考研數(shù)學(xué)易混淆

1、例3設(shè)Xna yn，且Hm( %-Xn) =0,則Xn與yn(A.都收斂于aC C 可能收斂，也可能發(fā)散答：選項(xiàng) A A 正確.lim( a xn) =0nJ:因此，lim xn二a,再利用lim( yn- xn) =0得lim yn= a.所以選項(xiàng)A.nnC二、無(wú)界與無(wú)窮大無(wú)界：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在正數(shù)M，使得f(x) _M-x X D則稱函數(shù)f (x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就成函數(shù)f (x)在X上無(wú)界；也就是說(shuō)如果對(duì)于任何正數(shù)M，總存在xX),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f (x)總滿足不等式f(x) M則稱函數(shù)f (x)為當(dāng)X；x0(或X:)時(shí)的無(wú)窮大.例 4 4 :下列敘述正

2、確的是: 如果f (X)在X0某鄰域內(nèi)無(wú)界，則lim f (X)=：X*。 如果lim f (x)-：:，則f (x)在x0某鄰域內(nèi)無(wú)界x_X01 1解析：舉反例說(shuō)明.設(shè)f(X)二丄sin -，令xn二- -,ynxx2nn: +21,，當(dāng)n U時(shí)，Xn_. 0,yn 0，n二lim f (xj = lim (2n二 一)=:nnlim f(yn) =0nr：:故f(x)在x =0鄰域無(wú)界，但x 0時(shí)f (x)不是無(wú)窮大量,由定義，無(wú)窮大必?zé)o界，故正確.結(jié)論：無(wú)窮大必?zé)o界，而無(wú)界未必?zé)o窮大.三、函數(shù)極限不存在=極限是無(wú)窮大則不正確.當(dāng)X；X0(或X:)時(shí)的無(wú)窮大的函數(shù)f(x)，按函數(shù)極限定義來(lái)

3、說(shuō)，極限是不存在的，但是為了便于敘述函數(shù)的性態(tài)，我們也說(shuō)“函數(shù)的極限是無(wú)窮大”但極限不存在并不代表其極限是無(wú)窮大.x -1例 5 5 :函數(shù)f(X)二0X 10=0，當(dāng)X 0時(shí)f (x)的極限不存在.四、如果lim f (x)X0二0不能退出limx為f (x)定義，故無(wú)法討論X為有理數(shù)X為無(wú)理數(shù)，則lim f X 0，但由于在x= 0的任一鄰域的無(wú)理點(diǎn)均沒(méi)有Tof ( X) 在x=0的極限.f(x)1結(jié)論：如果lim f(x) =0，且f (x)在滄的某一去心鄰域內(nèi)滿足f(x) = 0，則limxx0 xJx0f (x)之，f (X)為無(wú)窮大，則1為無(wú)窮小。f (X)五、求函數(shù)在某點(diǎn)處極限時(shí)

4、要注意其左右極限是否相等，求無(wú)窮大處極限要注意自變量取正無(wú)窮大和負(fù)無(wú):反1x窮大時(shí)極限是否相等。例7.求極限xmexxm0解：lim ex：，lim ex=0，因而x時(shí)ex極限不存在。x丿：.x.1 1 1ex=0, lim ex- ：，因而x.0時(shí)ex極限不存在。六、使用等價(jià)無(wú)窮小求極限時(shí)要注意：(1 1 )乘除運(yùn)算中可以使用等價(jià)無(wú)窮小因子替換，加減運(yùn)算中由于用等價(jià)無(wú)窮小替換是有條件的，故統(tǒng)一不用。這時(shí)，一般可以用泰勒公式來(lái)求極限。(2 2 )注意等價(jià)無(wú)窮小的條件，即在哪一點(diǎn)可以用等價(jià)無(wú)窮小因子替換例 8 8:求極限lim分析一：若將.廠匸 口-2寫成(.1 x -1) 1 - x -1)，

5、再用等價(jià)無(wú)窮小替換就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。分析二：用泰勒公式1 112(一21 x .1 X (1 x2 2!1 1(1x22_2 2!122x2:(x2)42 2x : (x )x2:(x2) -212 2x =(x )原式二 r例 9 9:求極限limsin xT xsin x用x等價(jià)代換，導(dǎo)致結(jié)果為 1 1。解：本題切忌將O O=X Xrnrn X Xs s狡m-m-1x七、函數(shù)連續(xù)性的判斷(1(1 )設(shè)f (x)在x =Xo間斷，g (x)在x = x0連續(xù)， 則f(x) g(x)在x =XQ間斷。而f ( x) g( x) ,2f (x), f在x =x0可能連續(xù)。.0 x工0例 1010 .

