第七章量子力學(xué)的矩陣形式與表象變換

1、 1925年年7月初，海森伯終于完成了題為月初，海森伯終于完成了題為“從量子理論重新從量子理論重新解釋運(yùn)動(dòng)學(xué)和力學(xué)關(guān)系解釋運(yùn)動(dòng)學(xué)和力學(xué)關(guān)系”的論文。建立了的論文。建立了矩陣力學(xué)矩陣力學(xué)。 1926年，蘇黎世大學(xué)的奧地利科學(xué)家歐文年，蘇黎世大學(xué)的奧地利科學(xué)家歐文薛定諤發(fā)展了薛定諤發(fā)展了另一種形式的量子力學(xué)另一種形式的量子力學(xué)波動(dòng)力學(xué)波動(dòng)力學(xué)。 薛定諤的波動(dòng)力學(xué)和海森伯的矩陣力學(xué)的出發(fā)點(diǎn)不同，而薛定諤的波動(dòng)力學(xué)和海森伯的矩陣力學(xué)的出發(fā)點(diǎn)不同，而且是通過不同的思維過程發(fā)展而來的，但是用這兩種理論處理且是通過不同的思維過程發(fā)展而來的，但是用這兩種理論處理同一問題時(shí)，卻得到了相同的結(jié)果。包括薛定諤本人在

2、內(nèi)的許同一問題時(shí)，卻得到了相同的結(jié)果。包括薛定諤本人在內(nèi)的許多人已經(jīng)證明了量子力學(xué)的這兩種形式彼此完全等價(jià)。海森伯多人已經(jīng)證明了量子力學(xué)的這兩種形式彼此完全等價(jià)。海森伯的理論比薛定諤提出的早一些，可是科學(xué)家們?cè)诮邮苎Χㄖ@的的理論比薛定諤提出的早一些，可是科學(xué)家們?cè)诮邮苎Χㄖ@的波動(dòng)力學(xué)時(shí)卻顯得迅速得多。波動(dòng)力學(xué)時(shí)卻顯得迅速得多。 歷史回顧：歷史回顧： 量子力學(xué)的建立量子力學(xué)的建立-矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)的提出矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)的提出第七章第七章 量子力學(xué)的矩陣形式與表象變換量子力學(xué)的矩陣形式與表象變換NMNNMMAAAAAAAAAA212222111211 矩陣MN 矩陣元nmA, 2 , 1NnM

3、m, 2 , 1方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣。矩陣簡(jiǎn)介矩陣簡(jiǎn)介 1、定義、定義BA nmnmBABACnmnmnmBAC2、兩矩陣相等、兩矩陣相等（行列數(shù)相等）3、兩矩陣相加、兩矩陣相加（行列數(shù)相等）4、兩矩陣相乘、兩矩陣相乘（ 一個(gè)n列的矩陣A與一個(gè)n行的矩陣B相乘）23222113121123222113121122211211CCCCCCBBBBBBAAAA232213212222122121221121231213112212121121121111BABABABABABABABABABABABA BAAB BAAB (1)稱A、B矩陣相互不對(duì)易稱A、B矩陣相互對(duì)易（2）)()(BCAC

4、ABABC()AB CABBC(3)(4)ABAC，但B=C不一定成立(5) AB=0，但A=0，B=0不一定成立(6) A2=0，但A=0不一定成立5、對(duì)角矩陣、對(duì)角矩陣:除對(duì)角元外其余為零4321000000000000AAAAA6、單位矩陣、單位矩陣1000010000100001I單位矩陣與任何矩陣A的乘積仍為A：IA=A并且與任何矩陣都是可對(duì)易的：IA=AI 把矩陣A的行和列互相調(diào)換，所得出的新矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣。 A7、轉(zhuǎn)置矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣：232221131211AAAAAAA231322122111AAAAAAA*23*13*22*12*21*11AAAAAAA共軛矩陣：8、厄

