第六章圖像復(fù)原(1)數(shù)字圖像處理阮秋琦

1、數(shù)字圖像處理數(shù)字圖像處理第第6 6章章 圖像復(fù)原圖像復(fù)原（第（第1 1講）講）北京交通大學(xué)信息科學(xué)研究所北京交通大學(xué)信息科學(xué)研究所阮秋琦教授阮秋琦教授 圖像復(fù)原是圖像處理的另一重要課題。它的圖像復(fù)原是圖像處理的另一重要課題。它的主要目的是改善給定的圖像質(zhì)量。當(dāng)給定了一幅主要目的是改善給定的圖像質(zhì)量。當(dāng)給定了一幅退化了的或者受到噪聲污染了的圖像后，利用退退化了的或者受到噪聲污染了的圖像后，利用退化現(xiàn)象的某種先驗知識來重建或恢復(fù)原有圖像是化現(xiàn)象的某種先驗知識來重建或恢復(fù)原有圖像是圖像復(fù)原處理的基本過程。圖像復(fù)原處理的基本過程。 可能的退化有：可能的退化有： 光學(xué)系統(tǒng)中的衍射；光學(xué)系統(tǒng)中的衍射； 傳

2、感器非線性畸變，傳感器非線性畸變， 光學(xué)系統(tǒng)的像差，光學(xué)系統(tǒng)的像差， 攝影膠片的非線性，攝影膠片的非線性， 大氣湍流的擾動效應(yīng)，大氣湍流的擾動效應(yīng)， 圖像運動造成的模糊圖像運動造成的模糊 幾何畸變等等。幾何畸變等等。大氣湍流造成的圖像退化大氣湍流造成的圖像退化運動模糊的圖像運動模糊的圖像幾何失真圖像及其恢復(fù)圖像幾何失真圖像及其恢復(fù)圖像散焦造成的圖像退化散焦造成的圖像退化枕形及桶形失真枕形及桶形失真 噪聲干擾可以由電子成像系統(tǒng)傳感器、信號傳輸過噪聲干擾可以由電子成像系統(tǒng)傳感器、信號傳輸過程或者膠片顆粒性造成的。各種退化圖像的復(fù)原都程或者膠片顆粒性造成的。各種退化圖像的復(fù)原都可歸結(jié)為一種過程，具體

3、的說就是把退化模型化，可歸結(jié)為一種過程，具體的說就是把退化模型化，并且采用相反的過程進(jìn)行處理，以便恢復(fù)出原圖像。并且采用相反的過程進(jìn)行處理，以便恢復(fù)出原圖像。本章將主要討論代數(shù)復(fù)原技術(shù)。本章將主要討論代數(shù)復(fù)原技術(shù)。 6.1 6.1 退化模型退化模型 圖像恢復(fù)處理的關(guān)鍵問題在于建立退化模型。圖像恢復(fù)處理的關(guān)鍵問題在于建立退化模型。用數(shù)學(xué)方法描述圖像時，它的最普遍的數(shù)學(xué)表達(dá)式用數(shù)學(xué)方法描述圖像時，它的最普遍的數(shù)學(xué)表達(dá)式為為 圖像。當(dāng)研究的是靜止的、圖像。當(dāng)研究的是靜止的、單色的、平面的圖像時，則其數(shù)學(xué)表達(dá)式就簡化單色的、平面的圖像時，則其數(shù)學(xué)表達(dá)式就簡化為為 。If x y zt( , ) If

4、x y( ,) Hf f( (x,yx,y) )g g( (x,yx,y) )n n( (x,yx,y) )圖圖61 61 圖像退化模型圖像退化模型 輸入圖像輸入圖像系統(tǒng)系統(tǒng)加性噪聲加性噪聲退化圖像退化圖像 基于這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可建立退化模型如圖基于這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可建立退化模型如圖6161所示的形式。由圖所示的形式。由圖6161的模型可見，一幅純的模型可見，一幅純凈的圖像凈的圖像 f f( (x,yx,y) ) 是由于通過了一個系統(tǒng)是由于通過了一個系統(tǒng)及及加入外來加性噪聲加入外來加性噪聲 n n( (x,yx,y) ) 而使其退化為一幅而使其退化為一幅圖像圖像 g g( (x,yx,y)

5、 ) 的。的。 圖像復(fù)原可以看成是一個估計過程。如圖像復(fù)原可以看成是一個估計過程。如果已經(jīng)給出了退化圖像果已經(jīng)給出了退化圖像 g g ( (x, yx, y) ) 并估計出并估計出系統(tǒng)參數(shù)系統(tǒng)參數(shù) H H ，從而可近似地恢復(fù)，從而可近似地恢復(fù) f f ( (x, x, y y) ) 。這里，。這里，n n ( (x, yx, y) ) 是一種統(tǒng)計性質(zhì)的信是一種統(tǒng)計性質(zhì)的信息。當(dāng)然，為了對處理結(jié)果作出某種最佳的息。當(dāng)然，為了對處理結(jié)果作出某種最佳的估計，一般應(yīng)首先明確一個質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。估計，一般應(yīng)首先明確一個質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。 6.1.1 6.1.1 系統(tǒng)系統(tǒng) 的基本定義的基本定義 6.1.2 6.1.2

