圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及對(duì)應(yīng)練習(xí)

1、考點(diǎn)一、圓的相關(guān)概念1、圓的定義2、圓的幾何表示：以點(diǎn)0為圓心的圓記作0”，讀作“圓0” 考點(diǎn)二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義（1）弦 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。（如圖中的（2）直徑經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）（3）半圓（4）弧、優(yōu)弧、劣弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧?；∮梅?hào)“c”表示，以A,B為端點(diǎn)的弧記作“診”AB” 或“弧AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙?個(gè)字母表示）考點(diǎn)三、垂徑定理及其推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。推論1:（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）弦的

2、垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。 推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為:過(guò)圓心垂直于弦直彳徑 平分弦I知二推三平分弦所對(duì)的優(yōu)弧I平分弦所對(duì)的劣弧考點(diǎn)四、圓的對(duì)稱性1、圓的軸對(duì)稱性2、圓的中心對(duì)稱性：圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形?？键c(diǎn)五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心 距相等。推論：在同圓或等圓中，

3、如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心 距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等?？键c(diǎn)六、圓周角定理及其推論1、圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧 也相等。AB)讀作“圓弧AC推論2:半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角 形。考點(diǎn)七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)。O的半徑是r,點(diǎn)P到圓心0的距離為d,則有：dr點(diǎn)P在O0夕卜。 考點(diǎn)八、過(guò)三點(diǎn)的圓1、過(guò)三點(diǎn)的圓：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

4、2、三角形的外接圓：3、三角形的外心：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點(diǎn)共圓的判定條件）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)?？键c(diǎn)九、直線與圓的位置關(guān)系直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：如果。0的半徑為r，圓心0到直線I的距離為d,那么：直線I與。0相交=dr； 考點(diǎn)十、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。 即：在。0中，四邊ABCD是內(nèi)接四邊形二C BAD =180B D =180考點(diǎn)一、切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理： 過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：2、性質(zhì)定理：推論1：推論2：以上三個(gè)定理及推論

5、也稱二推一定理：即：過(guò)圓心；過(guò)切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè) 條件就能推出最后一個(gè)?？键c(diǎn)十二、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓 心的連線平分兩條切線的夾角。即：PA、PB是的兩條切線 PA=PB；P0平分N BPA考點(diǎn)十三、圓幕定理1、相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。 即：在。0中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：MN _0A且MN過(guò)半徑0A外端MN是。0的切線切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖） 過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。 過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。 PA PB二PC PD推論：

6、如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑 所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即:在OO中，直徑AB丄CD， CE2=AE BE2、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是 這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即:在。O中，：PA是切線，PB是割線3、割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條 割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等(如右圖)。即:在OO中，：PB、PE是割線 PC PB = PD PE考點(diǎn)十四、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB。二 O1O2垂直平分AB考點(diǎn)十五、圓的公切線 兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：(

7、1) 公切線長(zhǎng)：RLQQ2C中,AB2二CO,2- QO-COz2;(2) 外公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之和考點(diǎn)十六、三角形的內(nèi)切圓和外接圓1、三角形的內(nèi)切圓與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，考點(diǎn)十七、圓和圓的位置關(guān)系1、 圓和圓的位置關(guān)系2、圓心距3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么兩圓外離二dR+r兩圓外切二d=R+r兩圓相交=R-rvdvR+r(Rr)兩圓內(nèi)切=d=R-r(Rr)PA2=PC PB即：TOOi、OO2相交于A、B兩點(diǎn)EBCO1O2A

8、C兩圓內(nèi)含=dr)4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的 連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦?？键c(diǎn)十八、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算1、正多邊形的定義各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形和圓的關(guān)系只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以做出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就 是這個(gè)正多邊形的外接圓。3、正三角形在。O中ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在RtB O中進(jìn)行：O D: B D O B1T 3 : 2正四邊形 同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在 Rt：OAE 中進(jìn)行,OE : AE : OA= 1:1:2:正六邊形同理，六邊形的

9、有關(guān)計(jì)算在RtOAB中進(jìn)行,考點(diǎn)二十、正多邊形的對(duì)稱性1、正多邊形的軸對(duì)稱性、中心對(duì)稱性注：邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱圖形，考點(diǎn)二十一、弧長(zhǎng)和扇形面積1、弧長(zhǎng)公式n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)I的計(jì)算公式為I二n1802、 扇形面積公式S 扇nR2-丄 IR360213、 圓錐的側(cè)面積S =I=二 rl2其中I是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的地面半徑。考點(diǎn)二十二、內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。(1)三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。(2)AABC中，/C=90，AC=b BC=a AB=C則內(nèi)切圓的半徑r=a+b_c21(3)SABC=-r(a b c)，其中a，b，c是邊長(zhǎng)，r是內(nèi)切圓的

10、半徑24、5、ODAB:OB:OA = 1:、3:2.BAC精選考題考點(diǎn)一：與圓相關(guān)概念的應(yīng)用?1.運(yùn)用圓與角(圓心角，圓周角)，弦，弦心距，弧之間的關(guān)系進(jìn)行解題例如圖，A、B、C 是OO 上的三點(diǎn)，/ AOC=100，則/ ABC 的度數(shù)為(？?？)?A. 30?B. 45?C. 50?D. 60?2.利用圓的定義判斷點(diǎn)與圓，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【例 3】 已知OO 的半徑為 3cm, A 為線段 0M 的中點(diǎn)，當(dāng) 0A 滿足：(1 )當(dāng) 0A=1cm 時(shí)，點(diǎn) M 與O0 的位置關(guān)系是 ?.?(2)當(dāng) 0A=1.5cm 時(shí)，點(diǎn) M 與O0 的位置關(guān)系是 ?.?( 3)當(dāng) 0A=3cm

11、時(shí)，點(diǎn) M 與O0 的位置關(guān)系是 ?.【例 4】O0 的半徑為 4，圓心 0 到直線丨的距離為 3，則直線丨與O0 的位置關(guān)系是(?)?A.相交?B.相切?C.相離？?？D.無(wú)法確定【例 5】 兩圓的半徑分別為 3cm 和 4cm,圓心距為 2cm，那么兩圓的位置關(guān)系是 _ ,?3.正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算【例 6】 已知正六邊形的周長(zhǎng)為72cm,求正六邊形的半徑，邊心距和面積4.運(yùn)用弧長(zhǎng)及扇形面積公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算【例 7】 如圖，矩形 ABCD 中，BC=2, DC=4,以 AB 為直徑的半圓 0 與 DC 相切于點(diǎn) E， 則陰影部分的面積為？?？(結(jié)果保留：).5.運(yùn)用圓錐的側(cè)面弧長(zhǎng)和底面圓

12、周長(zhǎng)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算【例 8】已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)與底面半徑長(zhǎng)的比 是?.考點(diǎn)二：圓中計(jì)算與證明的常見類型1.利用垂徑定理解題?垂徑定理及其推論中的三要素是：直徑、平分、過(guò)圓心 2.利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”解題?【例 2】 如圖，在O0 的內(nèi)接 ABC 中，CD 是 AB 邊上的高，求證：/ ACD=/ 0CB.3.利用圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角關(guān)系解題?圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)【例 3】 如圖，四邊形 ABCD 為圓內(nèi)接四邊形，E 為 DA 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若/ C= 45 , AB= .2,則點(diǎn) B 到 AE 的距離為_ .4.判斷圓的切線的方法及應(yīng)用?判斷圓的切線的方法有三種：(1)與圓有惟一公共點(diǎn)的直線是圓的切線;? ( 2