高等數(shù)學(xué)向量代數(shù)與空間解析幾何

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學(xué)一）§51 向量代數(shù) 一空間直角坐標(biāo)系 從空間某定點作三條互相垂直的數(shù)軸，都以為原點，有相同的長度單位，分別稱為軸，軸，軸，符合右手法則，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，稱為坐標(biāo)原點。 1兩點間距離 設(shè)點，為空間兩點，則這兩點間的距離可以表示為 2中點公式 設(shè)為，聯(lián)線的中點，則 二向量的概念 1向量 既有大小又有方向的量稱為向量。方向是一個幾何性質(zhì)，它反映在兩點之間從一點到另一點的順序關(guān)系，而兩點間又有一個距離。常用有向線段表示向量。點叫起點，點叫終點，向量的長度叫做模，記為。模為的向量稱為單位向量。 2向量的坐標(biāo)表示 若將向

2、量的始點放在坐標(biāo)原點，記其終點，且點在給定坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為。記以三個坐標(biāo)軸正向為方向的單位向量依次記為，則向量可以表示為 稱之為向量的坐標(biāo)表達(dá)式，也可以表示為 稱分別為向量在軸，軸，軸上的分量。稱分別為向量在軸，軸，軸上的投影。 記與軸、軸、軸正向的夾角分別為，則 方向余弦間滿足關(guān)系 描述了向量的方向，常稱它們?yōu)橄蛄康姆较蚪?。的模可以表示?與向量同方向的單位向量可以表示為。與向量平行的單位向量可以表示為。 向量同方向上的單位向量常記為。 三向量的運(yùn)算 1加法。 減法。 2數(shù)乘。（是常數(shù)） 向量的加、減和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。 3數(shù)量積。 其中為向量間夾角 為數(shù)量也稱點乘。 表示向量在向量上的

3、投影，即 4向量積也稱為叉乘。 的方向按右手法則垂直于所在平面，且 是向量，。等于以為鄰邊的平行四邊形的面積。 5混合積：定義，坐標(biāo)公式 幾何意義表示以為棱的平行大面體的體積。 四兩向量間的關(guān)系 設(shè)關(guān)系向量表示向量坐標(biāo)表示間夾角與垂直與平行§52 平面與直線 一空間解析幾何 1空間解析幾何研究的基本問題 （1）已知曲面（線）作為點的幾何軌跡，建立這曲面（線）的方程。 （2）已知坐標(biāo)和間的一個方程（組），研究這方程（組）所表示的曲面（線）。 2距離公式 空間兩點與間的距離為 3定比分點公式 是的分點：，點的坐標(biāo)為，則 當(dāng)為中點時， 二平面及其方程 1法（線）向量，法（線）方向數(shù)。 與平

4、面垂直的非零向量，稱為平面的法向量，通常記成。法向量的坐標(biāo)稱為法（線）方向數(shù)。對于給定的平面，它的法向量有無窮多個，但它所指的方向只有兩個。 2點法式方程 已知平面過點，其法向量，則平面的方程為 或 其中 3一般式方程其中不全為零。前的系數(shù)表示的法線方向數(shù)，是的法向量。 特別情形： ，表示通過原點的平面。 ，平行于軸的平面。 ，平行平面的平面。 表示平面。 4三點式方程 設(shè)，三點不在一條直線上，則通過的平面方程為 5平面束 設(shè)直線的一般式方程為，則通過的所有平面方程為，其中。 6有關(guān)平面的問題 兩平面為 與間夾角垂直條件平行條件重合條件 設(shè)平面的方程為，而點為平面外的一點，則到平面的距離： 三

5、直線及其方程 1方向向量、方向數(shù) 與直線平行的非零向量，稱為直線的方向向量，方向向量的坐標(biāo)稱為方向數(shù)。 2直線的標(biāo)準(zhǔn)方程（對稱式方程）。 其中為直線上的點，為直線的方向數(shù)。 3參數(shù)式方程 為參變量。 4兩點式 設(shè)，為不同的兩點，則通過和的直線方程為 5一般式方程（作為兩平面的交線）： ，方向向量 6有關(guān)直線的問題 兩直線為 與間夾角垂直條件平行條件四平面與直線相互關(guān)系 平面的方程為： 直線的方程為：與間夾角（）與垂直條件與平行條件與重合條件上有一點在上§53 曲面與空間曲線 一曲面方程 1一般方程 2參數(shù)方程 （平面區(qū)域） 二空間曲線方程 1一般方程 2參數(shù)方程 三常見的曲面方程 1球面方程 設(shè)是球心，是半徑，是球面上任意一點，則，即 2旋轉(zhuǎn)曲面的方程 （1）設(shè)是平面上一條曲線，其方程是繞軸旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)曲面，設(shè)是旋轉(zhuǎn)面上任一點，由點旋轉(zhuǎn)而來（點是圓心）。 由得旋轉(zhuǎn)面方程是 或 由參數(shù)方程，得旋轉(zhuǎn)面的參數(shù)