基于-Matlab的電力系統(tǒng)潮流仿真計(jì)算

1、基于-Matlab 的電力系統(tǒng)潮流仿真計(jì)算電力系統(tǒng)潮流仿真計(jì)算Load Flow Calculation of Power System電力系統(tǒng)潮流仿真計(jì)算摘 要 眾所周知，電力系統(tǒng)潮流計(jì)算是研究電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況的一種計(jì)算。本文首先簡單介紹了潮流計(jì)算的基本原理和意義，然后用具體的實(shí)例介紹了如何進(jìn)行電力系統(tǒng)中的潮流計(jì)算。在復(fù)雜電力系統(tǒng)潮流計(jì)算中，本文選用了牛頓-拉夫遜算法。牛頓- 拉夫遜法是電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的常用算法之一，它具有收斂性好，迭代次數(shù)少等特點(diǎn)。 在軟件選擇中，本文選擇了 MATLAB 作為計(jì)算工具，MTALAB 具有數(shù)學(xué)計(jì)算編程簡易方便等特點(diǎn)。關(guān)鍵詞 電力系統(tǒng)；潮流計(jì)算；牛頓-拉

2、夫遜；矩陣實(shí)驗(yàn)室Load Flow Calculation of Power SystemElectrical Engineering and Automation Specialty NIE Zhang-yuAbstract: As we all know, the power flow calculation is a calculation of the power system steady state operation conditions. This paper first introduces the basic principles and sense of power fl

3、ow calculation, and then use concrete examples on how to conduct power system load flow calculation. In the complex power flow calculation, the paper selects the Newton - Raphson algorithm. Newton - Raphson method is commonly used in power flow calculation algorithm, it has good convergence, fewer i

4、terations and so on. In the software selection, this paper chose MATLAB as a computational tool, MTALAB with mathematical programming simple and convenient.Key words: Power system; load flow calculation; Newton Raphson method;matlab電電力力系系統(tǒng)統(tǒng)潮潮流流仿仿真真計(jì)計(jì)算算目錄1引言1 1.1潮流計(jì)算的目的和意義 11.2潮流計(jì)算的發(fā)展歷史及現(xiàn)狀1 1.3基千MATL

5、AB 的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算發(fā)展前景22 4 6算算計(jì)流潮的絡(luò)網(wǎng)式開 12計(jì)流潮的絡(luò)網(wǎng)式閉 222 簡單電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的手工方法2例算算計(jì)工手 322.3.1 簡單配電網(wǎng)絡(luò)算例6.2.3.2 計(jì)算各支路的功率損耗和功率分布 6 2.2.3 求出線路各點(diǎn)電壓.7.2.2.4 重新計(jì)算各線路功率損耗和始端功率73復(fù)雜電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的計(jì)算機(jī)方法.7.3.1潮流計(jì)算的計(jì)算機(jī)算法簡介.7.3. 2 電力系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)分類“.8.3.3節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣.8.3. 4 潮流計(jì)算的約束條件10 3.5牛頓拉夫遜法.113.5.1 牛頓拉夫遜法基本原理113.5.2 節(jié)點(diǎn)電壓用直角坐標(biāo)表示時(shí)的牛頓拉夫遜法潮流計(jì)算 12

6、3.5.3 直角坐標(biāo)形式的牛頓拉夫遜法計(jì)算步驟 153.6牛頓拉夫遜法與P-Q 分解法的比較163.7電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的前沿算法及發(fā)展背景1 74 基于MATLAB 的牛頓書i夫遜算法174.1 MATLAB 在潮流計(jì)算中的優(yōu)勢174.2計(jì)算機(jī)算法中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的優(yōu)化1 9 4.3某電網(wǎng)計(jì)算機(jī)算法及結(jié)果分析19結(jié)束語.22 參考文獻(xiàn)23附錄25 致謝27 II1電力系統(tǒng)潮流仿真計(jì)算11 引言電力系統(tǒng)潮流計(jì)算是研究電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行情況的一種計(jì)算，它根據(jù)給定的運(yùn)行條件以及系統(tǒng)的界限情況確定整個(gè)電力系統(tǒng)各個(gè)部分的運(yùn)行狀態(tài)：系統(tǒng)的功率損耗，各元 件流過的功率，各母線的電壓等等，作為電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析、暫態(tài)分

