數(shù)學(xué)建模講座

1、數(shù)學(xué)建模競賽講座數(shù)學(xué)建模競賽講座Mathematical Contest in Modeling主講人：王愛蘋主講人：王愛蘋 華羅庚所說：華羅庚所說：“宇宙之大，粒子之多，化工宇宙之大，粒子之多，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁無一無一不可用數(shù)學(xué)來表達。不可用數(shù)學(xué)來表達?！?任何應(yīng)用問題，一旦建立起了數(shù)學(xué)的模型，任何應(yīng)用問題，一旦建立起了數(shù)學(xué)的模型，就會立即顯現(xiàn)出解決問題的就會立即顯現(xiàn)出解決問題的清晰途徑清晰途徑和和通向勝通向勝利的一線曙光利的一線曙光。內(nèi)內(nèi) 容容Part B：建模競賽簡介建模競賽簡介Part C：中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽歷程中國大學(xué)生數(shù)學(xué)

2、建模競賽歷程Part D：建模過程簡介建模過程簡介Part E：建模案例分析建模案例分析Part F：數(shù)學(xué)建模競賽的魅力數(shù)學(xué)建模競賽的魅力Part A：數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模玩具、照片玩具、照片 實物模型實物模型風(fēng)洞中的飛機風(fēng)洞中的飛機 物理模型物理模型地圖、電路圖地圖、電路圖 符號模型符號模型模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。模型模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見我們常見的模型的模型什么是數(shù)學(xué)模型什么是數(shù)學(xué)模型Part

3、A：數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型(Mathematical Model)(Mathematical Model)和和數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling)Mathematical Modeling)數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型: :對于一個現(xiàn)實對象對象，為了一個特定目的目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)建模：建立數(shù)學(xué)模型的全過程全過程（包括建立、求解、分析、檢驗）?，F(xiàn)現(xiàn)實實世世界界數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)世世界界建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型推理推理演繹演繹求解求解翻譯為實際解答翻譯為實際解答實際解答實際解答：如對

4、現(xiàn)實對象的分析、預(yù)報、如對現(xiàn)實對象的分析、預(yù)報、 決策、控制等結(jié)果。決策、控制等結(jié)果。始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁怎樣構(gòu)架這座橋梁？怎樣構(gòu)架這座橋梁？每位同學(xué)都應(yīng)該成為架設(shè)這座橋梁的每位同學(xué)都應(yīng)該成為架設(shè)這座橋梁的工程師工程師我們碰到過的數(shù)學(xué)模型我們碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題航行問題” 甲乙兩地相距750 公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0 小時，從乙到甲逆水航行需50 小時，問船的速度是多少。用用x表示船速，表示船速，y表示水速，列出方程表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx求解

5、得到求解得到 x=20, y=5,答：船速每小時答：船速每小時2020公里公里航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關(guān)量（用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；）； 回答原問題（船速每小時回答原問題（船速每小時20公里）。公里）。數(shù)學(xué)建模的重要意數(shù)學(xué)建模的重

6、要意義義 電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視越來越受到人們的重視。數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模計算機技術(shù)計算機技術(shù)如虎添翼如虎添翼知識經(jīng)濟知識經(jīng)濟具備的數(shù)學(xué)知識具備的數(shù)學(xué)知識（1）數(shù)學(xué)分析）數(shù)學(xué)分析 （5）圖論）圖論（3）概率與數(shù)理統(tǒng)計）概率與數(shù)理統(tǒng)計（4）運籌學(xué)）運籌學(xué)（2）高等代數(shù)）高等代數(shù) （6）組合數(shù)學(xué)）組合數(shù)學(xué)（7）微分方程）微分方程（8）排隊論）排隊論 1. MATLAB：計算方法，優(yōu)化：計算方法

7、，優(yōu)化/統(tǒng)計統(tǒng)計/符號工符號工 具箱等具箱等2. LINGO：專業(yè)的優(yōu)化軟件：專業(yè)的優(yōu)化軟件3. 其他其他SAS: 專業(yè)的統(tǒng)計分析軟件專業(yè)的統(tǒng)計分析軟件Mathematica, Maple: 符號精確計算能力強符號精確計算能力強EXCEL: 電子表格，簡單數(shù)據(jù)處理電子表格，簡單數(shù)據(jù)處理C+.常用數(shù)學(xué)軟件常用數(shù)學(xué)軟件 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù)技術(shù)大致有章可循技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想象力想象力洞察力洞察力判斷力判斷力 學(xué)習(xí)、分析、評價、改進別人作過的模型學(xué)習(xí)