6、連續(xù)函數(shù)退化模型連續(xù)函數(shù)退化模型 6.1.3 6.1.3 離散的退化模型離散的退化模型 H 根據(jù)圖像的退化模型及復(fù)原的基本過程可根據(jù)圖像的退化模型及復(fù)原的基本過程可見，復(fù)原處理的關(guān)鍵在于對系統(tǒng)見，復(fù)原處理的關(guān)鍵在于對系統(tǒng) H的基本了的基本了解。就一般而言，解。就一般而言，系統(tǒng)系統(tǒng)是某些元件或部件以某是某些元件或部件以某種方式構(gòu)造而成的整體。系統(tǒng)本身所具有的某種方式構(gòu)造而成的整體。系統(tǒng)本身所具有的某些特性就構(gòu)成了通過系統(tǒng)的輸入信號與輸出信些特性就構(gòu)成了通過系統(tǒng)的輸入信號與輸出信號的某種聯(lián)系。號的某種聯(lián)系。 系統(tǒng)的分類方法很多。例如，系統(tǒng)可分為系統(tǒng)的分類方法很多。例如，系統(tǒng)可分為 線性系統(tǒng)和非線性

7、系統(tǒng)；線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)； 時變系統(tǒng)和非時變系統(tǒng)；時變系統(tǒng)和非時變系統(tǒng)； 集中參數(shù)系統(tǒng)和分布參數(shù)系統(tǒng)；集中參數(shù)系統(tǒng)和分布參數(shù)系統(tǒng)； 連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)等等。連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)等等。 Hf (x, y)g( x, y)n( x, y)圖圖61 61 圖像退化模型圖像退化模型 線性系統(tǒng)就是具有均勻性和相加性的系統(tǒng)。線性系統(tǒng)就是具有均勻性和相加性的系統(tǒng)。對于圖對于圖6161所示的系統(tǒng)來說，可表示成下式所示的系統(tǒng)來說，可表示成下式 ),(),(),(yxnyxfHyxg(61)(61) ),(),(yxfHyxg(62)(62) 如果暫不考慮加性噪聲如果暫不考慮加性噪聲 n n ( (x, yx,

8、y) ) 的影響，的影響，而令而令 n (x, y)=0 時，則時，則 如果輸入信號為如果輸入信號為 ， ，對應(yīng)的輸出信號為對應(yīng)的輸出信號為 ， ，通過系統(tǒng)后有下式成立通過系統(tǒng)后有下式成立 fx y1( ,) fx y2( ,) gx y1( ,) gx y2( ,) ),(),(),(),(),(),(221122112211y xgky xgky xfkHy xfkHy xfky xfkH(63)(63) 21, kkkk121),(),(),(),(),(),(212121y xgy xgy xfHy xfHy xfy xfH(64)(64) 那么，系統(tǒng)那么，系統(tǒng) H H 是一個線性系統(tǒng)

9、。其中是一個線性系統(tǒng)。其中 為一常數(shù)。如果為一常數(shù)。如果 ，則，則 式式(63)(63)及式及式(64)(64)說明，如果說明，如果 為線性為線性系統(tǒng)，那么，兩個輸入之和的響應(yīng)等于兩個系統(tǒng)，那么，兩個輸入之和的響應(yīng)等于兩個響應(yīng)之和。顯然，線性系統(tǒng)的特性為求解多響應(yīng)之和。顯然，線性系統(tǒng)的特性為求解多個激勵情況下的輸出響應(yīng)帶來很大方便。個激勵情況下的輸出響應(yīng)帶來很大方便。 H 如果一個系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間變化，即稱為如果一個系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間變化，即稱為時不變系統(tǒng)或非時變系統(tǒng)。否則，就稱該系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)或非時變系統(tǒng)。否則，就稱該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。與此概念相對應(yīng)，對于二維函數(shù)來說，時變系統(tǒng)。與此概念相

10、對應(yīng)，對于二維函數(shù)來說，如果如果 ),(),(y xgy xfH(65)(65) H 是空間不變系統(tǒng)（或稱為位置不變系統(tǒng)），是空間不變系統(tǒng)（或稱為位置不變系統(tǒng)），式中的式中的 和和 分別是空間位置的位移量。分別是空間位置的位移量。這說明了圖像中任一點通過該系統(tǒng)的響應(yīng)只取決于這說明了圖像中任一點通過該系統(tǒng)的響應(yīng)只取決于在該點的輸入值，而與該點的位置無關(guān)。在該點的輸入值，而與該點的位置無關(guān)。 由上述基本定義可見，如果系統(tǒng)由上述基本定義可見，如果系統(tǒng) H 有式有式(63)(63)和式和式(65)(65)的關(guān)系，那么，系統(tǒng)的關(guān)系，那么，系統(tǒng)就是就是線性的和空間位置不變的系統(tǒng)線性的和空間位置不變的系統(tǒng)。

