利用導數(shù)求函數(shù)的單調性

1、利用導數(shù)求函數(shù)的單調性例討論下列函數(shù)的單調性：1（且）；2（且）；3分析：利用導數(shù)可以研究函數(shù)的單調性，一般應先確定函數(shù)的定義域，再求導數(shù)，通過判斷函數(shù)定義域被導數(shù)為零的點所劃分的各區(qū)間內(nèi)的符號，來確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調性當給定函數(shù)含有字母參數(shù)時，分類討論難于避免，不同的化歸方法和運算程序往往使分類方法不同，應注意分類討論的準確性解：1函數(shù)定義域為R當時，函數(shù)在上是增函數(shù)當時，函數(shù)在上是減函數(shù)2函數(shù)的定義域是或若，則當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在上是減函數(shù)若，則當時，函數(shù)在上是減函數(shù)；當時，函數(shù)在上是增函數(shù)3函數(shù)是奇函數(shù)，只需討論函數(shù)在（0，1）上的單調性當時，若，則，函數(shù)在（0，1）

2、上是減函數(shù)；若，則，函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)又函數(shù)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調性所以當時，函數(shù)在（1，1）上是減函數(shù)，當時，函數(shù)在（1，1）上是增函數(shù)說明：分類討論是重要的數(shù)學解題方法它把數(shù)學問題劃分成若干個局部問題，在每一個局部問題中，原先的“不確定因素”不再影響問題的解決，當這些局部問題都解決完時，整個問題也就解決了在判斷含參數(shù)函數(shù)的單調性時，不僅要考慮到參數(shù)的取值范圍，而且要結合函數(shù)的定義域來確定的符號，否則會產(chǎn)生錯誤判斷分類討論必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數(shù)學解題思想作為聯(lián)系知識與能力中的作用，從而提高簡化計算能力利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間例求下列函數(shù)的單調區(qū)間：1

3、；2；3分析：為了提高解題的準確性，在利用求導的方法確定函數(shù)的單調區(qū)間時，也必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導判斷符號，以避免不該出現(xiàn)的失誤解：1函數(shù)的定義域為R，令，得或函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（1，0）和；令，得或，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為和（0，1）2函數(shù)定義域為令，得函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，1）；令，得，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（1，2）3函數(shù)定義域為令，得或函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和；令，得且，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是和說明：依據(jù)導數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號來確定函數(shù)的單調區(qū)間，體現(xiàn)了形象思維的直觀性和運動性解決這類問題，如果利用函數(shù)單調性定義來確定函數(shù)的單調區(qū)間，運算顯得繁瑣，區(qū)間難以找準學生易犯的錯誤是將兩

4、個以上各自獨立單調遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集的形式，如將例1函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間分別寫成和的錯誤結果這里我們可以看出，除函數(shù)思想方法在本題中的重要作用之外，還要注意轉化的思想方法的應用求解析式并根據(jù)單調性確定參數(shù)例已知，且1設，求的解析式；2設，試問：是否存在實數(shù)，使在內(nèi)為減函數(shù)，且在（1，0）內(nèi)是增函數(shù)分析：根據(jù)題設條件可以求出的表達式，對于探索性問題，一般先對結論做肯定存在的假設，然后由此肯定的假設出發(fā)，結合已知條件進行推理論證，由推證結果是否出現(xiàn)矛盾來作出判斷解題的過程實質是一種轉化的過程，由于函數(shù)是可導函數(shù)，因此選擇好解題的突破口，要充分利用函數(shù)的單調性構造等價的不等式，確定適

5、合條件的參數(shù)的取值范圍，使問題獲解解：1由題意得，2若滿足條件的存在，則函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，當時，即對于恒成立，解得又函數(shù)在（1，0）上是增函數(shù)，當時，即對于恒成立，解得故當時，在上是減函數(shù)，在（1，0）上是增函數(shù)，即滿足條件的存在說明：函數(shù)思維實際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式，它包含著運動、變化，也就存在著量與量之間的相互依賴、相互制約的關系因此挖掘題目中的隱含條件則是打開解題思路的重要途徑，具體到解題的過程，學生很大的思維障礙是迷失方向，不知從何處入手去溝通已知與未知的關系，使分散的條件相對集中，促成問題的解決不善于應用恒成立和恒成立，究其原因是對函數(shù)的思想方法理解不深利用導數(shù)比較大小例已

6、知a、b為實數(shù)，且，其中e為自然對數(shù)的底，求證：分析：通過考察函數(shù)的單調性證明不等式也是常用的一種方法根據(jù)題目自身的特點，適當?shù)臉嬙旌瘮?shù)關系，在建立函數(shù)關系時，應盡可能選擇求導和判斷導數(shù)都比較容易的函數(shù)，一般地，證明，可以等價轉化為證明，如果，則函數(shù)在上是增函數(shù)，如果，由增函數(shù)的定義可知，當時，有，即解：證法一：，要證，只要證，設，則，且，函數(shù)在上是增函數(shù)，即，證法二：要證，只要證，即證，設，則，函數(shù)在上是減函數(shù)又，即說明：“構造”是一種重要而靈活的思維方式，應用好構造思想解題的關鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構造；二是要弄清條件的本質特點，以便重新進行邏輯組合解決這種問題常見的思維誤區(qū)是不善于構造函數(shù)或求導之后得出的錯誤結論判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調性例函數(shù)在區(qū)間上是（）A增函數(shù)，且B減函數(shù)，且C增函數(shù)，且D減函數(shù)，且分析：此題要解決兩個問題：一是要判斷函數(shù)值y的大??；二是要判斷此函數(shù)的單調性解：解法一：令，且，則，排除A、B由復合函數(shù)的性質可知，u在上為減函數(shù)又亦為減函數(shù)，故在上為增函數(shù)，排除D，選C解法二：利用導數(shù)法（），故y在上是增函數(shù)由解法一知所以選C說明：求函數(shù)的值域，是中學教學中的難關一般可以通過圖象觀察