8、、分析、評價、改進別人作過的模型 親自動手，認真作幾個實際題目親自動手，認真作幾個實際題目創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識Part B：建模競賽簡介建模競賽簡介1. 數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽什么是數(shù)學(xué)建模競賽什么是數(shù)學(xué)建模競賽 數(shù)學(xué)競賽給人的印象是高深莫測的數(shù)學(xué)難題，數(shù)學(xué)競賽給人的印象是高深莫測的數(shù)學(xué)難題，和一個人、一支筆、一張紙，關(guān)在屋子里的和一個人、一支筆、一張紙，關(guān)在屋子里的冥思苦想冥思苦想，它訓(xùn)練嚴(yán)密的邏輯推理和準(zhǔn)確的，它訓(xùn)練嚴(yán)密的邏輯推理和準(zhǔn)確的計算能力。但數(shù)學(xué)建模競賽從內(nèi)容到形式與計算能力。但數(shù)學(xué)建模競賽從內(nèi)容到形式與此都有明顯的不同此都有明顯的不同。 數(shù)學(xué)建模競賽的題目由日常生活、工程技數(shù)學(xué)建模

9、競賽的題目由日常生活、工程技術(shù)和管理科學(xué)中的實際問題簡化加工而成，它術(shù)和管理科學(xué)中的實際問題簡化加工而成，它對數(shù)學(xué)知識要求不深，一般沒有事先設(shè)定的標(biāo)對數(shù)學(xué)知識要求不深，一般沒有事先設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明準(zhǔn)答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神才智和創(chuàng)造精神。2. 數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽的形式數(shù)學(xué)建模競賽的形式 數(shù)學(xué)建模競賽以通訊形式進行。數(shù)學(xué)建模競賽以通訊形式進行。 三名大學(xué)生組成一隊，可自由地收集資料、調(diào)查研究，三名大學(xué)生組成一隊，可自由地收集資料、調(diào)查研究，使用計算機和任何軟件，甚至上網(wǎng)查詢，但不使用計算機和任何軟件，甚至上網(wǎng)查詢，但不

10、 得與隊外任何人討論。得與隊外任何人討論。 時間：三天。完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解，時間：三天。完成一篇包括模型的假設(shè)、建立和求解，計算方法的設(shè)計和計算機實現(xiàn)，結(jié)果的分析和計算方法的設(shè)計和計算機實現(xiàn)，結(jié)果的分析和 檢驗，檢驗，模型的改進等方面的論文。模型的改進等方面的論文。 競賽評獎以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的競賽評獎以假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的 正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。正確性和文字表述的清晰程度為主要標(biāo)準(zhǔn)。 競賽是由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)競賽是由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會共同主辦的，每年學(xué)學(xué)會共同主辦的，每年9月下旬舉行。競賽面月下旬舉

11、行。競賽面向全國高等院校的學(xué)生，不分專業(yè)。每年的報名向全國高等院校的學(xué)生，不分專業(yè)。每年的報名將通知各有關(guān)院校。將通知各有關(guān)院校。3. 數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽怎樣參加數(shù)學(xué)建模競賽怎樣參加數(shù)學(xué)建模競賽Part C：中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽歷程中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽歷程1988.6葉其孝教授在美國講學(xué)期間向美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模葉其孝教授在美國講學(xué)期間向美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽發(fā)起者和負責(zé)人競賽發(fā)起者和負責(zé)人FusaroFusaro教授了解這項競賽的情教授了解這項競賽的情況，商討中國學(xué)生參賽的辦法和規(guī)則。況，商討中國學(xué)生參賽的辦法和規(guī)則。1989.2.2426我國大學(xué)生（北京大學(xué)、清華大學(xué)、北京理工大學(xué)

12、共我國大學(xué)生（北京大學(xué)、清華大學(xué)、北京理工大學(xué)共4 4個隊）首次參加美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，自此每年個隊）首次參加美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，自此每年我國都有同學(xué)參加這項競賽。我國都有同學(xué)參加這項競賽。1989.3高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報第第4卷第卷第1期發(fā)表葉其孝教授的期發(fā)表葉其孝教授的文章文章“美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽及一些想法美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽及一些想法”，第一次，第一次向國內(nèi)介紹這項競賽。向國內(nèi)介紹這項競賽。1994.10.28301994年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽舉行，年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽舉行，21?。ㄊ?、自?。ㄊ?、自治區(qū)）治區(qū)）196所院校的所院校的870隊參加。隊參加。1

