數(shù)學(xué)必修四三角與向量復(fù)習(xí)

1、必修4三角與向量復(fù)習(xí)三角函數(shù)復(fù)習(xí)要抓住的兩條主線三角函數(shù)復(fù)習(xí)要抓住的兩條主線1 1、三角三角函數(shù)概念學(xué)習(xí)及公式變換函數(shù)概念學(xué)習(xí)及公式變換2 2、函數(shù)圖象、變換及性質(zhì)應(yīng)用、函數(shù)圖象、變換及性質(zhì)應(yīng)用角的概念推廣角的概念推廣u任意角任意角：正角、零角、負角正角、零角、負角 角是一個由頂點和兩射線組成的幾何圖形；終邊相角是一個由頂點和兩射線組成的幾何圖形；終邊相對于始邊的旋轉(zhuǎn)方向產(chǎn)生了角的正負對于始邊的旋轉(zhuǎn)方向產(chǎn)生了角的正負u終邊相同的角終邊相同的角：將角放入平面直角坐標系將角放入平面直角坐標系 角的始邊與角的始邊與x x軸非負半軸重合時終邊也重合的角軸非負半軸重合時終邊也重合的角 所有與角所有與角終

2、邊相同的角記為終邊相同的角記為2k+2k+（kZkZ）u象限角、軸線角象限角、軸線角: 各象限角及終邊落在坐標軸上的角的集合表示各象限角及終邊落在坐標軸上的角的集合表示弧度制與角度制弧度制與角度制u一弧度的角一弧度的角：1rad 長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫一弧度的角長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫一弧度的角u弧度制與角度制的互化弧度制與角度制的互化： 360360=2=2弧度；弧度； 弧度弧度=180=180； 1 1= = ； 1 1弧度弧度= =u弧度制下扇形的弧長及面積公式弧度制下扇形的弧長及面積公式: 弧長弧長 ；面積；面積S= 211|22lrr|lr180rad180已知一個

3、扇形的周長是已知一個扇形的周長是4 4cmcm, ,面積為面積為1 1cmcm2 2，則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)為則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)為_練習(xí)練習(xí)任意角三角函數(shù)的定義任意角三角函數(shù)的定義 三角函數(shù)的基本關(guān)系式三角函數(shù)的基本關(guān)系式（注意變形應(yīng)用）（注意變形應(yīng)用）P(x,y)yxO11以單位圓圓心為平面直角坐標系原點建系，設(shè)角的終邊交單位圓于點P(x,y), 則sin,cos,yxtanyx22sincos1;sintancos2sin3costan3sin4cos ( (1 1) )已已知知求求221tan3sincos ( (2 2) )已已知知求求22tan3sin3cos ( (3

4、3) )已已知知求求2 2練習(xí)練習(xí)單位圓中的三角函數(shù)線單位圓中的三角函數(shù)線xO11PyMTAsinyMPtanyATxcosxOM注注:借助單位圓中的三角函數(shù)線借助單位圓中的三角函數(shù)線我們可以實現(xiàn)描點作圖，同時還我們可以實現(xiàn)描點作圖，同時還能得出許多重要的三角函數(shù)性質(zhì)能得出許多重要的三角函數(shù)性質(zhì)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一：2k+（kZ）公式二： +公式三： -公式四： -公式五： -公式六： +22口訣：奇變偶不變，符號看象限口訣：奇變偶不變，符號看象限公式作用：公式作用：化任意角三角化任意角三角函數(shù)求值為銳函數(shù)求值為銳角三角函數(shù)求角三角函數(shù)求值值利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)

5、轉(zhuǎn)化為利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù),一般按下面步驟進行一般按下面步驟進行:任意負角的任意負角的三角函數(shù)三角函數(shù)任意正角的任意正角的三角函數(shù)三角函數(shù)02的角的角的三角函數(shù)的三角函數(shù)銳角的三角銳角的三角函數(shù)函數(shù)用公式一用公式一或公式三或公式三用公式一用公式一用公式二或用公式二或四或五或六四或五或六可概括為：“負化正，大化小，化到銳角為終了” 基本三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)基本三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)u正弦函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx的圖象與性質(zhì)的圖象與性質(zhì) 五點法作圖五點法作圖（思考怎樣列表描點）（思考怎樣列表描點）u余弦函數(shù)余弦函數(shù)y=cosx的圖象與性質(zhì)的圖象與性質(zhì) 五點法作

