高三數(shù)學(xué)排列與組合的綜合問題

1、排列與組合的綜合問題通過對(duì)前面知識(shí)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)有了一定的解題技巧和方法，但要解決排列和組合的綜合題，還得注意一下幾點(diǎn)：一、 解題思路：解排列組合問題，要正確使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、排列定義和組合定義，其次，對(duì)一些復(fù)雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用的解題方法：特殊優(yōu)先法:對(duì)于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些特殊的東西入手，先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法。科學(xué)分類法：對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答，避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生插空法：解決一些不相鄰問

2、題時(shí)，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決捆綁法：相鄰元素的排列，可以采用“整體到局部”的排法，即將相鄰的元素當(dāng)成“一個(gè)”元素進(jìn)行排列，然后再局部排列排列組合的綜合問題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些知識(shí)聯(lián)系，從而增加了問題的綜合性，解答這類應(yīng)用題時(shí)，要注意使用相關(guān)知識(shí)對(duì)答案進(jìn)行取舍.二、 問題討論例1(優(yōu)化設(shè)計(jì)P178例1)、從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問共有多少種參賽方法？解法一： 問題分成三類：（1）甲乙二人均不參加，有種；（2）甲、乙二人有且僅有1人參加，有2（）種；（3）甲、乙二人均參加，有（2

3、）種，故共有252種解法二：六人中取四人參加的種數(shù)為，從6人中選4人的排列組合數(shù)減去甲跑第一棒時(shí)從剩余5人中選3人的排列組合數(shù),再減去乙跑第四棒時(shí)從剩余5人中選3人的排列組合數(shù),再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒時(shí)從剩余4人中選2人的排列組合數(shù)252種分析：對(duì)于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種例2: 有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選取5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必須少于男生(2)某女生一定要擔(dān)任語文科代表(3)某男生必須包括在內(nèi),但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表(4)某女生一定要擔(dān)任語文科代表,某男生必須擔(dān)任科代表,但不擔(dān)任數(shù)學(xué)科代表解：(1)

4、先取后排,有種,后排有種,共有5400種(2)除去該女生后先取后排：種(3)先取后排,但先安排該男生：種(4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有種,再安排該男生有種,其余3人全排有種,共=360種（思維點(diǎn)撥）特殊元素或特殊位置首先考慮例3(優(yōu)化設(shè)計(jì)P178例2)、對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?解：第5次必測(cè)出一次品，余下3件次品在前4次被測(cè)出，從4件中確定最后一件次品有種方法，前4次中應(yīng)有1件正品、3件次品，有種，前4次測(cè)試中的順序有種，由分步計(jì)數(shù)原理即得：（）576。分析：本題

5、涉及一類重要問題：?jiǎn)栴}中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先選元素（即組合）后排列例4(優(yōu)化設(shè)計(jì)P178例3)、在一塊并排10壟的田地中,選擇2壟分別種植A,B兩種作物,每種作物種植一壟,為有利于作物生長(zhǎng),要求A,B兩種作物的間隔不小于6壟,則不同的選壟方法共有多少種?解: 依題意，A，B兩種作物的間隔至少6壟，至多8壟。分3種情況：（1）若A、B之間隔6壟，這樣的選壟方法有3A種.（2）若A、B之間隔7壟，這樣的選壟方法有2A種.（3）若A、B之間隔8壟，有A種方法.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可有3A2AA6A12種不同的選壟方法.例5(優(yōu)化設(shè)計(jì)P178例4)、有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12

6、個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是解法一：前后各一個(gè)，有8×12×2192種方法前排左、右各一人：共有4×4×232種方法兩人都在前排：兩人都在前排左邊的四個(gè)位置：乙可坐2個(gè)位置乙可坐1個(gè)位置224112此種情況共有426種方法因?yàn)閮蛇叾际?個(gè)位置，都坐右邊亦有6種方法，所以坐在第一排總共有6612種方法兩人都坐在第二排位置，先規(guī)定甲左乙右 甲左乙右總共有種方法同樣甲、乙可互換位置，乙左甲右也同樣有55種方法，所以甲、乙按要求同坐第二排總共有55×2110種方法。綜上所述，

7、按要求兩人不同排法有 1923212110346種解法二：考慮20個(gè)位置中安排兩個(gè)人就坐，并且這兩人左右不相鄰，4號(hào)座位與5號(hào)座位不算相鄰，9號(hào)座位與10號(hào)座位不算相鄰，共有種思考題：例6、有6本不同的書（1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？（2）分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？（3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？（4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？（6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？解：（1）在6本書中，先取2本

8、給甲，再?gòu)氖Ｏ碌?本書中取2本給乙，最后2本給丙，共有（種）。（2）6本書平均分成3堆，用上述方法重復(fù)了倍，故共有（種）。（3）從6本書中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有（種）（4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有（種）。（5）平均分堆要除以堆數(shù)的全排列數(shù)，不平均分堆則不除，故共有（種）。（6）本題即為6本書放在6個(gè)位置上，共有（種）。例7、（1）10個(gè)優(yōu)秀指標(biāo)分配給6個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)，共有多少種不同的分配方法？（2）10個(gè)優(yōu)秀名額分配到一、二、三3個(gè)班，若名額數(shù)不少于班級(jí)序號(hào)數(shù)，共有多少種不同的分配方法？解：（1）如果按指標(biāo)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，討論比較復(fù)雜，可構(gòu)造模型，即用5個(gè)隔板插入10個(gè)指標(biāo)中的9個(gè)空隙，即即為所求。（2）先拿3個(gè)指標(biāo)分別給二班1個(gè)，三班2個(gè)，則問題轉(zhuǎn)化為7個(gè)優(yōu)秀名額分給三個(gè)班，每班至少一個(gè)，同（1）知即為所求。三、課堂小結(jié)處理排