2018人教A版高中數(shù)學必修三1.1.1《算法的概念》教案設計

1、第一章 算法初步本章教材分析 算法是數(shù)學及其應用的重要組成部分，是計算科學的重要基礎.算法的應用是學習數(shù)學的一個重要方面.學生學習算法的應用,目的就是利用已有的數(shù)學知識分析問題和解決問題.通過算法的學習,對完善數(shù)學的思想，激發(fā)應用數(shù)學的意識,培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，增強進行實踐的能力等，都有很大的幫助. 本章主要內容：算法與程序框圖、基本算法語句、算法案例和小結.教材從學生最熟悉的算法入手，通過研究程序框圖與算法案例，使算法得到充分的應用，同時也展現(xiàn)了古老算法和現(xiàn)代計算機技術的密切關系.算法案例不僅展示了數(shù)學方法的嚴謹性、科學性，也為計算機的應用提供了廣闊的空間.讓學生進一步受到數(shù)學思想

2、方法的熏陶，激發(fā)學生的學習熱情. 在算法初步這一章中讓學生近距離接近社會生活，從生活中學習數(shù)學，使數(shù)學在社會生活中得到應用和提高，讓學生體會到數(shù)學是有用的，從而培養(yǎng)學生的學習興趣.“數(shù)學建?！币彩歉呖伎疾橹攸c. 本章還是數(shù)學思想方法的載體，學生在學習中會經常用到“算法思想” “轉化思想”，從而提高自己數(shù)學能力.因此應從三個方面把握本章：（1）知識間的聯(lián)系；（2）數(shù)學思想方法；（3）認知規(guī)律. 本章教學時間約需12課時，具體分配如下（僅供參考）： 算法的概念約1課時 程序框圖與算法的基本邏輯結構約4課時 輸入語句、輸出語句和賦值語句約1課時 條件語句約1課時 循環(huán)語句約1課時1.3算法案例約3課

3、時本章復習約1課時1.1 算法與程序框圖 算法的概念整體設計教學分析 算法在中學數(shù)學課程中是一個新的概念，但沒有一個精確化的定義，教科書只對它作了如下描述：“在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟.”為了讓學生更好理解這一概念，教科書先從分析一個具體的二元一次方程組的求解過程出發(fā)，歸納出了二元一次方程組的求解步驟，這些步驟就構成了解二元一次方程組的算法.教學中，應從學生非常熟悉的例子引出算法，再通過例題加以鞏固.三維目標1.正確理解算法的概念,掌握算法的基本特點.2.通過例題教學，使學生體會設計算法的基本思路.3.通過有趣的實例使學生了解算法這一概念的同時，激發(fā)學生學

4、習數(shù)學的興趣.重點難點教學重點：算法的含義及應用.教學難點：寫出解決一類問題的算法.課時安排1課時教學過程導入新課 思路1（情境導入） 一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量狼就會吃羚羊.該人如何將動物轉移過河？請同學們寫出解決問題的步驟，解決這一問題將要用到我們今天學習的內容算法. 思路2（情境導入） 大家都看過趙本山與宋丹丹演的小品吧，宋丹丹說了一個笑話，把大象裝進冰箱總共分幾步？答案：分三步，第一步：把冰箱門打開；第二步：把大象裝進去；第三步：把冰箱門關上.上述步驟構成了把大象裝進冰箱的算法，今天我們開始學習算

5、法的概念. 思路3（直接導入） 算法不僅是數(shù)學及其應用的重要組成部分，也是計算機科學的重要基礎.在現(xiàn)代社會里，計算機已成為人們日常生活和工作中不可缺少的工具.聽音樂、看電影、玩游戲、打字、畫卡通畫、處理數(shù)據(jù)，計算機是怎樣工作的呢？要想弄清楚這個問題，算法的學習是一個開始.推進新課新知探究提出問題（1）解二元一次方程組有幾種方法？（2）結合教材實例總結用加減消元法解二元一次方程組的步驟.（3）結合教材實例總結用代入消元法解二元一次方程組的步驟.（4）請寫出解一般二元一次方程組的步驟.（5）根據(jù)上述實例談談你對算法的理解.（6）請同學們總結算法的特征.（7）請思考我們學習算法的意義.討論結果：（1

6、）代入消元法和加減消元法.（2）回顧二元一次方程組的求解過程，我們可以歸納出以下步驟：第一步，+×2，得5x=1.第二步，解，得x=.第三步，-×2，得5y=3.第四步，解，得y=.第五步，得到方程組的解為(3)用代入消元法解二元一次方程組我們可以歸納出以下步驟：第一步，由得x=2y1.第二步，把代入，得2(2y1)+y=1.第三步，解得y=.第四步，把代入，得x=2×1=.第五步，得到方程組的解為(4)對于一般的二元一次方程組 其中a1b2a2b10,可以寫出類似的求解步驟： 第一步，×b2-×b1，得 （a1b2a2b1）x=b2c1b1c

