空間中的垂直復習

1、期中復習空間中的垂直關系空間中的垂直關系教學目標教學目標:以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理定定理.1. 直線與平面垂直直線與平面垂直2.直線和平面所成的角直線和平面所成的角 3.二面角的有關概念二面角的有關概念4.平面與平面垂直平面與平面垂直思考探究思考探究垂直于同一平面的兩平面是否平行？垂直于同一平面的兩平面是否平行？ 提示：提示：垂直于同一平面的兩平面可能平行，也可能相交垂直于同一平面的兩平面可能平行，也可能相交.1.直線直線a直線直線b，a平面平面，則，則b與與的

2、位置關系是的位置關系是 _ 解析：解析：由垂直和平行的有關性質可知由垂直和平行的有關性質可知b 或或b .答案：答案：b或或b 2.已知直線已知直線l平面平面，直線，直線m平面平面，有下列命題：，有下列命題： lm；lm； lm；lm. 其中正確的命題是其中正確的命題是_解析：解析：對，對，l， l ，又又m ，lm，正確；正確；對，對， ，l，則，則l或或l ，l不一定與不一定與m平行，平行，錯誤；錯誤；對，對，lm，l，m，又又m ， ，正確；錯誤正確；錯誤.答案：答案： 3.在在ABC中，中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面平面ABC，PC4，M是是AB上一個動點，則上一個動點，

3、則PM的最小值為的最小值為.解析：解析：PC平面平面ABC，CM平面平面ABC，PCCM，PM 要使要使PM最小，只需最小，只需CM最小，此時最小，此時CMAB，CM 2 ，PM的最小值為的最小值為2 .答案：答案：24.如圖，平面如圖，平面ABC平面平面BDC， BACBDC90，且，且 ABACa，則，則AD.解析：解析：取取BC中點中點E，連結，連結ED、AE，ABAC，AEBC.平面平面ABC平面平面BDC，AE平面平面BCD.AEED.在在RtABC和和RtBCD中，中，AEED BC a，AD a.答案：答案：a1.證明直線和平面垂直的常用方法：證明直線和平面垂直的常用方法：(1)

4、利用判定定理利用判定定理.(2)利用平行線垂直于平面的傳遞性利用平行線垂直于平面的傳遞性(ab，ab).(3)利用面面平行的性質利用面面平行的性質(a，a).(4)利用面面垂直的性質利用面面垂直的性質. 當直線和平面垂直時，該直線垂直于平面內的任一直線，當直線和平面垂直時，該直線垂直于平面內的任一直線， 常用來證明線線垂直常用來證明線線垂直.2.直線和平面垂直的性質定理直線和平面垂直的性質定理:可以作為兩條直線平行的可以作為兩條直線平行的 判定定理，可以并入平行推導鏈中，實現(xiàn)平行與垂直判定定理，可以并入平行推導鏈中，實現(xiàn)平行與垂直 的相互轉化，即線線垂直的相互轉化，即線線垂直線面垂直線面垂直線

5、線平行線線平行線線 面平行面平行. (2009福建高考改編福建高考改編)如圖，如圖，平行四邊形平行四邊形ABCD中，中，DAB60，AB2，AD4.將將CBD沿沿BD折起折起到到EBD的位置，使平面的位置，使平面EBD平平面面ABD.求證：求證：ABDE.思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記證明：在證明：在ABD中，中，AB2，AD4，DAB60，BD 2 .AB2BD2AD2，ABBD.又又平面平面EBD平面平面ABD，平面平面EBD平面平面ABDBD，AB平面平面ABD，AB平面平面EBD.DE平面平面EBD，ABDE.本例中，本例中，ED與平面與平面ABD垂直嗎？垂直嗎？解：解：由例由例1知

6、，知，ABBD，CDAB，CDBD，從而，從而DEBD.又又平面平面EBD平面平面ABD，ED平面平面EBD，ED平面平面ABD.1.證明平面與平面垂直的方法主要有：證明平面與平面垂直的方法主要有：(1)利用定義證明利用定義證明.只需判定兩平面所成的二面角為直二面角只需判定兩平面所成的二面角為直二面角 即可即可.(2)利用判定定理利用判定定理.在審題時，要注意直觀判斷哪條直線可能在審題時，要注意直觀判斷哪條直線可能 是垂線，充分利用等腰三角形底邊的中線垂直于底邊，是垂線，充分利用等腰三角形底邊的中線垂直于底邊， 勾股定理等結論勾股定理等結論.2.關于三種垂直關系的轉化可結關于三種垂直關系的轉化

