材料力學 第七章彎曲正應力(1,2)

1、 第七章第七章 彎曲應力彎曲應力CL8TU1FFconst=0=SMF，純彎曲純彎曲：00，MFS橫力彎曲橫力彎曲：FFaalCDABFSFFMFa7-17-1純彎曲時梁橫截面上的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力一一. . 純彎曲純彎曲：在橫截面上，只有法向內力元素在橫截面上，只有法向內力元素dA才能合成彎才能合成彎矩矩M，只有切向內力元素，只有切向內力元素dA才能合成剪力才能合成剪力FS SdAMSFAd MSFCL8TU2dAdAdASFMaabbmnmnMMMM變形幾何關系變形幾何關系物理關系物理關系靜力學關系靜力學關系三個方面三個方面: :一一. .幾何變形幾何變形( (1)aa、bb

2、彎成弧彎成弧線，線，aa縮短，縮短，bb伸伸長長( (2)mm、nn變形后仍變形后仍保持為直線，且仍與保持為直線，且仍與變?yōu)榛【€的變?yōu)榛【€的aa，bb正正交；交；(3)(3)部分縱向線段縮短部分縱向線段縮短，另一部分縱向線段，另一部分縱向線段伸長。伸長。jastin4.swf1.1.平面假設平面假設：梁各個橫截面變形后仍保持為平面梁各個橫截面變形后仍保持為平面，并仍垂直于變形，并仍垂直于變形后的軸線，橫截面繞某一軸旋轉了一個角度后的軸線，橫截面繞某一軸旋轉了一個角度。2.2.單向受力假設單向受力假設：假設各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均假設各縱向纖維之間互不擠壓。于是各縱向纖維均處于單

3、向受拉或受壓的狀態(tài)。處于單向受拉或受壓的狀態(tài)。 梁在彎曲變形時，凹面部分縱向纖維縮短，凸面梁在彎曲變形時，凹面部分縱向纖維縮短，凸面部分縱向纖維伸長，必有部分縱向纖維伸長，必有一層縱向纖維既不伸長也不一層縱向纖維既不伸長也不縮短縮短, ,保持原來的長度保持原來的長度，這一縱向纖維層稱為，這一縱向纖維層稱為中性層中性層. .中性層中性層中性軸中性軸中性層中性層中性層與橫截面的交線稱為中性層與橫截面的交線稱為中性中性軸軸一一. .幾何方程幾何方程二二. . 物理關系物理關系ddd)(ddyxxdyy E Ey一點的正應力與它到中性層的距離成正比。一點的正應力與它到中性層的距離成正比。dxxdyzd

4、xyy三三. .靜力學方程靜力學方程AAFd NAyAzMdAzAyMd 0 0 M0d NAAF0dAAyE0dAAyE0zASydA必過截面形心中性軸Z橫截面對橫截面對Z Z軸的靜矩軸的靜矩設中性軸為zdAyzMyE0d AyAzM0dAAzydAEAyzE0yzAIzydAMAyMAzdMAyyEAdzEIM1zAIdAy2截面的慣性積（截面的慣性積（ y y為對稱軸）為對稱軸）截面對截面對z z軸的慣性矩軸的慣性矩中性層的曲率公式中性層的曲率公式2.橫截面上的最大正應力橫截面上的最大正應力tZM yI1max21yyy若當中性軸是橫截面的對稱軸時：當中性軸是橫截面的對稱軸時：,cZMy

5、I2maxct則MWZmaxmaxM yIZ1.1.正應力正應力ZIyMWz 稱為抗彎截面模量稱為抗彎截面模量WIyzzmax1 1）沿）沿y y軸線性分布，同一軸線性分布，同一坐標坐標y y處，正應力相等。中處，正應力相等。中性軸上正應力為零。性軸上正應力為零。2 2）中性軸將截面分為受）中性軸將截面分為受拉、受壓兩個區(qū)域。拉、受壓兩個區(qū)域。3 3）最大正應力發(fā)生在距）最大正應力發(fā)生在距中性軸最遠處。中性軸最遠處。3.簡單截面的抗彎模量簡單截面的抗彎模量hbhhIWzz2122/3yyd(1)(1)矩形：矩形：261bhWzy(2)(2)圓：圓：32)2/(6434DDDWz(3)(3)圓環(huán)