11、在圖像在圖像復(fù)原處理中，盡管非線性和空間變化的系統(tǒng)復(fù)原處理中，盡管非線性和空間變化的系統(tǒng)模型更具普遍性和準(zhǔn)確性，但是，它卻給處模型更具普遍性和準(zhǔn)確性，但是，它卻給處理工作帶來巨大的困難，它常常沒有解或者理工作帶來巨大的困難，它常常沒有解或者很難用計算機來處理。很難用計算機來處理。 因此，在圖像復(fù)原處理中，往往用線性和空間因此，在圖像復(fù)原處理中，往往用線性和空間不變性的系統(tǒng)模型加以近似。這種近似的優(yōu)點是不變性的系統(tǒng)模型加以近似。這種近似的優(yōu)點是使線性系統(tǒng)理論中的許多理論可直接用來解決圖使線性系統(tǒng)理論中的許多理論可直接用來解決圖像復(fù)原問題，所以圖像復(fù)原處理特別是數(shù)字圖像像復(fù)原問題，所以圖像復(fù)原處理

12、特別是數(shù)字圖像復(fù)原處理主要采用線性的，空間不變的復(fù)原技術(shù)復(fù)原處理主要采用線性的，空間不變的復(fù)原技術(shù)。 6.1.1 6.1.1 系統(tǒng)系統(tǒng) 的基本定義的基本定義 6.1.2 6.1.2 連續(xù)函數(shù)退化模型連續(xù)函數(shù)退化模型 6.1.3 6.1.3 離散的退化模型離散的退化模型 H 在線性系統(tǒng)理論中，曾定義了單位沖激信在線性系統(tǒng)理論中，曾定義了單位沖激信號號 。它是一個振幅在原點之外所有時。它是一個振幅在原點之外所有時刻為零，在原點處振幅為無限大、寬度無限小，刻為零，在原點處振幅為無限大、寬度無限小，面積為的窄脈沖。其時域表達(dá)式為面積為的窄脈沖。其時域表達(dá)式為 ( ) t 0 0)( 0 1)( ttt

13、dtt(66)(66) 如果沖激信號如果沖激信號 有一個時刻有一個時刻 的的延遲，那么延遲，那么 ( ) tt0 0000 0)( 1)( ttttttdttt(67)(67) = ( ) ( )( ) ( )( )( )( )t f t dtt fdtft dtf000(68)(68) 沖激信號沖激信號 的一個重要特性是取樣特性。的一個重要特性是取樣特性。由于除了由于除了 外，其它值均為零，所以有外，其它值均為零，所以有 ( ) t0t同理，當(dāng)同理，當(dāng) t t 有有 t t0 0 延時的時候有延時的時候有 = () ( )() ( )( )()( )ttf t dtttf t dtf ttt

14、 dtf t000000(69)(69) 沖激函數(shù)的另外一個取樣公式就是卷積取樣，即沖激函數(shù)的另外一個取樣公式就是卷積取樣，即 f xtt dtf x()( )( ) (610)(610) 上述的一維時域沖激函數(shù)上述的一維時域沖激函數(shù) 不難推廣到不難推廣到二維空間域中。如果推廣至二維空間，那么可定二維空間域中。如果推廣至二維空間，那么可定義義 為沖激函數(shù)。為沖激函數(shù)。 就是有就是有延遲的沖激函數(shù)。顯然，可以把延遲的沖激函數(shù)。顯然，可以把 寫成寫成下式形式下式形式 ( ) t ( ,)x y) ,(yxf x y( ,) ddyxfyxf),(),(),( (611)(611) ddyxfHyx

15、fHyxg),(),(),(),( ),(),(),(yxnyxfHyxgn x y( ,) 0 根據(jù)根據(jù) 的關(guān)系的關(guān)系, , 如如果令果令 , , 則有下式成立則有下式成立 由于由于 是線性算子，所以是線性算子，所以 HddyxHfddyxfHddyxfHyxfHyxg),(),(),(),(),(),(),(),( (612)(612) 令令 ),(),(-y xHyxh則則 g x yfh xyd d( ,)( ,) ( , , ) (613)(613) 其中其中 就是系統(tǒng)就是系統(tǒng) 的沖的沖激響應(yīng)。也就是說激響應(yīng)。也就是說 是系統(tǒng)是系統(tǒng) 對坐標(biāo)為對坐標(biāo)為 處的沖激函數(shù)處的沖激函數(shù) 的響應(yīng)

16、。在光學(xué)中，沖激為一光點，所以的響應(yīng)。在光學(xué)中，沖激為一光點，所以 又稱為點擴(kuò)散函數(shù)（又稱為點擴(kuò)散函數(shù)（PSFPSF）。）。 h xy( , , ) Hh xy( , ) H),(,)x y-h xy( , , ) f ( ,) 式式(613)(613)就是線性系統(tǒng)理論中非常重要的費就是線性系統(tǒng)理論中非常重要的費雷德霍姆雷德霍姆( (fredholm) )積分。式積分。式(613)(613)指出，如果指出，如果系統(tǒng)系統(tǒng) H 對沖激函數(shù)的響應(yīng)為已知，則對任意輸對沖激函數(shù)的響應(yīng)為已知，則對任意輸入入 的響應(yīng)可用式的響應(yīng)可用式(613)(613)求得。換句話求得。換句話說，線性系統(tǒng)說，線性系統(tǒng) H