7、可結合下圖記憶合下圖記憶. (2009江蘇高考江蘇高考)如圖，在如圖，在三棱柱三棱柱ABCA1B1C1中，中，E、F分別分別是是A1B、A1C的中點，點的中點，點D在在B1C1上，上，A1DB1C.求證：求證：(1)EF平面平面ABC；(2)平面平面A1FD平面平面BB1C1C.思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記(1)因為因為E、F分別是分別是A1B、A1C的中點，的中點，所以所以EFBC，又又EF 平面平面ABC，BC平面平面ABC.所以所以EF平面平面ABC.(2)因為三棱柱因為三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，為直三棱柱，所以所以BB1平面平面A1B1C1，所以所以BB1A1D，又又A1

8、DB1C，B1CBB1B1.所以所以A1D平面平面BB1C1C，又又A1D平面平面A1FD，所以平面所以平面A1FD平面平面BB1C1C. 兩個平面垂直的性質定理，可以作為直線和平面垂兩個平面垂直的性質定理，可以作為直線和平面垂直的判定定理，當條件中有兩個平面垂直時，常添加的直的判定定理，當條件中有兩個平面垂直時，常添加的輔助線是在一個平面內作兩平面交線的垂線輔助線是在一個平面內作兩平面交線的垂線.平面與平面垂直的性質 如圖如圖，四邊形，四邊形ABCD中，中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，將，將ABD沿對角線沿對角線BD折起，折起，記折起后點的位置為記折起后點的位置為P，且使平面

9、，且使平面PBD平面平面BCD，如圖，如圖.(1)求證：平面求證：平面PBC平面平面PDC；(2)在折疊前的四邊形在折疊前的四邊形ABCD中，作中，作AEBD于于E，過，過E作作EFBC于于F，求折起后的圖形中，求折起后的圖形中PFE的正切值的正切值.思路點撥思路點撥課堂筆記課堂筆記(1)證明：折疊前，在四邊形證明：折疊前，在四邊形ABCD中，中，ADBC，ADAB，BAD90，所以所以ABD為等腰直角三角形為等腰直角三角形.又因為又因為BCD45，所以，所以BDC90.折疊后，因為面折疊后，因為面PBD面面BCD，CDBD，所以，所以CD面面PBD.又因為又因為PB 面面PBD，所以，所以C

10、DPB.又因為又因為PBPD，PDCDD，所以，所以PB面面PDC.又又PB面面PBC，故平面，故平面PBC平面平面PDC.(2)AEBD，EFBC，折疊后的位置關系不變，折疊后的位置關系不變，所以所以PEBD.又面又面PBD面面BCD，所以，所以PE面面BCD，所以所以PEEF.設設ABADa，則，則BD a，所以，所以PE aBE.在在RtBEF中，中，EFBEsin45 a a.在在RtPFE中，中，tanPFE .1.1.垂直關系的轉化垂直關系的轉化在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找在證明兩平面垂直時一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通平面的垂線，

11、若這樣的直線圖中不存在，則可通過作輔助線來解決過作輔助線來解決. .如有平面垂直時，一般要用性如有平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直. .故熟練故熟練掌握掌握“線線垂直線線垂直”、“面面垂直面面垂直”間的轉化條件間的轉化條件是解決這類問題的關鍵是解決這類問題的關鍵. .方法規(guī)律總結方法規(guī)律總結2.2.證明線面垂直的方法證明線面垂直的方法 （1 1）線面垂直的定義：）線面垂直的定義：a a與與內任何直線都垂直內任何直線都垂直a a ；m m、n n，m mn n= =A Al lm m，l ln n（3 3）判定定理）判定定理2 2：a ab b，a a b b；（4 4）面面平行的性質：）面面平行的性質：，a a a a；（5 5）面面垂直的性質：）面面垂直的性質：，= =l l，a a， a al l a a. .（2 2）判定定理）判定定理1 1：l l；3.3.證明線線垂直的方法證明線線垂直的方法 （1 1）定義：兩條直線所成的角為）定義：兩條直線所成的角為9090; ; （2 2）平面幾何中證明線線垂直的方法；）平面幾何中證明線線垂直的方法；