結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)課件

1、n n 第七章第七章 對一般動(dòng)力荷載的反應(yīng)對一般動(dòng)力荷載的反應(yīng)n 逐步法逐步法n n 7-1 一般概念n 7-2 分段精確方法n 7-3 數(shù)值近似方法 一般注釋n 7-4 二階中心差分列式n 7-5 積分法n 7-6 非線性分析的增量列式n 7-7 線加速度法步驟概要 * * 在第6章所述的分析方法中，無論是基于時(shí)域的或頻域的，總反應(yīng)計(jì)算都包含許多獨(dú)立反應(yīng)貢獻(xiàn)的組合。 （1）時(shí)域方法Duhamel積分)：荷載P(t)被考慮為一短持續(xù)時(shí)間脈沖的序列，由每個(gè)脈沖自由振動(dòng)反應(yīng)的獨(dú)立貢獻(xiàn)得到任何后繼時(shí)間的總反應(yīng)。 （2）在頻域方法中，假設(shè)荷載為周期的，并用Fourier變換分解為離散的諧振分量。再由這

2、些荷載分量乘以結(jié)構(gòu)的頻率反應(yīng)系數(shù)pn，得到與其相應(yīng)的結(jié)構(gòu)諧振反應(yīng)分量Hn。最后，由組合諧振反應(yīng)分量Vn。最后，由組合諧振反應(yīng)分量（Fourier逆變換）獲得結(jié)構(gòu)的總反應(yīng)。 因?yàn)檫@兩種方法中最終結(jié)果的獲得都使用了疊加，因此這兩種方法中都不適用于非線性反應(yīng)分析。7-1 7-1 一般概念一般概念 逐步法是第二種動(dòng)力分析的一般方法，因?yàn)樗苊饬巳魏委B加的應(yīng)用，因此能很好地適用于非線性的反應(yīng)分析。彌補(bǔ)了疊加法不適用于非線性反應(yīng)分析的缺點(diǎn)。逐步法有許多種，但所有方法都將荷載和反應(yīng)歷程分成一系列時(shí)間間隔或“步”。在每步期間均以此步開始時(shí)存在的初始條件(位移和速度)和該步期間的荷載歷程來計(jì)算反應(yīng)。 因而，每步

3、反應(yīng)是一個(gè)獨(dú)立的分析問題，步中不需要組合反應(yīng)貢獻(xiàn)。采用這種方法可以很容易地考慮作線性特性，僅需假設(shè)在每步期間結(jié)構(gòu)特性保持常數(shù)，而從這步到下一步時(shí)引起均行為按指定形式作相應(yīng)改變。因此，非線性分析實(shí)際上是一個(gè)變化系統(tǒng)的線生分析系列。在這個(gè)方法中，可以通過使步長足夠短來達(dá)到非線性特性中所需要的任意細(xì)化程度;并且該方法可以適用干任何類型的非線性，包括質(zhì)量和阻尼特性的改變，以及剛度改變引起的更一般的非線性特性。 逐步法只是提供了一個(gè)非線性反應(yīng)分析的非常一般的方法，然而，因?yàn)椴还芙Y(jié)構(gòu)的行為是線性還是非線性的都可以應(yīng)用同樣的算法，所以該方法在分析線性反應(yīng)時(shí)一樣是有價(jià)值的.而且，求解單自由度結(jié)構(gòu)所用的方法，只

4、要將標(biāo)量替換成矩陣，則同樣可推廣應(yīng)用于多自由度體系二實(shí)際上，這些方法對時(shí)域分析是有效和方便的，不管反應(yīng)性質(zhì)是否線性，時(shí)域分析總是可以采用某種逐步分析形式來實(shí)現(xiàn)，而Duhamel積分方法在實(shí)際中是很少應(yīng)用的口。7-1 7-1 一般概念一般概念 * *7-2 7-2 分段精確方法分段精確方法 對單自由度體系分析最簡單的逐步法稱為.分段精確”方法，它基于在離散時(shí)間間隔內(nèi)線性變化荷載作用下，線性結(jié)構(gòu)反應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程精確解。在使用這種方法時(shí)，荷載歷程被分成時(shí)問間隔，通常由實(shí)際荷載歷程的斜率顯著改變來定義;在這些點(diǎn)之間假設(shè)荷載曲線的斜率保持常數(shù)。雖然得自這些線性改變荷載步的反應(yīng)表達(dá)式是精確的，但必須認(rèn)識(shí)到，