7、析和故障分析的基 礎(chǔ)。1.1 潮流計(jì)算的目的和意義潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)各種計(jì)算的基礎(chǔ)，又是研究電力系統(tǒng)進(jìn)行故障計(jì)算、安全分析的工具。在電力系統(tǒng)規(guī)劃設(shè)計(jì)和現(xiàn)有電力系統(tǒng)運(yùn)行方式的研究中，都需要利用電力系統(tǒng)潮流計(jì)算來定量比較運(yùn)行方式或供電方案的可靠性、合理性和經(jīng)濟(jì)性。對于正在規(guī)劃的電力系統(tǒng)，可以通過潮流計(jì)算，合理地規(guī)劃電網(wǎng)的結(jié)構(gòu)并選擇無功補(bǔ)償方案以滿足規(guī)劃水平的大小方式下的交流交換控制、調(diào)峰、調(diào)相、調(diào)壓的要求，為選擇電網(wǎng)供電方案以 及電氣設(shè)備提供依據(jù)；對于已經(jīng)運(yùn)行的電力系統(tǒng)，可以通過潮流計(jì)算，檢查系統(tǒng)中各元 件是否過壓過載等，預(yù)計(jì)電網(wǎng)的運(yùn)行情況，發(fā)現(xiàn)電網(wǎng)中的薄弱環(huán)節(jié)，供調(diào)度員日常調(diào)度 控制參考，為電力

8、系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行提供保證1。1.2 潮流計(jì)算的發(fā)展歷史及現(xiàn)狀在電子計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前，電力系統(tǒng)的潮流計(jì)算主要是借助于人工計(jì)算完成。但是由 于電力系統(tǒng)的潮流計(jì)算的計(jì)算量非常巨大，通過人工計(jì)算是非常困難的。隨著電子計(jì)算 機(jī)的產(chǎn)生和發(fā)展，人們開始探索利用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行潮流計(jì)算。從 20 世紀(jì) 50 年代中期距今，利用電子計(jì)算機(jī)的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算曾采用了不同的方法，這些方法主要根據(jù)潮流計(jì)算的主要基本要求來進(jìn)行的。概括言之，對潮流計(jì)算的 要求可以歸納為以下幾點(diǎn)：（1） 計(jì)算方法的收斂性或可靠性；（2） 計(jì)算的速度和靈活性；（3） 計(jì)算的方便性和對計(jì)算機(jī)內(nèi)存的要求。電力系統(tǒng)潮流計(jì)算屬于穩(wěn)態(tài)分析，不涉及系統(tǒng)元件的過

9、渡過程和動(dòng)態(tài)特性，因此其數(shù)學(xué)模型不包含微分方程而是高階非線性方程。對于高階非線性方程，迭代是主要的求解方法。因此，對于潮流計(jì)算，可靠的收斂性是潮流計(jì)算方法最重要的基礎(chǔ)，計(jì)算的速 度、方便性都與此相關(guān)。隨著現(xiàn)今電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷擴(kuò)大，潮流計(jì)算所需的方程式階 數(shù)也越來越高。對如此規(guī)模的方程式僅僅依靠數(shù)學(xué)方法難以保障，隨之而來的復(fù)雜程度也困難重重。因此，電力系統(tǒng)研究人員也在不斷探索更可靠的新的計(jì)算方法2。在剛開始使用計(jì)算機(jī)潮流計(jì)算的階段，節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的逐次代入法被受到廣泛應(yīng)用。此方法原理簡單，對計(jì)算機(jī)的內(nèi)存要求也較小，適合早年電力系統(tǒng)理論水平和計(jì)算機(jī)的制作水平。同時(shí)也有很大的缺陷，收斂性較差，

10、當(dāng)電力系統(tǒng)規(guī)模增大時(shí)，所需電力系統(tǒng)潮流仿真計(jì)算的迭代次數(shù)急劇上升，甚至出現(xiàn)迭代不收斂的情況。因此，電力系統(tǒng)研究人員開始將視 線轉(zhuǎn)向以阻抗矩陣為基礎(chǔ)的阻抗法。阻抗法的提出大大改善了導(dǎo)納法的收斂問題，在當(dāng)時(shí)獲得了廣泛的應(yīng)用，也為我國電力系統(tǒng)研究、設(shè)計(jì)、運(yùn)行做出了巨大貢獻(xiàn)。但是，阻抗法也有其缺點(diǎn)，對計(jì)算機(jī)內(nèi)存 的占用較大，每次迭代的計(jì)算量大。盡管計(jì)算機(jī)制作水平獲得了顯著進(jìn)步，但是阻抗法 對計(jì)算機(jī)內(nèi)存的占用問題依舊在電力系統(tǒng)擴(kuò)大的同時(shí)不斷突出。為了克服阻抗法在計(jì)算速度和計(jì)算機(jī)內(nèi)存占用大的缺點(diǎn)，以阻抗矩陣為基礎(chǔ)的分塊阻抗法應(yīng)運(yùn)而生。這種方法是將一個(gè)較大的系統(tǒng)分割成幾個(gè)較小的地區(qū)系統(tǒng)，這樣就大幅度減少了內(nèi)

