金融數(shù)學(xué)課件--(8)期權(quán)

1、期權(quán)（期權(quán)（Options）孟生旺中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院期權(quán)的基本概念期權(quán)的基本概念 期權(quán)期權(quán)（option）：賦予買方在規(guī)定期限內(nèi)按約定價格購買或出售一定數(shù)量標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。The right to buy or sell an asset.期權(quán)的買方期權(quán)的買方（buyer）：擁有在合約規(guī)定的時間購買或出售標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。期權(quán)的賣方（期權(quán)的賣方（seller）：）：承擔(dān)在規(guī)定時間內(nèi)根據(jù)買方要求履行合約的義務(wù)?？礉q期權(quán)看漲期權(quán)（call option）：賦予期權(quán)買方以執(zhí)行價格購買標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。看漲期權(quán)看漲期權(quán)看跌期權(quán)看跌期權(quán)期權(quán)期權(quán)買方買方以執(zhí)行價格買入買入標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利以執(zhí)行價格賣出賣出標(biāo)的

2、資產(chǎn)的權(quán)利期權(quán)期權(quán)賣方賣方以執(zhí)行價格賣出賣出標(biāo)的資產(chǎn)的義務(wù)以執(zhí)行價格買入買入標(biāo)的資產(chǎn)的義務(wù)期權(quán)交易中的雙重買賣關(guān)系期權(quán)交易中的雙重買賣關(guān)系 例（概念辨析）：例（概念辨析）：期權(quán)多頭，期權(quán)空頭，看漲期權(quán)，看跌期權(quán)期權(quán)多頭，期權(quán)空頭，看漲期權(quán)，看跌期權(quán)A 向 B支付100元后，有權(quán)利在年底按每股22元的價格向B出售1000股股票。A是多頭，B是空頭，看跌期權(quán)C向 D支付110元后，有權(quán)利在年底按每股20元的價格從D購買1000股股票。C是多頭，D是空頭，看漲期權(quán)W有權(quán)利在年底向Y按5的利率借款100萬元。W是多頭，Y是空頭，看漲期權(quán)。例：概念辨析（配對）例：概念辨析（配對）1. 看漲期權(quán)買方2.

3、看跌期權(quán)買方3. 看漲期權(quán)賣方4. 看跌期權(quán)賣方1C2A3B4DA. 出售標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利B. 出售標(biāo)的資產(chǎn)的義務(wù)C. 購買標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利D. 購買標(biāo)的資產(chǎn)的義務(wù)Exercise style:歐式期權(quán)歐式期權(quán)(European-style option)：買方只能在期權(quán)到期日行使買進或賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。美式期權(quán)美式期權(quán)(American-style option)：允許買方在期權(quán)到期前的任何時間執(zhí)行期權(quán)。 美式期權(quán)的價值大于相應(yīng)的歐式期權(quán)的價值。百慕大期權(quán)百慕大期權(quán)(Bermudan-style option)：買者可以在到期前的某些指定時期行權(quán)。百慕大期權(quán)賦予買者的權(quán)利是介于美式期權(quán)與歐式期

4、權(quán)之間的。上述三種期權(quán)可以在全世界范圍內(nèi)買賣，沒有任何地理上的含義。執(zhí)行價格執(zhí)行價格（exercise price, strike price）：期權(quán)合約所規(guī)定的、期權(quán)買方在行使其權(quán)利時，實際執(zhí)行的標(biāo)的資產(chǎn)的價格，即標(biāo)的資產(chǎn)的買價或賣價。與執(zhí)行價格相聯(lián)系的幾個概念內(nèi)在價值實值期權(quán)虛值期權(quán)平價期權(quán)The “Moneyness” of an option：實值期權(quán)實值期權(quán)（in the money）：an option which would have a positive payoff (but not necessarily positive profit) if exercised imme

5、diately.虛值期權(quán)虛值期權(quán)（out of the money）:an option that would have a negative payoff if exercised immediately.平價期權(quán)平價期權(quán)（at the money）：An option for which the strike price is approximately equal to the asset price.對于看漲期權(quán)多頭（購買標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利）執(zhí)行價格 市場價格，虛值對于看跌期權(quán)多頭（出售標(biāo)的資產(chǎn)權(quán)利）執(zhí)行價格 市場價格，實值執(zhí)行價格 FKCPFKCP=期權(quán)交易策略期權(quán)交易策略 期權(quán)和其他金