17、完全可由其沖激響應(yīng)來表征。完全可由其沖激響應(yīng)來表征。 在空間位置不變的情況下在空間位置不變的情況下 ),(),(yxhyxH(614)(614) 在這種情況下，顯然在這種情況下，顯然 g x yfh xyd d( ,)( ,) (,) (615)(615) 這說明，系統(tǒng)這說明，系統(tǒng) 加入輸入信號的響加入輸入信號的響應(yīng)就是系統(tǒng)輸入信號與沖激響應(yīng)的卷積積分。應(yīng)就是系統(tǒng)輸入信號與沖激響應(yīng)的卷積積分。 H 在有加性噪聲的情況下，前述的線性退化在有加性噪聲的情況下，前述的線性退化模型可表示為模型可表示為 ),(),(),(),(yxnddy xh fy xg( (616)616) 當(dāng)然，在上述情況中，都

18、假設(shè)噪聲與圖像當(dāng)然，在上述情況中，都假設(shè)噪聲與圖像中的位置無關(guān)。中的位置無關(guān)。 式式(616)(616)就是我們主要研究的連續(xù)函數(shù)就是我們主要研究的連續(xù)函數(shù)的退化模型。的退化模型。 6.1.1 6.1.1 系統(tǒng)系統(tǒng) 的基本定義的基本定義 6.1.2 6.1.2 連續(xù)函數(shù)退化模型連續(xù)函數(shù)退化模型 6.1.3 6.1.3 離散的退化模型離散的退化模型 H 連續(xù)函數(shù)的退化模型是由輸入函數(shù)連續(xù)函數(shù)的退化模型是由輸入函數(shù) 和點擴(kuò)散函數(shù)相乘后再積分來表示的。如果把和點擴(kuò)散函數(shù)相乘后再積分來表示的。如果把 和和 進(jìn)行均勻取進(jìn)行均勻取樣后就可引伸出離散的退化模型。為了研究離樣后就可引伸出離散的退化模型。為了研

19、究離散的退化模型，不妨用一維函數(shù)來說明基本概散的退化模型，不妨用一維函數(shù)來說明基本概念，然后再推廣至二維情況念，然后再推廣至二維情況。 f ( ,) f ( ,) h x(,) y- 假設(shè)有兩個函數(shù)假設(shè)有兩個函數(shù) f f( (x x) ) 和和 h h( (x x) ) ，它們被均勻它們被均勻取樣后分別形成取樣后分別形成 A A 維和維和 B B 維的陣列。在這維的陣列。在這種情況下，種情況下，f f( (x x) ) 變成在變成在x=0,1,2,x=0,1,2,A A-1-1 范圍內(nèi)的范圍內(nèi)的離散變量，離散變量，h h( (x x) ) 變成在變成在 x=0,1,2,x=0,1,2,B B-

20、1 -1 范圍內(nèi)的離散變量。由此，連續(xù)函數(shù)退化模型中的范圍內(nèi)的離散變量。由此，連續(xù)函數(shù)退化模型中的連續(xù)卷積關(guān)系就演變?yōu)殡x散卷積關(guān)系。連續(xù)卷積關(guān)系就演變?yōu)殡x散卷積關(guān)系。 如果如果 f(x) ，h(x) 都是具有周期為都是具有周期為 N 的序的序列，那么，它們的時域離散卷積可定義為下式之列，那么，它們的時域離散卷積可定義為下式之形式。形式。 g xf m h xm( )( ) ()(617)(617) 顯然，顯然， 也是具有周期也是具有周期 N 的序列。周的序列。周期卷積可用常規(guī)卷積法計算也可用卷積定理進(jìn)期卷積可用常規(guī)卷積法計算也可用卷積定理進(jìn)行快速卷積計算。行快速卷積計算。 g x( ) 如果如

21、果 f(x) 和和 h(x) 均不具備周期性，則可以均不具備周期性，則可以用延拓的方法使其成為周期函數(shù)。為了避免折疊用延拓的方法使其成為周期函數(shù)。為了避免折疊現(xiàn)象，可以令周期現(xiàn)象，可以令周期 MA+B-1 ，使使 f(x) ， h(x) 分別延拓為下列離散陣列分別延拓為下列離散陣列 111)()(MxA 0 Ax0 xfxfe111)()(MxB 0 Bx0 xhxhe(618) (618) 這樣延拓后，可得到一個離散卷積退化模型這樣延拓后，可得到一個離散卷積退化模型 )()()(10mxhmfxgeeMme(619) (619) 式中式中 x=0,1,2, =0,1,2, M-1 。顯然，顯