11、容容量，從而提高了計(jì)算速度?？朔杩狗ㄈ秉c(diǎn)的另一個(gè)方法便是采用本文著重介紹的牛頓-拉夫遜法。牛頓-拉夫遜法在數(shù)學(xué)上主要用來求解非線性代數(shù)方程式，其要點(diǎn)是將非線性方程式的求解過程轉(zhuǎn) 化為求解相應(yīng)的線性方程式的過程，即通常所稱的逐次線性化過程。1.3 基于 MATLAB 的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算發(fā)展前景Matlab 自 1980 年問世以來，以其編程效率高、程序設(shè)計(jì)靈活、圖像功能強(qiáng)大等特點(diǎn)，發(fā)展成為多學(xué)科多平臺使用的軟件。對于電力系統(tǒng)而言，它強(qiáng)大的矩陣處理功能給電力系統(tǒng)計(jì)算、分析、仿真帶來許多方便。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷成熟發(fā)展，對 Matlab 潮流計(jì)算的研究為解決大型電力系統(tǒng)開辟了新思路新方法3。Ma

12、tlab 在潮流計(jì)算中矩陣輸入、輸出格式簡便與數(shù)學(xué)書寫格式相似，同時(shí)以雙精度類型存儲(chǔ)運(yùn)算數(shù)據(jù)大大提高了數(shù)據(jù)的精確度。在潮流計(jì)算中，Matlab 提供了眾多功能函數(shù)使最重要的各種矩陣運(yùn)算， 包括矩陣求逆、求積和 LR 分解也變得簡單易行。另外，Matlab 稀疏矩陣技術(shù)的引入， 也使電力系統(tǒng)潮流計(jì)算由傳統(tǒng)方法轉(zhuǎn)變?yōu)閮?yōu)化算法成為可能4。2 簡單電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的手工方法2.1 開式網(wǎng)絡(luò)的潮流計(jì)算在計(jì)算機(jī)計(jì)算還未發(fā)展以前，電力系統(tǒng)潮流計(jì)算多是采用手工計(jì)算。利用手工進(jìn)行 電力系統(tǒng)潮流計(jì)算，通常僅僅限于對輻射型網(wǎng)絡(luò)和簡單的閉式網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行計(jì)算，其等值電 路一般都是采用對應(yīng)于一個(gè)電壓等級的等值電路，根據(jù)一個(gè)簡

13、單支路的電壓和功率傳輸 關(guān)系，將較為復(fù)雜的電力系統(tǒng)分解為若干個(gè)簡單支路來進(jìn)行潮流計(jì)算5。.22如圖 1 所示，節(jié)點(diǎn) 1 和 2 兩端電壓分別為V 和V12，節(jié)點(diǎn)之間的阻抗 Z = R + jX 。.已知從節(jié)點(diǎn) 1 注入該支路的功率為 S1，從節(jié)點(diǎn) 2 流出的功率為 S2，阻抗消耗的功率為.D S 。根據(jù)電路理論， V 、V、S和S1212任何兩個(gè)變量已知就可以求出另外兩個(gè)變量。（1） 已知同端的電壓和功率求另一側(cè)的電壓和功率1RjX2SS121VV2圖 1簡單支路示意圖.假設(shè)已知節(jié)點(diǎn) 1 的電壓V1和流出的功率 .S1，可得出該支路的電流為I& =S 1（1）V1.以V 為參考相量，阻

14、抗 Z 引起的電壓降落、功率損耗分別為：1D V&= ( R +jX ) ( P2- jQ)2V（2）&2P 2 + Q 2（3）D S = I 2 Z = ( R + jX )22V 22因此另一端節(jié)點(diǎn) 2 的電壓為：V&= V&- D V&= (V-RP+ XQ22 ) -jXP- RQ22（4）212VV22流過節(jié)點(diǎn) 2 的復(fù)功率為：S&=S&-DS&21（5）兩端電壓的關(guān)系可從相量圖中得到，j 為末端電壓和電流的夾角，稱為功率因數(shù)角。從相量圖中，我們可以得出阻抗 Z 引起的電壓降落的橫分量和縱分量分別為ìD V=

15、 RI cos j + XI sin j =RV I cos j + XV I sin j11= RP+ XQ11ïxVVíïD V= XI cos j + RI sin j =XV I cos j11- RVI sin j11=XP- RQ11îïyVV11（6）得到末段的電壓幅值和相角分別為：（7）V=2d=arctgD V y2（8）V-D V1x如果已知末端即節(jié)點(diǎn) 2 的電壓和功率，求首端的電壓和功率，僅需注意電壓降落功率損耗引起的符號改變，其基本原理相同，讀者可以自行推導(dǎo)分析。（2） 已知不同端的電壓和復(fù)功率.已知首段電壓V1和末端的

