2018年高等數(shù)學(xué)二試題及完全解析(Word版)

1、超級(jí)狩獵者整理第1 1頁(yè)共 15 頁(yè)2018 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二考研真題與全面解析（Word 版）一、選擇題：1 18 8 小題，每小題 4 4 分，共 3232 分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題 目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上1.1.若lim exax21bx疋1,則（）x 01(A A)a, b 1(B B)a】,b1(C C)a】,b 1( D D)a-,b 12222【答案】（B）【解析】由重要極限可得選（B B）. .【答案】（D）bb因此,moH XX(e(ebxbxbxbxxebxbxbxbxxlim x 0ax2bx2xxlimx

2、 02axbx(x2)lim0(1a)x2(1b)x(x2)1 ao,1 b或用“洛必達(dá)”：limxax2bx 12xlimx02x2ax b(b 1)xelimx 022a1 2a0，22.2.下列函數(shù)中在0處不可導(dǎo)的是(A)f (X)x sin(C)f (x) cos x(B(B)(D(D)f(x)f(x)cos xx sin超級(jí)狩獵者整理22第2 2頁(yè)共 15 頁(yè)【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,A.A.limxB.B.f(0)C.C.limf(x) f(0)x 0D.D.limx 0cos |x 1x3.3.設(shè)函數(shù)f(x)1,x01,x0f(x) f(0)xm0cos x 1lim1x 0limx

3、 0，g(x)x,(A(A)a 3,b 1(B)a3,bxim0 x sin x2x2lim02limx 0 x1x2xxgxlimx 0 x0, ,可導(dǎo);0，可導(dǎo);0，可導(dǎo);,極限不存在。故選（D）. .【答案】（D）【解析】令F （x） f(x)g(x)則F( 1)1a, F (0)1ax,1b,(C)aax,1,b1,3,b，若b,F(0)因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，所以極限值等于函數(shù)值，即2,1故選 （D D）. .4 4設(shè)函數(shù)f（x）在0,1上二階可導(dǎo)。且1f(x)dx0，則f（x）g（x）在R上連續(xù)，則（(D)a 3,b 22,F(0 0)1,3,b(A(A )當(dāng)f (x)0時(shí)，fJ)2（B）

4、當(dāng)f（X）0時(shí),f(1)1(C)當(dāng)f (x)0時(shí)，f()2（D） 當(dāng)f（X）0時(shí),1匹）0【答案】（D）【解析一】 有高于一階導(dǎo)數(shù)的信息時(shí),優(yōu)先考慮“泰勒展開(kāi)”。從選項(xiàng)中判斷，展開(kāi)點(diǎn)為x01將函數(shù)f（X）在x0處展開(kāi)，有超級(jí)狩獵者整理22第3 3頁(yè)共 15 頁(yè)超級(jí)狩獵者整理第4 4頁(yè)共 15 頁(yè)f(x)1f（2）（x2)嚴(yán)y1，其中一2兩邊積分,11f(x)dxf(-)由于fg(x 1)2dx02! 2fG)1fa(x2!)2dx，2(x) 01f()(x2)2dx 02!，所以fG)0，應(yīng)選（D D）. .【解析二】 排除法。(A)錯(cuò)誤。f(x)1，易知210f(x)dx(x)0，但是f (

5、-1)(B)錯(cuò)誤。f(x)x21，易知310f(x)dx0，f (x)但是f (-)2故選錯(cuò)誤。f(x)1，易知2f (x)dx0，f (x)1但是(D)5 5設(shè)M2(1 x)2212dx，xdx，2(1. cosx)dx，則2(A)M（C）K M N（D）K【答案】 （【解析】 積分區(qū)間是對(duì)稱(chēng)區(qū)間， 先利用對(duì)稱(chēng)性化簡(jiǎn), 能求出積分最好，不能求出積分則最簡(jiǎn)化積分。2 221 x2dx x21 %2綣t(1212x)dx，1 x1(12cosx)dx1gdx，2f(x)x, x(,)，則f2 2(x)ex1,當(dāng)x(孑,0)時(shí)，f (x)x (0,)時(shí)，f (x)0，故對(duì)x2(,3)，有f (x)

6、 f (0)0，因而超級(jí)狩獵者整理第5 5頁(yè)共 15 頁(yè)超級(jí)狩獵者整理第6 6頁(yè)共 15 頁(yè)1 X1NX八e21 X2-d：2ex21gdx，故K M2N。應(yīng)選（C）0 2x212 x26.6.dx(1xy)dy0dx(1xy)dy（）1X0X5577（A A）（B B）(C C) 一（D D） 3636【答案】（C）0d1D2 x212 x2xy)dyXX(1(1 xy)dyxy)dxdyDdx0 xdxdy(11(20 x2x)dx7，3故選（C C）。1 1 07.7.下列矩陣中陣,與矩陣011相似的是（）0 0 11 111 0111 11 0 1（A A）011(B B)011（ C