5、密矩陣、厄密矩陣：如果一個(gè)矩陣A和它的共軛矩陣相等 則稱A矩陣為厄密矩陣AA 00iiA*0)(0iiA00iiAABAB)(ABCDABCD)(表象理論表象理論根據(jù)量子力學(xué)的基本原理，微觀粒子的量子態(tài)用波函數(shù)描述，根據(jù)量子力學(xué)的基本原理，微觀粒子的量子態(tài)用波函數(shù)描述，力學(xué)量用線性厄密算符描述。前面所使用的波函數(shù)及力學(xué)量力學(xué)量用線性厄密算符描述。前面所使用的波函數(shù)及力學(xué)量算符均以坐標(biāo)為變量而寫出其具體表達(dá)形式的。是否有其它算符均以坐標(biāo)為變量而寫出其具體表達(dá)形式的。是否有其它描述方法？（即以其它力學(xué)量的本征值譜為變量）描述方法？（即以其它力學(xué)量的本征值譜為變量） 回答是：不僅有，而且非常必要！因

6、為恰當(dāng)選擇描述體系回答是：不僅有，而且非常必要！因?yàn)榍‘?dāng)選擇描述體系的具體形式（自變量）可給運(yùn)算帶來很多方便。的具體形式（自變量）可給運(yùn)算帶來很多方便。量子力學(xué)中狀態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式量子力學(xué)中狀態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式表象表象常用表象：坐標(biāo)表象，動(dòng)量表象，能量表象，角動(dòng)量表象等常用表象：坐標(biāo)表象，動(dòng)量表象，能量表象，角動(dòng)量表象等。一個(gè)定義：一個(gè)定義：表象的定義表象的定義 二個(gè)表示：二個(gè)表示：態(tài)（波函數(shù)）在任意表象中的表示態(tài)（波函數(shù)）在任意表象中的表示 力學(xué)量（算符）在任意表象中的表示力學(xué)量（算符）在任意表象中的表示三個(gè)公式：三個(gè)公式：平均值公式平均值公式 本征值方程本征值方程 薛定諤方程

7、薛定諤方程 在任意表象中的表示在任意表象中的表示表象理論中采用的數(shù)學(xué)工具主要是矩陣表象理論中采用的數(shù)學(xué)工具主要是矩陣 矩陣力學(xué)矩陣力學(xué)（海森堡（海森堡 Heisenberg ）7.1 量子態(tài)的不同表象量子態(tài)的不同表象F討論分立譜的情況討論分立譜的情況的本征值為：的本征值為： F1, F 2, ., F n,.，相應(yīng)本征函數(shù)：相應(yīng)本征函數(shù)： 構(gòu)成正交歸一完備系構(gòu)成正交歸一完備系 在坐標(biāo)表象中在坐標(biāo)表象中設(shè)設(shè)力學(xué)量算符力學(xué)量算符 若體系狀態(tài)用歸一化波函數(shù)若體系狀態(tài)用歸一化波函數(shù) (x,t) 描述，有：描述，有：1)(),(22nntadxtx,),(),(),(21xxxn nnnxtatx)()

8、(),( dxtxxtann),()()(* 說明說明：給出量子態(tài)在給出量子態(tài)在t時(shí)刻測(cè)量粒子坐標(biāo)為時(shí)刻測(cè)量粒子坐標(biāo)為x 的概率密度的概率密度2),(tx（1）| an (t) | 2 表示在表示在 (x,t)所描述的狀態(tài)中測(cè)量所描述的狀態(tài)中測(cè)量F得得Fn的的概率密度概率密度二者從不同角度對(duì)同一量子態(tài)給予描述二者從不同角度對(duì)同一量子態(tài)給予描述, 物理意義是等物理意義是等價(jià)的價(jià)的,數(shù)學(xué)上也是等價(jià)的數(shù)學(xué)上也是等價(jià)的. （2） an (t)一般不再是坐標(biāo)一般不再是坐標(biāo) x的函數(shù)而是力學(xué)量的函數(shù)而是力學(xué)量F的本征值的本征值Fn的函數(shù)，即量子數(shù)的函數(shù)，即量子數(shù)n的函數(shù)，隨的函數(shù)，隨 n的不同取不同復(fù)數(shù)值

