利率期限結(jié)構(gòu)動態(tài)模型

1、固定收益證券李磊寧李磊寧中央財經(jīng)大學(xué)金融工程系中央財經(jīng)大學(xué)金融工程系第六講第六講: :利率期限結(jié)構(gòu)動態(tài)模型利率期限結(jié)構(gòu)動態(tài)模型主講教師：李磊寧v 單位：中央財經(jīng)大學(xué)金融工程系v 主講課程：金融工程學(xué)/固定收益證券v 聯(lián)系方式：電子郵件：內(nèi)容提要 利率動態(tài)模型的定義與特征利率動態(tài)模型的定義與特征1 均衡模型與無套利模型均衡模型與無套利模型2定義與特征v定義及其含義 利率期限結(jié)構(gòu)模型即是描述短期利率隨時間變化的動力學(xué)方程，也是利率衍生品進行定價及風(fēng)險管理的重要工具。 第五講對利率期限結(jié)構(gòu)的分析屬于靜態(tài)分析，即對某個時點的利率期限結(jié)構(gòu)的分析和估計。在考慮到了時間因素以后，利率期限結(jié)構(gòu)被視為一種隨機過

2、程，應(yīng)該用隨機函數(shù)關(guān)系模型描述這一過程。定義與特征v短期利率的運動特征： 特征一：短期利率在有限的范圍內(nèi)變動，一般情況下不會是負(fù)值， 也不可能是特別大的正值。 特征二：當(dāng)利率水平特別高時，利率更傾向于下降而非上升；當(dāng)利率水平特別低時，利率更傾向于上升而非下降。利率在偏離均值時有向均值“回歸”的現(xiàn)象，該現(xiàn)象被稱作具有均值回復(fù)性。 特征三：不同期限的利率之間不是完全相關(guān)的。往往表現(xiàn)為當(dāng)利率期限結(jié)構(gòu)（收益率曲線）發(fā)生變化時，收益率曲線短端變化劇烈，而長端變化緩慢。定義與特征v短期利率的運動特征： 特征四：不同期限的利率具有不同的波動率，收益率曲線短端的利率通常具有更高的波動率。 特征五：短期利率的波

3、動率具有異方差性，即不同的利率絕對水平上，利率波動率的方差不同。定義與特征v利率期限結(jié)構(gòu)模型示例： 一個假定的模型：其中：dr代表一個很小的時間間隔（用dt表示）利率的變化；代表趨勢變量，它是市場對利率變化的預(yù)期和風(fēng)險補償?shù)木C合反映；代表利率的年度波動率（1年內(nèi)波動多少基點）；dw代表一個均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為 ,符合正態(tài)分布的隨機變量。 dwdtdr定義與特征v利率期限結(jié)構(gòu)模型示例： 用利率二叉樹表示注：根據(jù)利率樹計算出來的利率期望和標(biāo)準(zhǔn)差也就是模型代表的期望和標(biāo)準(zhǔn)差，這個利率樹具備我們的假定的模型的基本性質(zhì) 定義與特征v利率期限結(jié)構(gòu)模型示例： 假設(shè)初始利率水平r=5%，利率年波動率=6%，時間

4、變化單位為一個月，即dt=1/12年，=-0.2%，dw=0.1，一個月后的利率水平是多少? dr=dt +dw=-0.2%(1/12) + 6%0.10.58%，即一個月后新的利率水平就是r+dr=5%+0.58%5.58%。 在一個月的時間內(nèi)，利率變化的趨勢是下降的，即一個月下降1.7個基點，-0.2%(1/12) 0.017%，一個月利率變化的標(biāo)準(zhǔn)差是174個基點（=6% 1.74%）。 12/15%6.723%3.243%8.446%5.034%1.554%例子中的利率樹圖，步長為1個月，共2期利率期限結(jié)構(gòu)模型示例定義與特征r0,0r1,1r1,0r2,2r2,1r2,0V0,0V1,

5、1V1,0V2,2V2,1V2,0定義與特征利率期限結(jié)構(gòu)模型示例-利率樹與債券價格樹定義與特征v設(shè)債券面值是100元，B10表示1年期零息債券的價格，B20表示2年期零息債券的價格，B1表示1年期附息債券（假設(shè)票息率4%）的價格，B2表示2年期附息債券（假設(shè)票息率4%）的價格。 6%5%4%第一年利率為5%，第二年可能是6%，也可能是4%（各為50%） 定義與特征v 1年期零息債券的定價過程是v 1年期零息債券的價格樹圖是24.95%)51 (10010B95.24100100定義與特征v 2年期零息債券的定價過程是34.94%)61 (1001002115.96%)41 (100100217

