993考研數(shù)二真題及解析

1、1993 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、填空題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.把答案填在題中橫線上.)(1)lim xln x =函數(shù)y二y(x)由方程sin(x2 y2) ex- xy2二0所確定，則 3 二_dxX1、設(shè)F(x) (2 )dt(x 0),則函數(shù)F(x)的單調(diào)減少區(qū)間是_Jttan x ,=dx=-, cosx(5)12已知曲線y = f (x)過點(diǎn)(0,),且其上任一點(diǎn)(x,y)處的切線斜率為xln(1 x ),則f(x)=,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)1(1)當(dāng)X；0時(shí)，變量-2sin1是()XX(A)無窮小(B)無窮大(C)有界的

2、，但不是無窮小(D)有界的，但不是無窮大、選擇題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.每小題給岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求|x2-1|X1 2,X式1則在點(diǎn)x=1處函數(shù)f (x)X=1,(A)不連續(xù)(C)可導(dǎo)，但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)已知(A)(C)(B)(D)連續(xù)，但不可導(dǎo)可導(dǎo),且導(dǎo)數(shù)連續(xù)x ,0 _ x：1,1, 1 MXM2,抄幾1x,1乞x乞2X1,1MxF(x)(B)(D)Xv f (t)dt (0遼2),則F(x)為()1 12x3-,x：133x,1乞x2131x ,0=x：133x1,1x蘭2設(shè)常數(shù)k 0,函數(shù)f (x) = In(A) 3(B) 2xx k在(0,7

3、)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為e(C) 1(D) 0(5)若f(x)-f(-x),在(0,：)內(nèi)f(x) 0, f(x) 0,則f (x)在(-：,0)內(nèi)()(C)f (X)0, f (X)：0(D)三、(本題共 5 小題，每小題 5 分,滿分 25 分.)求lim x( .X2100 x).X.Mx求4dx.1 +COS2X,: x求3dx.% (1+x)3(5)求微分方程(X2-1)dy - (2xy -cosx)dx =0滿足初始條件yXz0=1的特解.四、(本題滿分 9 分)設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y?八yjy = ex的一個(gè)特解為y = e (V x)eX，試確定常數(shù)：,L,并求該方程的通解五、(本

4、題滿分 9 分)設(shè)平面圖形A由x2y 2x與y_x所確定，求圖形A繞直線* = 2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積六、 (本題滿分 9 分)作半徑為r的球的外切正圓錐，問此圓錐的高h(yuǎn)為何值時(shí)，其體積V最小，并求岀該最小值七、 (本題滿分 6 分)設(shè)x 0,常數(shù)a e,證明(a - x)：aa x.八、(本題滿分 6 分)設(shè)f (x)在0,a上連續(xù)，且f (0)=0,證明:(A)f (x)：,0, f (x)：,0(B)f (x) 0, f (X) . 0f (X)0, f (X)0(1)設(shè)y =sin f (X2),其中f具有二階導(dǎo)數(shù)d2y2 f(x)dx蘭M,其中M = max| f (x)720$

5、童1993 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、填空題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.)(1)【答案】0【解析】這是個(gè)0:型未定式，可將其等價(jià)變換成 二型,從而利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解O0洛 lim 丿 lim x = 0.x0亠 1X )0亠2x【答案】-嚴(yán)(x1 2y2)2ycos(x +y ) _2xy將方程sin(x2 y2) ex_xy2= 0兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得22x 2cos(x y ) (2 x 2 yy ) e - y -2xyy = 0,化簡(jiǎn)得” y2_ex-2xcos(x2+ y2)八2ycos(x2y2) 2xy【相【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

6、：如果u= g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，而y = f (x)在點(diǎn)u= g(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y = fg(x)】在點(diǎn)x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為巴 f(u) g (x)或凹=凹旦 dx dx du dx【答案】10：x 0時(shí)X X它是無界的，但不是無窮大量,即(D)選項(xiàng)正確.【答案】(A)由題可知因f (x)在X=1處左右極限不相等，故在X= 1處不連續(xù)，因此選(A).【答案】(D)【解析】這是分段函數(shù)求定積分當(dāng)0乞x叮時(shí)，0乞X乞t乞1,故f (t)二t2,所以二、選擇題(1)【答案】【解若取X1kk1 . 1 ysi n-二x1kx1k2(k二)sin k - 0,1X2k1(2 k )二2,貝U 2si

