞動力約束；約束；最大產(chǎn)值生產(chǎn)資源分配問題最大產(chǎn)值生產(chǎn)資源分配問題 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型,ABxxmaxAABBPP xP xCACBEAEBLALBa xb xCa xb xEa xb xL優(yōu)化變量：優(yōu)化變量：目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)：約束條件：約束條件：1

9、-31-3 最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型 1.1.優(yōu)化變量優(yōu)化變量 一個優(yōu)化問題可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表一個優(yōu)化問題可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示，在優(yōu)化過程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項示，在優(yōu)化過程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數(shù)，稱作獨立的基本參數(shù)，稱作優(yōu)化變量優(yōu)化變量，又叫做，又叫做決策變量決策變量。 最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型是描述實際優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型是描述實際優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)、變量關(guān)系、有關(guān)約束條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它變量關(guān)系、有關(guān)約束條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行最反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行最優(yōu)化

10、的基礎(chǔ)。優(yōu)化的基礎(chǔ)。 優(yōu)化變量的全體實際上是一組變量，可用一個列優(yōu)化變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。優(yōu)化變量的數(shù)目稱為優(yōu)化問題的維數(shù)，如向量表示。優(yōu)化變量的數(shù)目稱為優(yōu)化問題的維數(shù)，如n n個優(yōu)化變量，則稱為個優(yōu)化變量，則稱為n n維優(yōu)化問題維優(yōu)化問題。 1212 ,Tnnxxx xxxx 按照優(yōu)化變量的取值特點，可分為按照優(yōu)化變量的取值特點，可分為連續(xù)變量連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）（例如軸徑、輪廓尺寸等）離散變量離散變量（例如各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格等）（例如各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格等） 圖1-1 優(yōu)化變量所組成的優(yōu)化空間優(yōu)化變量所組成的優(yōu)化空間（a a）二維問題）二維問題 （b b）三維問題）

11、三維問題 只有兩個優(yōu)化變量的二維優(yōu)化問題可用圖（只有兩個優(yōu)化變量的二維優(yōu)化問題可用圖（a a）所示的平面直角坐標(biāo)表示；所示的平面直角坐標(biāo)表示； 有三個優(yōu)化變量的三維問題可用圖（有三個優(yōu)化變量的三維問題可用圖（b b）所表）所表示的空間直角坐標(biāo)表示。示的空間直角坐標(biāo)表示。 優(yōu)化問題的維數(shù)表征優(yōu)化的自由度，優(yōu)化變量愈優(yōu)化問題的維數(shù)表征優(yōu)化的自由度，優(yōu)化變量愈多，則問題的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，但多，則問題的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，但難度亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。難度亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。 小型優(yōu)化問題：小型優(yōu)化問題：一般含有一般含有2 21010個優(yōu)化變量；個優(yōu)化變量； 中型中型優(yōu)化優(yōu)

12、化問題：問題：10105050個個優(yōu)化優(yōu)化變量；變量； 大型大型優(yōu)化優(yōu)化問題：問題：5050個以上的個以上的優(yōu)化優(yōu)化變量。變量。 如何選定優(yōu)化變量如何選定優(yōu)化變量？ 任何一項產(chǎn)品，是眾多變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越任何一項產(chǎn)品，是眾多變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和造成多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以確定優(yōu)化變量時應(yīng)注意以下幾點：優(yōu)化規(guī)模過大。所以確定優(yōu)化變量時應(yīng)注意以下幾點： （1 1）抓主要，舍次要。抓主要，舍次要。 對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為優(yōu)化變量，影響小的對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的

13、參數(shù)可取為優(yōu)化變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮?？上雀鶕?jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2 2）根據(jù)要解決問題的特殊性來選擇優(yōu)化變量。根據(jù)要解決問題的特殊性來選擇優(yōu)化變量。 例如，圓柱螺旋拉壓彈簧例如，圓柱螺旋拉壓彈簧, , 優(yōu)化變量優(yōu)化變量: : 鋼絲直徑鋼絲直徑d d, ,彈簧中徑彈簧中徑D D, ,工作圈數(shù)工作圈數(shù)n n, ,自由高度自由高度H H建模中，優(yōu)化常量建模中，優(yōu)化常量: : 材料的許用剪切應(yīng)力材料的許用剪切應(yīng)力 和和 剪切模量剪切模量若若在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計彈簧，可把在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計彈簧，可把D D作為優(yōu)化常量作為優(yōu)化常量2.2.