9、的不同取不同復(fù)數(shù)值 .)(),(tatxn 結(jié)論：結(jié)論：an(t)與與 (x,t)描述體系的同一個(gè)態(tài)，描述體系的同一個(gè)態(tài)， (x,t)是這一是這一狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示，而數(shù)列狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示，而數(shù)列an(t)是這同一狀態(tài)在是這同一狀態(tài)在F表象中的表示。我們可以把數(shù)列表象中的表示。我們可以把數(shù)列an(t)寫成列矩陣的形式，寫成列矩陣的形式，用用 F標(biāo)記：標(biāo)記：12( )( )( )Fna ta ta t把矩陣把矩陣 F稱為稱為 (x,t)所描寫的狀態(tài)在所描寫的狀態(tài)在F表表象中的波函數(shù)象中的波函數(shù) F的共軛矩陣是一個(gè)行矩陣，用的共軛矩陣是一個(gè)行矩陣，用 +F標(biāo)記標(biāo)記*12( )( )( )

10、Fna ta ta t若用矩陣表示歸一化，有：若用矩陣表示歸一化，有： FF )()()()()()(21*2*1tatatatatatann*( )( )nnna t a t1綜上所述，量子力學(xué)中體系的同一狀態(tài)可以用不同力學(xué)量表象綜上所述，量子力學(xué)中體系的同一狀態(tài)可以用不同力學(xué)量表象中的波函數(shù)來描寫。所取表象不同，波函數(shù)的形式也不同。我中的波函數(shù)來描寫。所取表象不同，波函數(shù)的形式也不同。我們可以根據(jù)處理問題的需要選用適當(dāng)?shù)谋硐笠苑奖闱蠼?。們可以根?jù)處理問題的需要選用適當(dāng)?shù)谋硐笠苑奖闱蠼狻?例例:若給出：若給出： 中心力場(chǎng)能量表象為：中心力場(chǎng)能量表象為：02100212110121211210

11、200100tEitEiEeeaaaaatEitEiee21102111002121tEitEieYReYRtr2110112100102121),(Hilbert（希耳伯特）空間希耳伯特）空間：態(tài)矢量所在的無限維空間：態(tài)矢量所在的無限維空間 量子力學(xué)中，態(tài)的表象這一概念與幾何學(xué)中選取不同的坐標(biāo)系量子力學(xué)中，態(tài)的表象這一概念與幾何學(xué)中選取不同的坐標(biāo)系來表示同一矢量的概念十分相似。在量子力學(xué)中，我們可以建來表示同一矢量的概念十分相似。在量子力學(xué)中，我們可以建立一個(gè)立一個(gè)n維（維（n可以是無窮大）空間，把波函數(shù)可以是無窮大）空間，把波函數(shù) 看成是這個(gè)空看成是這個(gè)空間中的一個(gè)矢量，稱為間中的一個(gè)矢量

12、，稱為態(tài)矢量態(tài)矢量。選取一個(gè)特定力學(xué)量。選取一個(gè)特定力學(xué)量F表象，表象，相當(dāng)于選取特定的坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系是以力學(xué)量相當(dāng)于選取特定的坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系是以力學(xué)量F的本征函數(shù)的本征函數(shù)系系,),(),(),(21xxxn 為基矢，態(tài)矢量在各基矢上的分量為基矢，態(tài)矢量在各基矢上的分量則為展開系數(shù)則為展開系數(shù)),(,),(),(21tatatan可用這組分量來表示?？捎眠@組分量來表示。，在，在F表象中態(tài)矢量表象中態(tài)矢量 F表象的基矢有無限多個(gè)，所以態(tài)矢量所在的空間是一個(gè)表象的基矢有無限多個(gè)，所以態(tài)矢量所在的空間是一個(gè)無限維的抽象的函數(shù)空間，稱為無限維的抽象的函數(shù)空間，稱為Hilbert空間?？臻g。 nn

