余弦定理第一課時PPT課件-人教A版數學高二必修5第一章112

1、第一章解三角形第一章解三角形 1 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理1.1.2 余弦定理余弦定理1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法的向量方法.2.會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.BCA運用正弦定理能解怎樣的三角形？運用正弦定理能解怎樣的三角形？ 探究新知探究新知運用正弦定理能解怎樣的三角形？運用正弦定理能解怎樣的三角形？ 已知三角形的任意兩角及其一邊；已知三角形的任意兩角及其一邊； 已知三角形的任意兩邊和其中一邊的對角已知三角形的任意兩邊和其中一邊的對角. 那么，已知兩邊及其夾角，怎

2、么求出此角那么，已知兩邊及其夾角，怎么求出此角的對邊呢？已知三條邊，又怎么求出它的三的對邊呢？已知三條邊，又怎么求出它的三個角？個角？ 如果已知三角形的兩邊及其夾角，根據三角如果已知三角形的兩邊及其夾角，根據三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形完全確定的三角形. 從量化的角度來看，如何從已知的兩邊和它從量化的角度來看，如何從已知的兩邊和它們的夾角求三角形的另一邊和兩個角呢？們的夾角求三角形的另一邊和兩個角呢？如圖，在如圖，在ABC中，設中，設BC=a, AC=b, AB=c.已知已知a, b和和C，求邊，求邊c？ 已知三角形兩邊和

3、它們的夾角，求三角形的另一邊？已知三角形兩邊和它們的夾角，求三角形的另一邊？BCAbac聯系已經學過的知識和方法，聯系已經學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？可用什么途徑來解決這個問題？用向量來研究這一問題用向量來研究這一問題. BCAbac如圖，在如圖，在ABC中，設中，設BC=a, AC=b, AB=c.已知已知a, b和和C，求邊，求邊c？ 余弦定理：余弦定理： 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即2222cosabcbcA2222cosbacacB222

4、2coscababC推論：推論：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab余弦定理及其推論的基本作用是什么？余弦定理及其推論的基本作用是什么？作用作用: :已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；以求出第三邊；已知三角形的三條邊就可以求出其他角已知三角形的三條邊就可以求出其他角. . 勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？之間的關系，如何看這兩個定理

5、之間的關系？余弦定理是勾股定理的推廣，余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例勾股定理是余弦定理的特例. .中，在ABC推推 論論:為直角；，則若Ccba222為銳角；，則若Ccba222為鈍角；，則若Ccba222例例1：如圖所示，有兩條直線：如圖所示，有兩條直線AB和和CD相交成相交成80角，交點是角，交點是.甲、乙兩人同時從點分別甲、乙兩人同時從點分別沿沿OA,OC方向出發(fā)，速度分別是方向出發(fā)，速度分別是4km/h,4.5km/h.3小時后兩人相距多遠（結果精小時后兩人相距多遠（結果精確到確到0.1km）?分析：分析：經過經過3 3小時，甲到達點小時，甲到達點P P，OP=4O

6、P=43=12(km),3=12(km),乙到乙到達點達點Q Q，OQ=4.5OQ=4.53=13.5(km).3=13.5(km).問題轉化為在問題轉化為在OPQOPQ中，中，已知已知OP=12kmOP=12km，OQ=13.5km,POQ=80OQ=13.5km,POQ=80，求，求PQPQ的長的長. . 典例剖析典例剖析解：解： 經過經過3 3小時后，甲到達點小時后，甲到達點P P，OP=4OP=43=123=12（kmkm）, ,乙到達點乙到達點Q Q，OQ=4.5OQ=4.53=13.5(km3=13.5(km).).答：答：3 3小時后兩人相距約小時后兩人相距約16.4km.16.

7、4km.課堂練習：課堂練習：1. b=8, c=3, A=60,a=_2. a= , c=2, B=150,b=_3377 變式變式 已知已知ABC中，中，a = 8, b = , B=30 , 求邊長求邊長c. 24由正弦定理，得：由正弦定理，得： 222430sin8sinsinbBaA.351,4521AA當當 時時, 451A.105)3045(180)(18011BAC. 43430sin105sin24sinsin11BCbc當當 時時, 5132A.15)30135(180)(18022BAC. 43430sin15sin24sinsin22BCbc解法一：解法一：解法二：解法二

8、：由余弦定理，得：由余弦定理，得： Bcaacbcos2222.30cos828)24(222cc整理，得：整理，得： . 032382cc解之，得：解之，得： , 4341c. 4342c注注 1 解法一中，要注意解法一中，要注意C有兩個結果，避免遺漏有兩個結果，避免遺漏. 2 解法二是利用余弦定理，直接求出解法二是利用余弦定理，直接求出c,更加簡捷，更加簡捷，值得提倡值得提倡.課堂練習：課堂練習：3. a=20, b=29, c=21,B=_4. a=2, b= , c= ，A=_5. a=9, b=10, c=15.A=_,B=_,C=_213 90453640104例例3 3 在在AB

9、CABC中，已知中，已知 求求A A. .解：解： 由由 得得,3)(bcacbcba,3)(22bcacb.222bcacb即即,cos2122222bcbcbcacbA.60Aaccba2222練習練習 在在ABCABC中中, ,已知已知, ,求角求角C.C.,3)(bcacbcba例4在ABC中已知a2bcosC，求證：ABC為等腰三角形 證1：由正弦定理得a 2bcosC ，即2cosCsinBsinAsin（BC）sinBcosCcosBsinC sinBcosCcosBsinC0，即sin（BC）0，BC（） B、C是三角形的內角，BC，即三角形為等腰三角形BAbsinsinBAb

10、sinsin證2：根據射影定理，有abcosC ccosB，又a2bcosC2bcosCbcosCccosBbcosCccosB，即 又 即tanBtanCB、C在ABC中，BCABC為等腰三角形 證3：cosC 化 簡后得b2c2 bc ABC是等腰三角形 CBcbcoscosCBcbcoscosCBCBcoscossinsinbaabcbaC22cos,222baabcba222221. 余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的應用范圍：余弦定理的應用范圍： 已知三邊求三角；已知三邊求三角； 已知兩邊及它們的夾角，求第三邊已知兩邊及它們的夾角，求第三邊.解三角形解三角形兩角一邊兩邊一角三條邊兩邊及其中一邊的對角兩邊及其夾角正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理余弦定理提示：提示：由余弦定理得由余弦定理得提示：提示：3當堂檢測當堂檢測解：解：三角形的三邊之比為三角形的三邊之比為3:5:73:5:7，所以可以設三邊分，所以可以設三邊分別為別為3a,5a,7a.3a,5a,7a.由正弦定理可得，由正弦定理可得，7a7a所對的角最大所對的角最大, ,設所對的角為設所對的角為A