二項式定理數(shù)學高中

1、學習必備歡迎下載教學設計教學目標：1 1 知識技能：(1 1)理解二項式定理是代數(shù)乘法公式的推廣(2 2 )理解并掌握二項式定理，能利用計數(shù)原理證明二項式定理2 2.過程與方法通過學生參與和探究二項式定理的形成過程，培養(yǎng)學生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式3 3情感、態(tài)度、價值觀培養(yǎng)學生自主探究意識， 合作精神，體驗二項式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會數(shù)學語言的簡捷和嚴謹教學重點、難點：重點：用計數(shù)原理分析(a - b)4的展開式得到二項式定理。難點：用計數(shù)原理分析二項式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項式展開成單項式之和時各項系數(shù)的規(guī)律。 教學過程：(一) 提

2、出問題：引入：如(a b)a22ab b2,那么：(a b)3(a - b)2(a b)【求 3 3 次方的值可以用 2 2 次的乘以(a+b)a+b)】(a b)4(a b(a b)【求 4 4 次方的值可以用 3 3 次的乘以(a+b)a+b)】(a - b)100= = ?【求 100100 次也可以用逐次去括號的方式得到展開式，但是計算量非常大，很費時間】(a - b)n= =?【本節(jié)課我們學的二項式定理就是研究如何去求二項式的展開式】(二) 我們以(a - b)4為例，看一下有沒有更簡單的方法求它的展開式：(a - b)4=(a b)(a b)(a b)(a b)=?=?【看成四個因

3、式(a+ba+b)相乘】通過逐個去括號相乘，展開式中的每一個單項式的形成都是通過從四個因式中任選一個字母 相乘得到的。因此每個單項式的次數(shù)都是4 4，與二項式的次數(shù)相等。根據(jù)這些單項式的形成過程，我們可以來看一下下面幾個問題。學習必備歡迎下載問題：1)1).(a b)4展開后各項形式分別是什么?a3ba2b2ab3b42)2) 你能分析說明如何確定展開式中各項前的系數(shù)嗎？【根據(jù)每一項產生的方式確定】每個都不取b的情況有 1 1 種，即c0, ,則a4前的系數(shù)為C0恰有 1 1 個取b的情況有c：種，則a3b前的系數(shù)為cl恰有 2 2 個取b的情況有c：種，則a2b2前的系數(shù)為c：333恰有 3

4、 3 個取b的情況有C4種，則ab前的系數(shù)為C4恰有 4 4 個取b的情況有c：種，則b4前的系數(shù)為c：貝V (a +b)4=c0a4+c；a3b+ c：a2b2+c：ab3+c：b4同樣的道理我們可以得到(a b)n的展開式一般地，對于n三N有nOn 1nJ2n_223n_33(a b)cnacna b cnabcna bcnanJbr-cnabC：b右邊的多項式叫做(ab)n的二項展開式cnanJbr:二項展開式的通項， 記作Tr：rw,cn,c：:二項式系數(shù)各項中b的指數(shù)從 0 0起依次增加 1 1,到 n n 為此如(1x)n=1C：Xc：x2.c；xr- . -c； ；JxnJ- x

5、n例題精講精練：學習必備歡迎下載分析：求展開式直接利用二項式展開定理” .5上. 上 九2上、3_ 4 j, _ 5解:心丿心5。廣吒廠C5CJ+C5B5!? 1? 4 4x xxx x注意：在用展開式的時候求每一項時要注意不要遺漏因子和漏項要把結果計算完全，把組合數(shù)要計算出來。注意使用組合數(shù)性質：c：二cT的應用，可以減少運算量。(1f f變式訓練：求2丘-I的展開式。7x丿分析：若二項式的兩項比較復雜，可先化簡，再展開。6 6解：212x-1)2x-16IUx丿I Ux丿x=22x6-C6(2x)5- C6(2x)4-C6(2x)3- C(2x)2-C62x - C61x3260 12 1

6、= =64x3-192x2240 x-160-二 亍x x x小結：二項式復雜時，先化簡，再展開?！尽白兪接柧殹边x取一名同學的解答通過實物展示臺展示】例 2 2:求( (1+2X)7的展開式的第 4 4 項并求其二項式系數(shù)和系數(shù) ？解：(1+2x)(1+2x)7的展開式的第 4 4 項是：37-33T T3+1= =C71 1(2x)(2x)=35=35 X 2323 X x x3=280 x=280 x3第 4 4 項的二項式系數(shù)：C；=35第 4 4 項的系數(shù)：280280注: :注意區(qū)別二項式系數(shù)與項的系數(shù)不是同一個概念二項式系數(shù)：cn；項的系數(shù)：二項式系數(shù)與數(shù)字系數(shù)的積學習必備歡迎下載

7、變式訓練：求 6 2x+a)2x+a)12的展開式中的倒數(shù)第 4 4 項及其系數(shù)分析：先分析倒數(shù)第 4 4 項是正數(shù)第幾項，一共有 12+1=1312+1=13 項，倒數(shù)第 4 4 項是正數(shù) 的第 1010 項。解：（2x+a2x+a）12的展開式有 1313 項, ,倒數(shù)第 4 4 項是它的第 1010 項T9 1二C：2（2X嚴-9舊93 9= =1760 x a系數(shù)是：17601760小結：求特定項，使用通項公式。當堂檢測：-73XI1.1.求2X+-展開式的第 5 5 項？第 5 5 項的二項式系數(shù)？第 5 5 項的系數(shù)？ 2丿21992.2.求（X2-）9展開式中X9的系數(shù)？2x總結與歸納：1 1）注意二項式定理中二項展開式的特征2 2）區(qū)別二項式系數(shù)，項的系數(shù)3 3）掌握用