7、nX2k1 1xr(2kQ2凡k2川,).【解析】利用函數(shù)連續(xù)定義判定，即如果函數(shù)在Xo處連續(xù)，則有xlimmf(x) =lim f (x)二f (xo).Xio -lim f (x)=x_1 lim f (x)二X1一li|x2-1| linx1x -1im Ix 1X _1,2 “ ,“ 2| x 1|1 -xlin二x 1-x -1X_1_X _1=1呵(X 1)=2,二lim( x 1) = 2.X 1一當(dāng)1 2時(shí)，1乞t乞x2,故f (t) =：1,所以由連續(xù)函數(shù)的介值定理知在(0, e)與(e, ：)各有且僅有一個(gè)零點(diǎn)(不相同).x故函數(shù)f (x)= ln x k在(0, ：)內(nèi)零

8、點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2,選項(xiàng)(B)正確.e(5)【答案】(C)【解析】方法一：由幾何圖形判斷.由f(X)二-f ( -X),知f(x)為奇函數(shù),圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;在(0,7)內(nèi)f (x) 0, f (x) 0, f (x)圖形單調(diào)增加且向上凹，根據(jù)圖可以看岀f (x)在(Y，,0)內(nèi)增加而凸，f (x) 0,(x)：0,選(C).方法二：用代數(shù)法證明.對(duì)恒等式f (x)二一f (-x)兩邊求導(dǎo)，得f(X)二f (-X), f(X)二-f (-X).當(dāng)(-：,0)時(shí)，有-X (0,=),所以f (x)二f (-x) 0, f (x)二-f (x)：0,xF(x) =4f (t)dt二應(yīng)選(D).【答案】(

9、B)【解析】判定函數(shù)f (x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于判定函數(shù)y二f (x)與x的交點(diǎn)個(gè)數(shù).x1對(duì)函數(shù)f (x) = I n x k兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得f (x)=exf (x) = 0,解得唯一駐點(diǎn)x = e,J_f (x)0,0 : x : e; f (x)嚴(yán)格單調(diào)增加,f (x)：0,e：x f (x)嚴(yán)格單調(diào)減e所以X二e是極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，最大值為f (e) =1 n e k = k 0.elim f(x) = lim(ln x一二k)=-：又因?yàn)閤H0Te堅(jiān) f(x)pm(|nx + k) 當(dāng)1 2時(shí)，1乞t乞x2,故f (t) =：1,所以故應(yīng)選(C).三、(本題共 5 小題，每小題

10、5 分,滿分 25 分.)(1)【解析】y=、sinf(x2)/ =cos f (x2) f (x2) 2x,2 2cosf(x ) f (x ) 2.【相【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:如果u= g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，而y = f (x)在點(diǎn)u= g(x)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y = fg(x) 1在點(diǎn)x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為dx=fwa(x)或(2)【解析】應(yīng)先化簡(jiǎn)再求函數(shù)的極限，因?yàn)閤：0,所以(fq(x)eJp(x)dxdx +C),其中C為常數(shù).四、(本題滿分 9 分)【解【解析】要確定常數(shù) :,只需將特解代入原微分方程后，用比較系數(shù)法即得.dydxdy du=-*-du dx100 xlim -

11、x門x2100 -xlim x?。?2xx100100 1limX. 1100=lim100 x2100 -1d 3一1一1x【解【解析】先進(jìn)行恒等變形,再利用基本積分公式和分部積分法求解1兀n1V2ln(cos ) -ln(cos 0)In824822兀1ln 2.4【解【解析】 用極限法求廣義積分2b+11lim2-b：2(b 1)22(5)【解【解析】所給方程是一階線性非齊次微分方程，丄2xy亍,其標(biāo)準(zhǔn)形式是字，x2十0,x2-1通解為dxcosxk2 x .廠Xdx C代入初始條件y二土cosxdx C=%.x1,得當(dāng)所以C7所求特解為sin x T廠KT【相【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】 一階線性非

