數(shù)學(xué)必修ⅰ北師大版 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 課件

1、1導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 2三年三年3636考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的了解函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間( (其中多項式函數(shù)一般不超過三其中多項式函數(shù)一般不超過三次次).).2.2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值( (其中多項式函數(shù)一般不超過三其中多項式函數(shù)一般不超過三次次) )；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值( (其

2、中多項式函數(shù)其中多項式函數(shù)一般不超過三次一般不超過三次).).3.3.會利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡單的實際問題會利用導(dǎo)數(shù)解決某些簡單的實際問題. .31.1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值的極值( (最值最值) )是考查重點；是考查重點；2.2.含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值情況的討論是高考的重點和含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)區(qū)間與極值情況的討論是高考的重點和難點；難點；3.3.題型有選擇題和填空題，難度較??；與方程、不等式等知題型有選擇題和填空題，難度較?。慌c方程、不等式等知識點交匯則以解答題為主，難度較大識點交匯則以解答題為主，難度較大.

3、 .41.1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系(1)(1)函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)若若f(x)f(x)0 0，則，則f(x)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)在這個區(qū)間內(nèi)_；若若f(x)f(x)0 0，則，則f(x)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)在這個區(qū)間內(nèi)_.(_.(逆命題不成逆命題不成立立) )如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)=0f(x)=0，則，則f(x)f(x)為為_._.單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減常數(shù)函數(shù)常數(shù)函數(shù)5(2)(2)單調(diào)性的應(yīng)用單調(diào)性的應(yīng)用若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)(a,b)上單調(diào)，則上單調(diào)，

4、則y=f(x)y=f(x)在該區(qū)間上在該區(qū)間上不不變號變號. .6【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)函數(shù)函數(shù)f(x)=1+x-sinxf(x)=1+x-sinx在在(0,2)(0,2)上的單調(diào)情況是上的單調(diào)情況是_._.(2)(2)若函數(shù)若函數(shù)y=xy=x3 3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是R R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)m m的取值范的取值范圍是圍是_._.7【解析解析】(1)(1)在在(0(0，2)2)上有上有f(x)=1-cosx0f(x)=1-cosx0，所以，所以f(x)f(x)在在(0,2)(0,2)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .(2)(2)函數(shù)函數(shù)y=xy=x3

5、3+x+x2 2+mx+1+mx+1是是R R上的單調(diào)函數(shù)，只需上的單調(diào)函數(shù)，只需y=3xy=3x2 2+2x+m0+2x+m0恒成立，恒成立，即即=4-12m0=4-12m0，mm答案：答案：(1)(1)單調(diào)遞增單調(diào)遞增 (2)m(2)m1.31382.2.函數(shù)的極值函數(shù)的極值(1)(1)極大值極大值在包含在包含x x0 0的一個區(qū)間的一個區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù)y=f(x)y=f(x)在任何一點的函數(shù)在任何一點的函數(shù)值都值都_x_x0 0點的函數(shù)值，稱點的函數(shù)值，稱_為函數(shù)為函數(shù)y=f(x)y=f(x)的極大值的極大值點，其函數(shù)值點，其函數(shù)值_為函數(shù)的極大值為函數(shù)的極大值.

6、 .小于小于點點x x0 0f(xf(x0 0) )9(2)(2)極小值極小值在包含在包含x x0 0的一個區(qū)間的一個區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù)y=f(x)y=f(x)在任何一點的函數(shù)在任何一點的函數(shù)值都值都_x_x0 0點的函數(shù)值，稱點的函數(shù)值，稱_為函數(shù)為函數(shù)y=f(x)y=f(x)的極小值的極小值點，其函數(shù)值點，其函數(shù)值_為函數(shù)的極小值為函數(shù)的極小值. ._與與_統(tǒng)稱為極值，統(tǒng)稱為極值，_與與_統(tǒng)統(tǒng)稱為極值點稱為極值點. .大于大于點點x x0 0f(xf(x0 0) )極大值極大值極小值極小值極大值點極大值點極小值點極小值點10(3)(3)導(dǎo)數(shù)與極值導(dǎo)數(shù)與極值x x(a,