6、設(shè)f (x),g(x) =sin x,_則f (x)在x = 0間斷，g(x)在x = 0連續(xù),1 x =0f (x) g(x f (x) sin x=在x= 0連續(xù)。f 1 x：:0若設(shè)f(x)=,f (x)在x=0間斷，但f2(x) = f (x)|三1在x = 0均連續(xù)。-1x : 0(2) “f(X)在Xo點(diǎn)連續(xù)”是“f(X)在Xo點(diǎn)連續(xù)”的充分不必要條件則I i mf乂9 a” 可得“如果lim f(x) = f (x)X jXox jXo點(diǎn)連續(xù)并不能推出f(X)在xo點(diǎn)連續(xù)。(3 3)(X)在X=Xo連續(xù)，f (u)在U=Uo=(Xo)連續(xù)，則f( (X)在X = Xo連續(xù)。其余結(jié)

7、論均不一定成立。第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。例 1111.f (x)二x在X = o連讀，在x = o處不可導(dǎo)。二、f (x)與f (x)可導(dǎo)性的關(guān)系(0設(shè)f(xo) #o，f (x)在X =xo連續(xù)，則f (x)在x = xo可導(dǎo)是f (x)|在= xo可導(dǎo)的充要條件。(2)設(shè)f(Xo) =o，則f (xo) =o是|f (x)在X = Xo可導(dǎo)的充要條件。三、一元函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)與不可導(dǎo)函數(shù)乘積可導(dǎo)性的討論設(shè)F (x) =g(x) (x)，:(x)在x =a連續(xù)，但不可導(dǎo)，又g (a)存在，則g(a) = O是F (x)在x = a可導(dǎo)的充要條件。分

8、析：若g(a) =O，由定義F (a) Rim F(x)-F(a)=血g(x)(x)-g(a)2)=血g(xg(a)心)弋(a)- (a)XTxaxaXTxa反之，若F (a)存在，則必有g(shù)(a) =O。用反證法，假設(shè)g(a) =O，則由商的求導(dǎo)法則知 (x)二F(x)g(x)在x = a可導(dǎo)，與假設(shè)矛盾。禾U用上述結(jié)論，我們可以判斷函數(shù)中帶有絕對(duì)值函數(shù)的可導(dǎo)性。四、在某點(diǎn)存在左右導(dǎo)數(shù)時(shí)原函數(shù)的性質(zhì)(1 1)設(shè)f(x)在X=Xo處存在左、右導(dǎo)數(shù)，若相等則f (X)在X=Xo處可導(dǎo)；若不等，則f (X)在X =xo連續(xù)。(2 2)如果f (X)在(a,b)內(nèi)連續(xù)， 滄(a,b)，且設(shè)lim f

9、(x) = lim f (x)二m,則f (x)在X*o +xo _x =xo處必可導(dǎo)且f (xo) =mf X；) f Xo(”，因此,f (x)在Xo點(diǎn)連續(xù)，則f(x)|在Xo點(diǎn)連續(xù)。再由例 1010 可得，f (x)在Xo分析：由“若lim f (x) = aX_0 xjXo若沒(méi)有如果f (x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)的條件，即設(shè)lim f (x) = lim f (x) = a，則得不到任何結(jié)論。x_0+:C0_x . 0 x x蘭0，顯然設(shè)觀f(x)=imf(x21，但巳mf x士2lim f (x) =0，因此極限lim f (x)不存在，從而f(x)在x=0處不連續(xù)不可導(dǎo)。第三章 微分

10、中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、若lim f (x)=A,(A = 0,可以?。?,則lim f(x)=：x：.x_r：:同理，當(dāng)A：0時(shí)，lim f(x)=xjbc若lim f(x)-；,=X0,x_X時(shí)，f(x) .1，再由微分中值定理x_ J-：:二f(x)_f(X) (x-X) (x X) = limf(x)二；x_jbc同理可證lim f (x)二：時(shí)，必有l(wèi)im f (x)亍-：x廠：x廠：第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用8.18.1 多元函數(shù)的基本概念1.1.f 客0，西，60, ,使得當(dāng)|x XQIYE, ,|y 丫0&6且(x,y)式(滄)時(shí)，有f(x,y)A Y e,那么觀f(x

11、，y) =A成立了嗎？yyo成立, ,與原來(lái)的極限差異只是描述動(dòng)點(diǎn)p(x, y)與定點(diǎn)p0(x), y0)的接近程度的方法不一樣，這里采用的是點(diǎn)的矩形鄰域，而不是常用的圓鄰域，事實(shí)上這兩種定義是等價(jià)的. .2.2.若上題條件中(x, y)式(x0,y0)的條件略去，函數(shù)f (x, y)就在(x y0)連續(xù)嗎？為什么？如果(x, y)鼻(XD, y0)條件沒(méi)有， 說(shuō)明f (x0,y0)有定義， 并且(怡，y0)包含在該點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)， 由 此對(duì)于名0, ,都有| f ( x, y) | Y A，從而A =f(XDy )0, ,因此我們得到lim f (x, y) = A =f (x(3y0),