16、功率 S.2.，求首端功率 S.1和末端電壓V.2，利用兩節(jié)點(diǎn)電壓和功率的關(guān)系，我們可以以V1為參考相量列出如下方程組：P22S&=S&+2+Q 2( R+jX)12V22（9）V&= (V-RP+XQ11 ) -jXP- RQ11（10）21VV11這種相量方程式直接求解非常麻煩，可以通過迭代法求解：給定末端電壓一個(gè)初值，并將其設(shè)定為該節(jié)點(diǎn) 2 的平均額定電壓，然后將之代入方程 2.9 得出S.1，再根據(jù) 2.10得到V.2，最后重復(fù)上述過程直到誤差滿足要求為止。2.2 閉式網(wǎng)絡(luò)的潮流計(jì)算簡單閉式網(wǎng)絡(luò)通常是指簡單環(huán)形網(wǎng)絡(luò)和兩端供電網(wǎng)絡(luò)，兩者可以互相等效轉(zhuǎn)化。bS ,I

17、S ,I1122圖 3帶兩個(gè)負(fù)荷的兩端供電網(wǎng)絡(luò)在圖 3 所示的兩端供電網(wǎng)絡(luò)中，設(shè)V.出下列方程V.，根據(jù)基爾霍夫電流和電壓定律，可寫¹ab-V.V.ab=ZI.+Zýa 1112I.-Z12b 2I. üb 2 ï-I. I.a 112=I.ï1ïI.+I.=I.ï12b 22þ（11）a如果已知電源點(diǎn)電壓 V.V.和b以及電流 I.1和 I.2，便可求得式（ 2.12）。但是，在電力系統(tǒng)中，沿線有電壓降落而且各點(diǎn)的功率也不一樣。在電力系統(tǒng)的實(shí)際計(jì)算中，已知的一 般是負(fù)荷點(diǎn)的功率而不是電流。所以為了求取網(wǎng)絡(luò)中的功率

18、分布，一般采用近似算法：bü=.( Z+ Z) I. + ZI.V. - V.ïZ1I 12a 1b 2b 2+ Z+ Za 112b 22+ Z+ aZa 112+ Zïb 2 ý（12）I.=ZI.a 1+ ( Z1a 1+ Z) I.122-V. - V.ïïþabb 2Z+ Z+ Za 112b 2Z+ Za 112+ Zïb 2先忽略網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的功率損耗，認(rèn)為各點(diǎn)電壓都等于V,對以上兩式的兩邊各乘V，并NN取共軛值，則得到：æSç Z*+ Z*ö +SZ*1 è12

19、b 2 ø2b 2(V- V)V÷S=+abN*+a 1ZZ÷+a 112Z*b 2Z*Z*+a 112+Z*b 2（13）çSæ Z*2Z*öa 112+ SZ*1a 1(V*- V*)VS=èø-abN*+b 2ZZa 112Z*b 2Z*Z*+a 112Z*+b 2由上式求出供電點(diǎn)輸出的功率 S和 S后，即可在各點(diǎn)按照線路功率和負(fù)荷功率a1b2平衡的條件，求出整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的功率分布。2.3 手工計(jì)算算例2.3.1 簡單配電網(wǎng)絡(luò)算例10kV 配電網(wǎng)絡(luò)的電網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖 4 所示。已知各節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷功率及線路參數(shù)如下：Z1

20、2=1.2+j2.4，Z23=1.0+j2.0，Z24=1.5+j3.0。S2=0.3+j0.2MVA，S3=0.5+j0.3MVA，S4=0.2+j0.15MVA。設(shè)母線 1 的電壓為 10.5kV，線路始端功率容許誤差為 0.3%。U= 10.5kV1S12Z122S12U223Z23U3P+ jQ22S24P+ jQ33P+ jQ44圖 4 10KV 配電網(wǎng)絡(luò)2.3.2 計(jì)算各支路的功率損耗和功率分布假設(shè)各節(jié)點(diǎn)電壓均為額定電壓，功率損耗計(jì)算的支路順序?yàn)?3-2、4-2、2-1，第一輪計(jì)算依上列支路順序計(jì)算各支路的功率損耗和功率分布。P2 + Q20.52 + 0.32DS=2333 (R

21、U223N+ jX23) =´ (1+ j2) = 0.0034 + j0.0068MVA 102P2 + Q20.22 + 0.152DS=2444 (RU224N+ jX24) =´ (1.5 + j3）= 0.0009 + j0.0019MVA 102則S= S233+ DS23= 0.5034 + j0.3068MVAS= S244+ DS23= 0.2009 + j0.1519MVAS¢= S+ S+ S1223242= 1.0043 + j0.6587MVAP¢2 + Q¢21.00432 + 0.65872又DS=121212U2