7、x(a,x0 0) )x x0 0(x(x0 0,b),b)f(x)f(x)y=f(x)y=f(x)+ +0 0- -增加增加極大值極大值減少減少x x(a,x(a,x0 0) )x x0 0(x(x0 0,b),b)f(x)f(x)y=f(x)y=f(x)- -0 0+ +減少減少極小值極小值增加增加11【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)判斷下列結(jié)論的正誤判斷下列結(jié)論的正誤.(.(請在括號中填請在括號中填“”“”或或“”)”)導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點 ( )( )如果在如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè)f(x)f(x)0 0，右側(cè)，右側(cè)f(x)f(x)0 0，那么，

8、那么f(xf(x0 0) )是極大值是極大值 ( )( )如果在如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè)f(x)f(x)0 0，右側(cè)，右側(cè)f(x)f(x)0 0，那么，那么f(xf(x0 0) )是極大值是極大值 ( )( )12(2)(2)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的定義域為開區(qū)間的定義域為開區(qū)間(a(a，b)b)，導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)f(x)f(x)在在(a(a，b)b)內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)內(nèi)的圖像如圖所示，則函數(shù)f(x)f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a(a，b)b)內(nèi)有極小內(nèi)有極小值點的個數(shù)為值點的個數(shù)為_._.(3)(3)函數(shù)函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3+3x+3x2 2-9x-9x的極值

9、點為的極值點為_._.xyoa ab by=fy=f (x)(x)13【解析解析】(1)(1)導(dǎo)數(shù)為零只是函數(shù)在該點取極值的必要條件，導(dǎo)數(shù)為零只是函數(shù)在該點取極值的必要條件，正確，正確，f(xf(x0 0) )為極小值，故錯誤為極小值，故錯誤. .(2)(2)從從f(x)f(x)的圖像可知的圖像可知f(x)f(x)在在(a(a，b)b)內(nèi)從左到右的單調(diào)性依內(nèi)從左到右的單調(diào)性依次為增次為增減減增增減，所以減，所以f(x)f(x)在在(a(a，b)b)內(nèi)只有一個極小值內(nèi)只有一個極小值點；點；(3)(3)由由f(x)=3xf(x)=3x2 2+6x-9=0+6x-9=0得得x=1x=1或或x=-3,

10、x=-3,當(dāng)當(dāng)x x-3-3時，時，f(x)f(x)0,0,當(dāng)當(dāng)-3-3x x1 1時，時，f(x)f(x)0,0,當(dāng)當(dāng)x x1 1時，時，f(x)f(x)0,0,11和和-3-3都是都是f(x)f(x)的極值點的極值點. .14答案：答案：(1)(1) (2)1 (3)1 (2)1 (3)1和和-3-3153.3.函數(shù)極值與最值的求法函數(shù)極值與最值的求法(1)(1)求可導(dǎo)函數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)y=f(x)極值的步驟：極值的步驟：求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù)f(x)f(x)；解方程解方程f(x)=0f(x)=0；列表，檢驗列表，檢驗f(x)f(x)在方程在方程f(x)=0f(x)=0的解的解x x0

11、0左右兩側(cè)的符號，左右兩側(cè)的符號，確定確定x x0 0是否為極值點，若是，是極大值點還是極小值點是否為極值點，若是，是極大值點還是極小值點. .16(2)(2)求函數(shù)在閉區(qū)間求函數(shù)在閉區(qū)間a,ba,b上的最值可分兩步進行：上的最值可分兩步進行：求求y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)內(nèi)的內(nèi)的_；將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)y=f(x)的各極值與區(qū)間的各極值與區(qū)間a,ba,b端點處的函數(shù)值端點處的函數(shù)值f(a)f(a)、f(b)f(b)比較，其中比較，其中_為最大值，為最大值，_為最小值為最小值. .極值極值最大的一個最大的一個最小的一個最小的一個17【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)思考

12、：最值是否一定是極值？思考：最值是否一定是極值？提示：提示：不一定不一定. .如果最值在端點處取得就不是極值如果最值在端點處取得就不是極值. .18(2)(2)函數(shù)函數(shù)f(x)=3x-4xf(x)=3x-4x3 3，x0,1x0,1的最大值是的最大值是_._.【解析解析】由由f(x)=3-12xf(x)=3-12x2 2=0=0得得x=x=f(0)=0f(0)=0，f( )=1f( )=1，f(1)=-1f(1)=-1，f(x)f(x)maxmax=1.=1.答案：答案：1 112 ，1219(3)(3)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+a+bx+a2 2