6、融產(chǎn)品組合，能夠形成諸多不同特征的投資組合：保險策略差價期權(quán)混合期權(quán)保險策略保險策略：應(yīng)用期權(quán)對資產(chǎn)頭寸進行保險。為資產(chǎn)多頭購買看跌期權(quán)；為資產(chǎn)空頭購買看漲期權(quán)；擁有資產(chǎn)多頭的同時，出售看漲期權(quán)；擁有資產(chǎn)空頭的同時，出售看跌期權(quán)。為為資產(chǎn)多頭資產(chǎn)多頭購買購買看跌期權(quán)看跌期權(quán)（地板策略，floor） ：確保資產(chǎn)的出售價格不會低于一個最小值。資產(chǎn)多頭與看跌期權(quán)多頭的組合的盈虧，類似于看漲期權(quán)的盈虧（下圖）：()er T tSPCK-股票多頭與看跌期權(quán)多頭的組合：類似于看漲期權(quán)股票多頭與看跌期權(quán)多頭的組合：類似于看漲期權(quán) 為為資產(chǎn)空頭資產(chǎn)空頭購買購買看漲期權(quán)看漲期權(quán)（cap, 帽子策略）：為資產(chǎn)價格

7、的上升提供保險。 資產(chǎn)空頭與看漲期權(quán)多頭的組合的盈虧，類似于看跌期權(quán)多頭的盈虧（下圖）：()er T tSCPK-股票空頭與看漲期權(quán)多頭的組合：類似于看跌期權(quán)多頭股票空頭與看漲期權(quán)多頭的組合：類似于看跌期權(quán)多頭 有擔(dān)保的看漲期權(quán)空頭有擔(dān)保的看漲期權(quán)空頭（covered call）：在擁有資產(chǎn)多頭的同時，出售看漲期權(quán)。 A short position in a call option on an asset combined with a long position in the asset. 資產(chǎn)多頭與看漲期權(quán)空頭的組合，其盈虧類似于看跌期權(quán)空頭的盈虧（下圖）：()r T tSCPKe- -

8、有擔(dān)保的看漲期權(quán)空頭：類似于看跌期權(quán)空頭有擔(dān)保的看漲期權(quán)空頭：類似于看跌期權(quán)空頭名稱策略盈虧等價的策略帽子策略出售股票，購買看漲期權(quán)購買看跌期權(quán)有擔(dān)保的看漲期權(quán)空頭購買股票，出售看漲期權(quán)出售看跌期權(quán) 有擔(dān)保的看漲期權(quán)空頭有擔(dān)保的看漲期權(quán)空頭(covered call)與帽子策略與帽子策略(cap)的比較的比較 ()er T tSCPK-()r T tSCPKe- -有擔(dān)保的看跌期權(quán)空頭有擔(dān)保的看跌期權(quán)空頭 （covered put）：在擁有資產(chǎn)空頭的同時，出售看跌期權(quán)。 資產(chǎn)空頭與看跌期權(quán)空頭的組合，其盈虧類似于看漲期權(quán)空頭（下圖）：()er T tSPCK- - -有擔(dān)保的看跌期權(quán)空頭，類似

9、于看漲期權(quán)空頭有擔(dān)保的看跌期權(quán)空頭，類似于看漲期權(quán)空頭 有擔(dān)保的看跌期權(quán)空頭與地板策略的比較有擔(dān)保的看跌期權(quán)空頭與地板策略的比較 名稱策略盈虧等價的策略地板策略購買股票，購買看跌期權(quán)購買看漲期權(quán)有擔(dān)保的看跌期權(quán)空頭出售股票，出售看跌期權(quán)出售看漲期權(quán)()er T tSPCK-()er T tSPCK- - -差價期權(quán)差價期權(quán) 差價（Spreads）組合：由到期時間相同、協(xié)議價格不同的兩個或多個同種期權(quán)（即同是看漲期權(quán)，或同是看跌期權(quán)）形成的組合。牛市差價牛市差價（bull spreads）：可以由不同的方式構(gòu)成一份看漲期權(quán)多頭，加上一份期限相同、執(zhí)行價格較高高的看漲期權(quán)空頭。一份看跌期權(quán)多頭，加