5、實(shí)際荷載歷程僅僅是由常數(shù)斜率近似得到的。因此，所計(jì)算的反應(yīng)一般不是實(shí)際荷載下真實(shí)反應(yīng)的精確表示，但可以通過減小時(shí)間步長以更好地接近荷載，使誤差減少到任何可接受的程度。 如果為了用一系列直線段得到最好的荷載歷程的擬合，應(yīng)該期望從一時(shí)間段到下一時(shí)間段時(shí)間步長是可變的口但是，從計(jì)算效率考慮，習(xí)慣上還是采用常步長。 為了說明這些分析方法中所應(yīng)用的符號(hào)，定義荷載歷程中的一步如圖7一a所示，這步從t0到t1的持續(xù)時(shí)間記為h。假設(shè)在這一步，荷載按下式線性改變 7-2 分段精確方法分段精確方法式中a是常斜率，是步內(nèi)的時(shí)間變量，而P。是初始荷載。在粘滯阻尼單自由度體系運(yùn)動(dòng)方程中?引人這些荷載表示，可得 在任意時(shí)

6、間步如圖7一1b所示)期間的反應(yīng)V(?)，由自由振動(dòng)項(xiàng)Vh(?)加上指定線性荷載變化的特解Vp(?)構(gòu)成，因而而容易驗(yàn)證，線性變化的特解為7-2 分段精確方法分段精確方法 聯(lián)合這兩表達(dá)式并由?=0初始條件確定常數(shù)A和B，最終可導(dǎo)得時(shí)間步長期間位移的如下表達(dá)式其中同樣地，可獲得時(shí)間步長期間的速度為自然，時(shí)間步終了時(shí)的速度和位移成為下一時(shí)間步的初始條件，則等價(jià)的使用等 價(jià)的式子步進(jìn)到下一步終點(diǎn)、依此類推。 對于能用大量直線很好逼近所作用荷載的情況，分段精確法無疑對單自由度體系反應(yīng)計(jì)算是極其有效的。但是必須始終記住:所討論的荷載僅是真實(shí)荷載歷程的近似，該歷程通常是光滑變化的曲線;為達(dá)到真實(shí)反應(yīng)歷程的

7、一個(gè)可接受近似，必須選擇步長。7-2 分段精確方法分段精確方法 例題E7一1為了證明以一系列直線段逼近光滑變化動(dòng)力荷載的效果，用分段精確法計(jì)算單自由度結(jié)構(gòu)對單正弦波荷載不同近似處理時(shí)的反應(yīng)。結(jié)構(gòu)的特性如圖7一1a所示;一個(gè)半循環(huán)荷載的三種直線近似如圖E7一1b所示，他們分別由不同時(shí)間間隔來離散:（a)0.0075s，(b) 0.0225s,(c)0.045s(半循環(huán)周期0.09s的I/12,1/4和1 /2)。(a)(a)單自由度特性單自由度特性(b)(b)正弦波荷載的直線近似正弦波荷載的直線近似圖E7-1 分段精確例子單自由度結(jié)構(gòu)和荷載7-2 分段精確方法分段精確方法 這三種荷載分段精確計(jì)算

8、的反應(yīng)與荷載(a)“靜力”(p(t)/k)反應(yīng)一起繪于圖E7一2；所有情況反應(yīng)都是按0.0075S時(shí)間隔計(jì)算的。從這些結(jié)果顯然可見.用粗糙的情況(C)直線假設(shè)去逼近時(shí)，作用荷載被明顯減小了;對情況(c)，所繪荷載歷程中輸人功也顯然相應(yīng)減小了。然而，對情況(b）所示的直線段多了2倍，誤差大大地減小了。因此可以推斷情況(a)用0.007S5s荷載段，將會(huì)非常接近理論正弦波荷載正確反應(yīng)當(dāng)然。對大多數(shù)工程目的，此解是足夠的。 其他的逐步法是使用數(shù)值方法-數(shù)值微分或數(shù)值積分在每一時(shí)間步內(nèi)近似地滿足運(yùn)動(dòng)方程。這一主題的文獻(xiàn)資料十分浩瀚，所涉及的應(yīng)用范圍與應(yīng)用力學(xué)領(lǐng)域一樣廣闊。但是在這里只能作很簡單的概要介