13、在在x=1x=1處取極值處取極值1010，則，則f(2)=_.f(2)=_.【解析解析】f(x)=3xf(x)=3x2 2+2ax+b+2ax+b，由題意，由題意但當(dāng)?shù)?dāng)a=-3a=-3時，時，b=3,f(x)=3xb=3,f(x)=3x2 2-6x+30-6x+30，故不存在極值，故不存在極值，a=4a=4，b=-11b=-11，f(2)=18.f(2)=18.答案：答案：18182f(1)101 aba10,a4a3.f (1)03 2ab0 即得或204.4.導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求利潤最大、用料最省、導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求利潤最大、用料

14、最省、效率最高等問題中，解決這類問題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)效率最高等問題中，解決這類問題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型模型( (函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系) )，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值. .解題過解題過程中要注意實際問題的意義程中要注意實際問題的意義. .21【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)已知某生產(chǎn)廠家的年利潤已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(y(單位：萬元單位：萬元) )與年產(chǎn)量與年產(chǎn)量x(x(單位：單位：萬件萬件) )的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為 則使該生產(chǎn)廠家獲得則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為最大年利潤的年產(chǎn)量為_._.(2)(2)將邊長為將邊長為1 m1 m的正

15、三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成的正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記兩塊，其中一塊是梯形，記 則則S S的最小值是的最小值是_._.31yx81x2343，2()S,梯形的周長梯形的面積22【解析解析】(1)y=-x(1)y=-x2 2+81,+81,令令y=0y=0得得x=9x=9或或x=-9(x=-9(舍去舍去) )，當(dāng)，當(dāng)x x9 9時時yy0 0；當(dāng)當(dāng)x x9 9時時yy0 0，故當(dāng)，故當(dāng)x=9x=9時函數(shù)有極大值，也是最大值；時函數(shù)有極大值，也是最大值；即該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為即該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為9 9萬件萬件. .23(2

16、)(2)設(shè)剪成的小正三角形的邊長為設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x x，則：則：22222222 22 2(3x) S13(x 1)(1 x)224 (3x)(0 x 1),1 x34 (3x)S(x),1 x34 (2x6) (1 x )(3x) ( 2x)S(x)(1 x )342(3x 1)(x3),(1 x )3 24令令S(x)=0(0S(x)=0(0 x x1),1),得得當(dāng)當(dāng)x(0, )x(0, )時，時，S(x)S(x)0,S(x)0,S(x)遞減；遞減；當(dāng)當(dāng)x( 1)x( 1)時，時，S(x)S(x)0,S(x)0,S(x)遞增；遞增；故當(dāng)故當(dāng)x= x= 時，時，S S取得最小值

17、取得最小值答案：答案：(1)9(1)9萬件萬件 (2) (2) 1x,3131,31332 3.332 3325 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【方法點睛方法點睛】1.1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用(1)(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)(3)已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的范圍已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)的范圍. .262.2.導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)(1)求定義域：求函數(shù)求定義域：求函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域的定義域

18、(2)(2)求根：求方程求根：求方程f(x)=0f(x)=0在定義域內(nèi)的根在定義域內(nèi)的根(3)(3)劃分區(qū)間：用求得的方程的根把定義域劃分為若干個區(qū)劃分區(qū)間：用求得的方程的根把定義域劃分為若干個區(qū)間間(4)(4)定號：確定定號：確定f(x)f(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號在各個區(qū)間內(nèi)的符號(5)(5)結(jié)果：求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，即得函數(shù)結(jié)果：求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，即得函數(shù)y=f(x)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .27【提醒提醒】當(dāng)當(dāng)f(x)f(x)不含參數(shù)時，也可通過解不等式不含參數(shù)時，也可通過解不等式f(x)0(f(x)0(或或f(x)0)f(x)2x2時，時，y= -2s

