二次函數(shù)中的面積類問題

1、二次函數(shù)中的面積計算問題例例1:已知拋物線已知拋物線y=x2+2x+3與與x軸交軸交于于A,B兩點(diǎn)，其中兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)位于點(diǎn)位于B點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的左側(cè)，與與y軸交于軸交于C點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)，頂點(diǎn)為P，S AOC=_ S BOC=_ 43212OACPB(0,3)(-1,0)(3,0)(1,4)S COP=_ S PAB=_ 43212OACPB(0,3)(-1,0)(3,0)(1,4)S PCB=_ (3,0)43212OACPB(0,3)(-1,0)(1,4)S ACP=_ EFFDEBC鉛垂高鉛垂高水平寬水平寬ha圖圖2AxCOyABD11圖圖189例例1 1：如圖如圖1 1，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)

2、，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)C C(1(1，4)4)，交，交x x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)A A(3(3，0)0)，交，交y y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)B B。（1 1）求拋物線和直線）求拋物線和直線ABAB的解析式；的解析式；（2 2）求）求CABCAB的鉛垂高的鉛垂高CDCD及及S SCAB CAB ；（3 3）設(shè)點(diǎn)）設(shè)點(diǎn)P P是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點(diǎn)，是是拋物線（在第一象限內(nèi)）上的一個動點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)否存在一點(diǎn)P P，使，使S SPABPABS SCABCAB ，若存在，求出若存在，求出P P點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。一、運(yùn)用一、運(yùn)用2 2鉛鉛錘錘高高水水平平寬寬 S

3、xCOyABD11圖2P（3）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，PAB的鉛垂高為h 32, 4)1(2121xxyxy即(1)拋物線解析式為.32xyAB 解析式為直線.2,41),4, 1(21yyxC，時當(dāng).224CDCAB 的鉛錘高32321CABSxxxxxyyh3) 3() 32(2221389)3(321,892xxSSCABPAB23x, 322xx1代入y4151y），（41523PAxyBO練習(xí)練習(xí)1如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，0)，連結(jié)，連結(jié)OA，將線段將線段OA繞原點(diǎn)繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)順時針旋轉(zhuǎn)120，得到線段，得到線段OB（1）求點(diǎn)）求點(diǎn)B

4、的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過）求經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)C，使，使BOC的的周長最??？若存在，求出點(diǎn)周長最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（4）如果點(diǎn)）如果點(diǎn)P是（是（2）中的拋物線上的動點(diǎn)，且在）中的拋物線上的動點(diǎn)，且在x軸的下方，軸的下方，那么那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時是否有最大面積？若有，求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由的最大面積；若沒有，請說明理由AxyBO解：（解：（1 1）如圖）如

5、圖1 1，過點(diǎn)，過點(diǎn)B B作作BMBMx x軸于軸于M M由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OBOBOAOA2 2AOBAOB120120，BOMBOM6060M33332代入坐標(biāo)易得所求拋物線的解析式為代入坐標(biāo)易得所求拋物線的解析式為yx 2x C（3 3）存在）存在 33332直線直線ABAB的解析式為的解析式為yx x x1 1代入直線代入直線ABAB的解析式的解析式 點(diǎn)點(diǎn)C C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (1 1， ) )33P 389)21(232xSPAB21839當(dāng)當(dāng)x x時，時，PABPAB的面積有最大值，最大值為的面積有最大值，最大值為)43,21(P323260sin121260cos00O

6、BBMOBOM，)3, 1 (B（2 2）設(shè)經(jīng)過）設(shè)經(jīng)過A A、O O、B B三點(diǎn)的拋物線的解析式為三點(diǎn)的拋物線的解析式為cbxaxy2例例2 2如圖，拋物線如圖，拋物線yx 22xk與與x軸交于軸交于A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，與與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C（0，3）（圖（圖2 2、圖、圖3 3為解答備用圖）為解答備用圖）（1 1）k ，點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 ；（2 2）設(shè)拋物線）設(shè)拋物線yx 22xk的頂點(diǎn)為的頂點(diǎn)為M，求四邊形，求四邊形ABMC的面積的面積；3 （1，0） （3，0） yxBAOCM（2）M的坐標(biāo)為（1，4） S四邊形ABMC SAOC SCOM SMOB

7、9 二、運(yùn)用分割方法二、運(yùn)用分割方法yxBAOC圖1M（3）在）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形，使四邊形 ABDC的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)的面積最大？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；在，請說明理由；（3）設(shè)D（m，m 22m3），連結(jié)OD，如圖則0m3，m 22m30S四邊形ABDC SAOC SCOD SDOByxBAOCD875)23(2362923323213213121222mmmmmmS23m當(dāng)四邊形ABDC的面積最大 )415,23(D例例2. 2. （貴州省遵義市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，（貴州省遵義市

8、）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAOB的的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A A（0 0，2 2），），O O（0 0，0 0），），B B（4 4，0 0），把），把AOBAOB繞繞點(diǎn)點(diǎn)O O逆時針方向旋轉(zhuǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)9090得到得到CODCOD（點(diǎn)（點(diǎn)A A轉(zhuǎn)到點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)C C的位置），的位置），拋物線拋物線yax 2bxc(a0)經(jīng)過經(jīng)過C C、D D、B B三點(diǎn)三點(diǎn)（1 1）求拋物線的解析式；）求拋物線的解析式；（2 2）若拋物線的頂點(diǎn)為）若拋物線的頂點(diǎn)為P P，求，求PABPAB的面積；的面積； （3 3）拋物線上是否存在點(diǎn)）拋物線上是否存在點(diǎn)M M，使，使MBCMBC的面積等于的面積等

9、于PABPAB的面積？的面積？若存在，請求出點(diǎn)若存在，請求出點(diǎn)M M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由-3BAxyO2-1-112345-21345三三. .運(yùn)用運(yùn)用y-3BAxyO2-1-112345-21345P(1)(1)拋物線經(jīng)過拋物線經(jīng)過B B（4 4，0 0），），C C（2 2，0 0）可設(shè)拋物線的解析式為可設(shè)拋物線的解析式為ya(x2)(x4)D D（0 0，4 4）代入上式）代入上式 21a)4)(2(21xxy解析式（2 2）SPABS四邊形四邊形PEOB SAOB SPEA6 （3 3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M M，其坐標(biāo)為，其坐標(biāo)為M M（x x，y y） 6621PABMBCSySy2 51, 229) 121-22xxy得（時，當(dāng)131, 229) 121-22xxy得（時，當(dāng))2,131 (),2,131 (),2 , 51 (),2 , 51 (4321MMMMEC二次函數(shù)中面積問題常見解決方法二次函數(shù)中面積問題常見解決方法：一、運(yùn)用一、運(yùn)用2 2鉛鉛錘錘高高水水平平寬寬 S二、運(yùn)用二、運(yùn)用y四、運(yùn)用分割四、運(yùn)用