6、圓環(huán))1 (32)2/(64)(4344DDdDWZyxDdZy0DDd式中7-2 7-2 橫力彎曲時的正應力及正應力強度條件橫力彎曲時的正應力及正應力強度條件 zIyxM 一一. .橫力彎曲時的正應力橫力彎曲時的正應力二二. .梁彎曲正應力強度條件梁彎曲正應力強度條件 上式是在上式是在平面假設平面假設和和單向受力假設單向受力假設的基礎上推的基礎上推導的，實驗證明在純彎曲情況下這是正確的。導的，實驗證明在純彎曲情況下這是正確的。 對于橫力彎曲，由于對于橫力彎曲，由于剪力剪力的存在，橫截面產生剪的存在，橫截面產生剪切變形，使切變形，使橫截面發(fā)生翹曲橫截面發(fā)生翹曲，不再保持為平面。理，不再保持為平

7、面。理論證明在論證明在L/h大于大于5時該式的精度能滿足工程要求。時該式的精度能滿足工程要求。maxZIyM利用上式可以進行三方面的強度計算：利用上式可以進行三方面的強度計算：maxmax MWZ已知外力、截面尺寸、許用應力，校核梁的強度；已知外力、截面尺寸、許用應力，校核梁的強度；已知外力、截面形狀、許用應力，設計截面尺寸已知外力、截面形狀、許用應力，設計截面尺寸; ;已知截面形狀尺寸、許用應力，求許可載荷已知截面形狀尺寸、許用應力，求許可載荷maxMWzzWM 三三. .算例算例 例例7-17-1：兩矩形截面梁，尺寸和材料均相同，：兩矩形截面梁，尺寸和材料均相同，但放置分別如圖但放置分別如

8、圖(a)(a)、(b)(b)。按彎曲正應力強度條。按彎曲正應力強度條件確定兩者許可載荷之比件確定兩者許可載荷之比 P P1 1P P2 2？l解：解：6/2111max1maxbhlPWMz6/2222max2maxhblPWMz由得maxmax :12PPhb12 例例7-27-2主主梁梁ABAB，跨度為，跨度為l，采用加副梁，采用加副梁CDCD的方法提高承的方法提高承載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副載能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，則副梁的最佳長度梁的最佳長度a為多少？為多少？解解：a2a2l2l2PABCD4/ )(maxalPMAB主梁主梁AB:AB:MMPl

9、aABmax()42PAB2 / )( al2 / )( al2PPaCD副梁副梁CD:CD:MPaCDmax4PlaPa44()由由CDABMM)()(maxmax得得al2M4 P)(MCDmaxa 例例7-37-3受均布載荷的外伸梁材料許用應力受均布載荷的外伸梁材料許用應力校核該梁的強度。校核該梁的強度。解：由彎矩圖可見解：由彎矩圖可見MPa160Mmax20kN m2m4m10kN/m10020045kN15kNSF202515tzMWmax6/2 . 01 . 0102023MPa30t 該梁滿足強度條件，安全該梁滿足強度條件，安全M2025.11 例例7-47-4圖示鑄鐵梁，許用拉

10、應力圖示鑄鐵梁，許用拉應力t t =30MPa=30MPa，許，許用壓應力用壓應力c c =60MPa,=60MPa,z z=7.63=7.631010-6-6m m4 4，試校核此，試校核此梁的強度。梁的強度。9kN4kN1m1m1mABCDM25 . kN105 . kNCz5288C C截面截面B B截面截面2.54MPa8 .28885 . 2ztItMPa17525 . 2zcIcMPa27524ztItMPa46884zcIc注：強度校核（選截面、荷載）注：強度校核（選截面、荷載）（1）ctct（等截面）只須校核（等截面）只須校核Mmax處處（2）（等截面）（等截面）(a)對稱截面

11、情況只須校核對稱截面情況只須校核Mmax處使處使cctt,maxmax(b)非對稱截面情況，具體分析，一般要校核非對稱截面情況，具體分析，一般要校核M+max與與 M-max兩處。兩處。例例4-14 圖示簡支梁由圖示簡支梁由56a號工字鋼制成，已知號工字鋼制成，已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應力。試求危險截面上的最大正應力max 和同和同一橫截面上翼緣與腹板交界處一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處的正應力點處的正應力 a 。B5 m10 mAF CFA FB 12.521166560za375 kN.m M解：解：1、作彎矩圖如上，、作彎矩圖如上，mkN3754maxFlM2、查型鋼

12、表得、查型鋼表得3cm2342zW4cm65586zIMPa160mm102342mmN10375336maxmaxzWMMPa148mm1065586mm212560mmN10375446maxzaaIyM56號工字鋼號工字鋼3、求正應力為、求正應力為 12.521166560za或根據(jù)正應力沿梁高的線性分布關系的或根據(jù)正應力沿梁高的線性分布關系的MPa160maxMPa148MPa1602560212560maxmaxyyaa 12.521166560za例例4-16 圖示為由工字鋼制成的樓板主梁的計算簡圖示為由工字鋼制成的樓板主梁的計算簡圖。鋼的許用彎曲正應力圖。鋼的許用彎曲正應力 =1