10、上一份期限相同、執(zhí)行價格較高高的看跌期權(quán)空頭。 牛市差價：低價多頭，高價空頭看漲期權(quán)的牛市差價：看漲期權(quán)的牛市差價：一份看漲期權(quán)多頭，加上一份執(zhí)行價格較高高的看漲期權(quán)空頭 看跌期權(quán)的牛市差價看跌期權(quán)的牛市差價一份看跌期權(quán)多頭，加上一份執(zhí)行價格較高高的看跌期權(quán)空頭。熊市差價熊市差價（bear spreads）：可由不同的方式構(gòu)成一份看漲期權(quán)多頭，加上一份期限相同、執(zhí)行價格較低低的看漲期權(quán)空頭。一份看跌期權(quán)多頭，加上一份期限相同、協(xié)議價格較低低的看跌期權(quán)空頭。 熊市差價：高價多頭，低價空頭看漲期權(quán)的熊市差價看漲期權(quán)的熊市差價一份看漲期權(quán)多頭，加上一份執(zhí)行價格較低的看漲期權(quán)空頭看跌期權(quán)的熊市差價看跌

11、期權(quán)的熊市差價一份看跌期權(quán)多頭，加上一份協(xié)議價格較低的看跌期權(quán)空頭盒式差價盒式差價（box spread）：通過期權(quán)生成兩個合成遠期。較低價位的遠期多頭；較高價位的遠期空頭。用“+”表示多頭，用“-”表示空頭，則有：+ 遠期 + 看漲期權(quán) - 看跌期權(quán)- 遠期 - 看漲期權(quán) + 看跌期權(quán)（見下頁圖示）看跌期權(quán)空頭看跌期權(quán)空頭看漲期權(quán)多頭看漲期權(quán)多頭0K合成遠期多頭合成遠期多頭 遠期遠期 看漲期權(quán)看漲期權(quán) - - 看跌期權(quán)看跌期權(quán)例例：用2.78元購買一個執(zhí)行價格為40元的看漲期權(quán)，并用1.99元的價格出售一個執(zhí)行價格為40元的看跌期權(quán)，就可以生成一個合成遠期多頭（交割價格為40）。成本：2.7

12、8 - 1.99 = 0.79元。 用0.97元的價格出售一個執(zhí)行價格為45元的看漲期權(quán)，并用5.08元購買一個執(zhí)行價格為45元的看跌期權(quán)，就可以生成一個合成遠期空頭（交割價格為45）。成本：5.08 - 0.97 = 4.11元。期初成本：0.79+4.11=4.90元到期獲得：45405元結(jié)果結(jié)果：相當(dāng)于零息債券。用2.78元購買一個執(zhí)行價格為40元的看漲期權(quán)，并用1.99元的價格出售一個執(zhí)行價格為40元的看跌期權(quán)，就可以生成一個合成遠期多頭（交割價格為40）?？礉q多頭看漲多頭看跌空頭看跌空頭遠期多頭用0.97元的價格出售一個執(zhí)行價格為45元的看漲期權(quán)，并用5.08元購買一個執(zhí)行價格為45

13、元的看跌期權(quán)，就可以生成一個合成遠期空頭（交割價格為45）看漲空頭看漲空頭看跌多頭看跌多頭遠期空頭上述盒式差價策略由以下四個期權(quán)構(gòu)成：A：執(zhí)行價格為40元的看漲期權(quán)多頭B：執(zhí)行價格為40元的看跌期權(quán)空頭C：執(zhí)行價格為45元的看漲期權(quán)空頭D：執(zhí)行價格為45元的看跌期權(quán)多頭AC組合牛市差價策略BD組合熊市差價策略 結(jié)論結(jié)論：盒式差價牛市差價熊市差價蝶式差價蝶式差價（butterfly spreads）：由四份期限相同、執(zhí)行價格不同的同種期權(quán)頭寸構(gòu)成。 如果這四份期權(quán)頭寸共有三個執(zhí)行價格K1 K2 K3，且K2=（K1+K3）/2，它們的期權(quán)費的終值分別為C1，C2和C3，則相應(yīng)的蝶式差價組合有如下

14、四種：看漲期權(quán)的正向蝶式差價組合執(zhí)行價格分別為K1和K3的看漲期權(quán)多頭兩份執(zhí)行價格為K2的看漲期權(quán)空頭看漲期權(quán)的反向蝶式差價組合執(zhí)行價格分別為K1和K3的看漲期權(quán)空頭兩份執(zhí)行價格為K2的看漲期權(quán)多頭看跌期權(quán)的正向蝶式差價組合執(zhí)行價格分別為K1和K3的看跌期權(quán)多頭兩份執(zhí)行價格為K2的看跌期權(quán)空頭看跌期權(quán)的反向蝶式差價組合執(zhí)行價格分別為K1和K3的看跌期權(quán)空頭兩份執(zhí)行價格為K2的看跌期權(quán)多頭看漲期權(quán)的正向蝶式差價看漲期權(quán)的正向蝶式差價 看跌期權(quán)的正向蝶式差價看跌期權(quán)的正向蝶式差價 蝶式差價組合中不同執(zhí)行價格的期權(quán)的數(shù)量確定：假設(shè)執(zhí)行價格分別為K1、K2和K3，其中K1 K21；從初始價格S下降到d