13、nxtatx)()(),( 7.2 力學(xué)量力學(xué)量(算符算符)的矩陣表示的矩陣表示力學(xué)量算符的具體形式應(yīng)該與波函數(shù)的具體形式相對(duì)應(yīng)，力學(xué)量算符的具體形式應(yīng)該與波函數(shù)的具體形式相對(duì)應(yīng)，以保證對(duì)波函數(shù)的作用有意義。以保證對(duì)波函數(shù)的作用有意義。F表象中的算符表示（表象中的算符表示（分立譜的情況）分立譜的情況） ：設(shè)量子態(tài)設(shè)量子態(tài) 經(jīng)過算符經(jīng)過算符運(yùn)算后變成另一個(gè)態(tài)運(yùn)算后變成另一個(gè)態(tài) ：LL在以力學(xué)量完全集在以力學(xué)量完全集F的本征態(tài)的本征態(tài) k為基矢的表象（為基矢的表象（F表象表象）中，）中，上式變成：上式變成：kkkkkkba L*( )jx*( ) (1)jxdx式以以左乘上式兩邊并對(duì)左乘上式兩邊并

14、對(duì)x積分，積分范圍是積分，積分范圍是x變化的變化的整個(gè)區(qū)域得整個(gè)區(qū)域得(,)jkjkLL表成矩陣的形式則為：表成矩陣的形式則為：1111211221222212mmnnnnmnbLLLabLLLabLLLa kkkjkkkjjaLadxLb)(* jkLL 在在F表象中的矩陣表示，而矩陣表象中的矩陣表示，而矩陣左邊的一列矩陣和右邊的一列矩陣分別是波函數(shù)左邊的一列矩陣和右邊的一列矩陣分別是波函數(shù) 和波函數(shù)和波函數(shù)中中的表示。的表示。即算符即算符FL則有：則有： 用用表示這個(gè)矩陣表示這個(gè)矩陣FFFL1111211221222212mmnnnnmnbLLLabLLLabLLLa在在F表象表象L的性質(zhì)

15、的性質(zhì)討論：討論： F表象中力學(xué)量算符表象中力學(xué)量算符1、算符在自身表象中是一對(duì)角矩陣，對(duì)角元素就是算符在自身表象中是一對(duì)角矩陣，對(duì)角元素就是 算符的本征值。算符的本征值。120000nFFFFnmmmnmmmnmnnmFdxFdxFdxFF *證明證明:2、力學(xué)量算符用厄密矩陣表示、力學(xué)量算符用厄密矩陣表示即即L矩陣的第矩陣的第m列第列第n行的矩陣元等于第行的矩陣元等于第n列第列第m行行矩陣元的復(fù)共軛，這就是矩陣元的復(fù)共軛，這就是厄密矩陣厄密矩陣。用用L+表示矩陣表示矩陣L的共軛矩陣，則有：的共軛矩陣，則有：LL其對(duì)角矩陣元為實(shí)數(shù)其對(duì)角矩陣元為實(shí)數(shù)*nmmnLL 證明證明:*)(mnnmmn

16、mnnmLdxLdxLdxLL 一一 維無限深勢(shì)阱能量的本征函數(shù)基矢為維無限深勢(shì)阱能量的本征函數(shù)基矢為:x 求一維求一維無限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)無限深勢(shì)阱中粒子的坐標(biāo)算符算符 H及哈密頓算符及哈密頓算符在能量表象中的矩陣表示。在能量表象中的矩陣表示。 解：解：能級(jí)能級(jí)n=1,2,3,.2sinnn xaa22222 anEn例例:當(dāng)當(dāng) 時(shí)，非對(duì)角元為時(shí)，非對(duì)角元為:當(dāng)當(dāng)m=n時(shí)時(shí),對(duì)角元為對(duì)角元為:nm aaxnmnmaaxnmnma0222222)(cos)()(cos)( 2222222)(41)1()(1)(11)1( nmamnnmnmanmnm dxxanmxanmxaa0)(cos)

