第15單元第77講 極坐標(biāo)系及簡(jiǎn)單極坐標(biāo)方程

1、能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，掌握直線與圓的極坐標(biāo)方程(22 3) 2A (4) B (4)3345C (4) D1.(4)33M已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 ，則其極坐標(biāo)是，222 322 34 tan32 D35(2 )23. 解析，且， ，以，：故選所() A () B ()C ()2. D (2)MMN 已知點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn) 的極坐標(biāo)是 ， ， ， ，A(2)2 .3.M在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)， ，且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是()cos()22si 2. nPRt MP如圖，設(shè)，為直線上任意一點(diǎn)，在中，即解析：cossin 4. .極坐標(biāo)方程分別是和的

2、兩個(gè)圓的圓心距是11cos(0)2211sin( 2)22 22.解析：是圓心為，半徑為 的圓；是圓心為， ，半徑為 的圓，故兩圓的圓心距為24sin3 5 .坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程是2222222224sin34sin3433 3 .ryxyyxyx由知，即，則解即，析： 123_451()() 1 2 MM xy直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)； 平面直角坐標(biāo)系；系； 柱坐標(biāo)系； 球坐標(biāo)系極坐標(biāo)，化為平面坐標(biāo)系的類型坐標(biāo)之直角坐間化互標(biāo)， ： 2()cos().sin3()sincos()sinsin.cosPxyzxzyzzPxyzxrryrzr空間點(diǎn) 的直角坐標(biāo) ， ， 與柱坐標(biāo)， ， 之間的變換公

3、式為：柱坐標(biāo)系又稱半極坐標(biāo)系，它是由平面極坐標(biāo)系及空間直角坐標(biāo)系的一部分建立起來的空間點(diǎn) 的直角坐標(biāo) ， ， 與球坐標(biāo)， ，之間的變換關(guān)系為3直線與圓的極坐標(biāo)方程1122 cossintansin()sin202 sinxyyxpbxarsinsinxrxyr 極坐標(biāo)；【要點(diǎn)指南】； 1(5)30( 20)_0(24 )_1 42()23sin_1_.2APC 點(diǎn)， 在條件：，下的極坐標(biāo)是；，下的極坐標(biāo)是點(diǎn)，與曲線 ：的關(guān)系是例題型一題型一 極坐標(biāo)的基本概念及應(yīng)用極坐標(biāo)的基本概念及應(yīng)用 0(5)3(52)()320220()351 5(5)23331AkkkkkA ZZ當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)， 的極坐標(biāo)的

4、一般形式為 ，由 ，得，解得，所以，所以滿足條件的點(diǎn) 的極解，坐標(biāo)為析： 10(5)3( 521)()243221413103330( 5)3Akp kkkAZ當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)， 的極坐標(biāo)的一般形式是，由 ，得，解得，所以，故滿足條件的點(diǎn) 的極坐，標(biāo)為解析： 1 41()()232 313sinsin26 1 4()sin2sin22322PPPPCC因?yàn)辄c(diǎn)，與點(diǎn)，是同一點(diǎn)，且，所以點(diǎn)在曲線 ：上解析：故點(diǎn)，在曲，線 ：上00() ()MP有關(guān)在極坐標(biāo)系中求線段的長(zhǎng)或平面圖形面積等問題的求解，關(guān)鍵是應(yīng)用點(diǎn)的極坐標(biāo)的幾何意義，同時(shí)應(yīng)注意：若，則，且點(diǎn)，與，關(guān)于評(píng)析：極點(diǎn)對(duì)稱45( 3) (51)36(