14、目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 在優(yōu)化過程中，通過優(yōu)化變量的不斷向在優(yōu)化過程中，通過優(yōu)化變量的不斷向f(X)值改善的方向值改善的方向自動調(diào)整，最后求得自動調(diào)整，最后求得f f( (X X) )值最好或最滿意的值最好或最滿意的X值。在構(gòu)造目標(biāo)值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值可能是最大值，也可能是最小值。函數(shù)時，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值可能是最大值，也可能是最小值。在機(jī)械設(shè)計中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：在機(jī)械設(shè)計中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有： 體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動運動精度最高、振幅或噪聲最

15、小、成本最低、耗能最小、動負(fù)荷最小等等。負(fù)荷最小等等。 12()()nf Xf xxx， ， ， 為了對優(yōu)化進(jìn)行定量評價，必須構(gòu)造包含優(yōu)化變量的評價為了對優(yōu)化進(jìn)行定量評價，必須構(gòu)造包含優(yōu)化變量的評價函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)，以，以f(X)表示。表示。 目標(biāo)函數(shù)等值（線）面目標(biāo)函數(shù)等值（線）面( )x fc 目標(biāo)函數(shù)是目標(biāo)函數(shù)是n n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n n+1+1維空維空間中描述出來。為了在間中描述出來。為了在n n維設(shè)計空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情維設(shè)計空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的

16、方法。況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。 目標(biāo)函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達(dá)式為：目標(biāo)函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達(dá)式為： c c為一系列常數(shù)，代表一族為一系列常數(shù)，代表一族n n維超曲面。如在二維優(yōu)化維超曲面。如在二維優(yōu)化問題中，問題中，f(x1,x2)=c 代表代表x1-x2平面上的一族曲線。平面上的一族曲線。 對于具有相等目標(biāo)函數(shù)值的自變量構(gòu)成的平面曲線或?qū)τ诰哂邢嗟饶繕?biāo)函數(shù)值的自變量構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為曲面稱為等值線等值線或或等值面等值面。圖圖1-4 1-4 等值線等值線 圖圖1-41-4表示目標(biāo)函數(shù)表示目標(biāo)函數(shù)f（X）與兩個優(yōu)化變量與兩個優(yōu)化變量x1，x2階所構(gòu)成階所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值

17、線，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的點的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的點所構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時，可得到一系列所構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值的的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標(biāo)函數(shù)值的變化愈平緩。變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標(biāo)函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標(biāo)函數(shù)的變化利用等值線的概念可用

18、幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律。規(guī)律。 從等值線上，可以清楚地看到函數(shù)值的變化情況。其中從等值線上，可以清楚地看到函數(shù)值的變化情況。其中f=40的等值線就是使的等值線就是使f(x1,x2)=40的各點的各點x1,x2T所組成的連線所組成的連線。 如圖函數(shù)如圖函數(shù) 的等值線圖。的等值線圖。2212121212( ,)60 104f x xxxxxx x圖圖1-5 1-5 等值線等值線2.2.約束條件約束條件 優(yōu)化問題中有些是工程上所不能接受的，在優(yōu)化優(yōu)化問題中有些是工程上所不能接受的，在優(yōu)化中對優(yōu)化變量取值有一些限制條件，這些限制條件稱中對優(yōu)化變量取值有一些限制條件，這些限制條件稱作作約

19、束條件約束條件，簡稱，簡稱約束約束。 約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：不等式約束兩種類型：(1)(1)等式約束等式約束(2)(2)不等式約束不等式約束( )0hx( )0gx根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束性能約束針對性能要求而提出的限制條件稱作性能針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度強度、剛度剛度或或穩(wěn)定性穩(wěn)定性等要求；等要求；邊界約束邊界約束只是對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約只是對設(shè)計變量的取值范圍加以限制