22、然，g ge e( (x x) ) 的周期的周期也是也是 M 。經(jīng)過這樣的延拓處理，一個非周期經(jīng)過這樣的延拓處理，一個非周期的卷積問題就變成了周期卷積問題了。因此也就的卷積問題就變成了周期卷積問題了。因此也就可以用快速卷積法進(jìn)行運算了。可以用快速卷積法進(jìn)行運算了。 如果用矩陣來表示上述離散退化模型，可如果用矩陣來表示上述離散退化模型，可寫成下式之形式寫成下式之形式 gHf (620) (620) 這里這里 g,H, , f 分別代表矩陣，其中分別代表矩陣，其中 ffffMeee( )( )()011 (621) (621) ggggMeee( )( )()011 (622) (622) H 是

23、是 M M 階矩陣階矩陣 HhhhhMhhhhMhhhhMhMhMheeeeeeeeeeeeee( )()()()( )( )()()( )( )( )()()()01211012210312 eeMh()( )30 (623) (623) 由于由于 he( (x) ) 具有周期性，所以具有周期性，所以he( (x) )= =he( (M + + x) ) ，利用這一性質(zhì)，式（利用這一性質(zhì)，式（623623）又可以寫成下式形式）又可以寫成下式形式 HhhMhMhhhhMhhhhhhMhMhMeeeeeeeeeeeeeee( )()()( )( )( )()( )( )( )( )( )()()

24、()012110122103123 he( )0(624) (624) 由于由于 he( (x) ) 的周期性，使得的周期性，使得 H 成為一個循環(huán)矩成為一個循環(huán)矩陣。陣。 上述基本模型不難推廣至二維情況。如果上述基本模型不難推廣至二維情況。如果給出給出 AB大小的數(shù)字圖像以及大小的數(shù)字圖像以及CD大小的大小的點擴(kuò)散函數(shù)，可首先作成大小為點擴(kuò)散函數(shù)，可首先作成大小為MN的周期的周期延拓圖像，即：延拓圖像，即： fx yf x yxAyBAxMByNe( ,)( ,) 0 0 0 1111(625)(625) hx yh x yxCyDCxMDyNe( ,)( ,) 0 0 0 1111(626

25、)(626) 這樣延拓后這樣延拓后 f fe e( (x,yx,y) ) 和和 h he e( (x,yx,y) )分別成為二維分別成為二維周期函數(shù)。它們在周期函數(shù)。它們在x x和和y y方向上的周期分別為方向上的周期分別為M M和和N N。由此得到二維退化模型為一個二維卷積形式由此得到二維退化模型為一個二維卷積形式 g x yf mn h xm ynemMnNee( , )( , ) (,) 0101(627)(627) 式中：式中：x=0,1,2,=0,1,2,M-1 ； y=0,1,2,=0,1,2,N-1 ，卷卷積函數(shù)積函數(shù) ge e( (x,y) ) 也為周期函數(shù)，其周期與也為周期函

26、數(shù)，其周期與 fe e( (x,y) ) 和和 he e( (x,y) ) 一樣。一樣。 為避免重疊，同樣要按下式規(guī)則延拓為避免重疊，同樣要按下式規(guī)則延拓 MACNBD11, (628)(628) 式式(6-27)(6-27)的模型同樣可用矩陣來表示的模型同樣可用矩陣來表示 gHf (629)(629) 其中其中 g , , f 代表代表 M N 維列向量。這些列維列向量。這些列向量是由向量是由維的函數(shù)矩陣維的函數(shù)矩陣 fe e( (x,y), ), ge e( (x,y)的各行堆積而成的。的各行堆積而成的。 例如例如 ff 的第一組的第一組 N N 個元素是個元素是 fe e( (x,y)

27、) 的的第一行元素，第二組第一行元素，第二組N個元素是由個元素是由 fe e( (x,y) ) 的的第二行元素得到的等等。因此，式第二行元素得到的等等。因此，式(629)(629)中的中的 g 和和 f 是是 MN 維向量矩陣，即維向量矩陣，即 g , , f 為為 (MN)X1 維矩陣。而維矩陣。而 H 為為 MN X MN 維矩陣，即維矩陣，即 ：HHHHHHHHHHHHHHHHHMMMMMM0211022031230 111(630)(630) 每個部分每個部分 是由延拓函數(shù)是由延拓函數(shù) h he e(x,y)(x,y) 的的 j j 行構(gòu)成的，構(gòu)成方法如下式：行構(gòu)成的，構(gòu)成方法如下式：

28、 HjHhjhj Nhj Nhjhjhjhj Nhjhjhjhjhjjeeeeeeeeeeee( , )( ,)( ,)( , )( , )( , )( ,)( , )( , )( , )( , )( , )012110122103 hj Nhj Nhj Nhjeeee( ,)( ,)( ,)( , )1230(631)(631) 這里這里 是一個循環(huán)矩陣，是一個循環(huán)矩陣， 的分塊的分塊 的下標(biāo)也是循環(huán)方式標(biāo)注。因此，的下標(biāo)也是循環(huán)方式標(biāo)注。因此， 是一個是一個分塊循環(huán)矩陣。分塊循環(huán)矩陣。HjHHjH 一個更加完善的退化模型應(yīng)加上噪聲項。一個更加完善的退化模型應(yīng)加上噪聲項。所以離散退化模型的完

