D5_4反常積分;D6_1元素分析法

1、1 1/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）21.( )( ),lim( ).xaxaxF xf t dtfxaF x設其中 連續(xù)求2.2.計算計算2121.xdxx2 2/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）二、瑕積分二、瑕積分一、無窮限積分一、無窮限積分第四節(jié)第四節(jié) 反常積分反常積分3 3/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）缺少這兩個條件中的一條缺少這兩個條件中的一條, ,就稱為就稱為反常積分反常積分. .即即: : 引入定積分概念時引入定積分概念時, ,有兩個基本要求有兩個基本要求: : 1. 1.積分區(qū)間積分區(qū)間a, ,b是有限的是有限的; ; 2. 2.被積函數(shù)被積函數(shù)f(

2、(x) )在在a, ,b上是有界的上是有界的. . 這種通常意義下的積分稱為這種通常意義下的積分稱為常義積分常義積分. .若若a,b變?yōu)闊o限區(qū)間變?yōu)闊o限區(qū)間,則稱則稱 為為無窮限積分無窮限積分; badxxf)(若若 f(x) 為無界函數(shù)為無界函數(shù),則稱則稱 為為瑕積分瑕積分. badxxf)(4 4/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）1.1.引例引例Oxyy = 11+x2AbB例例1 1 求由曲線求由曲線y = (x0)與坐標軸與坐標軸所所“圍成圍成”的開口曲邊梯形的面積的開口曲邊梯形的面積. 11+x2形如形如的積分稱為無窮限積分的積分稱為無窮限積分.()，afx dx ( )，bf

3、x dx ( ) ，f x dx 2.2.無窮限積分定義無窮限積分定義5 5/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）積分的值積分的值,記為記為(1)( )af x dx設設 f(x)在在 連續(xù)，連續(xù)，),a如果如果 存在存在lim( )tatf x dx 則稱廣義積分則稱廣義積分 收斂收斂,并稱此極限為廣義并稱此極限為廣義 adxxf)( )lim( )taatf x dxf x dx 如果上式極限不存在如果上式極限不存在,則稱廣義積分發(fā)散則稱廣義積分發(fā)散.(2) bdxxf)(稱廣義積分稱廣義積分 收斂收斂,并稱此極限為廣義積并稱此極限為廣義積( )bf x dx 設設 f(x)在在 連續(xù)連

4、續(xù),如果如果 存在存在,則則(, b lim( )bttf x dx ( )lim( )bbttf x dxf x dx 分的值分的值,記為記為6 6/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）例例2 2 判別下列積分的斂散性判別下列積分的斂散性, ,收斂時求其值收斂時求其值. .( )ln;( );xxdxxedx 1012(2)(2)約定記號約定記號: :若若 , ,則則( )( )Fxf x ( )( )lim( )( )aaxf x dxF xF xF a 注意注意 (1)(1)計算步驟計算步驟: :先求定積分先求定積分, ,再取極限再取極限. .7 7/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（

5、上）例例3 3 討論討論 的斂散性的斂散性. .11pdxx 廣義積分廣義積分 在在 時收斂時收斂; ;在在 時發(fā)散時發(fā)散. .1p 1p11pdxx 例例4 4 下列積分收斂的是下列積分收斂的是( ),dxdxdxABCDx dxxxx 2221218 8/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）(3)形如形如 的積分的積分 dxxf)(對于積分對于積分 我們采取將其一分為二的方法我們采取將其一分為二的方法, ,考慮如下考慮如下的兩個積分的兩個積分 與與 是否收斂是否收斂. . dxxf)( cdxxf)( cdxxf)(結論如下結論如下: 如果這兩個積分都收斂如果這兩個積分都收斂,則原積分也

6、收斂則原積分也收斂,且且 ,否則否則原積分發(fā)散原積分發(fā)散. ccdxxfdxxfdxxf)()()(注意注意 c為常數(shù)為常數(shù),通常取通常取0或或1. 其中任何一個無窮積分其中任何一個無窮積分發(fā)散發(fā)散,則原積分發(fā)散則原積分發(fā)散9 9/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）例例5 5 計算廣義積分計算廣義積分.dxx 21例例6 積分積分 是否收斂是否收斂? xdxx 221注意注意 奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上積分性質只有當廣義積分奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上積分性質只有當廣義積分收斂時適用收斂時適用!注意注意 在在廣義積分收斂廣義積分收斂的前提下的前提下,定積分的性質、計定積分的性質、計算方法都可以推廣到廣義積分