15、S，d 1；假設(shè)價格上升的概率為p，下降的概率為1-p；相應(yīng)的期權(quán)的價值分別為 fu 和 fd 。 t 時間內(nèi)資產(chǎn)價格的變動時間內(nèi)資產(chǎn)價格的變動 在較長的時間間隔內(nèi)，這種二值運動的假設(shè)可能不符合實際二叉樹模型實際上是在用大量離散的小幅度二值運動來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價格運動 單步二叉樹模型單步二叉樹模型無套利定價法風(fēng)險中性定價法 無套利定價法 假設(shè)構(gòu)造一個證券組合，包括單位的股票多頭和一個看漲期權(quán)空頭。如果股票的價格上升，該組合的價值為如果股票價格下跌，該組合的價值為uuSf-ddSf- 無論股票價格上升還是下跌，如果要求該組合的價值不變，則應(yīng)該有： 由此可得組合中包含的股票數(shù)量為： uduSfdS

16、f-udffuSdS- -顯然：如果組合中包含單位的股票，則該組合為無風(fēng)險組合因此可以用無風(fēng)險利率 r 對其未來的價值進行貼現(xiàn)。uduSfdSf-在無套利機會假設(shè)下，該組合的收益現(xiàn)值應(yīng)等于構(gòu)造該組合的成本，即：將的計算結(jié)果代入上式就可得到看漲期權(quán)的價值為：er tuSfuSf- -e1r tr tr tudededfffudud- -風(fēng)險中性定價法 在風(fēng)險中性的條件下，股票的預(yù)期收益率應(yīng)等于無風(fēng)險利率 r，因此若期初的股票價格為 S，則在很短的時間間隔末，股票價格的期望值應(yīng)為 ，故有 即 e(1)r tSpuSp dS-e(1)rtpup dD=+-ttrSe假設(shè)證券價格服從幾何布朗運動，那么

17、在一個很短的時間間隔 內(nèi)證券價格變化的方差為又根據(jù)方差的計算公式，隨機變量X的方差可以表示為， t22St22var()() ()XE XE X-因此有：即22222222(1)(1) Stpu Sp d SSpup d -2222(1)(1)tpup dpup d -如果進一步假設(shè) ，則由以上三個方程即可求得： 1udetusD=etds-D=ertdpudD-=-從而可得期權(quán)的價格為其中 ertdpudD-=-e1r tudfpfp f- -無套利定價法和風(fēng)險中性定價法實際上是等價的。在運用二叉樹模型時，通常使用風(fēng)險中性定價法。當(dāng)股票支付連續(xù)收益率為 d 的紅利時，在風(fēng)險中性條件下，股票價

18、格的增長率應(yīng)該為r-d，因此有從而有： 其他結(jié)果不變。()e(1)rtpup d-()rtedpud-多步二叉樹模型多步二叉樹模型 資產(chǎn)價格的樹型結(jié)構(gòu)資產(chǎn)價格的樹型結(jié)構(gòu) 在時間零點，股票價格為S；當(dāng)時間為 時，股票價格要么上漲到uS，要么下降到dS；時間為2時，股票價格就有三種可能：u2S、udS（等于S，因為ud =1）和d2S，以此類推。一般而言，在 時刻，證券價格有 k+1種可能： 其中tk tik iSu d-0,1,ik在得到每個節(jié)點的股票價格之后，就可以從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端 T 時刻開始往回倒推，從而為期權(quán)定價。在時間 T 的期權(quán)價值是已知的看漲期權(quán)的價值為 看跌期權(quán)的價值為 在時間 ，每一節(jié)點上的期權(quán)價值等于 T 時刻的期權(quán)價值在時間長度t內(nèi)以無風(fēng)險利率 r 計算的貼現(xiàn)值。 )0 ,max(XST-max(,0)TXS-tT-同理，在時間 ，每一節(jié)點的期權(quán)價值等于 時刻的期權(quán)價值在時間長度t內(nèi)以無風(fēng)險利率 r 計算的貼現(xiàn)值。依此類推，最終可求出在時間零點的期權(quán)價值。例：例：假設(shè)股票的當(dāng)前市場價格為50元，不付紅利波動率為每年20%，連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險年利率為5%，該股票5個月期的歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價格為50元， 求該期權(quán)的價值。 tT-2tT