19、inx0y= -2sinx0，排除，排除D.D.由由y= -2cosx0y= -2cosx0得得cosx cosx 在滿足上式的在滿足上式的x x的區(qū)間內(nèi)，的區(qū)間內(nèi)，y y是是增函數(shù)增函數(shù), ,由由y= -2cosx0y= -2cosx cosx 在滿足上式的在滿足上式的x x的區(qū)間內(nèi)，的區(qū)間內(nèi)，y y是減是減函數(shù)函數(shù). .由余弦函數(shù)的周期性知，函數(shù)的增減區(qū)間有無數(shù)多個由余弦函數(shù)的周期性知，函數(shù)的增減區(qū)間有無數(shù)多個,B,B不不正確，正確，C C正確正確. .x21214，1214，32(2)(2)f(x)=ef(x)=ex x-1+xe-1+xex x-x=(e-x=(ex x-1)(x+1)

20、.-1)(x+1).當(dāng)當(dāng)x(-,-1)x(-,-1)時時,f(x),f(x)0;0;當(dāng)當(dāng)x(-1,0)x(-1,0)時，時，f(x)f(x)0;0;當(dāng)當(dāng)x(0,+)x(0,+)時，時，f(x)f(x)0.0.所以所以f(x)f(x)在在(-,-1)(-,-1)和和(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，在在(-1(-1，0)0)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. .故故f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-1),(0,+),(-,-1),(0,+),單調(diào)遞減區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間為為(-1,0).(-1,0).x211af(x)x(e1)x22時，33f(x)=x(ef(x)=x(ex x

21、-1-ax).-1-ax).令令g(x)=eg(x)=ex x-1-ax-1-ax，則，則g(x)=eg(x)=ex x-a.-a.若若a1a1，則當(dāng)，則當(dāng)x(0,+)x(0,+)時，時，g(x)g(x)0 0，g(x)g(x)為增函數(shù)，而為增函數(shù)，而g(0)=0g(0)=0，從而當(dāng)從而當(dāng)x0 x0時時,g(x)0,g(x)0，即，即f(x)0.f(x)0.若若a a1 1，則當(dāng)，則當(dāng)x(0,lna)x(0,lna)時，時，g(x)g(x)0 0，g(x)g(x)為減函數(shù)，而為減函數(shù)，而g(0)=0g(0)=0，從而當(dāng)從而當(dāng)x(0,lna)x(0,lna)時時,g(x),g(x)0 0，即，即

22、f(x)f(x)0.0.綜合得綜合得a a的取值范圍為的取值范圍為(-,1.(-,1.34【互動探究互動探究】若本例若本例(2)(2)第問中條件改為第問中條件改為“若當(dāng)若當(dāng)x0 x0時，時，f(x)0”f(x)0”，則，則a a的取值范圍是的取值范圍是_._.35【解析解析】由例題，知若由例題，知若a1a1，則當(dāng)，則當(dāng)x(-,0 x(-,0時，時，g(x)g(x)為為減函數(shù)，而減函數(shù)，而g(0)=0g(0)=0，g(x)0,f(x)0g(x)0,f(x)0；若若0 0a a1 1，則當(dāng)，則當(dāng)x(lna,0)x(lna,0)時，時，g(x)g(x)為增函數(shù)，而為增函數(shù)，而g(0)=0g(0)=0

23、，g(x)g(x)0,f(x)0,f(x)0,0,不合題意不合題意. .若若a0,a0,則當(dāng)則當(dāng)x(-,0 x(-,0時，時，g(x)g(x)為增函數(shù)，而為增函數(shù)，而g(0)=0,g(0)=0,g(x)0,f(x)0,g(x)0,f(x)0,不合題意不合題意.a.a的取值范圍是的取值范圍是1,+).1,+).答案：答案：1,+)1,+)36【反思反思感悟感悟】1.1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，切記定義域優(yōu)先的求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，切記定義域優(yōu)先的原則，一定要注意先求定義域原則，一定要注意先求定義域. .2.2.恒成立問題的處理，一般是采用恒成立問題的處理，一般是采用“分離參數(shù)，最值轉(zhuǎn)化分離參數(shù)，最值轉(zhuǎn)

24、化”的方法的方法. .37【變式備選變式備選】已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=xf(x)=x3 3-ax-1.-ax-1.(1)(1)若若f(x)f(x)在實數(shù)集在實數(shù)集R R上單調(diào)遞增，求實數(shù)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a a的取值范圍；的取值范圍；(2)(2)是否存在實數(shù)是否存在實數(shù)a,a,使使f(x)f(x)在在(-1(-1，1)1)上單調(diào)遞減？若存在，上單調(diào)遞減？若存在，求出求出a a的取值范圍；若不存在，說明理由的取值范圍；若不存在，說明理由. .38【解析解析】(1)(1)由已知由已知f(x)=3xf(x)=3x2 2-a,-a,f(x)f(x)在在(-,+)(-,+)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，f(