7、2. 第二步，解，得x=. 第三步，×a1-×a2，得（a1b2a2b1）y=a1c2a2c1. 第四步，解，得y=. 第五步，得到方程組的解為(5)算法的定義：廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算法，菜譜是做菜的算法等等. 在數(shù)學中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟. 現(xiàn)在，算法通?？梢跃幊捎嬎銠C程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題.(6)算法的特征：確定性：算法的每一步都應當做到準確無誤、不重不漏.“不重”是指不是可有可無的，甚至無用的步驟，“不漏” 是指缺少哪一步都無法完成任務.邏輯性：算法從開始的“第

8、一步”直到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣，分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù).有窮性：算法要有明確的開始和結束，當?shù)竭_終止步驟時所要解決的問題必須有明確的結果，也就是說必須在有限步內完成任務，不能無限制地持續(xù)進行.(7)在解決某些問題時，需要設計出一系列可操作或可計算的步驟來解決問題，這些步驟稱為解決這些問題的算法.也就是說，算法實際上就是解決問題的一種程序性方法.算法一般是機械的，有時需進行大量重復的計算，它的優(yōu)點是一種通法，只要按部就班地去做，總能得到結果.因此算法是計算科學的重要基礎.應用示例思路1例1 （1）設計一個算法，判斷7是否為質數(shù).（2）設計一

9、個算法，判斷35是否為質數(shù).算法分析：（1）根據(jù)質數(shù)的定義，可以這樣判斷：依次用26除7，如果它們中有一個能整除7，則7不是質數(shù)，否則7是質數(shù).算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以2不能整除7.第二步，用3除7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以3不能整除7.第三步，用4除7，得到余數(shù)3.因為余數(shù)不為0，所以4不能整除7.第四步，用5除7，得到余數(shù)2.因為余數(shù)不為0，所以5不能整除7.第五步，用6除7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以6不能整除7.因此，7是質數(shù).（2）類似地，可寫出“判斷35是否為質數(shù)”的算法：第一步，用2除35，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以2

10、不能整除35.第二步，用3除35，得到余數(shù)2.因為余數(shù)不為0，所以3不能整除35.第三步，用4除35，得到余數(shù)3.因為余數(shù)不為0，所以4不能整除35.第四步，用5除35，得到余數(shù)0.因為余數(shù)為0，所以5能整除35.因此，35不是質數(shù).點評：上述算法有很大的局限性，用上述算法判斷35是否為質數(shù)還可以，如果判斷1997是否為質數(shù)就麻煩了，因此，我們需要尋找普適性的算法步驟.變式訓練 請寫出判斷n(n>2)是否為質數(shù)的算法.分析：對于任意的整數(shù)n(n>2)，若用i表示2(n-1)中的任意整數(shù)，則“判斷n是否為質數(shù)”的算法包含下面的重復操作：用i除n,得到余數(shù)r.判斷余數(shù)r是否為0，若是，

11、則不是質數(shù)；否則，將i的值增加1，再執(zhí)行同樣的操作. 這個操作一直要進行到i的值等于(n-1)為止. 算法如下：第一步，給定大于2的整數(shù)n. 第二步，令i=2. 第三步，用i除n,得到余數(shù)r. 第四步，判斷“r=0”是否成立.若是，則n不是質數(shù)，結束算法；否則，將i的值增加1，仍用i表示. 第五步，判斷“i（n-1）”是否成立.若是，則n是質數(shù)，結束算法；否則，返回第三步.例2 寫出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.分析：令f(x)=x2-2,則方程x2-2=0 (x>0)的解就是函數(shù)f(x)的零點. “二分法”的基本思想是：把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間a

12、,b(滿足f(a)·f(b)<0）“一分為二”，得到a,m和m,b.根據(jù)“f(a)·f(m)<0”是否成立，取出零點所在的區(qū)間a,m或m,b，仍記為a,b.對所得的區(qū)間a,b重復上述步驟，直到包含零點的區(qū)間a,b“足夠小”，則a,b內的數(shù)可以作為方程的近似解.解：第一步，令f(x)=x2-2,給定精確度d.第二步，確定區(qū)間a,b，滿足f(a)·f(b)<0.第三步，取區(qū)間中點m=.第四步，若f(a)·f(m)<0，則含零點的區(qū)間為a,m；否則，含零點的區(qū)間為m,b.將新得到的含零點的區(qū)間仍記為a,b.第五步，判斷a,b的長度是否小