12、,即函數(shù)在(x0y0)點(diǎn)連續(xù). .x X0，y yo3.3.多元函數(shù)的極限計(jì)算可以用洛必塔法則嗎？為什么？例 1111.f (x) =x 2若lim f (x) = A = 0，不妨設(shè)A 0，則Xx-r：:A 0,x_X時(shí)，f (x) ，再由微分中值定理2f(x) =f(X) f ( )(xX)(x X, (X , x)A-f(x)-f(X)JxX)(x X) = lim f (x)=:J乂f(x) =f(X) f ()(x-X)(x X/(X,x)不可以，因?yàn)槁灞厮▌t的理論基礎(chǔ)是柯西中值定理 8.28.2 偏導(dǎo)數(shù)1. .已知f (x y,ey) =x2y, ,求f (x, y)人yy =

13、l nv令x u, ,e v那么解出x, ,y得x = u -1 n v所以f(u,v) = x2(u,v).y(u,v) =(u-lnv)2.lnv或者f(u, v) =(u -1 nv)2.ln y8.38.3 全微分極其應(yīng)用1.1.寫岀多元函數(shù)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，可微之間的關(guān)系 連續(xù)=Z Z 可微=Z = f(x, y)連續(xù)=f (x, y)極限存在偏導(dǎo)數(shù)f；, ,fy偏導(dǎo)數(shù)fx, ,fy連續(xù)=偏導(dǎo)數(shù)fx, ,fy存在2.2.判斷二元函數(shù)xy_-f(x,y) =3x2y20(X, y) = (X0,y。)在原點(diǎn)處是否可微. .(x, y) = (xo,yo)對(duì)于函數(shù)f (x, y), ,先計(jì)

14、算兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)：fx(0,0)仆f(x,。)。)x0，x0-0=lim0 x0 xfy(0,0)“imf(0f(0,0)-0丄y0-0=lim00_y又limx=x)y,y0fC：x,：y) f(0,0) fx(0,0)：x fy(0,0)：yC%2(勺)2=limx旳y y05C：x)2(y)2 6令y =k x, ,則上式為(1 k2)6|ix|3小叫x,0(1 k2)6因而f (x, y)在原點(diǎn)處可微8.48.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.1.設(shè)Z = f(且)x y可微，求dz. .)7)故得駐點(diǎn)Mi二(0,0)，二(2,0)-2“czA = 2-x二6 6x，-2C zB0，xyq2C

15、 zC =6-2y8.68.6 多元函數(shù)的極值及其求法1設(shè)f (x, y)在點(diǎn)p0(x0,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù), ,若fx(x, y) = 0, ,fy(x, y) = 0則函數(shù)f (x, y)在該點(diǎn)取得極值，命題是否正確？不正確，見(jiàn)多元函數(shù)極值存在的充分必要條件 . .2.2.如果二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域內(nèi)有惟一的極小值點(diǎn)，且無(wú)極大值，那么該函數(shù)是否在該點(diǎn)取得最小值?不一定，對(duì)于一元函數(shù)來(lái)說(shuō)上述結(jié)論是成立的，但對(duì)于多元函數(shù)，情況較為復(fù)雜，一般來(lái)說(shuō)結(jié)論不能簡(jiǎn)單的推廣。dzf(旦)d(旦x y x y2yxy (x y)d(xy) - xyd(x y)二心)宀dx f(亠x y (x y):(x

16、y)22y,2dyx y (x y)8.58.5 隱函數(shù)的求導(dǎo)1.設(shè)x = x(y, z), ,y = y(x,z), ,z = z(x, y)都是由方程F(x, y,z)=O所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，證明二= = _i._i.cz tx對(duì)于方程F (x, y, z) = 0, ,如果他滿足隱函數(shù)條件. .例如，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且Fx鼻0, ,則由方程F(x, y, z)二0可以確定函數(shù)x = x(y,z),即x是y,z的函數(shù)，而y,z是自變量，此時(shí)具有偏導(dǎo)數(shù)蘭:y.xFz同理, ,7.zFxzFx乂，所以埜二二_i. .FyC H：x例如，二元函數(shù)Z = f (x, y)= 3x23y2-x3，(x2y26)由二元函數(shù)極值判別法：.z26x -3x = 0，解得.x=2，:zr6 y = 0， 解得yAC一B2二36(仁x)由于以及A(0,0) 0，所以M1=(0,0)，是函數(shù)的惟一極小值點(diǎn)，但是f (4,0) = 16 Y f (0,0),故f (0,0)不是f (x, y)在D上的最小值. .第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)11.111.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)*(anX：2.2.若級(jí)數(shù) aan加括號(hào)后所成的新級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)必定發(fā)散，而加