7、 C）010( D D)0 1 00 010 0100 10 0 1xy關(guān)于X是 奇函數(shù)，所以【答案】（A）【解析】還原積分區(qū)域，如圖所示:超級(jí)狩獵者整理第7 7頁(yè)共 15 頁(yè)【解析】記矩陣H 01，則秩r(H) 3，跡tr(H ) 3, ,特征值1(三重)。觀察A, B,C,D四個(gè)選項(xiàng)，它們與矩陣H的秩相等、跡相等、行列式相等，特征值也相等，進(jìn)一步分析可得：r(E H) 2, ,r( E A) 2，r( EB)r( E C) 1, ,r( ED) 1。 如果矩陣A與矩陣X相似，則必有kEA與kE X相似(k為任意常數(shù))，從而r(kE A)r (kE X)，故選(A), ,8 8設(shè)A, B是n

8、階矩陣，記r(X)為矩陣X的秩,(X,Y)表示分塊矩陣,則(A)r(A, AB) r(A)(B)r(A, BA) r(A)(C)r(A, B) maxr(A), r(B)(D)r(A, B) r(AT,BT)【答案】(A)【解析】把矩陣A, AB按列分塊，記A(1,2,Ln),AB(1,2,Ln)，則向量組1,2,Ln可以由向量組1,2,Ln線(xiàn)性表出，從而1,2,L1,2,Ln，1,2,Ln，等價(jià)，于是r(A, AB) r(A)，故選(A)。, ,二、填空題：9 9 1414 小題，每小題 4 4 分，共 2424 分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙 指定位置上29.9.若lim x arctan(x 1

9、) arctanxx【答案】【解析】可知1.1.【方法一】 由拉格朗日中值定理可得2,arctan( 1) arctax -1其中xx 1,x0，12社，而1 (1 x) 11 x2xlim一x1(1 x)limx2x- 21，1 x根據(jù)夾逼定理可得，lim x2arctan(x 1) arctan xlimxx【方法二】g0型未定式的極限必須化成商式。超級(jí)狩獵者整理第8 8頁(yè)共 15 頁(yè)超級(jí)狩獵者整理第9 9頁(yè)共 15 頁(yè)11(1 x)1 21 Q2x3432x x2 2(1 x )1(1 x)21010曲線(xiàn)y x 2ln x在其拐點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為2Jim x arctan(x1) arct

10、anx Jimarctan(x 1) arctanxlimx3 2 2x 1(1 x) (1 x )2 2(1 x )1(1 x)超級(jí)狩獵者整理第1010頁(yè)共 15 頁(yè)2o3【解析】有參數(shù)方程求導(dǎo)公式可知【答案】y 4x 3. .【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋?,）,y2x -，yx令y0，解得x 1，而y （1）0，故點(diǎn)（1,1）是曲線(xiàn)唯一的拐點(diǎn)。曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的斜率y(1)4，所以切線(xiàn)方程為y4x 3o11.11.dx5x24x 3-;【答案】iln2。2dy 3sin tcost2dx 3cos tsinttant,d2ydx2(tant)3cos21 s intsec213cos21 s in

11、t【解dxx24x3丄dxlnx 12 xln2。212.12.曲線(xiàn)3 .cos t.3，在tsin t對(duì)應(yīng)處的曲率4【答案】超級(jí)狩獵者整理第1111頁(yè)共 15 頁(yè)故曲率K3(1 y2)22 .sec t3cos2tsi nt3(1 tan2t)213 costs int，代入t13.13.設(shè)函數(shù)z z(x, y)由方程In z ez 1xy確定，則1(2,2)【答案】1。4【解析】方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得ez1zz xxy，將x 2,y1-代入原方程可得2z 1,整理可得 X(2,2)3為線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組,A2223，A32【答案】2. .【解析】(A1,A2,A3)A(1,令P(1,2,3

12、),14.14.設(shè)A為 3 3 階矩陣,V2 PC, ,P可逆，故A相似于C，3，則A的實(shí)特征值為_(kāi)2002,3)(1,2,3) 111，121200C 1115121A于C有相同的特征值。則AP2 0 0111(2)(223) 01 2 1解得矩陣的實(shí)特征值為2。超級(jí)狩獵者整理第1212頁(yè)共 15 頁(yè)1嚴(yán))11TT4P(C)4 p(c)442 2三、解答題：15152323 小題，共 9494 分請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙 指定位置上解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、程或演算步驟15.15.(本題滿(mǎn)分 1010 分)求不定積分e2xarctandx. .【解析】e2xarctan ex1dx1arctan ex1