29、整形式如下式所示所以離散退化模型的完整形式如下式所示 g x yf m n h xm ynn x yemMnNeee( , )( , )(,)( , ) 0101(632)(632) 式中式中 n n 也是也是MN MN 維列向量。維列向量。 gHfn (633)(633) 其矩陣形式如下其矩陣形式如下 上述離散退化模型都是在線性的空間不變上述離散退化模型都是在線性的空間不變的前提下推出的。目的是在給定了的前提下推出的。目的是在給定了 g(x,y) 并并且知道且知道 h(x,y) 和和 n(x,y) 的情況下，估的情況下，估 計計 出出 理理 想想 的的 原原 始始 圖像圖像 f(x,y) 。

30、但是，要想從式但是，要想從式(633)得到得到 f(x,y) ，對于實用大小的圖像來說，處，對于實用大小的圖像來說，處理工作是十分艱巨的。理工作是十分艱巨的。 例如，對于一般精度的圖像來說例如，對于一般精度的圖像來說 M=NM=N=512 =512 ， 此時此時 的大小為的大小為 262144262144262144262144。HMNMN()()51251222 因此，要直接得到因此，要直接得到 f f 則需要求解則需要求解 262144262144個聯(lián)個聯(lián)立方程組。其計算量之浩大是不難想象的。為了解立方程組。其計算量之浩大是不難想象的。為了解決這樣的問題，必須研究一些簡化算法，由于決這樣的

31、問題，必須研究一些簡化算法，由于 H H 的循環(huán)性質(zhì)，使得簡化運算得以實現(xiàn)。的循環(huán)性質(zhì)，使得簡化運算得以實現(xiàn)。 6.2 6.2 逆濾波逆濾波 6.2.1 6.2.1 逆濾波的基本原理逆濾波的基本原理 逆濾波復(fù)原法也叫做反向濾波法。逆濾波復(fù)原法也叫做反向濾波法。 如果退化圖像為如果退化圖像為 g( (x,y) )，原始圖像為原始圖像為 f( (x,y) ) ，在不考慮噪聲的情況下，其退化模型用下式表示在不考慮噪聲的情況下，其退化模型用下式表示 g x yfh xyd d( ,)( ,) (,) (645)(645) 這顯然是一卷積表達(dá)式。由傅立葉變換的卷積這顯然是一卷積表達(dá)式。由傅立葉變換的卷積

32、定理可知有下式成立定理可知有下式成立 式中式中 G G( (u,vu,v) ) ， H H( (u,vu,v) ) ， F F( (u,vu,v) ) 分別是退化圖像分別是退化圖像 g g( (x,yx,y) ) ，點擴(kuò)散函數(shù)點擴(kuò)散函數(shù) h h( (x,yx,y) ) ，原始圖像原始圖像 f f( (x,yx,y) ) 的傅立葉變換。的傅立葉變換。 ) ,() ,() ,(vuFvuHvuG(646)(646) 由式由式(646)(646)，可得，可得 ) ,() ,() ,(vuHvuGvuF) ,() ,() ,(),(11vuHvuGvuFyxfFF(647)(647) (648)(64

33、8) 這意味著，如果已知退化圖像的傅立葉變換和這意味著，如果已知退化圖像的傅立葉變換和“濾濾波波”傳遞函數(shù)，則可以求得原始圖像的傅立葉變換，傳遞函數(shù)，則可以求得原始圖像的傅立葉變換，經(jīng)反傅立葉變換就可求得原始圖像經(jīng)反傅立葉變換就可求得原始圖像 f f( (x,yx,y) )。這里這里 G G( (u,vu,v) ) 除以除以 H H( (u,vu,v) ) 起到了反向濾波起到了反向濾波的作用。這就是逆濾波法復(fù)原的基本原理。的作用。這就是逆濾波法復(fù)原的基本原理。在有噪聲的情況下，逆濾波原理可寫成如下形式在有噪聲的情況下，逆濾波原理可寫成如下形式 ) ,() ,() ,() ,(vuNvuFvuH

34、uG) ,() ,() ,() ,() ,(vuHvuNvuHvuGvuF(649) (649) (650) (650) 式中式中 N( (u,v) ) 是噪聲是噪聲 n( (x,y) ) 的傅立葉變換。的傅立葉變換。 利用式利用式(647)(647)和式和式(650)(650)進(jìn)行復(fù)原處理時進(jìn)行復(fù)原處理時可能會發(fā)生下列情況，即在可能會發(fā)生下列情況，即在 u,v u,v 平面上有些點平面上有些點或區(qū)域會產(chǎn)生或區(qū)域會產(chǎn)生 H H( (u,vu,v)=0 )=0 或或 H H( (u,vu,v) ) 非常小的情非常小的情況，在這種情況下，即使沒有噪聲，也況，在這種情況下，即使沒有噪聲，也 無無 法