20、的約束稱作邊界約束。例如，允許機(jī)床主軸選擇的束稱作邊界約束。例如，允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍尺寸范圍，對對軸段長度軸段長度的限定的限定范圍范圍就屬于邊界約束。就屬于邊界約束。圖圖1-2 1-2 優(yōu)化問題中的約束面（或約束線）優(yōu)化問題中的約束面（或約束線） (a)(a)二變量問題的約束線二變量問題的約束線 (b) (b) 三變量問題的約束面三變量問題的約束面 如圖如圖1-31-3上畫出了滿足兩項約束條件上畫出了滿足兩項約束條件g1（X）=x12x22160g2（X）2x20的的二維設(shè)計問題的可行域二維設(shè)計問題的可行域D D，它位于，它位于x2 2=2=2的上面和圓的上面和圓 x1 12 2x2

21、22 2=16=16的的圓弧圓弧ABCABC下面并包括線段下面并包括線段ACAC和圓弧和圓弧ABCABC在內(nèi)。在內(nèi)。圖圖1-3 1-3 約束條件規(guī)定的可行域約束條件規(guī)定的可行域D D可行域可行域 : : 在優(yōu)化問題中，滿足所有約束條件的點所構(gòu)成的集合。在優(yōu)化問題中，滿足所有約束條件的點所構(gòu)成的集合。 滿足滿足 的約束為起作用約束的約束為起作用約束, ,否則為否則為不起作用的約束不起作用的約束.(.(等式約束一定是起作用約束等式約束一定是起作用約束) )一般情況下，可行域可表示為：一般情況下，可行域可表示為：mjxhluxgxDju, 2 , 10)(, 2 , 10)(不可行域不可行域: :可

22、行點和不可行點可行點和不可行點 D D內(nèi)的點為可行點內(nèi)的點為可行點, ,否則為不可否則為不可行點（外點）。行點（外點）。邊界點與內(nèi)點邊界點與內(nèi)點約束邊界上的可行點為邊界點約束邊界上的可行點為邊界點, ,其其余可行點為內(nèi)點。余可行點為內(nèi)點。起作用的約束與不起作用的約束起作用的約束與不起作用的約束D0)(*Xgu 在優(yōu)化問題中，可以只有一個目標(biāo)函數(shù)，稱為在優(yōu)化問題中，可以只有一個目標(biāo)函數(shù)，稱為單目單目標(biāo)函數(shù)標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計中要提出多個目標(biāo)函數(shù)時，這種。當(dāng)在同一設(shè)計中要提出多個目標(biāo)函數(shù)時，這種問題稱為問題稱為多目標(biāo)函數(shù)多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的最優(yōu)化問的最優(yōu)化問題。在一般的最優(yōu)化問題中，多

23、目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，建模的題中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，建模的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。 在實際工程問題中，常常會遇到在多目標(biāo)函數(shù)的在實際工程問題中，常常會遇到在多目標(biāo)函數(shù)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求建模者正確某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求建模者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。 4. 4. 優(yōu)化問題一般數(shù)學(xué)形式：優(yōu)化問題一般數(shù)學(xué)形式：滿足約束條件滿足約束條件 ：12 ,TnXx xx()minf X()0(1,2, )kh Xkl()0(1,2,)jgXjm12min()( ,),s

24、.t.()0,1,2,()0,1,2,nnjkf Xf x xxXRgXjmh Xkl求優(yōu)化變量向量求優(yōu)化變量向量使目標(biāo)函數(shù)使目標(biāo)函數(shù) 對于復(fù)雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完對于復(fù)雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為善的數(shù)學(xué)模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復(fù)雜。這時要復(fù)雜。這時要抓住關(guān)鍵因素抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略適當(dāng)忽略不重要的成分，使不重要的成分，使問題問題合理簡化合理簡化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。 最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)

25、通常為求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)通常為求目標(biāo)函數(shù)的最小值最小值。若。若目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求-f（X）的最小值，因為的最小值，因為minmin-f（X）與與maxf（X）是等價的。是等價的。5. 5. 建模實例建模實例1 1）根據(jù)問題要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對）根據(jù)問題要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對優(yōu)化對象優(yōu)化對象進(jìn)行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)問題中的公式進(jìn)行改進(jìn)行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)問題中的公式進(jìn)行改進(jìn)，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步的成果。進(jìn)，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的