5、)ABABAOBO已知 、 兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為，、，求和的面積 其中點(diǎn) 為式 ：極點(diǎn)變22245( 3) (5)(3)3637(5)3 56756362cos34 15 334 15 15.4315sin3 5 sin26AOBABAOBABABOAOBAOBABOAOBOA OBAOBABSAOB 在中，因?yàn)?、 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，、，則 、 兩點(diǎn)的坐標(biāo)可化為 ， 、，因而、兩邊長(zhǎng)分別為 、 ，夾角，所以，所以，解析：5(0)( 22 3)(23.3)3例 將下列直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)： ，；，； ， 題型二題型二 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化2205(0 5 3()324( 2

6、2 3)(4)3(33)(2 3) 6)3xyytanxxy 利用公式轉(zhuǎn)化 ，為 軸負(fù)半軸上的解析：可化為，；，可化為 ，； ，可化，點(diǎn)，為222 cossintan ( 0)xyyxyxx將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)較容易，只要利用，即可；而將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，它需要同時(shí)滿足，評(píng)析：23(3)(2)(322.)4將下列極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)： ， ； ，；，變式 3 2 3 2(3)()4222(2)( 13)333()(0)22xcosysin解析： ， 化為，； ，化為， ；，利用公式轉(zhuǎn)化化為， 222212020332.xyaxxyxyx將下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：；例題型三題型三 極坐標(biāo)

7、方程與直角坐標(biāo)方程的互化極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化 2222cos2cos02 cos0.0 12 co scossincossin00tan1.3ta2 cosn1.43.0()3244xyxaaaxya R將，代入，得，即或而恒表示解析：故所求極坐標(biāo)方程為極點(diǎn)，曲線過極點(diǎn)，將，代入，得，即或由，得而表示極點(diǎn)，直線過極點(diǎn)故所求極坐標(biāo)方程為，()R 2222cossincossin2 cos2 2.20.2 2023xycoscosccosccoososs將，代入，得，即或而表示極點(diǎn)，過極點(diǎn)解析：故所求極坐標(biāo)方程為，cossin xy直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運(yùn)用公式及直接代

8、入并化簡(jiǎn)即可對(duì)方程進(jìn)行變形時(shí)，方程必須同解，因此應(yīng)注意對(duì)變形過程評(píng)析：的檢驗(yàn) 1cossin_322sin()42_.曲線的極坐標(biāo)方程為，則其直角坐標(biāo)方程為軌跡為；已知直線的極坐標(biāo)方程為，則極點(diǎn)到該直線的距離是變式 22 112()222202.21xyxy解析：圓心為，半徑為的圓應(yīng)填；應(yīng)填2cossi n()極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程相對(duì)困難一點(diǎn)，解決此類問題常通過變形，構(gòu)造形如，的形式，進(jìn)行整體代換其中，方程兩邊同乘以 或同除以及方程兩邊平方是常用的變?cè)u(píng)析：形方法 ( 2 0)in()4.03.4121Alm mmPlQOPOP OQQ在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，到直線：的距離為求實(shí)數(shù) 的值；設(shè)

9、 是直線 上的動(dòng)點(diǎn)， 在線段上，且滿足，求點(diǎn) 的軌跡方程，并指出軌跡是什例么圖形題型四題型四 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 ( 2 0)20.|22 231|12.xAlxymmAldmm 以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn) 的直角坐標(biāo)為，直線 的直角坐標(biāo)方程為因?yàn)?到直線 的離，所以距解析： m將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得 的值；極坐標(biāo)系下的軌跡方程的求解與直角坐標(biāo)系下的軌跡方程的求解方法類似，此分析：處可用動(dòng) 0000000000221sin()2.411()().()sin ()2.41sin()2sin()44221()().88

10、161 3(24lPQPlQxyQ由得直線 的方程為設(shè)，則因?yàn)辄c(diǎn)，在直線 上，所以將代入，得，即這就是解析：因此點(diǎn)點(diǎn) 的軌跡方程化為直角坐標(biāo)的軌跡是以方為，程1)44為圓心，為半徑的圓 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化要注意互化的前提若要判斷曲線的形狀，可先將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再判斷在直角坐標(biāo)系中，求曲線的軌跡方程的方法有直譯法，定義法，動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法在極坐標(biāo)系中，求曲線的極坐標(biāo)方程，這幾種方法仍然評(píng)析：是適用的 121212( 3 0)( 3)2.212.4.OPPCPPPPCABAOB在極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)為 ，已知， ，曲線 ：求直線的極坐標(biāo)方程；記直線與曲線 交于、 兩點(diǎn)，求變式 1212 s(