22、N(R+ jX1212) =´ (1.2 + j2.4) = 0.0173 + j0.0346MVA 102即S= S¢+ DS= 1.0216 + j0.6933MVA1212122.2.3 求出線路各點(diǎn)電壓第二步用已知的線路始端電壓 U1=10.5kV 及上述求得的線路始端功率 S12，按上列相反的順序求出線路各點(diǎn)電壓，計(jì)算中忽略電壓降落橫分量。DU=12(P R1212+ QX)1212U1= 0.2752 Þ U2» U - DU112= 10.2248KVDU=23(P R23+ QX)232323U2= 0.1100 Þ U3

23、87; U- DU223= 10.1148KVDU=24(PR2424+ QX)2424U2= 0.0740 Þ U4» U- DU224= 10.1508KV2.2.4 重新計(jì)算各線路功率損耗和始端功率DS=230.52 + 0.3210.042´ (1+ j2）= 0.0034 + j0.0067MVADS=240.22 + 0.15210.152´ (1.5 + j3）= 0.0009 + j0.0018MVA故S= S233+ DS23= 0.5034 + j0.3067MVAS= S244+ DS24= 0.2009 + j0.1518MVA則

24、S¢= S+ S+ S1223242= 1.0043 + j0.6585MVA又DS12= 1.00432 + 0.65852 ´（1.2 + j2.4）= 0.0166 + j0.0331MVA 10.222從而可得線路始端功率S12= 1.0209 + j0.6916MVA經(jīng)過兩輪迭代計(jì)算，結(jié)果與第一步所得的計(jì)算結(jié)果相差小于 0.3%，計(jì)算到此結(jié)束。最后一次迭代結(jié)果可作為最終計(jì)算結(jié)果。3 復(fù)雜電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的計(jì)算機(jī)方法3.1 潮流計(jì)算的計(jì)算機(jī)算法簡介潮流計(jì)算從數(shù)學(xué)上來講是運(yùn)用迭代法解一組多元的非線性方程式。隨著電力系統(tǒng)的不斷擴(kuò)大，潮流問題的方程式的階數(shù)也越來越高，數(shù)學(xué)

25、方法已經(jīng)難以保證給出正確答案。 這種情況就促使電力系統(tǒng)研究人員不斷探索新的可靠的方法。利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行電力系統(tǒng)潮流計(jì)算從 20 世紀(jì) 50 年代中期就已開始，此后不斷發(fā)展了各種不同的潮流算法。對潮流計(jì)算計(jì)算機(jī)算法的主要要求有：算法是否可靠，能否收斂，計(jì)算速度的快慢，計(jì)算機(jī)內(nèi)存占有多少，計(jì)算方法是否方便靈活便于調(diào)整修改，是否滿足系統(tǒng)需要等，其中是否可靠收斂是評價(jià)的主要標(biāo)準(zhǔn)。3.2 電力系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)分類根據(jù)電力系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行條件，按照給定變量的不同，一般講節(jié)點(diǎn)分為以下三種類型：（1） PQ 節(jié)點(diǎn)這類節(jié)點(diǎn)給定了有功功率 P 無功功率 Q，節(jié)點(diǎn)電壓 V 和相位幅值d 是待求量。通常變電所變電站都是這種類型

26、的節(jié)點(diǎn)。在一些情況下，系統(tǒng)中某些發(fā)電廠送出的功率在 一定時(shí)間為固定時(shí)，母線也可作為PQ 節(jié)點(diǎn)。因此，電力系統(tǒng)絕大多數(shù)節(jié)點(diǎn)都屬于這一類型。（2） PV 節(jié)點(diǎn)這類節(jié)點(diǎn)給定了有功功率 P 和電壓幅值 V，而節(jié)點(diǎn)的電壓相位d 和無功功率 Q 是待求量。這種節(jié)點(diǎn)要有足夠的可調(diào)無功功率以維持給定的電壓幅值。一般選擇有一定無功儲(chǔ)備的發(fā)電廠和具有可調(diào)無功電源設(shè)備的變電站變電所作為 PV 節(jié)點(diǎn)。在電力系統(tǒng)中， 這種的節(jié)點(diǎn)很少（3） 平衡節(jié)點(diǎn)在潮流分布算出之前，網(wǎng)絡(luò)中至少有一個(gè)節(jié)點(diǎn)的有功功率 P 不能給定，該節(jié)點(diǎn)承擔(dān)了系統(tǒng)的有功功率平衡，故稱為平衡節(jié)點(diǎn)。同時(shí)，計(jì)算中也會(huì)指定某節(jié)點(diǎn)電壓相位為零， 作為計(jì)算其他各節(jié)點(diǎn)