13、52 MPa 。試選擇。試選擇工字鋼的號碼。工字鋼的號碼。ABFFF=75kN2.5m2.5m2.5m2.5m10 mFB FA 解：解：1、支反力為、支反力為kN5 .10223FFFBA作彎矩圖如上。作彎矩圖如上。281375單位：單位：kNm2、根據(jù)強度條件確定截面尺寸、根據(jù)強度條件確定截面尺寸此時此時 zWMmax 336maxmm102460MPa152mmN10375MWz333mm102447cm2447zW查型鋼表得查型鋼表得56b號工字鋼的號工字鋼的Wz比較接近要求值比較接近要求值mkN375maxMMPa153zmaxmaxWM誤差小于5%，可用例例4-17 跨長跨長 l=

14、 2m 的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的鑄鐵梁受力如圖，已知鑄鐵的許用拉應力的許用拉應力 t =30 MPa，許用壓應力，許用壓應力 c =90 MPa。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定。試根據(jù)截面最為合理的要求，確定T字形梁字形梁橫截面的尺寸橫截面的尺寸d ，并校核梁的強度，并校核梁的強度 。解：解：ct21yy根據(jù)截面最為合理的要求根據(jù)截面最為合理的要求319030mm2102 yy1m2mBAF=80 kNCy1y2z60220yO280d21021 yy即即mm24d得得462323mm102 .99)21030280(220601260220)110210(220241222024zI截面

15、對中性軸的慣性矩為截面對中性軸的慣性矩為y1y2z60220yO280d21060220)60280(2/ )60280()60280(25060220ddymkN4042804maxFlMMPa7 .84mm102 .99mm210mmN10404662maxmaxc,zIyMc梁上的最大彎矩梁上的最大彎矩于是最大壓應力為于是最大壓應力為即梁滿足強度要求。即梁滿足強度要求。y1y2z60220yO280dOc,maxt,maxzMPa23.28max,tt例例4-18 圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：圖示槽形截面鑄鐵梁，已知：b = 2m，截，截面對中性軸的慣性矩面對中性軸的慣性矩 Iz=5493

16、104mm4， 鑄鐵的許鑄鐵的許用拉應力用拉應力 t =30 MPa，許用壓應力，許用壓應力 c =90 MPa。試求梁的許可荷載試求梁的許可荷載F 。 解：解：1、梁的支反力為、梁的支反力為zyC形心形心86134204018012020BF Cbq=F/bDbbAFB FA FFB474FFA據(jù)此作出梁的彎矩圖如下?lián)俗鞒隽旱膹澗貓D如下4maxFbM2maxFbM發(fā)生在截面發(fā)生在截面C發(fā)生在截面發(fā)生在截面BzyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4BF Cbq=F/bDbbA2、計算最大拉、壓正應力、計算最大拉、壓正應力可見：壓應力強度條件由可見：壓應力強度條件由B截

17、面控制，拉應力強度截面控制，拉應力強度條件則條件則B、C截面都要考慮。截面都要考慮。zyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4C截面截面B截面截面壓應力壓應力拉應力拉應力拉應力拉應力壓應力壓應力MPa30mm105493mm86mm1022/4332maxt,FIyMzB考慮截面考慮截面B ：MPa90mm105493mm341mm1022/4431maxc,FIyMzBkN2 .19FkN8 .73FzyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4考慮截面考慮截面C：因此梁的強度由截面因此梁的強度由截面B上的最大拉應力控制上的最大拉應力控制MPa30mm

18、105493mm134mm1024/4431maxt,FIyMzCkN2 .19FkN6 .24FzyC形心形心86134204018012020Fb/2Fb/4MPa90mm105493mm86mm1024/4432maxc,FIyMzC解：解：( )( )1212得：yytctztMyImax1czcMyImax2( ) 1( )2 例例7-57-5圖示梁的截面為圖示梁的截面為T T形，材料的許用拉應力和許形，材料的許用拉應力和許用壓應力分別為用壓應力分別為t t和和c c，則，則 y1和和 y2 的最佳的最佳比值為多少？（為截面形心）比值為多少？（為截面形心） CL8TU9PCy1y2zM-PL 例例7-67-6簡支梁簡支梁ABAB，在截面下邊緣貼一應變片，在截面下邊緣貼一應變片，測得其應變測得其應變= 610-4，材料的彈性模量，材料的彈性模量 E=200GPaE=