12、齊次微分方程y p(x)y =q(x)的通解公式為：-p(x)dxy=e對(duì)于特解y二e2x(V x)ex,有y二2e2xex(V x)ex二2e2x(2 x)ex,2xx2x xx2xxy = 2e (2 - x)e = 4e e (2 x)e = 4e - (3 - x)e,代入方程ysy込二ex,得恒等式4e2x+ (3 + x)ex十。2e2x+ (2 + x)eT中Be2x十(1 + x)ex= Yex,化簡(jiǎn)得(4 - 2二亠de - (3 - 2. .)ex- (1亠：亠，；)xex三ex,比較同類項(xiàng)系數(shù)，得4 2- 032：=,1 0解之得，-3, - - 2,- -1.于是原方程

13、為目_3目2目二-ex,所對(duì)應(yīng)的齊次微分方程y37 2y = 0的特征方2程為r -3r 2 = 0,解之得匚=1衛(wèi)=2.所以微分方程y 3y亠2y = -ex的通解為x2x *x2x 2xxx2xxy = qec2ey = c1e五、（本題滿分 9 分）【解析】利用定積分求旋轉(zhuǎn)體的體積，用微元法.x2y2 2x等價(jià)于(x1)2y2乞1.2xc2e解法一：考慮對(duì)y的積分，則邊界線為兀12sin 2t2oJI一 ；412120(1_y)dy= -0(1_y)d(1-y)=得唯一駐點(diǎn)h = 4r,且2r: h4r ,V : 0對(duì)于所以V=2兀J0 J1_y_(1_y)=2：1.解法二：取x為積分變

14、量，則邊界線為X2與y2=x(0 _x _1),如右圖所示.當(dāng)x dx時(shí)，所以V =2二；(2 -x)( ,2x -x2-x)dx.令x -1 = t,則x = 1 t,dx = dt,所以=J_JIt) J2(i+t)_(i+t)2_(i+t)dt = J Ji-12-tji-12+t2-1 dt.再令t =sin v,貝 Udt =cosvdv ,J” Ji _t2-t Ji -t2+t2-1 dt = J 兀(cos 日-sin 日 cosT +sin2日-1)cosTdT所以二 1 1143 3i21V=2-o(2 x)( ,2x x2x)dx =2 二 q 二一)六、(本題滿分 9

15、分)【解析】這是一個(gè)將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值的問題.所以設(shè)圓錐底半徑為R,如圖，BC =R,AC =h,OD二r.由匹=92,AD=：0A2OD2,有AC ADR _ r h (h _r)2_r2hrR =:h2-2hr于是圓錐體積2丄mh 2r對(duì)上式兩端對(duì)h求導(dǎo)，并令V = 0,得2Vh=r22h(h2r)h 32丄叫0,(h-2r)3 (h-2r)yiy2|q4r : h： ：,V 0所以h = 4r為極小值點(diǎn)也是最小值點(diǎn)，最小體積V(4r)=色r3.3七、(本題滿分 9 分)【解析】首先應(yīng)簡(jiǎn)化不等式，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.當(dāng)x 0,常數(shù)a e時(shí),原不等式兩邊取自然對(duì)數(shù)可化為、/“ 亠ln(

16、a + x) lnaa ln(a x) : (a x)ln a或a + x a:令f (x) =(a x)ln a一aln( a x),則f (x) = ln aa由a . e, x 0,知ln a 1,1,故a+x從而f (x)為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，且即(a x)ln a -a ln(a x) . 0,所以(a x)a；：aa：ln x1-1 nx證法一：令f (x),則f(X)2xx當(dāng)x a e時(shí)，有f (x) =1_x:：: 0,x所以函數(shù)在x a e為嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，即f(x a) :：f (a),所以有l(wèi)n(a x) In aa xa即(a x)a: aa x.八、(本題滿分 9 分)【解析】證法一：用微分中值定理.對(duì)任意給定的x 0, a,由拉格朗日中值定理，得由f(0)=0,知f (xf ()x.因?yàn)镸二max i f (x) i,所以將兩邊從 0；a做x的定積分，有證法f (x) . 0(x . 0).由定積分的基本性質(zhì)可知aa0|f(x