八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)12.3乘法公式《完全平方公式》典型例題素材(新版)華東師大版

1、完全平方公式典型例題利用完全平方公式計(jì)算:2 2(2 -3x); (2 2)(2ab 4a); (3 3)計(jì)算：(3a -1)2； (2 2)(-2x 3y)2； (3 3)(-3x-y)2.用完全平方公式計(jì)算：22 2 2(3y x)2;(2 2)(ab)2;(3 3)(3a 4b 5c)23運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(x -a)(x a)(x2-a2)；(2 2)(a b -c)(a - b - c)；(x 1)2(x-1)2(x21)2.計(jì)算：1221122(_X_3)2_X2； (2 2)(2a-b-)(2a-b )； (3 3)(x y)2-(x-y)2.2 4221利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算

2、：(1 1)2012； (2 2)992； (3 3)(30)2.3已知a b =3,ab = -12，求下列各式的值.2 2 2 2 2a b； (2 2)a -ab b； (3 3)(a-b).若3(a2b2c2) =(a b c)2，求證：a二b=c.例 1 1(1 1)例 2 2(1 1)例 3 3(1 1)例 4 4(1 1)(3 3)例 5 5(1 1)例 6 6例 7 7(1 1)例 8 8gam 2b)2.參考答案例 1 1 分析：這幾個(gè)題都符合完全平方公式的特征，可以直接應(yīng)用該公式進(jìn)行計(jì)算.解：(1 1)(2-3x)2=22-2 2 3x (3x)2=4-12x 9x2；(2

3、)(2ab 4a)2=(2ab)22 2ab 4a (4a)2= 4a2b216a2b 16a2；121222(3)(am-2b)a m -2amb 4b.24說(shuō)明：(1 1)必須注意觀察式子的特征，必須符合完全平方公式，才能應(yīng)用該公式；(2 2)在進(jìn)行兩數(shù)和或兩數(shù)差的平方時(shí)，應(yīng)注意將兩數(shù)分別平方，避免出現(xiàn)(2 _3x)2=4 -12x 3x2的錯(cuò)誤.例 2 2 分析：(2 2)題可看成(-2x) 3y2，也可看成(3y-2x)2； ( 3 3)題可看成2 2-(3x y),也可以看成(-3x) - y,變形后都符合完全平方公式.解：(1 1)(3a -1)2=(3a)2-2 3a 1 122

4、=9a -6a 1(2)原式=(-2x)22 (-2x) 3y (3y)22 2=4x -12xy 9y2或原式(3y -2x)說(shuō)明：把題目變形為符合公式標(biāo)準(zhǔn)的形式有多種方式，做題時(shí)要靈活運(yùn)用.2例 3 3 分析：第(1 1)小題，直接運(yùn)用完全平方公式-x為公式中 a a,3y為公式中b,32 2= (3y) -2 3y 2x (2x)= 9y2-12xy 4x2(3) 原式二-(3xy)22= (3x y)= (3x)2 3x y y= 9x26xy y2或原式=(-3x)2-2 (-3x) y y2=9x26xy y2利用差的平方計(jì)算；第(2 2)小題應(yīng)把(_a -b)2化為(a b)2再

5、利用和的平方計(jì)算；第(3 3) 小題，可把任意兩項(xiàng)看作公式中a，如把(3a - 4b)作為公式中的a，5c作為公式中的b， 再兩次運(yùn)用完全平方公式計(jì)算.2222422解：(1 1)(-3y x)2= =(x-3y)2x2-4xy 9y23392 2 2 2(2)(_a -b)= =(a b)二a 2ab b2 2 2(3)(3a 4b 5c)二(3a 4b) -10c(3a 4b) 25c= =9a230ac _40bc 25c216b2- 24ab說(shuō)明：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算要防止出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：(a，b)2=a2b2,2 2 2(a -b) -a -b.例 4 4 分析：第(1 1)小題先用平