13、de2x22孑眥時(shí)廠e2xd arctan i ex1】e2xarctan i ex12】e2xarctan、ex12】e2xarctan、ex12】e2xarctan、ex121212xe d2xd e g1 (ex1)d、ex1 - d、ex121；ex1 C2x 3e 1)16.16.(本題滿(mǎn)分 1010 分)已知連續(xù)函數(shù)f(X)滿(mǎn)足0(I(I)求f (x)； ( IIII)若f (x)在區(qū)間0,1上的平均值為xf (t)dt0tf(x t)dt2ax求a的值?！窘馕觥苛顄 x t，則du dt,從而x0tf(x原方程化為xt)dt0(xx0f(t)dtxu)f(u)du xxx0f (

14、u)dux0f(u)dux0uf(u)dux0uf (u)du，2ax，等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得f (x)of (u)du 2ax，且f (0)0,x由于f(x)連續(xù)，可知o f (u)du可導(dǎo)，進(jìn)而有f(x)可導(dǎo)。上式再求導(dǎo)可得f (x) f (x) 2a。由一階線(xiàn)性微分方程的通解公式可得證明過(guò)超級(jí)狩獵者整理第1313頁(yè)共 15 頁(yè)超級(jí)狩獵者整理第1414頁(yè)共 15 頁(yè)f(x) ex(2aexC)，將f(0)0代入，解得(IIII )根據(jù)題意可知2a，于是f(x)2a(1 ex)。1f (x)dx，將f (x)02a(1xe )代入，可得17.17.(本題滿(mǎn)分x1010 分)設(shè)平面區(qū)域D由曲線(xiàn)y

15、sintcost,(0t與x圍成，計(jì)算重積分(xD【解析】畫(huà)積分區(qū)域的草圖，化二重積分為二次積分2y)d。(xDsint, y 12y)dyx t20(xy(x)y2(x)dx，利用邊界曲線(xiàn)方程cost,(02 )換元,(xD2y)d(tsin t)(1cost)(1cost)2d(tsint)其中(t220(1sin t)(12cost) dt20(1cost)3dt，sin t)(1 cost)2dt2(t t cos tcost)3dt2t cost2(10sintcos3tsin tcos212sin 2t)dt 3,23cost 3cos t)dt 5，(xD2y)d已知常數(shù)k ln

16、2 1，證明：(x 1)(x ln2x 2klnx 1)0?！痉治觥吭擃}的本質(zhì)是：證明“大于號(hào)左邊式子構(gòu)成的函數(shù)的最小值為0 0”。由于左邊式子是兩個(gè)1818. .(本題滿(mǎn)分1010 分)超級(jí)狩獵者整理第1515頁(yè)共 15 頁(yè)超級(jí)狩獵者整理第1616頁(yè)共 15 頁(yè)三個(gè)圖形的面積之和為S(x, y, z).32z,4則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“在條件2 x 4y 3z 2,x0,y0,z0下，求三元函數(shù)因式的乘積且(X 1)較為簡(jiǎn)單，因此只需要以(x 1)的正負(fù)來(lái)論證另一個(gè)因式的各種變化即可。2m的鐵絲分成三段，依次圍成圓、正方形與正三角形，三個(gè)圖形的面積之和是否存在最小值？若存在，求出最小值?！咀C明】當(dāng)0

17、x 1(In x的定義域是x0)時(shí)，僅需證xIn x 2klnx 10；當(dāng)X 1時(shí)，僅需證X2ln x 2klnx令F(x)ln2xln x2klnx 1，則F (x) 1 2 x2kx 2ln x 2k令G(x)2ln x2k，則G (x)1 -。x(1 1 )當(dāng)0 x 1時(shí)，G (x)0,G(x)單調(diào)遞減，G(x) G(1) 2ln 2 10,從而F (x)0,F (x)單調(diào)遞增，于是有F (x)F(1)0，命題成立。(2 2)當(dāng)1x 2時(shí)，G (x)12門(mén)0；當(dāng)xx22時(shí)，G (x)10。x故G(x)x 2ln x 2k在1,內(nèi)的最小值在x 2取得，而G(2)0,因此，當(dāng)x(1,)時(shí)，G