17、(cos1amndxaxnxaxmax0)(sin)(sin2annadxaxnxax022sin2坐標(biāo)算符坐標(biāo)算符 x 哈密頓算符哈密頓算符 H對(duì)角元：對(duì)角元：22222 anEn7.3 量子力學(xué)公式的矩陣表示量子力學(xué)公式的矩陣表示一、一、Schrdinger方程方程iHt ( )kkkta在在F表象中，表象中， (t)按力學(xué)量算符按力學(xué)量算符F的本征函數(shù)展開的本征函數(shù)展開,表示為表示為kkkkkkiaHat左乘左乘 j*對(duì)對(duì)x整個(gè)空間積分（取標(biāo)積）整個(gè)空間積分（取標(biāo)積） jjkkkiaH atF表象中的表象中的Schrdinger方程方程( (表示為矩陣形式表示為矩陣形式 ): ): 11

18、1121221222aHHaiaHHaFFFHti 二、平均值公式二、平均值公式在量子態(tài)在量子態(tài) 下，力學(xué)量下，力學(xué)量L的平均值為的平均值為:( ,)LL(,)kkjjkjaLa*(,)kkjjkjaLa*kkjjkja L a11121*1221222LLaaaLLaF表象中力學(xué)表象中力學(xué)量量L的平均值的平均值的矩陣形式的矩陣形式 FFFLL _LF特例：特例：若若，則，則 (,)jkjkLL(,)jkkL(,)kjkL kkjL（對(duì)角矩陣）（對(duì)角矩陣）則則 ，*kkjjkjLa L a*kkkjjkja La2kkkaL假定假定 已歸一化，即已歸一化，即 21kka2ka則則表示在表示在

19、態(tài)下測(cè)量態(tài)下測(cè)量L得到得到Lk值的概率。值的概率。三、本征值方程三、本征值方程LL在在F表象中，表象中， (t)按力學(xué)量算符按力學(xué)量算符F的本征函數(shù)展開的本征函數(shù)展開,表示為表示為:( )kkktakkkkkkLaLa左乘左乘 j*對(duì)對(duì)x整個(gè)空間積分（取標(biāo)積）整個(gè)空間積分（取標(biāo)積） jkkjkaLaL L的本征方程在的本征方程在F表象中的矩陣形式表象中的矩陣形式: :11121212220LLLaLLLa 它是它是ak（k=0,1,2,）滿足的線性齊次方程組，有滿足的線性齊次方程組，有非平庸解的條件為（非平庸解的條件為（此方程組有非零解的條件此方程組有非零解的條件)其系其系數(shù)行列式等于零，即數(shù)

20、行列式等于零，即FFFLL 即：即：1112132122233132330LLLLLLLLLLLL稱為久期方程稱為久期方程L*()jkkjLLjL( ) jka設(shè)表象空間維數(shù)為設(shè)表象空間維數(shù)為N，則上式是的則上式是的N次冪代數(shù)方程。次冪代數(shù)方程。對(duì)于可觀測(cè)量，對(duì)于可觀測(cè)量，Ljk為厄米矩陣為厄米矩陣，可以證明，可以證明，上列方程必有上列方程必有N個(gè)實(shí)根，記為，個(gè)實(shí)根，記為，(j=0,1,2,N)。可求出相應(yīng)的解可求出相應(yīng)的解(k=0,1,2,N)，表成列矢表成列矢( )1( )2( )jjjNaaajL相應(yīng)的本征態(tài)在相應(yīng)的本征態(tài)在F表象中的表示表象中的表示 與本征值與本征值給定算符如何求本征值

21、與本征函數(shù)給定算符如何求本征值與本征函數(shù) （1）先求用矩陣表示的本征方程；）先求用矩陣表示的本征方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程求本征函數(shù)。）本征值代入本征方程求本征函數(shù)。 （1） 在在A 表象中，算符表象中，算符A , ,B 的矩陣表示。的矩陣表示。（2） 在在A 表象中，算符表象中，算符B 的本征值和本征函數(shù)。的本征值和本征函數(shù)。例例1 1、設(shè)設(shè)Hermite 算符算符AB，滿足滿足122 BA，且且AB + + BA = = 0 ，求求: :解題思路：由解題思路：由A 的本征函數(shù)的定義，很容易的本征函數(shù)的定義，很容易求出在求出

