釋疑解難無窮級數(shù)

1、釋疑解難 無窮級數(shù)問題1 試判斷下列命題是否正確？（1）若，則必定收斂。（2）設(shè)，是正項級數(shù)，為大于零的常數(shù)，則，同斂散。答：均不正確。（1）是級數(shù)收斂的必要條件，不能判斷的收斂，但它的逆否命題成立，可以用來判斷的發(fā)散，即若，則發(fā)散。（2）反例，考慮。問題2 下列運算是否正確？若均收斂，且對一切自然數(shù)有，證明：也收斂。 證明：且均收斂，由比較判別法知收斂。 答：不正確。因為證明中使用了比較判別法，而比較判別法只適用于正項級數(shù)，題目中并未指出級數(shù)是正項級數(shù)，正確方法如下： 證明：由條件可得 ，故與均為正項級數(shù)。與收斂，從而收斂，由正項級數(shù)的比較判別法，也收斂，而，所以也收斂。問題3 設(shè)均為正項級

2、數(shù)，滿足，()，且級數(shù)收斂，證明收斂。下面證明過程正確嗎？ 證明：收斂， ， 又 ，由比值判別法知，收斂。 答：不正確。因為比值判別法的逆命題不成立，即根據(jù)正項級數(shù)收斂，不能推出存在并且小于1的結(jié)論。（例如，收斂，但），同時由存在，也不能推出存在的結(jié)論。正確證明如下：由，推出 ，于是 ，又 收斂，根據(jù)正項級數(shù)的比較判別法知收斂。問題4 冪級數(shù)的收斂域具有什么特點？ 答：1冪級數(shù)的收斂域不是空集，至少為收斂點。2冪級數(shù)的收斂域是以為中心的對稱開區(qū)間加收斂的端點，區(qū)間端點為，收斂域可能是閉區(qū)間，開區(qū)間或半開區(qū)間，也可能是實數(shù)域（收斂半徑）或孤立點。3由阿貝爾定理，有若冪級數(shù)在處收斂，則在即內(nèi)必絕對

3、收斂，而若在處發(fā)散，則在之外必發(fā)散。問題5 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，試問是否總能在點展開為泰勒級數(shù)？答：首先必須明確兩個概念：（1）在點的泰勒級數(shù)是指冪級數(shù)；（2）在點能展開為泰勒級數(shù)是指存在的某個鄰域，總有， 即所展開成的級數(shù)必須收斂于。以上是二個不同的概念，事實上只要在點有任意階導(dǎo)數(shù)，就可以寫出泰勒級數(shù)，但根據(jù)收斂定理知，在內(nèi)收斂于的充分必要條件是：在內(nèi)，的泰勒公式的余項，若沒有的條件，在點就不一定能展開為泰勒級數(shù)。例如 在點各階導(dǎo)數(shù)都存在，且等于零，事實上由歸納法（略），得 由于，因此在點的泰勒級數(shù)為，其和函數(shù)為。說明在點的泰勒級數(shù)在鄰域內(nèi)不收斂于，因此，在點不能展開為冪級

4、數(shù)。問題6 怎樣用間接法將函數(shù)展開為冪級數(shù)？答：將展開為的冪級數(shù)指冪級數(shù)的形式為，因此，展開時常借助于馬克勞林級數(shù)，而將展開為的冪級數(shù)所指的冪級數(shù)形式為，故而常常借助于泰勒級數(shù)。間接展開法是通過變形將函數(shù)化為適當(dāng)?shù)男问?，利用已知的展開式來完成的。1是有理分式，可利用展開式展開：例1 將展開為的冪級數(shù)。解：可利用變量變換，令，得或也可將分解為 。例2 將分別展開為的冪級數(shù)和的冪級數(shù)。解：將化為部分分式之和： （1）展開為的冪級數(shù) （2）展開為的冪級數(shù)先將化為如下形式： ，（由，得） ，。對于（為質(zhì)因式，在實數(shù)范圍內(nèi)不能再分解因式），一般應(yīng)用直接展開法或待定系數(shù)法，但對一些特殊情況，也可用間接法展

5、開，例如 例3 將展開為的冪級數(shù)。解：由于時，有 再求導(dǎo)，利用冪級數(shù)逐項求導(dǎo)性質(zhì)，得 ，另解 如下方法更為簡單：， 2是無理函數(shù)，通常轉(zhuǎn)化為，再求其展開式例如 利用 （）展開為的冪級數(shù)。3是超越函數(shù)，除了注意函數(shù)變形為已知展開式的形式外，應(yīng)特別注意，如果的導(dǎo)數(shù)積分的展開式為已知，則通過逐項積分和求導(dǎo)的方法把求的展開式轉(zhuǎn)化為求或的展開式。例如，。與的展開都可通過對其導(dǎo)函數(shù)、和的展開再逐項積分或逐項求導(dǎo)來完成。例將下列函數(shù)展開為的冪級數(shù)： （1） （2）解：（1） 因為而 ，所以在上面展開式中，以代便得 ， （2） ， 積分 ，當(dāng)時，為收斂的交錯級數(shù)。，問題7 任何函數(shù)都能展開為傅里葉級數(shù)嗎？函數(shù)能展開為傅里葉級數(shù)嗎？答：根據(jù)收斂定理，如果是周期函數(shù)且滿足收斂條件，當(dāng)然可以展開為上的傅里葉級數(shù)；如果不是周期函數(shù)，只要在上滿足收斂條件，也可以通過周期延拓展開，從而得到上傅里葉級數(shù)；如果在滿足收斂條件，則可以通過奇（偶）延拓展開，從而得到上的正弦級數(shù)、余弦級數(shù)。例如，等都不能展開為上傅里葉級數(shù)，但它們可以展開為上傅里葉級數(shù)。函數(shù)可以展開為傅里葉級數(shù)，這是因為可以