6、方差公式計(jì)算前兩個(gè)因式的積，再利用完全平方式計(jì)算第(2 2)小題，根據(jù)題目特點(diǎn)，兩式中都有完全相同的項(xiàng)a-c，和互為相反數(shù)的項(xiàng)b，所以先利用平方差公式計(jì)算(a -c) b與(a -c) -b的積，再利用完全平方公式計(jì)算2 2 2(a - c)；第三小題先需要利用幕的性質(zhì)把原式化為(x 10(x-1)(x1)，再利用乘法公式計(jì)算.22222224224解：(1 1)原式= =(xa )(xa ) = (x -a )二x2a x a(2)原式= =(a -c) b( a -c) -b =(a -c)2-b22丄2,2= =a -2ac c -b(3)原式= =(x 1)(x -1)(x21)2=(

7、x2-1)(x21)2= =(x4-1)2=x=x*-2x41說(shuō)明：計(jì)算本題時(shí)先觀察題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用所學(xué)過(guò)的乘法公式和幕的性質(zhì)，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.例 5 5 分析：(1 1 )和(3 3)首先我們都可以用完全平方公式展開(kāi)，然后合并同類(lèi)項(xiàng)；第(2 2)題可以先根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，然后如果還可以應(yīng)用公式，我們繼續(xù)應(yīng)用公式.12121212解：(1 1)(_x-3)2x2x2-3x 9X2=9-3X；24441111(2)(2a _b )(2a _b )二(2a _b) (2a _b)-2222二(2ab)2二4a24ab b2；44(3)(x y)2_ (x _ y)2= x22xy y

8、2_ (x2- 2xy y2)二x22xy y2_x22xy _ y2= 4xy.說(shuō)明：當(dāng)相乘的多項(xiàng)式是兩個(gè)三項(xiàng)式時(shí)，在觀察時(shí)應(yīng)把其中的兩項(xiàng)看成一個(gè)整體來(lái)研究.例 6 6 分析：在利用完全平方公式求一個(gè)數(shù)的平方時(shí)，一定要把原有數(shù)拆成兩個(gè)數(shù)的和或差.解：(1 1)2012=(200 1)2=20022 200 1 =40401；(2)992=(100_1)2=1002_2100 1 =9801.1212212(3)(30-)2=(30-)2=302230 - (-)2333311=900 20920.92說(shuō)明：在利用完全平方公式，進(jìn)行數(shù)的平方的簡(jiǎn)算時(shí)，應(yīng)注意拆成的兩個(gè)數(shù)必須是便于計(jì)算的兩個(gè)數(shù)，這

9、才能達(dá)到簡(jiǎn)算的目的.例 7 7 分析：(1 1)由完全平方公式(a b)2二a2二2ab b2,可知a2b (a b)2-2ab，可求得a2b 33；(2)a2-ab b2= a2b2-ab = 33-(-12) = 45；(3)(a -b)2二a2-2ab b2=33 -2 (-12) = 57.解：(1 1)a2b2=(a b)2-2ab =32-2 (-12) =9 24 =33(2)a2-ab b2= (a2b2) - ab = 33 -(-12) = 33 12 = 45(3)(a-b)2二a2-2ab b2=(a2b2)-2ab=33-2 (-12) =33 24 =57說(shuō)明：該題是(a b) a32ab - b2是靈活運(yùn)用，變形為a2 b2= (a b)2- 2ab, 再進(jìn)行代換.例 8 8 分析：由已知條件展開(kāi)，若能得出(ab)2 (bc)2 (c a)2=0,就可得到a-b=0,b-c=0, c-a=0,進(jìn)而a二b,b二cc=a= a = b=c,同時(shí)此題還用到公式2 2 2 2(a b c) = a b c 2ab 2ac 2bc.證明：由3(a2b2c2(a b c)2,得2 2 2 2 2 23a 3b 3c = a b c2 ab 2bc 2 ac3 2 22a 2b 2c -2