25、x)=3xf(x)=3x2 2-a0-a0在在(-,+)(-,+)上恒成立，上恒成立，即即a3xa3x2 2對對xRxR恒成立恒成立. .3x3x2 20,0,只需只需a0,a0,又又a=0a=0時，時，f(x)=3xf(x)=3x2 20,0,且只有且只有f(0)=0,f(0)=0,故故f(x)=xf(x)=x3 3-1-1在在R R上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，a0.a0.39(2)(2)由由f(x)=3xf(x)=3x2 2-a0-a0在在(-1,1)(-1,1)上恒成立，上恒成立，得得a3xa3x2 2在在(-1,1)(-1,1)上恒成立上恒成立. .-1x1,3x-1x1,3x2 23,3

26、,只需只需a3.a3.當(dāng)當(dāng)a=3a=3時，時，f(x)=3(xf(x)=3(x2 2-1),-1),在在(-1,1)(-1,1)上，有上，有f(x)0,f(x)0,即即f(x)f(x)在在(-1(-1，1)1)上為減函數(shù)，上為減函數(shù)，a3.a3.故存在實數(shù)故存在實數(shù)a3,a3,使使f(x)f(x)在在(-1(-1，1)1)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. .40 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【方法點睛方法點睛】1.1.應(yīng)用函數(shù)極值應(yīng)注意的問題應(yīng)用函數(shù)極值應(yīng)注意的問題(1)(1)注意極大值與極小值的判斷注意極大值與極小值的判斷. .(2)(2)已知極值求參數(shù)的值已知極值求參數(shù)的值: :注意

27、注意f(xf(x0 0)=0)=0是可導(dǎo)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x x0 0處取得極值的必要不充分條件處取得極值的必要不充分條件. .2.2.數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的范圍數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的范圍利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性和極值后，可以畫出草圖，進利用導(dǎo)數(shù)研究了函數(shù)的單調(diào)性和極值后，可以畫出草圖，進行觀察分析，確定滿足條件的參數(shù)范圍行觀察分析，確定滿足條件的參數(shù)范圍. . 41【例例2 2】(2011(2011重慶高考重慶高考) )設(shè)設(shè)f(x)=2xf(x)=2x3 3+ax+ax2 2+bx+1+bx+1的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為f(x),f(x),若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖像關(guān)于直

28、線的圖像關(guān)于直線 對稱，且對稱，且f(1)=0.f(1)=0.(1)(1)求實數(shù)求實數(shù)a,ba,b的值的值; ;(2)(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的極值的極值. .1x242【解題指南解題指南】y=f(x)y=f(x)的圖像是拋物線，易確定對稱軸，從的圖像是拋物線，易確定對稱軸，從而可求而可求a a，b b；然后按照求函數(shù)極值的步驟求極值即可；然后按照求函數(shù)極值的步驟求極值即可. .43【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)f(x)=6x(1)f(x)=6x2 2+2ax+b=6( )+2ax+b=6( )2 2+b- +b- 函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線 對稱，所以

29、對稱，所以又又f(1)=0f(1)=06+2a+b=06+2a+b=0b=-12b=-12；(2)(2)由由(1)(1)知知f(x)=2xf(x)=2x3 3+3x+3x2 2-12x+1,f(x)=6x-12x+1,f(x)=6x2 2+6x-12+6x-12，令，令f(x)=0f(x)=0得得x x1 1=-2,x=-2,x2 2=1=1；所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)在在(-,-2)(-,-2)上遞增，在上遞增，在(-2,1)(-2,1)上遞減，在上遞減，在(1,+)(1,+)上遞增，所以函數(shù)上遞增，所以函數(shù)f(x)f(x)在在x=-2x=-2處取得極大值處取得極大值f(-2)=21f