18、(x)0，從而F (x)0,且僅在x 2處可能x有F (x)0。于是，當(dāng)x (1,)時(shí)，F(xiàn) (x)單調(diào)遞增，F(xiàn) (x) F (1)0,也即x2ln x 2klnx 10。)，均有(x 1)(x In2x 2kln x(0,綜上所述，對(duì)任意的x1) 0。19.19.(本題滿(mǎn)分 1010 分)將長(zhǎng)為【答案】面積之和存在最小值，Sn14 3巾。【解析】設(shè)圓的半徑為x，正方形的邊長(zhǎng)為y， 三角形的邊超級(jí)狩獵者整理21第1717頁(yè)共 15 頁(yè)421111 分)已知曲線(xiàn)L : y -x2(x 0)，點(diǎn)0(0,0), ,點(diǎn)A(0,1)。設(shè)P是L上9的動(dòng)點(diǎn)，S直線(xiàn)0A與直線(xiàn)AP及曲線(xiàn)L所圍圖形的面積。若P運(yùn)動(dòng)

19、到點(diǎn)(3,4)時(shí)沿x軸方向的速度是4，求此時(shí)S關(guān)于時(shí)間t的變化率?！窘馕觥慨?huà)草圖，可以看出所求面積等于一個(gè)梯形面積減去一個(gè)曲邊三角形(空白部分)面積。設(shè)t時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為-JQ所求變化率為dtx,9x 4x2 9dS dx2S1dx dt42，則面積du2x3x27210。3S(x, y, z)z2的最小值”。43z2(2 x 4y 3z 2)Lx2 x20Ly2y40解方程組LzV3z3，得到唯一駐點(diǎn)02L2 x4y3z 2 024 332J34 3門(mén)Smin14 3320.20.(本題滿(mǎn)分4xyz由實(shí)際問(wèn)題可知，最小值一定存在，且在該駐點(diǎn)處取得最小值。最小面積和超級(jí)狩獵者整理21第18

20、18頁(yè)共 15 頁(yè)超級(jí)狩獵者整理第1919頁(yè)共 15 頁(yè)21.21.（本題滿(mǎn)分 1010 分）設(shè)數(shù)列Xn滿(mǎn)足x10,xneXn 1eXn1(n123丄）。證明Xn收斂，并求lim xn。nxi【證明一】因?yàn)槠?，所以xe11eX2X1根據(jù)拉格朗日中值定理, 存在（0必） ，使得eX11x2，即ee，因此XiX2x,。完全類(lèi)似，假設(shè)0Xn 1Xn，故數(shù)列Xn設(shè)limnXnxn2eXn 11ene (0Xn 1)，即Xn 1XnXn 1,單調(diào)減少且有下界，從而數(shù)列A,在等式xneXn 1eXn故lim xn0。n&收斂。1兩邊取極限,AeA1，解方程得唯一【證明二】首先證明數(shù)列xn有下界，

21、即證明Xn1時(shí),X10。根據(jù)題設(shè)X2ineU，由eX1X1可知假設(shè)當(dāng)n k時(shí),XkX1X2ln10；則當(dāng)nk 1時(shí),xk 1lne 1XkXk其中ekXk，可知& & 1 1ln1根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任意的n，Xn0。再證明數(shù)列Xn的單調(diào)性:eXn1Xn 1XnlnXnXnXnlneXnJXn，Xne（離散函數(shù)連續(xù)化）設(shè)f（X）1 xeX(X0），則當(dāng)X0時(shí)，f (x)XXef（X）單調(diào)遞減，f（x） f(0)0，即Xxe。超級(jí)狩獵者整理第2020頁(yè)共 15 頁(yè)超級(jí)狩獵者整理第2121頁(yè)共 15 頁(yè)e11從而xn1xnIn-ln1 0，故Xn1Xn，即數(shù)列x,的單調(diào)遞減。xne綜

22、上，數(shù)列xn的單調(diào)遞減且有下界。由單調(diào)有界收斂原理可知xn收斂。設(shè)lim Xna,在等式xneXn 1eXn1兩邊同時(shí)令n，得aeaea1,解n方程得 唯一解a 0，故lim Xn0。n22.22.（本題滿(mǎn)分 1111 分）設(shè)二次型f（X1,X2,X3） （X1X2X3）2（X2X3）2（片aX；3）2，其中a是參數(shù)。(i(i)求f(X1,X2,X3)0的解;（IIII）求f (X1，X2，X3)的規(guī)范型?！窘馕觥?（1 1）由f（X!，X2,X3）0可得-1X2-30-2-30-1ax30對(duì)上述齊次線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換得1111111 1 1A 0110110 1 110a01a 100 a 2a 2時(shí),f(X1,X2，-3)0只有零解：X(0,0,0)To1 0 2當(dāng)a 2時(shí)，A 011,0 0 0f（X1,X2,X3）0有非零解：X k（ 2, 1,1,k為任意常數(shù)。（IIII ）當(dāng)a 2時(shí)，若X1,X2,X3不全為 0 0，則二次型f（X!，X2,X3）恒大于 0 0,即二次型仁人兀壓）為正定二次型，其規(guī)范型為f（yy2,y3）y；y；y3。