2019高考數(shù)學考點突破——數(shù)列：數(shù)列的概念與簡單表示法學案

1、數(shù)列的概念與簡單表示法【考點梳理】1.數(shù)列的定義按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.2數(shù)列的分類分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限單調性遞增數(shù)列an+1an其中 n N*遞減數(shù)列an+1an常數(shù)列an+1=an擺動數(shù)列從第 2 項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.4數(shù)列的通項公式如果數(shù)列an的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這 個數(shù)列的通項公式.5數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的第 1 項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始

2、的任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.6.an與S的關系Si,n=lan,貝Uan=I|Sn Sn-1,【考點突破】考點一、由an與Sn的關系求通項an122若數(shù)列an的前n項和為 S,通項公式為n?2【例 1】（1）已知數(shù)列an的前n項和為S= 4n+：n+3,則數(shù)列an的通項公式an=_433設數(shù)列an的前n項和 S=n2，則a*的值為()15=2n+石，47經檢驗a1= 12 不滿足上式22(2)當n= 8 時，a*=S*-S= 8 - 7 = 15.【類題通法】已知Sn求an的 3 步驟(1)先利用ai=S求出a

3、i;an的表達式；(3)注意檢驗n= 1 時的表達式是否可以與n2的表達式合并.【對點訓練】21.已知數(shù)列an的前n項和 S= 2n3n,則數(shù)列an的通項公式an=_答案4n-5解析a1=S=2 3=- 1,當n2時，an=Sn-Sn-1= (2一 3n) - 2(n- 1)2-3(n- 1) = 4n- 5,A. 15答案解析.16Cn= 1,5-、(2) An212時,47a1=S1=祛.49D. 64當n2時,anSn Sn1122 =4n+3n+3-(n-1)2+ 3 (n- 1)+ 34712，n= 1,所以這個數(shù)列的通項公式為an=15 2n+祛n2.(2)用n-1 替換S中的n得

4、到一個新的關系，利用an=SnSn-1(n2)便可求出當n2時當n= 1!n+47祛A. 10B. 154由于a1也適合上式，an= 4n 5.2.數(shù)列an的前n項和 S= 2n2- 3n(n N)，若p-q= 5，則ap-aq=()A. 10B. 155C. 5答案D2 2解析 當n2時，an=S$1= 2n 3n 2(n 1) 3(n 1) = 4n 5，當n= 1時,a1=S1= 1，符合上式，所以an= 4n 5，所以apaq= 4(pq) = 20.21【例 2】(1)若數(shù)列an的前n項和 S= 3 禺+3 則佝的通項公式an=33設S是數(shù)列an的前n項和，且a1= 1,an+1=S

5、S+1,貝VSn=n11答案(1) ( 2)(2)解析由 S= fan+ 3,得當n2時,兩式相減，得1=1+(n-1)x(1)= n,.S=-1Sn【類題通法】S 與 an關系問題的求解思路根據所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化.(1)利用 an= S S-1(n2)轉化為只含 S, S-1的關系式，再求解.D. 202 1Si1= an1+ 3 ,當n2時，an”-2an-蔦即不=2.又n= 1 時，S=a1= 3a1+1,a= 1 ,二an= ( 2)33n1(2)an+1=S+ 1Sn,an+1=SS+1,二 S+1一 Sn= SS+1./ SM0,11剛 11SS=1即由

6、 一Sn=1.1，公差為一 1 的等差數(shù)列.A. 10B. 156利用SS1=an(nA2)轉化為只含an,an1的關系式，再求解.7【對點訓練】1.已知數(shù)列an的前n項和為 S,若 2an 4(n N)，貝U()n+1nA. 2B. 2答案A解析 由 Si= 2an 4 可得 Si-1= 2an-1 4（n2），兩式相減可得an= 2an 2ani（n2）,即an= 2ani（n2）.又ai= 2ai 4,ai= 4，所以數(shù)列an是以 4 為首項，2 為公比的等比數(shù)列， 則an= 4X2n1= 2n+：故選 A.2.已知數(shù)列an的前n項和為S,且ai= 2,an+1=S+ 1（n N），貝U