11、)sin3incos 13cos.PPPPP如圖所示，設(shè)點(diǎn)解析：所以，是直線上任意一點(diǎn)，則，直線的極坐標(biāo)方程是 121()33sinc2 os236.2.3262.22PPPOPsincossincosOPOABOAOBABABO BOAA B由知，直線上的點(diǎn)，滿足，即，而的最大值為，則的最小值為在等腰中，底邊上的高為則，所以是等邊三解析：因此，角形，2 2 (cos3sin )5023AB已知圓的極坐標(biāo)方程為，求直線截圓所備選例題得弦的長(zhǎng)度2122221221(3)9330.( 13)30|33 2 932 6.|33 2 1223235025016221616.xyyxxyxydcossi

12、n 圓的直角坐標(biāo)為，直線的直角坐標(biāo)方程為，即又圓心，到直線的距離為，則弦解析：從而弦長(zhǎng)方法 ：方長(zhǎng)為由，解得法，：為解得，()()(2)() (2)()()(1MkkkkMMZZ極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的最大區(qū)別在于：平面直角坐標(biāo)系中，平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的；而極坐標(biāo)系中，對(duì)于給定的有序數(shù)對(duì)，可以確定平面上的一點(diǎn)，但是平極坐標(biāo)系和極坐標(biāo)的理解面內(nèi)的一點(diǎn)的極坐標(biāo)，卻不是唯一的一般的，若，是點(diǎn)的極坐標(biāo)，則，也都是點(diǎn)的極坐標(biāo)總之，點(diǎn)，的極坐標(biāo)可以是，2)()0,02()kkZ 當(dāng)規(guī)定 以后，平面內(nèi)的點(diǎn) 除極點(diǎn)外與有序數(shù)對(duì)就可以一一對(duì)應(yīng)了 22221.0“”( )( )()0nxy

13、xcosyysintanxxxrnr 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化注意事項(xiàng)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式是或這兩組公式必須滿足下面的 三個(gè)條件 才能使用：原點(diǎn)與極點(diǎn)重合； 軸正半軸與極軸重合； 長(zhǎng)度單位相同極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化中，需注意等價(jià)性，特別是兩邊同乘以 時(shí)，方程增了一個(gè) 重解，要判斷它是否是方程的解，若不是要去掉該解 23tan1,1tan11,13( 2)4yMx 由極坐標(biāo)方程給出的問題，若不好處理，就直角坐標(biāo)化；由直角坐標(biāo)方程給出的問題，若用極坐標(biāo)方法處理較為簡(jiǎn)便，就極坐標(biāo)化慎用，如點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，化為極坐標(biāo)時(shí)，由不能確定 的取值，必須結(jié)合所表示的點(diǎn)所在象限的情況確定其極坐標(biāo)為， 3123rq極坐標(biāo)方程的應(yīng)用及求法合理建立極坐標(biāo)系，使所求曲線方程簡(jiǎn)單巧妙利用直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系中坐標(biāo)之間的互化公式，把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)解決問題利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出兩極坐標(biāo) 、 是求極坐標(biāo)系曲線方程的法寶 11222212121241()()2()()3()()24()()45()()2.PPPPPPPPABABcos 常用結(jié)論極坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系：點(diǎn)，關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，；點(diǎn)，關(guān)于極軸所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為，；點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，；點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，；在極坐標(biāo)下，間的距離( 5)3()4A (5) B (5)3325C (5) D ( 5)3