13、990.12.79上海市舉辦大學(xué)生（數(shù)學(xué)類）數(shù)學(xué)模型競賽，這是我國上海市舉辦大學(xué)生（數(shù)學(xué)類）數(shù)學(xué)模型競賽，這是我國省、市級首次舉辦數(shù)學(xué)建模競賽。省、市級首次舉辦數(shù)學(xué)建模競賽。數(shù)學(xué)建模的幾個過程數(shù)學(xué)建模的幾個過程（1）模型準(zhǔn)備）模型準(zhǔn)備（5）模型分析和檢驗）模型分析和檢驗（3）模型建立）模型建立（4）模型求解）模型求解（2）模型假設(shè)）模型假設(shè)Part D：建模過程簡介建模過程簡介 （6）模型應(yīng)用）模型應(yīng)用（1）模型準(zhǔn)備）模型準(zhǔn)備了解問題的實際背景，明確其實際意義與建模了解問題的實際背景，明確其實際意義與建模目的，掌握對象的各種信息（要收集）。用數(shù)目的，掌握對象的各種信息（要收集）。用數(shù)學(xué)語言來描

14、述問題。學(xué)語言來描述問題。（2）模型假設(shè)）模型假設(shè)根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，對問題進行根據(jù)實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化，并用精確的語言提出一些必要的、合理的簡化，并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，是建模至關(guān)重要的一步。恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，是建模至關(guān)重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，是不現(xiàn)實的，如果對問題的所有因素一概考慮，是不現(xiàn)實的，所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力所以高超的建模者能充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力和判斷力 ，善于辨別主次，而且為了使處理方，善于辨別主次，而且為了使處理方法簡單，應(yīng)盡量使問題法簡單，應(yīng)盡量使問題線性化、均勻化線性化、均勻化

15、。在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（盡量用簡單的數(shù)學(xué)工具）（盡量用簡單的數(shù)學(xué)工具）（3）模型建立）模型建立利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計算（估計）?？梢圆捎媒夥匠?、畫圖形、證明定算（估計）。可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數(shù)值運算等各種傳統(tǒng)的和近代的理、邏輯運算、數(shù)值運算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是計算機技術(shù)。一道實際問題的數(shù)學(xué)方法，特別是計算機技術(shù)。一道實際問題的解決往往需要解決往往需要紛

16、繁紛繁的計算，許多時候還得將系統(tǒng)的計算，許多時候還得將系統(tǒng)運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數(shù)運行情況用計算機模擬出來，因此編程和熟悉數(shù)學(xué)軟件包能力便舉足輕重。學(xué)軟件包能力便舉足輕重。 （4）模型求解）模型求解將模型分析結(jié)果與實際情形進行比較，以此來將模型分析結(jié)果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模驗證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結(jié)果給出其實際型與實際較吻合，則要對計算結(jié)果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差,則應(yīng)該修改假設(shè)，在次重復(fù)建模過程則應(yīng)該修改假設(shè)，在次重復(fù)建模過

17、程。（5）模型檢驗）模型檢驗 數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型應(yīng)用Part E：建模案例分析建模案例分析例例1 某人住在某公交線附近，該公交線路為在某人住在某公交線附近，該公交線路為在A、B兩地間運行，每隔兩地間運行，每隔 10分鐘分鐘A、B兩地各發(fā)出一兩地各發(fā)出一班車，此人常在離家最近的班車，此人常在離家最近的 C點等車，他發(fā)現(xiàn)了點等車，他發(fā)現(xiàn)了一個令他感到奇怪的現(xiàn)象：在絕大多數(shù)情況下，一個令他感到奇怪的現(xiàn)象：在絕大多數(shù)情況下，先到站的總是由先到站的總是由 B去去A的車，難道由的車，難道由 B去去A

18、的車的車次多些嗎？請你幫助他找一下原因。次多些嗎？請你幫助他找一下原因。由于距離不同，設(shè)由于距離不同，設(shè)A到到C行駛行駛31分鐘，分鐘，B到到C要要行駛行駛30分鐘，考察一個時間長度為分鐘，考察一個時間長度為10分鐘的分鐘的區(qū)間，例如，可以從區(qū)間，例如，可以從 A方向來的車駛離方向來的車駛離C站時站時開始，在其后的開始，在其后的 9分鐘內(nèi)到達的乘客見到先來分鐘內(nèi)到達的乘客見到先來的車均為的車均為 B開往開往A的，僅有最的，僅有最 后后1分鐘到達的分鐘到達的乘客才見到由乘客才見到由A來的車先到。由此可見，如果來的車先到。由此可見，如果此人到此人到C站等車的時間是隨機的，則他先遇上站等車的時間是隨