30、(-2)=21，在，在x=1x=1處取得極小值處取得極小值f(1)=-6.f(1)=-6.ax62a6，ax6a1a362 ，44【反思反思感悟感悟】1.1.求函數(shù)的極值時，極易弄混極大值、極小求函數(shù)的極值時，極易弄混極大值、極小值值.2.2.利用導(dǎo)數(shù)研究了單調(diào)性和極值，就可以大體知道函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究了單調(diào)性和極值，就可以大體知道函數(shù)的圖像，為數(shù)形結(jié)合解題提供了方便的圖像，為數(shù)形結(jié)合解題提供了方便. .45【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(2011(2011北京高考北京高考) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=(x-k)ef(x)=(x-k)ex x. .(1)(1)求求f(x)f(x)的單調(diào)區(qū)間；的單調(diào)區(qū)間；

31、(2)(2)求求f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值上的最小值. .46【解析解析】(1)f(x)=(x-k+1)e(1)f(x)=(x-k+1)ex x. .令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=k-1,x=k-1,根據(jù)根據(jù)x x的值列表，分析的值列表，分析f(x)f(x)的符號和的符號和f(x)f(x)的單調(diào)性的單調(diào)性. .所以所以f(x)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是(-,k-1)(-,k-1)；單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+).(k-1,+).x x (-,k-1)(-,k-1)k-1k-1(k-1,+)(k-1,+)f(x)f(x)- -0 0+

32、+f(x)f(x) -e-ek-1k-1 47(2)(2)當(dāng)當(dāng)k-10k-10，即，即k1k1時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)f(x)在在0,10,1上單調(diào)遞增，所上單調(diào)遞增，所以以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值為上的最小值為f(0)=-kf(0)=-k；當(dāng)；當(dāng)0 0k-1k-11 1，即即1 1k k2 2時，由時，由(1)(1)知知f(x)f(x)在在0,k-1)0,k-1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在(k-(k-1,11,1上單調(diào)遞增，所以上單調(diào)遞增，所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值為上的最小值為f(k-f(k-1)=-e1)=-ek-1k-1. .當(dāng)當(dāng)

33、k-11,k-11,即即k2k2時，函數(shù)時，函數(shù)f(x)f(x)在在0,10,1上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，所以所以f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值為上的最小值為f(1)=(1-k)e.f(1)=(1-k)e.綜上，當(dāng)綜上，當(dāng)k1k1時，時，f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間0,10,1上的最小值為上的最小值為-k-k；當(dāng)當(dāng)1k21k3,c3,所以所以c-20,c-20,2160y16 r8 crr 328 (c2)r20,0r2.r3320y0:r; c220y0:0r,c2所以令 得令 得 56當(dāng)當(dāng) 時，函數(shù)時，函數(shù)y y在在(0(0，2 2上是單調(diào)遞減上是單調(diào)遞減的，故建造費用最

34、小時的，故建造費用最小時r=2.r=2.當(dāng)當(dāng) 時，函數(shù)時，函數(shù)y y在在(0(0，2 2上是先減后增上是先減后增的，故建造費用最小時的，故建造費用最小時39203c22c2，即3920c022c2 ，即 320r.c257【反思反思感悟感悟】1.1.解決實際問題，數(shù)學(xué)建模是關(guān)鍵，恰當(dāng)變解決實際問題，數(shù)學(xué)建模是關(guān)鍵，恰當(dāng)變量的選擇，決定了解答過程的繁簡；函數(shù)模型的確定，決定量的選擇，決定了解答過程的繁簡；函數(shù)模型的確定，決定了能否解決這個問題了能否解決這個問題. .2.2.解決實際問題必須考慮實際意義，忽視定義域是這類題目解決實際問題必須考慮實際意義，忽視定義域是這類題目失分的主要原因失分的主要

35、原因. .58【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量的耗油量y(y(升升) )關(guān)于行駛速度關(guān)于行駛速度x(x(千米千米/ /小時小時) )的函數(shù)解析式可以的函數(shù)解析式可以表示為：表示為： 已知甲、乙兩地相距已知甲、乙兩地相距100100千米千米. .(1)(1)當(dāng)汽車以當(dāng)汽車以4040千米千米/ /小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？耗油多少升？(2)(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？少？