13、于d或f(m）是否等于0.若是，則m是方程的近似解；否則，返回第三步.當d=0.005時，按照以上算法，可以得到下表.ab|a-b|12111.50.51.251.50.251.3751.50.1251.3751.437 50.062 51.406 251.437 50.031 251.406 251.421 8750.015 6251.414 062 51.421 8750.007 812 51.414 062 51.417 968 750.003 906 25 于是，開區(qū)間（1.414 062 5,1.417 968 75）中的實數(shù)都是當精確度為0.005時的原方程的近似解.實際上，上述步

14、驟也是求的近似值的一個算法.點評：算法一般是機械的，有時需要進行大量的重復計算，只要按部就班地去做，總能算出結果，通常把算法過程稱為“數(shù)學機械化”.數(shù)學機械化的最大優(yōu)點是它可以借助計算機來完成，實際上處理任何問題都需要算法.如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、勝負的評判準則；再比如申請出國有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關的手續(xù)思路2例1 一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會吃羚羊.該人如何將動物轉移過河？請設計算法.分析：任何動物同船不用考慮動物的爭斗但需考

15、慮承載的數(shù)量，還應考慮到兩岸的動物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構造過程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢.解：具體算法如下：算法步驟：第一步：人帶兩只狼過河，并自己返回.第二步：人帶一只狼過河，自己返回.第三步：人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回.第四步：人帶一只羊過河，自己返回.第五步：人帶兩只狼過河.點評：算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當?shù)?這就要求我們在寫算法時應精練、簡練、清晰地表達，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴密性和完整性.本題型解決問題的算法中某些步驟重復進行多次才能解決，在現(xiàn)實生活中，很多

16、較復雜的情境經常遇到這樣的問題，設計算法的時候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復，不但可以使得問題變得簡單，而且可以提高工作效率.例2 喝一杯茶需要這樣幾個步驟：洗刷水壺、燒水、洗刷茶具、沏茶問：如何安排這幾個步驟？并給出兩種算法，再加以比較分析：本例主要為加深對算法概念的理解，可結合生活常識對問題進行分析，然后解決問題解：算法一：第一步，洗刷水壺.第二步，燒水.第三步，洗刷茶具.第四步，沏茶.算法二：第一步，洗刷水壺.第二步，燒水，燒水的過程當中洗刷茶具.第三步，沏茶.點評：解決一個問題可有多個算法，可以選擇其中最優(yōu)的、最簡單的、步驟盡量少的算法上面的兩種算法都符合題意，但是算法二運用了統(tǒng)籌

17、方法的原理，因此這個算法要比算法一更科學例3 寫出通過尺軌作圖確定線段AB一個5等分點的算法.分析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關系變成已知的比例關系，只要按照規(guī)則一步一步去做就能完成任務.解：算法分析：第一步，從已知線段的左端點A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP.第二步，在射線上任取一個不同于端點A的點C，得到線段AC.第三步，在射線上沿AC的方向截取線段CE=AC.第四步，在射線上沿AC的方向截取線段EF=AC.第五步，在射線上沿AC的方向截取線段FG=AC.第六步，在射線上沿AC的方向截取線段GD=AC，那么線段AD=5AC.第七步，連結DB.第八步，過C作BD的平行線，交線

18、段AB于M，這樣點M就是線段AB的一個5等分點.點評：用算法解決幾何問題能很好地訓練學生的思維能力，并能幫助我們得到解決幾何問題的一般方法，可謂一舉多得，應多加訓練.知能訓練 設計算法判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實數(shù)根.解：算法步驟如下： 第一步，輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c.第二步，計算=b24ac的值.第三步，判斷0是否成立.若0成立，輸出“方程有實根”；否則輸出“方程無實根”，結束算法.點評：用算法解決問題的特點是：具有很好的程序性，是一種通法.并且具有確定性、邏輯性、有窮性.讓我們結合例題仔細體會算法的特點.拓展提升 中國網通規(guī)定：撥打市內電話時，如果不超過3分鐘，則收取話費0.22元；如果通話時間超過3分鐘，則超出部分按每分鐘0.1元收取通話費，不足一分鐘按一分鐘計算.設通話時間為t（分鐘），通話費用y（元），如何設計一個程序，計算通話的費用.解：算法分析：數(shù)學模型實際上為：y關于t的分段函數(shù).關系式如下：y=其中t3表示取不大于t3的整數(shù)部分.算法步驟如下：第一步，輸入