6、圖五點法作圖u正切函數(shù)正切函數(shù)y=tanx的圖象與性質(zhì)的圖象與性質(zhì) 思考該函數(shù)圖象與正、余弦函數(shù)圖象的區(qū)別思考該函數(shù)圖象與正、余弦函數(shù)圖象的區(qū)別所有的點所有的點向左向左( 0)或或向右向右( 1)或或伸長伸長(0 1)或或縮短縮短(0 A1 (伸長伸長0 1 (縮短縮短0A0 (向右向右 1 (伸長伸長0 1 (縮短縮短0A0 (向右向右 0)平移平移| |/ 個單位個單位)sin()(sinxxy總結(jié)總結(jié): minmax21xfxfAsin().yAxb minmax21xfxfb利用利用 ，求得，求得2T三角函數(shù)圖象與性質(zhì)解題應(yīng)用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)解題應(yīng)用u求定義域、值域、最值及相應(yīng)的角求

7、定義域、值域、最值及相應(yīng)的角u求周期求周期u求單調(diào)區(qū)間、由單調(diào)性比較函數(shù)值大小求單調(diào)區(qū)間、由單調(diào)性比較函數(shù)值大小u知角求值知角求值(用定義用定義)、知值求值、知值求值u解三角方程解三角方程(知值求特殊角知值求特殊角) 、三角不等式、三角不等式u三角函數(shù)的圖象三角函數(shù)的圖象(五點法五點法)及圖像變換及圖像變換u和、差、倍角公式及三角恒等變換和、差、倍角公式及三角恒等變換u三角函數(shù)綜合應(yīng)用三角函數(shù)綜合應(yīng)用三角恒等變換公式三角恒等變換公式余弦兩角和差公式： cos()=coscos sinsin正弦兩角和差公式： sin()=sincos cossin正切兩角和差公式： tan()= tantan1

8、tantan倍角公式：sin2=2sinsin; 2222cos2cossin12sin2cos1 xysinxycosxytan2522320 xy21- -12522320 xy1- -123223xyOxR 1,1y xR 1,1y Zkkxx,2Ry22xk時，時，1maxy22xk時，時，1miny2xk時，時，1maxy2xk 時，時，1m iny 無最大值無最小值-2,222xkk32,222xkk2,2xkk 2,2xkk Zkkk),2,2(無奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)T=2T=2奇函數(shù)奇函數(shù)T=2T=2T=T=,2xkkZ(,0) kkZ,xkkZ(,0)2 kkZZkk),

9、0,2(無例例13 作出函數(shù)作出函數(shù) 的圖象的圖象, 并分別寫出函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、并分別寫出函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、 最值及取最值時的角。最值及取最值時的角。3sin(2)6yx五點法列表：五點法列表：y26Xxx？的圖像如何變化得到的以及它的圖像是由的最值、單調(diào)區(qū)間求函數(shù)xyxysin)631sin(2練習(xí)練習(xí)三角函數(shù)常規(guī)求值域問三角函數(shù)常規(guī)求值域問題題的值域求函數(shù)1cossin32sin2. 22xxxy的值域求函數(shù)3sin2sin. 3xxy的值域求函數(shù)3cos2sin. 4xxy的值域求函數(shù)23sin22cos21)(. 1xxxfsincos5.cossin1xxyxx求 函 數(shù)的

10、 值 域(2)在ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且kxAxf)sin()(.,220 其中Rx已知函數(shù) , 函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示,(1)求函數(shù)解析式;baC,3213,)(求 abcCf平面向量知識復(fù)習(xí)注意要點平面向量知識復(fù)習(xí)注意要點1 1、平面向量的物理背景及含義、平面向量的物理背景及含義3 3、平面向量運算的幾何意義、平面向量運算的幾何意義4 4、向量運算的代數(shù)符號體系、向量運算的代數(shù)符號體系2 2、向量的運算及運算性質(zhì)、向量的運算及運算性質(zhì)5 5、向量的坐標運算、向量的坐標運算平面向量的基本概念平面向量的基本概念u向量向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的