19、機的，則他先遇上B方向來的車的概率為方向來的車的概率為 90% 。 一個小孩以每小時一個小孩以每小時3千米的速度步行回家，距千米的速度步行回家，距離為離為3千米千米。他的小狗和他一起出發(fā)，以每小時。他的小狗和他一起出發(fā)，以每小時5千米千米的速度跑回家，到家后立即又掉頭跑回小孩身的速度跑回家，到家后立即又掉頭跑回小孩身邊，然后又轉(zhuǎn)身跑向家里。如此下去，一直到小孩邊，然后又轉(zhuǎn)身跑向家里。如此下去，一直到小孩回到家里。問這條狗一共跑了多遠？回到家里。問這條狗一共跑了多遠？因為小孩走了因為小孩走了1小時，小時，所以小狗跑了所以小狗跑了5千米千米。例例2 小孩與狗的故事小孩與狗的故事例例3 3 某人第一

20、某人第一天由天由A地去地去B地，第二天由地，第二天由B地沿原路返回地沿原路返回A地。問：在什么條件下，可地。問：在什么條件下，可以保證途中至少存在一地，此人在兩天中以保證途中至少存在一地，此人在兩天中的同一時間到達該地。的同一時間到達該地。 假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同假如我們換一種想法，把第二天的返回改變成另一人在同一天由一天由B去去A，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中，問題就化為在什么條件下，兩人至少在途中相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到相遇一次，這樣結(jié)論就很容易得出了：只要任何一人的到達時間晚于另一人的出發(fā)時間，兩人必會在途中相遇。達時間晚于

21、另一人的出發(fā)時間，兩人必會在途中相遇。 （請自己據(jù)此給出嚴(yán)格證明）請自己據(jù)此給出嚴(yán)格證明） 河流City 1City 2兩座城市，隔著一兩座城市，隔著一條河條河(河岸是平行河岸是平行線線)。我們希望用。我們希望用最短的道路連接他最短的道路連接他們，這需要在河上們，這需要在河上架橋，橋必須與河架橋，橋必須與河岸垂直。問這座橋岸垂直。問這座橋應(yīng)建在何處？應(yīng)建在何處？幾何直觀化！幾何直觀化！思考一下？思考一下？1 1、摘要、摘要問題、模型、方法、結(jié)果問題、模型、方法、結(jié)果2 2、問題重述、問題重述3 3、模型假設(shè)、模型假設(shè)4 4、分析與建立模型、分析與建立模型5 5、模型求解、模型求解6 6、模型檢

22、驗、模型檢驗7 7、模型推廣、模型推廣8 8、參考文獻、參考文獻9 9、附錄、附錄數(shù)學(xué)建模的論文結(jié)構(gòu)Part E：數(shù)學(xué)建模競賽的魅力數(shù)學(xué)建模競賽的魅力終生受益的競賽培養(yǎng)創(chuàng)新能力的極好載體終生受益的競賽培養(yǎng)創(chuàng)新能力的極好載體 建立數(shù)模來解決實際問題，是我們大家在建立數(shù)模來解決實際問題，是我們大家在走上工作崗位后常常要做的工作。做這樣的事走上工作崗位后常常要做的工作。做這樣的事情，所需要的遠不只是情，所需要的遠不只是數(shù)學(xué)知識數(shù)學(xué)知識和和解數(shù)學(xué)題解數(shù)學(xué)題的的能力，而需要多方面的綜合知識和能力。社會能力，而需要多方面的綜合知識和能力。社會對具有這種能力的人的需求，比對數(shù)學(xué)專門人對具有這種能力的人的需求，比對數(shù)學(xué)專門人才的需求要多得多。才的需求要多得多。 姜啟源曾說過，姜啟源曾說過，“數(shù)模競賽是大學(xué)階段除畢業(yè)數(shù)模競賽是大學(xué)階段除畢業(yè)設(shè)計外難得的一次設(shè)計外難得的一次真刀真槍真刀真槍的訓(xùn)練的訓(xùn)練” ，它相，它相當(dāng)程度上模擬了學(xué)生畢業(yè)后工作時的情況，當(dāng)程度上模擬了學(xué)生畢業(yè)后工作時的情況，既豐富、活躍了廣大學(xué)生的課外生活，也為既豐富、活躍了廣大學(xué)生的課外生活，也為優(yōu)秀學(xué)生脫穎而出創(chuàng)造了條件。優(yōu)秀學(xué)生脫穎