27、電壓相位的參考，稱為基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)。為了計(jì)算上的方便，常見兩種節(jié)點(diǎn)選為同一個(gè)節(jié)點(diǎn)，習(xí)慣上稱為平衡節(jié)點(diǎn)。此節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)，給定其電壓幅值和相位， 待求有功功率和無功功率。3.3 節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣電力網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行狀態(tài)可用節(jié)點(diǎn)方程來描述，由于節(jié)點(diǎn)方程應(yīng)用方便。目前電力系統(tǒng) 計(jì)算中，普遍采用節(jié)點(diǎn)方程。(a)(b)(c)圖 5電力系統(tǒng)及其等值網(wǎng)絡(luò)在圖 5-(a)中的簡單電力系統(tǒng)中，略去變壓器的線路電容與勵(lì)磁功率，負(fù)荷用阻抗表示，如圖 5-(b)所示便可得到一個(gè)有 5 個(gè)節(jié)點(diǎn)和 7 條支路的等值網(wǎng)絡(luò)。再將接于節(jié)點(diǎn) 1、4 的電勢源與阻抗的串聯(lián)組合變換為等值的電流源與導(dǎo)納的并聯(lián)組合得到圖 5-(c)。根據(jù)基爾霍夫電流定律

28、，以零點(diǎn)位點(diǎn)作為計(jì)算節(jié)點(diǎn)電壓的參考點(diǎn)，可以寫出以下電 流平衡方程：yV&+y(V&- V&) =I&10112121y(V&- V& ) +yV&1221202+y(V&- V&) +y(V&- V&) =023232424（14）y( V&- V&) +y( V&- V&)=023323434y( V&- V&) +y( V&- V&) +yV&24423443404=I&4上述方程可以寫成ïì YV&am

29、p;+YV&=I&1111221ï YV&+YV&+YV&+YV&=0&í211222233244ï Y 32 V 2ï&+ YV&333&+YV&=0344&&î Y 42 V2+Y 43 V 3+Y 44 V 4=I 4（15）式中Y=y+y111012Y=Y=-y12211223Y=y+y+y+yY222023241224Y=y+yY332334Y=y+y+yY4440243434=Y=-y32=Y=-y42=Y=-y43232434（

30、16）一般情況下，對于有 n 個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)就可以列寫 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)方程ïnnì YV&+YV&+L+YV&=I&11112211ï YV&+YV&+L+YV&=I&Mí21ï12222 nn2（17）îï YV&n 11+ YV&n 22+L+YV&nnn=I&n也可以用矩陣寫成é YYLYùé V &ùéI&ù1ê1112L1 n

31、0;ê&úê& 1úê Y21Y22Y2 núê V2ú=êI2úêMMMúêMúêMúLêë Yn 1Yn 2Yúê V &úûëûênnnêI&úêûën（18）或縮記成YV=I（19）矩陣 Y 即節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣中，對角線元素 Y稱為節(jié)點(diǎn) i 的自導(dǎo)納

32、，ii其值等于連接節(jié)點(diǎn) i 所有支路導(dǎo)納之和，如Y11= y+ y1012。非對角線元素Y為節(jié)點(diǎn) i、jij之間的互導(dǎo)納，其值等于直接連接于節(jié)點(diǎn) i、j 間的支路導(dǎo)納的負(fù)值。如果節(jié)點(diǎn) i、j 之間不存在支路，則Yij= 0 。3.4 潮流計(jì)算的約束條件潮流計(jì)算中，通過求解方程得到的結(jié)果僅僅代表著數(shù)學(xué)上的一組解答，這組解答所 反映的系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)在電力系統(tǒng)工程上是否具有實(shí)際意義還需要進(jìn)一步的檢驗(yàn)。電力系 統(tǒng)運(yùn)行必須滿足一定技術(shù)上和經(jīng)濟(jì)上的要求。這些要求構(gòu)成了潮流計(jì)算中某些變量的約 束條件，常用的約束條件如下：(1) 節(jié)點(diǎn)電壓幅值應(yīng)滿足V£ Vi mini£ Vi max(i =

33、 1，2，3，. × × ×，n）（20）從保證供電安全和電能質(zhì)量來看，電力系統(tǒng)的所有電氣設(shè)備的電壓幅值都必須在其額定電壓附近。PV 節(jié)點(diǎn)的電壓幅值必須按照上述條件給定。因此，這一約束條件主要是對 PQ 節(jié)點(diǎn)而言。(2) 節(jié)點(diǎn)的有功功率和無功功率應(yīng)滿足（21）PGi minQGi min£ P£ PüýGiGi maxþ£ Q£ QGiGi max在給定 PQ 節(jié)點(diǎn)的有功功率、無功功率或 PV 節(jié)點(diǎn)的有功功率時(shí)，必須滿足上述條件。因此，對平衡節(jié)點(diǎn)的 P 和 Q 以及 PV 節(jié)點(diǎn)的 Q 應(yīng)按照此條