22、在A 表象中表象中A 的本征函數(shù)及矩陣，利用的本征函數(shù)及矩陣，利用A, B 之間的反對(duì)易關(guān)系和幺正性，即可給出之間的反對(duì)易關(guān)系和幺正性，即可給出B 的的矩陣，本征函數(shù)和本征值矩陣，本征函數(shù)和本征值. .由由, 12A解：解：（1）在A 的自身表象中若無簡(jiǎn)并，A 的矩陣為1001A1 有本征值為有本征值為由由 AB + + BA = = 0 ，0200210011001 dadcbadcbadcbadcba所以：所以：*0cbda, 12B因?yàn)椋阂驗(yàn)椋河校河校?bc=1 bc=1 即：即：11 cb， 0110B所以，在所以，在A 表象下，表象下，（2）設(shè)在A 表象中，B 的本征函數(shù)與本征值為久

23、期方程為：1011 21210110bbbb 同理，當(dāng)同理，當(dāng)= -= -1 時(shí)本征函數(shù)為：時(shí)本征函數(shù)為：結(jié)合歸一化條件，當(dāng)= 1時(shí)本征函數(shù)為， 11211 11212 B例例2 2、已知體系的哈密頓算符已知體系的哈密頓算符與某一力學(xué)量算符與某一力學(xué)量算符在能量表象中的矩陣形式為：在能量表象中的矩陣形式為：100010001H010100002bB(1)、H和和B是否是厄密矩陣；是否是厄密矩陣；其中其中 和和b為實(shí)常數(shù)，問為實(shí)常數(shù)，問(3)、算符、算符B的本征值及相應(yīng)的本征函數(shù)；的本征值及相應(yīng)的本征函數(shù)；(2)、H和和B是否對(duì)易；是否對(duì)易；解：（解：（1）HH 100010001 200001

24、010BbB 所以所以H和和B是厄密矩陣。是厄密矩陣。（2）BHbHB 010100002 所以所以H和和B對(duì)易。對(duì)易。（3）設(shè)）設(shè)B的本征值為的本征值為 代入久期方程有：代入久期方程有：0)(2(00000222 bbbbb bbb 3212 00122221322311 aaaaaa，則則本本征征方方程程為為：的的本本征征函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè) 321112aaab 3213212010100002aaabaaab 2121022 的本征函數(shù)為的本征函數(shù)為b 2121033 的本征函數(shù)為的本征函數(shù)為b例題例題3 在正交歸一化基矢在正交歸一化基矢所張的三維矢量空間中，所張的三維矢量空間中，t=0

25、時(shí)的態(tài)矢時(shí)的態(tài)矢而物理體系的能量算符而物理體系的能量算符H和另外兩個(gè)物理量算符和另外兩個(gè)物理量算符A與與B的矩陣形式為的矩陣形式為:)(),(),(321xuxuxu321212121)(uuux 2000200010 H 010100002,aA態(tài)中算符態(tài)中算符A 、B的的 ba,0均為實(shí)數(shù)，求：均為實(shí)數(shù)，求：（1）所采用的是什么表象？基矢是什么？）所采用的是什么表象？基矢是什么？（2）表象中波函數(shù)（態(tài)矢）的表示；表象中波函數(shù)（態(tài)矢）的表示；（3）態(tài)的能量可能值及相應(yīng)概率、態(tài)的能量可能值及相應(yīng)概率、（4）3 , 2, 1iu)(x)(x?2HH、可能值、相應(yīng)概率及平均值。可能值、相應(yīng)概率及平

26、均值。解：（解：（1）因?yàn)榫仃嚕┮驗(yàn)榫仃嘓為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣.所以是能量表象；所以是能量表象；此表象此表象為為H的本征態(tài)，基矢在能量表象中為的本征態(tài)，基矢在能量表象中為)(),(),(321xuxuxu001)(1Eu010)(2Eu100)(3Eu)()()()(21)(21)(21)(332211321xuaxuaxuaxuxuxux（2）3 , 2, 1iu表象中波函數(shù)的表示為表象中波函數(shù)的表示為x表象表象有：有：21,21,21321aaa故能量表象中態(tài)矢為故能量表象中態(tài)矢為:2/12/12/1E（3）由對(duì)角矩陣可知，能量取值只能是）由對(duì)角矩陣可知，能量取值只能是0002 ,2 ,且

