（精心整理）立體圖形的表面展開圖例題與講解

1、4.3立體圖形的表面展開圖1圓柱、圓錐、棱柱的表面展開圖將一個(gè)幾何體的外表面展開，就像打開一件禮物的包裝紙禮物外形不同，包裝紙的形狀也各不相同那么我們熟悉的一些幾何體，如圓柱、圓錐、棱柱的表面展開圖是什么形狀呢？(1)圓柱的表面展開圖是兩個(gè)圓(作底面)和一個(gè)長方形(作側(cè)面)(2)圓錐的表面展開圖是一個(gè)圓(作底面)和一個(gè)扇形(作側(cè)面)(3)棱柱的表面展開圖是兩個(gè)完全相同的多邊形(作底面)和幾個(gè)長方形(作側(cè)面)【例1】 如圖，將圖中的陰影部分剪下來，圍成一個(gè)幾何體的側(cè)面，使AB，DC重合，則所圍成的幾何體圖形是()解析：此題可用排除法因?yàn)殛幱安糠质莻€(gè)扇環(huán)，而圓柱的側(cè)面展開圖是長方形，所以排除A；圓

2、錐的側(cè)面展開圖是扇形，所以排除B；長方體的側(cè)面展開圖是長方形，所以C也要排除；故選D.答案：D2.正方體的表面展開圖(1)正方體的表面展開圖按展開圖中正方形所在的行數(shù)及正方形的個(gè)數(shù)，歸納起來有四種情形，各種類型的共同特點(diǎn)是行與行之間有且只有一個(gè)“日”型結(jié)構(gòu)，由此可知正方體的展開圖不會出現(xiàn)如下面圖形所示的“凹”字型和“田”字型結(jié)構(gòu)，因?yàn)檫@里的行與行之間出現(xiàn)了兩組“日”型結(jié)構(gòu)(2)正方體展開圖中相對面的尋找技巧：相間的兩個(gè)小正方形(中間隔著一個(gè)小正方形)是正方體的兩個(gè)對面，如圖1中的A面和B面；Z字兩端處的小正方形是正方體的對面，如圖2、圖3的A面和B面此種方法簡稱為“相間、Z端是對面”解技巧 正

3、方體的表面展開圖的判斷思路(1)是否滿足四種陣型中的一種；(2)行與行之間有且只有一個(gè)“日”型結(jié)構(gòu)【例2】 一個(gè)正方形的每一個(gè)面上都寫有一個(gè)漢字，其平面展開圖如圖所示，那么在該正方形中，與“愛”相對的字是()A家 B鄉(xiāng)C孝 D感解析：本題以熱愛家鄉(xiāng)為素材，考查正方體的表面展開圖解題時(shí)可親自動手剪一剪、折一折，即可得到與“愛”相對的字是“鄉(xiāng)”；另外也可對展開圖加以分析，根據(jù)展開圖對面之間不能有公共邊或公共的頂點(diǎn)，“愛”的對面不可能是“我”或“家”，折疊起來后“孝”、“感”與“愛”相鄰，所以“愛”的對面不可能是“孝”、“感”，所以與“愛”相對的字是“鄉(xiāng)”；但如果本題應(yīng)用正方體展開圖的對面尋找技巧“

4、相間、Z端是對面”來解決，會非常簡單，由相間的兩個(gè)小正方形(中間隔著一個(gè)小正方形)是正方體的兩個(gè)對面易知“愛”與“鄉(xiāng)”相對答案：B【例3】 如圖是正方體的展開圖，則原正方體相對兩個(gè)面上的數(shù)字和最小是()A4 B6C7 D8解析：將展開圖還原成正方體，2和6相對，3和4相對，1和5相對，則原正方體相對兩個(gè)面上的數(shù)字和最小為6.答案：B談重點(diǎn) 解決正方體展開圖問題的關(guān)鍵熟練掌握正方體展開圖的對面尋找技巧可以有效降低解題的難度，起到事半功倍的效果3正方體表面展開圖的應(yīng)用如果不考慮由于旋轉(zhuǎn)等造成的相對位置的不同，正方體表面展開圖一共有11個(gè)正方體表面展開圖的特點(diǎn)是每一個(gè)頂點(diǎn)周圍的棱不超過三條(1)“1