34、件進(jìn)行檢驗(yàn)。(3) 某些節(jié)點(diǎn)之間電壓的相位差應(yīng)滿足（22）q- q< qiji- qj max為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，某些輸電線路兩端的電壓相位差不允許超過一定的數(shù)值。 因此，潮流計(jì)算可以歸結(jié)為求解非線性方程組，并使其滿足一定的約束條件。若不能滿足，則應(yīng)修改某些變量的給定值，甚至修改系統(tǒng)的運(yùn)行方式重新進(jìn)行計(jì)算，直到滿 足上述約束條件6。3.5 牛頓-拉夫遜法3.5.1 牛頓-拉夫遜法基本原理（1） 牛頓-拉夫遜法意義及推導(dǎo)過程牛頓-拉夫遜法在數(shù)學(xué)上一般用來求解非線性代數(shù)方程式，其要點(diǎn)是將非線性方程 式的求解過程變成反復(fù)求解線性方程式的過程，即通常所稱的逐次線性化過程7。對于非線性代數(shù)方程f

35、 (x) = 0即 f(x , x, x) = 0(i =1,2,n)（23）i12n給出一個(gè)解的初試近似值 x (0) ，使其與真解的誤差為 Dx (0) ，即 x = x (0) + Dx (0) ，將上式展開泰特級數(shù)并略去二階及以上的高級階，得到以下方程式：f (x(0)+ f '(x(0)Dx(0) =0（24）上式是對于變量的修正量 Dx (0) 的線性方程式，亦稱修正方程式。由此可得修正量式（25）（25）Dx(0) = -f (x(0) )f ¢(x(0) )將所求得的 Dx (0) 與 x (0) 相加得到變量的第一次改進(jìn)值 x (1) 。此值同真解仍然有誤差

36、， 為了進(jìn)一步逼近真解，重復(fù)上述計(jì)算過程，反復(fù)進(jìn)行這樣的迭代計(jì)算，應(yīng)用牛頓拉夫遜法求解的通式為（26）x(k +1) = x(k ) -f (x(k ) )f ¢(x(k ) )迭代過程的收斂依據(jù)為 f (x(k) ) <e或 Dx(k ) < e，式中的e 和e為預(yù)定的小正數(shù)。1212對于 n 個(gè)聯(lián)立的非線性代數(shù)方程f( x, x112,× × ×, xn) =0 üï（27）f( x, x212Mf( x, xn12,× × ×, xn,× × ×, xn)

37、=0 ïýï) =0 ïþ假定各變量的近似解 x (0)、x (0)、x (0)，其與精確解分別相差 Dx， Dx. Dx12n12nf ( x ( 0 ) + Dx ( 0 )， x ( 0 )+ Dx ( 0 )，L， x ( 0 )+ Dx ( 0 ) ) = 0（28）11122nn將上式 n 個(gè)多元函數(shù)展成泰勒級數(shù)，并略去含有Dx1的各項(xiàng)，便得其牛頓-拉夫遜法的修正方程，Dx2. Dxn的二次及以上階次éê00é f x (0) 、 x (0) 、x (0) ùê12¶f&#

38、249;1ú¶x0 únéD x (0) ùê112núê ¶f¶f¶fú ê1úê f x (0) 、 x (0) 、x (0) úê222ú êD x (0) úê12ê212nú = ê ¶x0¶x0ëûêúf x (0) 、 x (0) 、x (0) ê¶x0 ú

39、; ê2úûnúúúêD x (0) úêêún12n¶f¶fnn¶fêënúûnëê ¶x01¶x02¶x0 ún（29）縮寫為F ( X (k ) ) = J (k ) DX (k )（30）（2） 牛頓-拉夫遜法的特點(diǎn) 牛頓-拉夫遜屬于迭代法，逐漸逼近的方法； 修正方程為線性化方程，線性化過程體現(xiàn)在將非線性方程在 x (0) 泰勒展開； 用牛頓-拉夫遜