7、S=（）A.31B.42C.37D.47答案 D解析 由題意，得 S+1 S= S+1(n N), $+1+ 1 = 2( S+1)(n N),故數(shù)列S+ 1為等比數(shù)列， 其首項為3,公比為 2，則S5+ 1 = 3X24,所以S=47.考點二、由遞推公式求數(shù)列的通項公式【例 3】在數(shù)列an中,(1)若a1= 2,an+1=an+ 3n+2,則數(shù)列an的通項公式an=_ .若a1= 1,nan1= (n+1)an(n2)，則數(shù)列an的通項公式an=_ ,若 a= 1,an+1= 2an+ 3,則通項公式an=_.32n2n+1答案(1)2n+ 2 (2)帚 2 3解析(1) 由題意，得an+1

8、an= 3n+ 2,所以an= (anan1) + (an1an2) + (a2a+a1=(3n 1) + (3n 4) + 5 + 2n(3n+ 1)2由nan-1= (n+ 1)an(n2)，得=土(n2).C. 2n1D. 2n28an1n十 19所以an=anan1an2asa2 - a1a1an-1an-2an-3a2nn 1n 2321=n+ 1nn 1432=n+ 1又a1也滿足上式.所以an=2n+ 1設遞推公式an+1= 2an+ 3 可以轉化為an+1+1= 2(an+1)，即an+1= 2an+t，解得t= 3. 故an+i+ 3=2(an+ 3).令bn=an+ 3,則

9、bi=ai+ 3 = 4,且J=an+= 2.bnan+ 3所以bn是以 4 為首項，2 為公比的等比數(shù)列. bn= 4 2 1= 2n+： an= 21 3.【類題通法】an+1=an+f(n)的遞推關系式利用累加法求通項公式，特別注意能消去多少項，保留多少項【對點訓練】在數(shù)列an中，1(1) 若a1= 3,an+1=an+ 門(卄 1)，則通項公式an=_ .(2) 若a1= 1,an+1= 2an,則通項公式an=_.若a1= 1,an+1= 3an+ 2,則數(shù)列an的通項公式an=_答案4-12穿)2-3-1n解析原遞推公式可化為an+1=an+1 -+-,n n+ 11.形如2.形如

10、an+1=anf(n)的遞推關系式可化為=f(n)的形式，可用累乘法，也可用an=an-1an1an2. a1代入求出通項.a13.形如an+1=pa+q的遞推關系式可以化為(an+1+x) =p(an+x)的形式，構成新的等比數(shù)列，求出通項公式，求變量x是關鍵.101 1 1恥1=恥2+三尸，an=恥1+百n(2)由an+1= 2nan，得色=2n-1(nA2),an-1n n又a1= 1 適合上式，故an=22(3) -an+1= 3an+ 2,an+1+ 1 = 3(an+ 1),1 1則a2=ai+1_2,a3=a2+號兩端分別相加得,1an=a1+1-n，an+1+ 1an+ 1=3

11、,數(shù)列an+ 1為等比數(shù)列，公比q= 3,b.n -1又a1+1 = 2,.an+1 = 2 3,n-1.an= 2 3 1 .考點三、數(shù)列的性質及應用11【例 3】已知數(shù)列an滿足an+1=，若a1=，貝Ua2。代=（I an2A. - 1B.C. 1D. 2答案D1 1 1解析 由a1= 2，an+1= 1-a，得a2=a= 2,1 1 1 1a3= E=-1,a4=2a5= 10=2，于是可知數(shù)列劉是以 3 為周期的周期數(shù)列，因此a2 018=a3X672+ 2a2= 2.【類題通法】解決數(shù)列周期性問題的方法先根據已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據周期性求值.1 1a4=a3+ 3- 4,，以上（n 1）個式子的等所以an=a