6、0.90%)51 (211 , 10, 11 , 10, 120VVVVB定義與特征v 2年期零息債券的定價樹圖是90.7094.3496義與特征v 1年期附息債券的定價過程是v 1年期附息債券的價格樹圖是99.0510010005.99%)51 (1041B定義與特征v 2年期附息債券的定價過程是11.98%)61 (10410421100%)41 (1041042115.98%)51 (44211 , 10, 11 , 10, 12VVVVB定義與特征v 2年期附息債券的定價樹圖是98.1598.11+4100+4100+4100+4100+4利率模型分類v均衡模

7、型:根據(jù)市場均衡條件推導(dǎo)出利率演變過程，模型中相關(guān)經(jīng)濟條件是輸入變量，利率是輸出變量；均衡模型分為單因素模型與多因素模型。v無套利模型:通過利率衍生品（價格依據(jù)利率變動而變動的金融工具，如債券等）的價格必須滿足無套利的條件推導(dǎo)出模型表達(dá)式。均衡模型vVasicek模型 該模型由學(xué)者Vasicek于1977年創(chuàng)立 。模型認(rèn)為利率變動存在“均值反轉(zhuǎn)”的特征，模型的形式是是長期均衡利率，k是正數(shù)，代表均值反轉(zhuǎn)的速度。當(dāng)r小于時，趨勢為正，當(dāng)r大于時，趨勢為負(fù)。r和之間的差距越大，短期利率向長期均衡利率的變化程度越大。dwdtrkdr)(均衡模型vVasicek模型 該模型的另一個表達(dá)式可以把分成兩個

8、構(gòu)成因素：一是利率的長期均衡值，另一個是風(fēng)險溢價。krdwdtrkrkdr/)/(均衡模型vVasicek模型 例如，k=0.02，r=4%，=6%，=0.2%，=0.012，t=1/12(年)，那么根據(jù)公式，=6%+0.2%/0.02=16%。 一個月以后利率變動的預(yù)期值將是2個基點：未來一個月的利率波動率將是35個基點 ：%02. 0)121 (%)4%16(02. 0)(drE0035. 012/1012. 0)(drS均衡模型vVasicek模型 例子中的第一期樹圖%37. 4)121 (012. 0)121 (%)4%16(02. 0%4%67. 3)121 (012. 0)121

9、(%)4%16(02. 0%44%均衡模型vVasicek模型 例子中的第二期樹圖%04. 4)121 (012. 0)121 (%)37. 4%16(02. 0%37. 4%74. 4)121 (012. 0)121 (%)37. 4%16(02. 0%37. 4%041. 4)121 (012. 0)121 (%)67. 3%16(02. 0%67. 3%34. 3)121 (012. 0)121 (%)67. 3%16(02. 0%67. 34.37%3.67%均衡模型vVasicek模型 例子中的二期利率樹(節(jié)點不重合)4.37%4%3.67%3.34%4.74%4.041%4.04%

10、均衡模型vVasicek模型 面值1元的零息債券在時刻t的價格是keTtVkTtVkktTTtVTtUeTtUBtTktrTtV)(22222)(),(1),(4),()2/)(),(exp),(),(均衡模型vVasicek模型 t時刻對于T-t期間的連續(xù)復(fù)利的表達(dá)式是 )(),(1),(ln1),(trTtVtTTtUtTTtR一旦確定了k,和三個參數(shù)，整個利率期限結(jié)構(gòu)可以作為r(t)的函數(shù)加以確定。均衡模型v H-W模型v 1990年，學(xué)者豪（Hull）和懷特（White）發(fā)表論文，對Vasicek模型和CIR模型進行擴展，提出了一個Vasicek模型的擴展形式v 其中，a和是常數(shù)。H-

11、W模型與Vasicek模型類似，所不同的是向均值回復(fù)的水平依賴時間。因為如果把（t）看作常數(shù)，模型就變回到Vasicek模型。v( )tdrar dtdza均衡模型v H-W模型v 根據(jù)模型，債券價格由下式給出)(),(),(),(trTtBeTtATtP) 1()(41), 0(ln),(), 0(ln), 0(lnln),(ln,1),(2223)(atataTtTaeeeattPTtBtPTPTtAaeTtB均衡模型v 通過運行MATLAB程序（函數(shù)為HWprice），我們可以運用該模型為一只國債定價。如為“21國債（10）”定價，定價日為2007年9月25日.債券價格樹見下圖。0123

12、1.021.021.011.011.01無套利模型vHO-LEE模型 該模型由學(xué)者Thomas Ho 和 Sang-Bin Lee于1986年創(chuàng)立 模型認(rèn)為利率變動可以寫成 注意：此處的 是關(guān)于t的函數(shù)dwdttdr)(無套利模型 HOLEE模型的利率樹圖 u可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)取得，或者是根據(jù)金融衍生品的價格，通過倒推的方式取得u各期是根據(jù)“擬合”零息債券的辦法，即通過使得零息債券的定價符合其市場的真實價格的方式取得各期的 （舉例）無套利模型 HOLEE模型的利率樹圖 u假如當(dāng)前1年期零息債券價格為95.24, 2年期零息債券價格為89.42，利率年波動率為1%，如何利用上述資料求得，并建立HO