40、法時(shí)，其初始值要求嚴(yán)格，否則迭代可能不能收斂 8。3.5.2 節(jié)點(diǎn)電壓用直角坐標(biāo)表示時(shí)的牛頓-拉夫遜法潮流計(jì)算當(dāng)采用直角坐標(biāo)時(shí)，潮流問題的待求量為各節(jié)點(diǎn)電壓的實(shí)部 ei 和虛部 f i。由于平衡節(jié)點(diǎn)的電壓相量給定，因此需要 2(n - 1) 個(gè)方程式。（1） 對于 PQ 節(jié)點(diǎn)D P = p- e å(G e - Bf) - få(Gf+ B e) = 0 üååiisiijjijjjijjijjï（31）DQ = Q-iisjÎifijÎi(G e - Bfijjij) + ejjÎi(Gfjijj

41、06;i+ B ejijý) = 0ïjþ(i = 1,2,L , m)對于 PV 節(jié)點(diǎn)DP = Piis- e å(G e - Bfiijjij jÎi) - fjå(Gfi jÎiij+ B ejij) = 0üjïýDV 2 =V 2 - (e2 + f 2) = 0ïiisiiþ（32）(i = m + 1, m + 2,L , n - 1)對于平衡節(jié)點(diǎn)平衡節(jié)點(diǎn)只設(shè)置一個(gè)，由于電壓為已知，故不參加迭代，其電壓為（33）V= enn+ jfn因此，可寫出修正方程式：DW

42、 = -JDV（34）式中éD PéD eùù1êD1úêD fúêQ1úêúê1úêúêD PúêD eúêúêDmúêmúêD fúD W= êQmúD U=ê DmúêúêD Púem + 1êúm +1D U 2

43、ê D fúêm +1 úêm + 1 úêúêúêD Púê D eúên -1úên - 1 ú（35）êë D U 2n -1úûêë D fúûn - 1下述方程中雅可比矩陣的各元素，可以對式（3.18）（3.19）求偏導(dǎo)求得é¶DP¶DP11êê¶e1ê

44、82;DQ¶êêêmêê¶DPê¶eê1mê ¶DQ¶f1¶DQm¶DP¶f1m¶DQmmm+1mmm+1m+1m+1n-1n-1n-1ún-1úê¶e¶fJ = ê¶11mmm+1m+1n-1n-1úêP¶Pêem+1m+1¶¶fê11êê¶DU2¶

45、;DU2¶DU2¶DU2¶DU2¶DU2¶DU2úm+1ê¶eêêê ¶DP¶f¶DPm+1m+1¶fm+1¶em+1¶fm+1¶e¶fm+1 úên-1¶en-1¶fê11mmm+1m+1n-1n-1ú（36）ê ¶DU2¶DU2ëê¶e n-1 1n-1¶f1雅可比矩陣各元素

46、的表示如下：ì-(G e + B f )=å=¶DPïHiíij iiji( j ¹ i)（37）ij¶eï-(G e- B f) - G e - Bf ( j = i)îjjÎiijjijjii iiiiìB e - G f )=¶DPïîNiíåij iiji( j ¹ i)（38）ij¶fï-(G f+ B e) + B e - Gf ( j = i)jjÎiijjijjii iiii

47、82;DQM=iìíî= ïåB eij i- G f )iji( j ¹ i)（39）ij¶eï(G f+ B e) + B e - Gf ( j = i)jjÎiijjijjii iiiiìG e + B f )=å=¶DQïîLiíij iiji( j ¹ i)（40）ij¶fï-(G e - B f ) + G e + Bf ( j = i)jjÎiijjijjii iiii¶DU 2&#

48、236;0( j ¹ i)¶DU 2ì0( j ¹ i)¶eR=iij= í-2e( j = i)Sij =¶fi = í-2 f( j = i)（41）îîjiji當(dāng) j = i 時(shí)，雅可比矩陣中非對角元素為¶D P¶D Qüi¶D e i= -j¶D fj= -(Ge+ Bf ) ïijiijiïï¶D P¶D Qïi¶D f i=j¶D ej= B e- Gf&

49、#253;ijiijiïï（42）¶D U 2¶ej= ¶D U 2= 0ïþ¶fïj當(dāng) j = i 時(shí)，雅可比矩陣對角元素為ï¶D Pånü¶e i= -(Ge- Bf) - G e- Bfijjijjiiiiiii j =1ï¶D Pånï¶fi= -(Gf+ B e) - Gf+ B eïijjijjiiiiiij j =1ïïi=¶D Qån(Gf¶eijjij =1+ B eijj) - Gfiii+ B eïiiiïýi¶D Q¶f= - ån(GD eijj- Bfij) + G ejiii+ Bf ïiii ï（43）jj =1ïi¶D U2¶e= -2eïïijïi¶D U 2¶fiï= -2 fïiïþ（2） 雅可比矩陣的特點(diǎn) 雅可比矩陣中各元素是節(jié)點(diǎn)電壓的函數(shù)，在迭代過程中，這些元素隨著