7、中算方法都可以推廣到廣義積分中.;0 xedx 1010/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上） 如果如果f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上某點為無窮間斷點上某點為無窮間斷點, ,則稱該點則稱該點為為f(x)的瑕點的瑕點, ,并稱積分并稱積分 為瑕積分為瑕積分. . badxxf)(瑕積分比無窮限積分難瑕積分比無窮限積分難,難在瑕點不容易發(fā)現(xiàn)難在瑕點不容易發(fā)現(xiàn).dxx 1211()x 111112 例例7 下列積分屬于瑕積分的是下列積分屬于瑕積分的是_. 一個積分是不是瑕積分一個積分是不是瑕積分,就是看在積分區(qū)間上有沒就是看在積分區(qū)間上有沒有有無窮間斷點無窮間斷點.sin.xxxxxAdxBdxCd

8、xDedxxxx 133111112000012111注意注意 被積函數(shù)不滿足可積條件被積函數(shù)不滿足可積條件,則不能使用牛頓則不能使用牛頓-萊萊布尼茲公式布尼茲公式.1111/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）1. 設設f(x)在在(a,b連續(xù)連續(xù), x=a 為瑕點為瑕點(即即 ). )(limxfax若若 存在存在,則稱瑕積分則稱瑕積分 收斂收斂, badxxf )(lim0 badxxf)( babadxxfdxxf )(lim)(0注意注意 瑕點就是無窮間斷點瑕點就是無窮間斷點.2. 設設f(x)在在a,b)連續(xù)連續(xù), x=b 為瑕點為瑕點(即即 ). )(limxfbx若若 存在存

9、在,則稱瑕積分則稱瑕積分 收斂收斂, badxxf)(lim0 badxxf)( babadxxfdxxf)(lim)(0記為記為 記為記為 1212/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）3. 設設f(x)在在(a, b)內一點內一點c處無窮間斷處無窮間斷,對于瑕積分對于瑕積分 ,我們采取將其一分為二的方法我們采取將其一分為二的方法, ,考慮如下考慮如下 的兩個積分的兩個積分 與與 是否收斂是否收斂. . badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(結論如下結論如下:如果這兩個積分都收斂如果這兩個積分都收斂,則原積分也收斂則原積分也收斂,且且 ,否則原積分發(fā)散否則原積分發(fā)散. bcc

10、abadxxfdxxfdxxf)()()(例例8 8 求求ln xdx 10當當0 0p1時時, ,原積分收斂原積分收斂; ;當當 時時, ,原積分發(fā)散原積分發(fā)散. .1 P例例9 9 討論瑕積分討論瑕積分 的斂散性的斂散性. .101pdxx 1313/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）例例10 求求dxx 101例例11 求求).0(022 axadxa1414/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）第一節(jié)第一節(jié) 定積分的元素法定積分的元素法 一、什么問題可以用定積分解決一、什么問題可以用定積分解決? ?二、如何應用定積分解決問題二、如何應用定積分解決問題? ? 1515/16/16高

11、等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）表示為表示為niiixfU10)(lim一一. .什么問題可以用定積分解決什么問題可以用定積分解決? ? 1)1)所求量所求量U是與區(qū)間是與區(qū)間a,b上的某分布上的某分布f(x)有關的有關的2)2)U對區(qū)間對區(qū)間a , b具有可加性具有可加性, , 即可通過即可通過“大化小大化小, ,常代變常代變, ,近似和近似和, ,取極限取極限”baxxfd)(niiixf10)(lim定積分定義定積分定義一個整體量一個整體量; ;1616/16/16高等數(shù)學（上）高等數(shù)學（上）第一步第一步 利用利用“化整為零化整為零, ,以常代變以常代變”求出局部量求出局部量的的微分表達式微分表達式xxfUd)(d第二步第二步 利用利用“積零為整積零為整, ,無限累加無限累加”求