26、現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步的成果。2 2）對諸）對諸參數(shù)參數(shù)進(jìn)行分析，以確定問題的原始參數(shù)、優(yōu)化常數(shù)和進(jìn)行分析，以確定問題的原始參數(shù)、優(yōu)化常數(shù)和優(yōu)化變量。優(yōu)化變量。3 3）根據(jù)問題要求，確定并構(gòu)造）根據(jù)問題要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的和相應(yīng)的約束條件約束條件，有時要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。有時要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。4 4）必要時對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行）必要時對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化規(guī)范化，以消除諸組成項間由于，以消除諸組成項間由于量量綱綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。 以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每天需要混合飼料的批

27、量為天需要混合飼料的批量為100100磅，這份飼料必須含：至少磅，這份飼料必須含：至少0.8%0.8%而不超過而不超過1.2%1.2%的鈣的鈣; ;至少至少22%22%的蛋白質(zhì)的蛋白質(zhì); ;至多至多5%5%的粗纖維。假定的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營養(yǎng)成主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營養(yǎng)成分為：分為：123123123123232312min0.01640.04630.1250s.t.1000.3800.0010.0020.012 1000.3800.0010.0020.008 100 0.09 0.500.22 100 0.02 0.080

28、.05 100,Zxxxxxxxxxxxxxxxxx x3,0 x解解: :根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問題的數(shù)學(xué)模型如下根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問題的數(shù)學(xué)模型如下: :設(shè)設(shè) 是生產(chǎn)是生產(chǎn)100100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。量（磅）。123,x x x6. 6. 優(yōu)化設(shè)計的分類優(yōu)化設(shè)計的分類對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類方式：對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類方式：1.1. 靜態(tài)靜態(tài), , 動態(tài)動態(tài)2.2. 無約束無約束, , 約束約束3.3. 線性線性, , 非線性非線性4.4. 一維一維, n, n維維5.5. 連續(xù)變量、離散變

29、量、整數(shù)變量連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量6.6. 二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃1-4 1-4 優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法l無約束優(yōu)化無約束優(yōu)化問題就是在沒有限制的條件下，對優(yōu)化變問題就是在沒有限制的條件下，對優(yōu)化變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點。在優(yōu)化空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)是量求目標(biāo)函數(shù)的極小點。在優(yōu)化空間內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)是以等值面的形式反映出來的，則以等值面的形式反映出來的，則無約束優(yōu)化問題的極無約束優(yōu)化問題的極小點即為小點即為等值面的中心等值面的中心。l約束優(yōu)化約束優(yōu)化問題是在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標(biāo)函問題是在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標(biāo)函數(shù)的極小點，此極

30、小點在數(shù)的極小點，此極小點在可行域內(nèi)可行域內(nèi)或在可行域或在可行域邊界邊界上上。等值線等高線等值線等高線：等值線等高線：它是由許多具有相它是由許多具有相同目標(biāo)函數(shù)值的點同目標(biāo)函數(shù)值的點所構(gòu)成的平面曲線所構(gòu)成的平面曲線目標(biāo)函數(shù)的等值線目標(biāo)函數(shù)的等值線數(shù)學(xué)表達(dá)式為：數(shù)學(xué)表達(dá)式為：()xfc2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0 xxxxx Fxxxgxxgxxgxgx例例1 1：如下二維非線性規(guī)劃問題：如下二維非線性規(guī)劃問題 通過二維約束優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化問題的通過二維約束優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化問題的基本思想?；舅?/p>

31、想。目標(biāo)函數(shù)等值線是以點（目標(biāo)函數(shù)等值線是以點（2 2，0 0）為圓心的一）為圓心的一組同心圓。組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：*(2,0)x*()0Fx01234-1f(x)=3.821x1x2DAx*=0.58, 1.34Tg1(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g4(x)=0約束條件所圍區(qū)域為約束條件所圍區(qū)域為D:D:221212min(2)(1)s.t.50 xxxxl由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾何的方法得該切點為何的方法得該切點為，對應(yīng)的最優(yōu)值為對應(yīng)的最優(yōu)值為l