27、且是兩度簡(jiǎn)并的，取是兩度簡(jiǎn)并的，取和和的概率分別是的概率分別是:故故020022121a212322 aa00023)2(21)(21H或或00232/12/12/1200020001212121HH202222022)(252/12/12/1200020001212121)( HH（4）卻不是卻不是A的本征函數(shù)集。令的本征函數(shù)集。令A(yù)在能量表象中的在能量表象中的本征態(tài)為本征態(tài)為:是是H的本征函數(shù)集，的本征函數(shù)集，則本征方程為，則本征方程為本征值為本征值為)(),(),(321xuxuxu 321ccc 3213210000002ccccccaaa 000002321 cccaaa 故故 故故

28、 故故 000002aaa解久期方程解久期方程得得aaa,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)a20, 1321ccc0011當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)a21, 0321ccc時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)110212110213a21,21, 0321ccc)(),(),(321xuxuxu332211aaa321,)(xE可見，由于能量表象不是可見，由于能量表象不是的自身表象，故的自身表象，故的矩陣形式不同于的矩陣形式不同于321,要求要求A的可能值的可能值(2a,a,-a) 在在態(tài)中（即態(tài)中（即態(tài)中）態(tài)中）的概率分的概率分 布，就要把布，就要把 )(x按按A的本征態(tài)展開的本征態(tài)展開2121212100111Ea212121212121022Ea0212

29、1212121033Ea02121A21,21最后得最后得A表象中態(tài)矢表達(dá)式表象中態(tài)矢表達(dá)式:所以所以A取值為取值為(2a,a)的概率分別為的概率分別為:aaaA2321221 量子力學(xué)可以不涉及具體表象來討論粒子的量子力學(xué)可以不涉及具體表象來討論粒子的狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這種抽象的描述方法是由狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這種抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以該方法所使用的符號(hào)稱首先引用的，所以該方法所使用的符號(hào)稱為為Dirac符號(hào)。符號(hào)。4 Dirac符號(hào)符號(hào)1、右矢空間、右矢空間( (ket)ket) 量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)量子體系的一切可能狀態(tài)構(gòu)成一個(gè)Hilbert空間?？臻g空間。空間

30、中的一個(gè)矢量（方向）一般為復(fù)量，用以標(biāo)記一個(gè)量子態(tài)。中的一個(gè)矢量（方向）一般為復(fù)量，用以標(biāo)記一個(gè)量子態(tài)。在抽象表象中在抽象表象中Dirac用右矢空間的一個(gè)矢量用右矢空間的一個(gè)矢量 | 與量子狀態(tài)與量子狀態(tài)相對(duì)應(yīng)，該矢量稱為右矢。若要標(biāo)志某個(gè)特殊的態(tài)，則在相對(duì)應(yīng)，該矢量稱為右矢。若要標(biāo)志某個(gè)特殊的態(tài)，則在右矢內(nèi)標(biāo)上某種記號(hào)。右矢內(nèi)標(biāo)上某種記號(hào)。 因?yàn)榱W(xué)量本征態(tài)構(gòu)成完備系，所以本征函數(shù)所對(duì)應(yīng)因?yàn)榱W(xué)量本征態(tài)構(gòu)成完備系，所以本征函數(shù)所對(duì)應(yīng)的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢（或基組），的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢（或基組），即右矢空間中的完備的基本矢量（簡(jiǎn)稱基矢）。右矢空間即右矢空間中的完備的基本矢量（簡(jiǎn)稱基矢）。右矢空間的任一矢量的任一矢量 | 可按該空間的某一完備基矢展開?？砂丛摽臻g的某一完備基矢展開。 例如：例如： nna n 右矢空間中的每一個(gè)右矢量在左矢空間都有一個(gè)右矢空間中的每一個(gè)右矢量在左矢空間都有一個(gè)相對(duì)應(yīng)的左矢量，記為相對(duì)應(yīng)的左矢量，記為 |。2、左矢空間、左矢空間(bra)左矢左矢相應(yīng)的一個(gè)抽象態(tài)矢。相應(yīng)的一個(gè)抽象態(tài)矢