35、法 精精 確確 恢復(fù)恢復(fù) f f( (x,yx,y) ) 。 另外，在另外，在 有有 噪噪 聲聲 存存 在在 時時 ，在，在 H H( (u,vu,v) ) 的領(lǐng)的領(lǐng)域內(nèi)，域內(nèi)， H H( (u,vu,v) ) 的值可能比的值可能比 N N( (u,vu,v) ) 的值小的多，的值小的多，因此由式（因此由式（650650）得到的噪聲項可能會非常大，）得到的噪聲項可能會非常大，這樣也會使這樣也會使 f f( (x,yx,y) ) 不能正確恢復(fù)。不能正確恢復(fù)。 一般來說，逆一般來說，逆 濾濾 波波 法法 不不 能能 正正 確確 地地估計估計 H H( (u,vu,v) ) 的零點，因此必須采用一個

36、折的零點，因此必須采用一個折衷的方法加以解決。實衷的方法加以解決。實 際際 上上 逆逆 濾濾 波波 不不 是用是用1 / 1 / H H( (u,vu,v) )，而是采用另外一個關(guān)于，而是采用另外一個關(guān)于 u,vu,v 的函數(shù)的函數(shù) M M( (u,vu,v) ) 。它的處理框圖如圖它的處理框圖如圖6262所所示。示。 在沒有零點并且也不存在噪聲的情況下在沒有零點并且也不存在噪聲的情況下 ) ,(1) ,(vuHvuMH(u,v)M(u,v)+ +圖圖 62 62 實際的逆濾波處理框圖實際的逆濾波處理框圖 F(u,v) G(u,v) ),(vuFN(u,v) 圖圖6262的模型包括了退化和恢復(fù)

37、運算。退化和的模型包括了退化和恢復(fù)運算。退化和恢復(fù)總的傳遞函數(shù)可用恢復(fù)總的傳遞函數(shù)可用 來表來表示。此時有示。此時有 ) ,(vuH) ,(vuM) ,() ,() ,() ,(vuFvuMvuHvuF(651(651) ) 式中式中 是是 的估計值，的估計值， 是是 的傅立葉變換。的傅立葉變換。( ,)f x y f x y( ,) ) ,(vuF( ,)f x y 叫做輸入傳遞函數(shù)，叫做輸入傳遞函數(shù)， 叫做處理傳遞函數(shù)，叫做處理傳遞函數(shù)， 叫做輸出傳遞函數(shù)。叫做輸出傳遞函數(shù)。 ) ,(vuH) ,(vuM) ,(vuH) ,(vuM 一般情況下，一般情況下， 的幅度隨著離的幅度隨著離 平面

38、平面原點的距離的增加而迅速下降，而噪聲項原點的距離的增加而迅速下降，而噪聲項 的幅度變化是比較平緩的。在遠(yuǎn)的幅度變化是比較平緩的。在遠(yuǎn) 離離 平面的平面的原點時原點時 的值就會變得很大，而對的值就會變得很大，而對于大多于大多 數(shù)數(shù) 圖圖 像像 來來 說說 卻變小，卻變小，) ,(vuHvu,),(/ ),(vuHv uNvu,) ,(vuN),(vuH 在這種情況下，噪聲反而占優(yōu)勢，自然無法滿在這種情況下，噪聲反而占優(yōu)勢，自然無法滿意地恢復(fù)出原始圖像。這一規(guī)律說明，應(yīng)用逆意地恢復(fù)出原始圖像。這一規(guī)律說明，應(yīng)用逆濾波時僅在原點鄰域內(nèi)采用濾波時僅在原點鄰域內(nèi)采用 1/1/H H( ( u,vu,v

39、) ) 方能奏效。方能奏效。 換句話說，應(yīng)使換句話說，應(yīng)使 在下述范圍內(nèi)來選擇在下述范圍內(nèi)來選擇 ) ,(vuM 1 ) ,(1) ,(20222022vuvuvuHvuM (652)(652) 的選擇應(yīng)該將的選擇應(yīng)該將 的零點排除在此鄰的零點排除在此鄰域之外。域之外。 0) ,(vuH6.5 6.5 中值濾波中值濾波 對受到噪聲污染的退化圖像的復(fù)原可以采用線對受到噪聲污染的退化圖像的復(fù)原可以采用線性濾波方法來處理，有許多情況下是很有效的。但性濾波方法來處理，有許多情況下是很有效的。但是多數(shù)線性濾波具有低通特性，在去除噪聲的同時是多數(shù)線性濾波具有低通特性，在去除噪聲的同時也使圖像的邊緣變得模糊

40、了。中值濾波方法在某些也使圖像的邊緣變得模糊了。中值濾波方法在某些條件下可以作到既去除噪聲又保護(hù)了圖像邊緣的較條件下可以作到既去除噪聲又保護(hù)了圖像邊緣的較滿意的復(fù)原。滿意的復(fù)原。 中值濾波是一種去除噪聲的非線性處理方法。它中值濾波是一種去除噪聲的非線性處理方法。它是由圖基（是由圖基（TurkyTurky）在）在19711971年提出的。開始，中值年提出的。開始，中值濾波用于時間序列分析，后來被用于圖像處理，濾波用于時間序列分析，后來被用于圖像處理，在去噪復(fù)原中得到了較好的效果。在去噪復(fù)原中得到了較好的效果。6.5.1 6.5.1 中值濾波的基本原理中值濾波的基本原理 6.5.2 6.5.2 加