36、最少為多少升？313yxx8(0 x120).128 0008059【解析解析】(1)(1)當(dāng)當(dāng)x=40 x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了時，汽車從甲地到乙地行駛了 =2.5=2.5小小時，要耗油時，要耗油答：當(dāng)汽車以答：當(dāng)汽車以4040千米千米/ /小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油耗油17.517.5升升. .10040313(40408) 2.517.5().128 00080升60(2)(2)當(dāng)速度為當(dāng)速度為x x千米千米/ /小時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時時，汽車從甲地到乙地行駛了 小小時，設(shè)耗油量為時，設(shè)耗油量為h(x)h(x)升，升，依

37、題意得依題意得令令h(x)=0,h(x)=0,得得x=80.x=80.當(dāng)當(dāng)x(0,80)x(0,80)時，時，h(x)h(x)0,h(x)0,h(x)是減函數(shù)；是減函數(shù)；當(dāng)當(dāng)x(80,120 x(80,120時，時，h(x)h(x)0,h(x)0,h(x)是增函數(shù)是增函數(shù). .100 x32332213100 h(x)(xx8)128 00080 x180015x(0 x120),1 280 x4x800 x80h (x)(0 x120).640 x640 x61當(dāng)當(dāng)x=80 x=80時，時，h(x)h(x)取到極小值取到極小值h(80)=11.25.h(80)=11.25.因為因為h(x)h

38、(x)在在(0,120(0,120上只有一個極值，所以它是最小值上只有一個極值，所以它是最小值. .答：當(dāng)汽車以答：當(dāng)汽車以8080千米千米/ /小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為地耗油最少，最少為11.2511.25升升. .62【變式備選變式備選】某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為為3 3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a a元元(3a5)(3a5)的管理費，的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x x元元(9x11)(9x11)時，一年的銷售量時，一年的

39、銷售量為為(12-x)(12-x)2 2萬件萬件. .(1)(1)求分公司一年的利潤求分公司一年的利潤L(L(萬元萬元) )與每件產(chǎn)品的售價與每件產(chǎn)品的售價x x的函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；關(guān)系式；(2)(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L L最大，最大，并求出并求出L L的最大值的最大值Q(a).Q(a).63【解析解析】(1)(1)分公司一年的利潤分公司一年的利潤L(L(萬元萬元) )與售價與售價x x的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系式為：式為：L=(x-3-a)(12-x)L=(x-3-a)(12-x)2 2,x,x9,119,11. .(2)L=

40、(12-x)(2)L=(12-x)2 2-2(x-3-a)(12-x)-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).=(12-x)(18+2a-3x).令令L=0L=0得得x=6+ x=6+ 或或x=12(x=12(不合題意，舍去不合題意，舍去).).3a5,86+3a5,86+在在x=6+ x=6+ 兩側(cè)，由左向右兩側(cè)，由左向右LL的值由正變負(fù)的值由正變負(fù). .所以當(dāng)所以當(dāng)86+ 86+ 9 9即即3a3a 時，時，L Lmaxmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)=L(9)=(9-3-a)(12-9)2 2=9(6-a).=9(6-a).2a3228a.332a3

41、2a39264當(dāng)當(dāng) 時時228996aa5332，即 2max33222LL(6a)(6a3 a) 12(6a)33314(3a) .399(6a) 3a2Q a.194(3a) a532 所以65即：若即：若3a3a 則當(dāng)每件售價為則當(dāng)每件售價為9 9元時，分公司一年的利潤元時，分公司一年的利潤L L最大，最大值最大，最大值Q(a)=9(6-a)(Q(a)=9(6-a)(萬元萬元) )；若；若 a5a5，則當(dāng)每件售，則當(dāng)每件售價為價為(6+ )(6+ )元時，分公司一年的利潤元時，分公司一年的利潤L L最大，最大值最大，最大值Q(a)=4(3- )Q(a)=4(3- )3 3( (萬元萬元)

42、. ). 92，922a31a366【滿分指導(dǎo)滿分指導(dǎo)】函數(shù)綜合題的規(guī)范解答函數(shù)綜合題的規(guī)范解答【典例典例】(12(12分分)(2011)(2011湖南高考湖南高考) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=x- -alnxf(x)=x- -alnx(aR).(aR).(1)(1)討論討論f(x)f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性；(2)(2)若若f(x)f(x)有兩個極值點有兩個極值點x x1 1和和x x2 2，記過點，記過點A(xA(x1 1,f(x,f(x1 1),),B(xB(x2 2,f(x,f(x2 2)的直線的斜率為的直線的斜率為k k，問：是否存在，問：是否存在a a，使得，使得k=2-ak=2-a