32、(見圖）見圖）*3,2TX 2fXx2x12f 1f O解：先畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線解：先畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是可行集。而最優(yōu)點就是可行域上使是一條直線，這條直線就是可行集。而最優(yōu)點就是可行域上使等值線具有最小值的點。等值線具有最小值的點。221221221212min(2)(1)s.t.5050,0 xxxxxxxxx解：解：先畫出先畫出等式約束等式約束曲線曲線的圖形。的圖形。這是一條拋物線，如圖這是一條拋物線，如圖052221xxx再畫出再畫出不等式約束不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）

33、最后畫出最后畫出目標(biāo)函數(shù)等值線目標(biāo)函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點，特別注意可行集邊界點， 以以及等值線與可行集的切點，易見及等值線與可行集的切點，易見可行域為曲線段可行域為曲線段ABCD。D點是點是使目標(biāo)函數(shù)值最小的可行點，其坐標(biāo)可通過解方程組：使目標(biāo)函數(shù)值最小的可行點，其坐標(biāo)可通過解方程組：x1x2123456135ABCD2122125050 xxxxx(41)TX,()4f Xl得出：得出：求解優(yōu)化問題的基本解法有：求解優(yōu)化問題的基本解法有： 解析法解析法數(shù)值解法數(shù)值解法解析法：解析法：即利用數(shù)學(xué)分析即利用數(shù)學(xué)分析( (微分、變分等微分、變分等) )的方法，根據(jù)的方法，根據(jù)函數(shù)（泛函）

34、極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方法解的求解方法 。在目標(biāo)函數(shù)比較簡單時，求解還可以。在目標(biāo)函數(shù)比較簡單時，求解還可以。 局限性：局限性：工程優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)工程優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就會帶來麻煩。學(xué)分析方法就會帶來麻煩。 最優(yōu)化方法是與近代電子計算機(jī)的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)最優(yōu)化方法是與近代電子計算機(jī)的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計算法比解析法更能適應(yīng)電子計算機(jī)的工作特點，因為數(shù)值計值計

35、算法比解析法更能適應(yīng)電子計算機(jī)的工作特點，因為數(shù)值計算的迭代方法具有以下特點：算的迭代方法具有以下特點： 1 1）是數(shù)值計算而不是數(shù)學(xué)分析方法；）是數(shù)值計算而不是數(shù)學(xué)分析方法； 2 2）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進(jìn)行反復(fù)的同樣的算術(shù)計算；）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進(jìn)行反復(fù)的同樣的算術(shù)計算； 3 3）最后得出的是逼近精確解的近似解。）最后得出的是逼近精確解的近似解。這些特點正與計算機(jī)的工作特點相一致。這些特點正與計算機(jī)的工作特點相一致。數(shù)值解法數(shù)值解法這是一種數(shù)值近似計算方法，又稱為這是一種數(shù)值近似計算方法，又稱為數(shù)值迭代數(shù)值迭代方法方法。它是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律，以適當(dāng)?shù)牟介L沿著能使目。它是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律，以適當(dāng)?shù)牟介L沿著能使目標(biāo)函數(shù)值下降的方向，逐步向目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)點進(jìn)行探索，逐標(biāo)函數(shù)值下降的方向，逐步向目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)點進(jìn)行探索，逐步逼近到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點或直至達(dá)到最優(yōu)點。步逼近到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點或直至達(dá)到最優(yōu)點。數(shù)值解法（迭代數(shù)值解法（迭代法）是優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法法）是優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法。 其中也可能用到解析法，如最速下降方向的選取、最優(yōu)步長的確定等。 數(shù)值迭代法的數(shù)值迭代法的是進(jìn)行反復(fù)的數(shù)值計算，尋是進(jìn)行反復(fù)的數(shù)值計算，尋求目標(biāo)函數(shù)值不斷下降的可行計算點，直到最后獲得足夠精求目標(biāo)函數(shù)值不斷下降的