11、量 向量的模向量的模( (向量的大小向量的大小); ); 向量的方向向量的方向u特殊向量特殊向量：零向量 、單位向量 u向量間的關(guān)系向量間的關(guān)系: 平行向量(共線向量)：判斷方法判斷方法 相等向量：定義及判斷方法定義及判斷方法0e|0| 0;| | 1e平面向量的表示平面向量的表示u幾何表示法幾何表示法: (用有向線段表示，與線段位置沒有關(guān)系用有向線段表示，與線段位置沒有關(guān)系) 等長且同向的有向線段表示的都是同一向量等長且同向的有向線段表示的都是同一向量u代數(shù)表示法代數(shù)表示法: (分符號表示或坐標表示兩種分符號表示或坐標表示兩種) (1) 向量向量 (2) 若若O(0, 0)、A(x1, y1

12、)、 B(x2, y2) 則則 =(x1, y1); =(x2-x1, y2 -y1).AB ABa 或OA 平面向量的線性運算平面向量的線性運算u向量加法向量加法: (1)三角形法則三角形法則(首尾相連首尾相連,頭起尾終頭起尾終); (2)平行四邊形法則平行四邊形法則(起點重合起點重合,頭同尾異頭同尾異).u向量減法：向量減法： 向量加法的逆運算向量加法的逆運算(注意三角形法則與加法的區(qū)別注意三角形法則與加法的區(qū)別)u實數(shù)與向量的積實數(shù)與向量的積：u線性運算的運算律線性運算的運算律：u線性運算的坐標表示：線性運算的坐標表示：u非零向量非零向量 與向量與向量 共線共線 (存在且唯一存在且唯一)

13、ABBCAC aba()aRa向量與 共線bABACCB 平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積u數(shù)量積：數(shù)量積： 向量的夾角向量的夾角u數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積的幾何意義： 一個向量的長度一個向量的長度(模模)與另一個向量在其上投與另一個向量在其上投影影(模模夾角余弦夾角余弦)的乘積的乘積u向量數(shù)量積的運算律：向量數(shù)量積的運算律：u數(shù)量積的坐標運算：數(shù)量積的坐標運算：u數(shù)量積運算的重要性質(zhì)數(shù)量積運算的重要性質(zhì): |cosa ba b (0)平面向量的解題應(yīng)用平面向量的解題應(yīng)用u平面向量解決平面幾何問題：平面向量解決平面幾何問題： 解題方法：解題方法：平面向量基本定理、向量坐標運算平面向量基本定理、

14、向量坐標運算u平面向量在物理中的應(yīng)用：平面向量在物理中的應(yīng)用： 各種物理矢量的研究各種物理矢量的研究(如力的分解如力的分解;速度合成速度合成)u平面向量與相關(guān)數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用：平面向量與相關(guān)數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用： (1) 求角度求角度; (2) 求距離求距離; (3) 證垂直證垂直; (4) 證共線證共線(或平行或平行); (5) 構(gòu)建函數(shù)等構(gòu)建函數(shù)等. /,/ab bcac 題例1:以下各種判斷中正確的是 (1)長度為0的向量都是零向量; (2)零向量的方向都是相同的; (3)單位向量的長度都相等; (4)單位向量的方向都是相同的; (5)任意向量與零向量都共線; (6)平行向量的方向都是相同的; (7)共線向量一定要在同一直線上作出; (8)模相等的兩向量是相等向量; (9)向量的模是實數(shù)，模大的向量也大; (10)(1)(3)(5)題例2:已知向量 不共線， 求證：A、B、C三點共線。 12,ee 12ABee 121228,3()BCeeCDee 題例題例3:已知已知 ，若，若 與與 平行平行,則則 (1, 2) ,( ,1)abx2ab2ab_.x 題例4: 已知 ， 與 的夾角 為30o,求| 3,| 2abab, (2),|.a babba