5、41”型有6個(gè)，其中通過“1”的移動可以由一個(gè)得到另外的5個(gè)，如圖(2)“132”型有3個(gè)，其中通過“1”的移動可以由1個(gè)得到另外的2個(gè)，如圖(3)“33”型有一個(gè)，“222”型有一個(gè)，如圖 【例31】 一個(gè)正方體的每一個(gè)面上都寫著一個(gè)漢字，其表面展開圖如圖所示，那么，在該正方體中和“超”所對的漢字是_解析：這是“132”型的正方體表面展開圖根據(jù)展開圖可知對面之間不能有公共邊或公共頂點(diǎn)，所以“超”字的對面不能是“沉”、“著”、“越”，根據(jù)上下相對和左右相對，由于“信”和“著”相對，“著”和“超”相鄰，所以“信”和“超”相鄰這樣和“超”相對的字只能是“自”答案：自【例32】 六一兒童節(jié)時(shí)，阿蘭準(zhǔn)

6、備用硬紙片通過裁剪、折疊制作一個(gè)封閉的正方體禮盒她先在硬紙片上設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖1所示的裁剪方案(實(shí)線部分)，經(jīng)裁剪、折疊后成為一個(gè)封閉的正方體禮盒請你參照如圖，幫她設(shè)計(jì)另外兩種不同的裁剪方案，使之經(jīng)裁剪、折疊后也能成為一個(gè)封閉的正方體禮盒 圖1 圖2分析：阿蘭設(shè)計(jì)的是正方體的11種展開圖中的一種，可以從剩下的10種展開圖中任選兩種在如圖的小方格中畫出解：如圖2所示4.其他立體圖形展開圖的應(yīng)用由平面圖形圍成的立體圖形叫多面體，其表面展開圖可以有不同的形狀應(yīng)多實(shí)踐，觀察，并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系立體圖形的表面展開圖包括側(cè)面展開圖和底面展開圖，畫立體圖形的展開圖時(shí)，一定先觀察立體圖形的每一

7、個(gè)面的形狀圓柱的側(cè)面展開圖是長方形，底面是圓；圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，底面是圓；n棱柱的側(cè)面展開圖是n個(gè)高相等的長方形，底面是n邊形；n棱錐的側(cè)面展開圖是n個(gè)三角形，底面是n邊形【例4】 小新的茶杯是圓柱形，如圖所示左邊下方有一只蜘蛛，從A處爬行到對面的中點(diǎn)B處，如果蜘蛛爬行路線最短，請畫出這條最短路線圖分析：先畫出圓柱的側(cè)面展開圖，再連接得到最短路線解：如圖所示5立體圖形展開圖的應(yīng)用立體圖形展開圖的考查一般以選擇題為主要方式，答案的獲得需要學(xué)生經(jīng)歷一定的實(shí)驗(yàn)操作過程，當(dāng)然學(xué)生也可以將操作活動轉(zhuǎn)化為思維活動，在頭腦中模擬(想象)折紙、翻轉(zhuǎn)活動，較好地考查了學(xué)生的空間觀念解決此類問題，要充分考慮帶有各種符號和各種圖案的面的特點(diǎn)及位置，解題時(shí)，先正確畫出立體圖形的表面展開圖，再仔細(xì)觀察圖案以及符號的不同特點(diǎn)，從而選出正確的答案有時(shí)，根據(jù)圖案的位置和方向可以先把一些很明顯的不符合題目要求的選擇項(xiàng)先排除掉，再一步步的尋找正確的選項(xiàng)要想靈活解決此類問題，一要熟練掌握立體圖形展開圖的基本知識和解題技巧；二要充分發(fā)揮自己的空間想象力；三要不斷積累生活經(jīng)驗(yàn)和解題經(jīng)驗(yàn)【例51】 如圖所示的正方體的展開圖是()解析：利用正方體及其表面展開圖的特點(diǎn)解題選項(xiàng)A和選項(xiàng)D折疊后，箭頭不指向白三角形，C項(xiàng)折疊后與原