41、權(quán)的中值濾波加權(quán)的中值濾波 中值濾波的基本原理是把數(shù)字圖像或數(shù)字中值濾波的基本原理是把數(shù)字圖像或數(shù)字序列中一點的值用該點的一個鄰域中各點值的序列中一點的值用該點的一個鄰域中各點值的中值代替。中值的定義如下：中值代替。中值的定義如下： 一組數(shù)一組數(shù) x1, x2, x3 xn , , 把個數(shù)按值的大小順序排列于下把個數(shù)按值的大小順序排列于下 為偶數(shù)為奇數(shù)nxxnxninini)12()2()21(21(6144)(6144) ) , , ,(321321niniiixxxxMedyxxxxy y稱為序列稱為序列 x x1 1, x, x2 2, x, x3 3 x xn n 的中值。例如有的中值

42、。例如有一序列為（一序列為（80, 90, 200, 110, 12080, 90, 200, 110, 120），這個），這個序列的中值為序列的中值為110110。把一個點的特定長度或形狀的鄰域稱作窗口。把一個點的特定長度或形狀的鄰域稱作窗口。在一維情形下，中值濾波器是一個含有奇數(shù)在一維情形下，中值濾波器是一個含有奇數(shù)個像素的滑動窗口。窗口正中間那個像素的個像素的滑動窗口。窗口正中間那個像素的值用窗口內(nèi)各像素值的中值代替。值用窗口內(nèi)各像素值的中值代替。 iI un,() 12其中其中 yMed xMed xxxiii uii u (6145)(6145) ,x iIi 設(shè)輸入序列為設(shè)輸入序列

43、為 ，I I為自然數(shù)集合或子為自然數(shù)集合或子集，窗口長度為集，窗口長度為n n。則濾波器輸出為。則濾波器輸出為 例如，有一輸入序列如下例如，有一輸入序列如下 xi 0 0 0 8 0 0 2 3 2 0 2 3 2 0 3 5 3 0 3 5 3 0 0 2 3 4 5 5 5 5 5 0 0 0) 在此序列中前面的在此序列中前面的8 8是脈沖噪聲，中間一段是一是脈沖噪聲，中間一段是一種寄生振蕩，后面是希望保留的斜坡和跳變。種寄生振蕩，后面是希望保留的斜坡和跳變。在此采用長度為在此采用長度為3 3的窗口，得到的結(jié)果為的窗口，得到的結(jié)果為 yi 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2

44、 0 3 3 3 3 3 3 3 0 0 2 3 4 5 5 5 5 5 0 0 0 0) 顯然，經(jīng)中值濾波后，脈沖噪聲顯然，經(jīng)中值濾波后，脈沖噪聲8 8被濾除了，振蕩被濾除了，振蕩被平滑掉了，斜坡和階躍部分被保存了下來。被平滑掉了，斜坡和階躍部分被保存了下來。 中值濾波的運算方法可以在有限程度上作中值濾波的運算方法可以在有限程度上作些分析。例如常數(shù)些分析。例如常數(shù) K K 與序列與序列 f f( (i i) ) 相相乘的中值有如下關(guān)系存在乘的中值有如下關(guān)系存在 Med Kf iKMed f i( ) ( )(6146)(6146) 而常數(shù)而常數(shù) K K 與序列與序列 f f( (i i) )

45、 相加的中值有如下關(guān)相加的中值有如下關(guān)系系 Med Kf iKMed f i( ) ( )(6147)(6147) 對幾種基本信號進(jìn)行中值濾波的例子如圖對幾種基本信號進(jìn)行中值濾波的例子如圖664 4所示。圖中所示。圖中(a)(a)是階躍信號，經(jīng)中值濾波后仍然是階躍信號，經(jīng)中值濾波后仍然保持了階躍部分；圖保持了階躍部分；圖(b)(b)原始信號是斜坡，濾波原始信號是斜坡，濾波后也保持了其形狀；圖后也保持了其形狀；圖(c)(c)的原始信號是單脈沖的原始信號是單脈沖信號，經(jīng)濾波后消去了這個脈沖；信號，經(jīng)濾波后消去了這個脈沖； 圖圖(d)(d)中的原始信號是雙脈沖，經(jīng)中值濾波后也中的原始信號是雙脈沖，經(jīng)中值濾波后也被消去了；圖被消去了；圖(e)(e)的原始信號是三脈沖，濾波后對的原始信號是三脈沖，濾波后對其沒有影響；圖其沒有影響；圖(f)(f)的原始信號是三角形，濾波后的原始信號是三角形，濾波后雖然有少許變形，但也還基本保持了原來的形狀。雖然有少許變形，但也還基本保持了原來的形狀。圖圖64 64 對幾種基本信號中值濾波的結(jié)果的例子對幾種基本信號中值濾波