13、-LEE模型的利率樹呢？無套利模型 HOLEE模型的利率樹圖 u首先，可以通過兩個零息債券的價格分別求得1年期和2年期兩個即期利率%75. 542.89)1/(100%524.95)1/(1002, 022, 01 , 01 , 0rrrr無套利模型 HOLEE模型的利率樹圖 u畫出2年期零息債券價格樹圖和相應(yīng)的利率樹圖 89.42100100100t=0t=1t=2)1/(1001 , 1r)1/(1000 , 1r2年期零息債券價格樹 無套利模型 HOLEE模型的利率樹圖 u畫出2年期零息債券價格樹圖和相應(yīng)的利率樹圖 1%11%511 , 1r1%11%510, 1r%50,0r含有未知趨

14、勢項的HO-LEE模型2期利率樹 無套利模型 HOLEE模型的利率樹圖 u 寫出2年期零息債券的定價方程，可以求得方程中唯一的未知數(shù)是知道了以后，自然可以根據(jù)模型求得利率樹中各節(jié)點的利率%51. 1%)1%5(1 100%)1%5(1 100%)51 (5 . 042.89111 , 110, 11 , 10, 1VVVV無套利模型 HOLEE模型的利率樹圖 %51. 5%1%51. 1%5%51. 7%1%51. 1%5%51. 10, 11 , 11rr7.51%5%5.51%最終的利率樹 無套利模型 HOLEE模型的優(yōu)、缺點：假設(shè)未來利率呈現(xiàn)正態(tài)分布，所以計算比較簡單，可以方便地對利率衍

15、生品定價；：1.利率有可能出現(xiàn)負(fù)值 ；2.常數(shù)波動率與利率運動的第四和第五個特征不符 ；3. HO-LEE模型中利率為正態(tài)分布的假設(shè)也不符合實際 。 HOLEE模型的改進“波動率隨著時間而變化的” HO-LEE模型 （舉例）rrurdt=1t=0)(5 .0)()()()()()(5 .0)(5 .0)(5 .05 .0)(00202022200dududurrrVarrrErErVarrrrErrrE有關(guān)統(tǒng)計概念的回顧HOLEE模型的擴展 舉例:如何利用債券價格和利率期限結(jié)構(gòu)做出“波動率隨著時間變化的” HO-LEE模型利率樹 期限即期利率(%)零息債券價格年波動率(%)15.7894.54

16、1.526.2088.661.336.4382.951.2當(dāng)前的利率期限結(jié)構(gòu)、債券價格與波動率HOLEE模型的擴展 由于當(dāng)前的一年期即期利率已知，我們首先需要求出的是明年開始的一年期利率的分布。有關(guān)的債券價格樹見下圖88.66100100100t=0t=1t=2)1/(1001 , 1r)1/(1000, 1rHOLEE模型的擴展%15. 5%,15. 8)(5 . 0%5 . 1)1/(100)1/(1005 . 066.880, 11 , 10, 11 , 10, 11 , 1rrrrrrv建立并解出下列方程組 HOLEE模型的擴展5.78%r2,2r2,1r2,0t=0t=1t=2%15

17、. 8%15. 5利率樹就擴展到了第2期 HOLEE模型的擴展 下面需要解出r2,2、r2,1和r2,0。此時有關(guān)的利率樹和債券價格樹如圖所示。82.951001001001001 , 1V0, 1V2,2V1 , 2V0,2V6.20%rurdHOLEE模型的擴展 同樣，我們可以建立并解出下列的方程組 88.89%)48. 51/(100,61.85%)08. 81/(100%,48. 5%,08. 8%3 . 12%)78. 51 ()1 (10021)1 (10021%)78. 51/()(2195.821 , 10 , 1221 , 10 , 1VVrrrrrrVVdududuHOLEE模型的擴展 然后根據(jù)已經(jīng)知道的有關(guān)節(jié)點處債券的價格，反推出相應(yīng)節(jié)點的利率，為此，需要建立并解出下列的方程組%74.4%,92.6%,11.92110011002188.98110011002161.850,21 ,22,22,20,21 ,20,21 ,21 ,22,2rrrrrrrrrrHOLEE模型的擴展 波動率隨著時間變化的HO-LEE模型利率樹（1年期利率） 5.78%8.15%5.15%9.11%6.92%4.74%HOLEE模型的擴展v BDT模型 Black-Derman和Toy于