43、？若存在，求出若存在，求出a a的值，若不存在，請說明理由的值，若不存在，請說明理由. .1x67【解題指南解題指南】(1)(1)對對f(x)f(x)求導(dǎo)，就求導(dǎo)，就a a的取值分類討論；的取值分類討論；(2)(2)假設(shè)存在假設(shè)存在a a滿足條件，判斷條件是否滿足滿足條件，判斷條件是否滿足. .68【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)f(x)(1)f(x)的定義域為的定義域為(0,+).(0,+). 2 2分分令令g(x)=xg(x)=x2 2-ax+1,-ax+1,其判別式其判別式=a=a2 2-4.-4.當(dāng)當(dāng)|a|2|a|2時，時，00，f(x)0,f(x)0,故故f(x)f(x)在在(0,+)(0

44、,+)上單調(diào)上單調(diào)遞遞增增. .3 3分分當(dāng)當(dāng)a a-2-2時，時，0,g(x)=00,g(x)=0的兩根都小于的兩根都小于0 0，在，在(0,+)(0,+)上，上，f(x)f(x)0 0，故，故f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .4 4分分2221axax 1f (x)1xxx 69當(dāng)當(dāng)a a2 2時，時，0,g(x)=00,g(x)=0的兩根為的兩根為當(dāng)當(dāng)0 0 x xx x1 1時，時，f(x)f(x)0 0；當(dāng)；當(dāng)x x1 1x xx x2 2時，時，f(x)f(x)0 0；當(dāng)；當(dāng)x xx x2 2時，時，f(x)f(x)0 0，故，故f(x)f(x)分別

45、在分別在(0,x(0,x1 1),(x),(x2 2,+),+)上單調(diào)遞上單調(diào)遞增，在增，在(x(x1 1,x,x2 2) )上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. .6 6分分2212aa4aa4x,x22，70(2)(2)由由(1)(1)知，知，a a2.2.因為因為f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=(x)=(x1 1-x-x2 2)+ -a(lnx)+ -a(lnx1 1-lnx-lnx2 2) )，所以，所以 8 8分分又由又由(1)(1)知，知，x x1 1x x2 2=1.=1.于是于是k=2-ak=2-a若存在若存在a a，使得，使得k=2-a,k=2-a,則則 =1,=1,121

46、2xxx x1212121212f(x )f(x )lnxlnx1k1axxx xxx 1212lnxlnx,xx1212lnxlnxxx71即即lnxlnx1 1-lnx-lnx2 2=x=x1 1-x-x2 2，亦即，亦即x x2 2- -2lnx- -2lnx2 2=0(x=0(x2 21)(1)(* *) )1010分分再由再由(1)(1)知，函數(shù)知，函數(shù)h(t)=t- -2lnth(t)=t- -2lnt在在(0,+)(0,+)上單調(diào)遞增，而上單調(diào)遞增，而x x2 21 1，所以，所以x x2 2- -2lnx- -2lnx2 21- -2ln1=0.1- -2ln1=0.這與這與(

47、 (* *) )式矛盾式矛盾. .1111分分故不存在故不存在a a，使得，使得k=2-a.k=2-a.1212分分21x1t21x1172【閱卷人點撥閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：以得到以下失分警示和備考建議：失失分分警警示示 在解答本題時有兩點容易造成失分：在解答本題時有兩點容易造成失分：(1)(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和求極值( (或最值或最值) )不熟練不熟練, ,忽視忽視a a的值對的值對f(x)f(x)符號的影響符號的影響. .(2)(2)對存在性命題的解題方法不熟悉，不能準(zhǔn)確、有效地對存在性命題的解題方法不熟悉，不能準(zhǔn)確、有效地確定解題方法確定解題方法. . 73備備考考建建議議 解決函數(shù)的綜合問題時，還有以下幾點在備考時要高度解決函數(shù)的綜合問題時，還有以下幾點在備考時要高度關(guān)注：關(guān)注：(1)(1)函數(shù)的定義域、單調(diào)性、最值函數(shù)的定義域、單調(diào)性、最值( (極值極值) )的求解應(yīng)熟練掌的求解應(yīng)熟練掌握；握；(2)(2)與數(shù)列、三角