9、紹，目的是給出在求解結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)間題時(shí)如何使用這些技術(shù)的一般性概念，并提供足夠在很多實(shí)際中應(yīng)用的工具。另一方面，如果有大量分析工作必須做，研究一下文獻(xiàn)和選擇對手邊工作最適合的解法或許是值得的。 在描述方法的任何細(xì)節(jié)之前，總結(jié)一下一般性概述關(guān)于數(shù)值近似逐步法的如下一些基本要點(diǎn)是有益的; (1)方法可以分類為顯式的或隱式的。顯式(或“開放”)方法定義為，在每一步內(nèi)計(jì)算新的反應(yīng)值僅僅依賴于前面步己經(jīng)獲得的量。所以，分析直接從一步到下一步地進(jìn)行。另一方面，在隱式方法里，對給定步給出新值的表達(dá)式包含與本步有關(guān)的一個(gè)或多個(gè)值，所以必須假定所需量的試探值，然后通過連續(xù)迭代來改善。除非每步所需的計(jì)算都非常簡單，

10、否則在一步里的迭代代價(jià)可能是過高的;因此，用7一5節(jié)介紹的方法將隱式方法轉(zhuǎn)換成顯式方法往往是值得的。 (2)在選擇逐步法時(shí)所考慮的主要因素是效率，它關(guān)系到對反應(yīng)所需的時(shí)間范圍達(dá)到預(yù)期精度水平所需的計(jì)算工作量。對方法選擇來說精度不可能單獨(dú)作為標(biāo)準(zhǔn)，因?yàn)橐话銇碚f任何方法如果時(shí)間步長足夠短(但是相應(yīng)的代價(jià)將明顯增加)，都可以獲得任何期望的精度。在任何情況下，時(shí)間步長必須短到足以提供荷載和反應(yīng)歷程足夠的精確度描述。高頻輸入反應(yīng)不可能用長的時(shí)間步長描述7-3 數(shù)值近似方法數(shù)值近似方法 一般注釋一般注釋7-3 數(shù)值近似方法數(shù)值近似方法 一般注釋一般注釋(3)從足夠的精確度的荷載所得結(jié)果中，可能產(chǎn)生誤差的因

11、素包括: (a)舍人-用太少位數(shù)的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果。（b）不穩(wěn)定性-在后繼步計(jì)算中前一步誤差的放大所引起。任何方法的穩(wěn)定性都可以由減少時(shí)間步的長度來改進(jìn)。（誤差的傳播，累計(jì)） (c)截?cái)嘣跀?shù)量的級(jí)數(shù)表示中用了太少的項(xiàng)。 (4）可以由下列效應(yīng)之一或兩者來表明任何原因產(chǎn)生的誤差:(a)在循環(huán)汁算結(jié)果中相位的漂移或頻率的顯著改變。(b)人工阻尼，即數(shù)值方法將使動(dòng)力反應(yīng)體系移去或增加能量。 上述提及的全部論題作進(jìn)一步討論都是有價(jià)值的，但是在這個(gè)介紹中只可能在以下所選數(shù)值方法中給以稍許附加注釋。7-4 二階中心差分列式二階中心差分列式這一概念在許多有限差分列式中都有介紹，在t=t0時(shí)間步開始的運(yùn)動(dòng)方程

12、為則初始加速度的解答為 但是，為了列出數(shù)值逐步法，需將初始速度和加速度項(xiàng)近似表示為有限差分表達(dá)式。因而，在各種有限差分列式之間，其不同將體現(xiàn)在寫出這些有限差分表達(dá)式時(shí)采用的細(xì)化標(biāo)準(zhǔn)。 在現(xiàn)在的討論中，僅介紹一個(gè)很簡單的方法二階中心差分法，這個(gè)名字與用以表達(dá)t=t0時(shí)刻加速度的有限差分近似有關(guān)。首先近似表達(dá)t0時(shí)刻前后步長中點(diǎn)的加速度、速度其中h表示圖7一2所示時(shí)間步的持續(xù)時(shí)間。而這些時(shí)間中間的加速度由相應(yīng)的速度表示從而得7-4 二階中心差分列式二階中心差分列式 將這些表達(dá)式代人式(7一7)得到求解時(shí)間步終點(diǎn)的位移結(jié)果為 為求這些式子的值，需要時(shí)刻t-1的位移值，因此需要從如下有限差分速度表達(dá)式來得到由此得將此值代入式(7- 10)并簡化，最終得 速度也必須前進(jìn)到ti時(shí)刻，為此需要假設(shè)t1和to時(shí)刻速度的平均值等于此時(shí)間步內(nèi)速度的有限差分表達(dá)式，因而由此得7-4 二階中心差分列式二階中心差分列式 這樣，二階中心差分法僅