全等三角形競賽試題含答案

1、O順時針旋轉52°,得到AOB全等三角形提高練習1.如圖所示，AB8ADE,BC的延長線過點E,ZACB=ZAED=105°,ZCAD=10°,/B=50如圖，AOB中，/B=30°OB交于點C（A'不在OB上）B'如圖所示，在ABC中，/A=90°度數(shù)是多少？E分別是AGBC上的點OADBEDBEDCA如圖所示，把4ABC貝U/A=C順時針旋轉BE35°,得到AB'C,A'B'交AC于點D,若/ADC=90A'B'如圖所示，AB=AC,AD±BC于BD,且AB+AC+

2、BC=50cm®AB+BD+AD=40cm貝UAD是多少？C如圖，RtABC中，/BAC=90,AB=AC分別過點BC作過點A的垂線若BD=3,CE=2,貝UDE=BCE,垂足分別為DEB如圖，AD是ABC的角平分線，DE!AB,DF±AC,垂足分別是垂直嗎？證明你的結論。DAEF,連接EF,交AD于G,AD與EF如圖所示，在ABC中,28cm2,AB=20cm,AC=8cmADBAC的角平分線DE的長。DEAB于E,DHAC于FABC的面積是AA9.已知，如圖：AB=AE,ZB=ZE,/BAChEARZCAF=ZDAF求證：AF±CD10.如圖，AD=BD,AD

3、)±BC于D,BE!AC于E,AD與BE相交于點H,貝UBH與AC相等嗎？為什么?11.如圖所示，已知,證：BEXACAD為4ABC的高,E為AC上一點,BE交AD于12.DACEBC勻是等邊三角形，AF、BD分另1J與CDCE交于點MN,求證：(1)AE=BD(2)CM=CN(3)CMNK;等邊三角形(4)MN/BC1.如圖所示，已知/AHC=60;©A.3個B.4ABC和4BDE都是等邊三角形，下列結論：AE=CDBF=BGBH平分/AHDBFG是等邊三角形；FG/AD,其中正確的有(個C.5個D.6個2.已知：BD、CE是4ABC的高，點AGLAFF在BD上，BF=A

4、C，點G在CE的延長線上，CG=AB,求證:3.如圖：在ABC中，BE、CF分別是AGAB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC在CF的延長線上截取CG=AB連結ADAG求證：(1)AD=AG(2)AD與AG的位置關系如何HDB=DC求證：BE=CF20.已知如圖：AB=DE直線AE、BD相交于C,/CF=CD21.EF,如圖,求證:OC是/AOB的平分線,DF=EFEP是OC上一點，PD!OA于D,PE±OB于E,F是OC上一點，連接DF和22.已知:點23.如圖,CD24.如圖，過線段AB的兩個端點作射線AMBN使AM/BN,按下列要求畫圖并回答:畫/MAB/NBA的平分線交于E(1

5、)/AEB是什么角？(2)過點E作一直線交AMTD,交BN于C,觀察線段DECE,你有何發(fā)現(xiàn)？17 .如圖，已知E是正方形ABCD勺邊CD的中點，點F在BC上，且/DAEWFAE求證：AF=AD-CF18 .如圖所示，已知ABC中，AB=ACD是CB延長線上一點，/ADB=60,E是AD上一點，且DE=DB求證：AC=BE+BC19.如圖所示，已知在AEC中,/E=90°,AD平分/EACDF±AC,垂足為F,(3)無論DC的兩端點在AMBN如何移動，只要DC經(jīng)過點E,AD+BC=ABAD+BC=C雎成立？并說明理由。25.如圖，ABC的三邊ABBCCA長分另是20、SxA

6、BO：S>ABCO：S>ACA春于？30、40,其三條角平分線將26.正方形ABCD43,AGBD交于O,/EOF=90,已知AE=3,CF=4,則Sabef為多少?27.如圖，在RtABC中，/ACB=45,/BAC=90,AB=AC點D是AB的中點，AF±CD于H,交BC于F,BE/AC交AF的延長線于E,求證：BC垂直且平分DE28.在ABC中，/ACB=90,AC=BC直線MNg過點C,且AD±MNTD,BEXMNTE(1)當直線(2)當直線(3)當直線量關系。DE=AD+BEDE=AD-BEDEAQBE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等MN繞點C旋轉

7、到圖的位置時，求證:MN繞點C旋轉到圖的位置時，求證:MN繞點C旋轉到圖的位置時，試問1解：ABCAEDD=ZB=50° ./ACB=105/ACE=75 ./CAD=1O/ACE=75/EFA=/CAD+/ACE=85(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和)同理可得/DEF=/EFA-/D=85-50=35°2根據(jù)旋轉變換的性質可得/B'"B,因為AOB繞點O順時針旋轉52°,所以/BOB=52；而/A'CO是AB'OC勺外角，所以/ACO=/B'廿BOB,然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解.解答：解：,AO睨由4AO

8、B繞點O順時針旋轉得到，/B=30°,/B'±B=30°, AOB繞點O順時針旋轉52°, ./BOB=52°, 一/A'COAB?OC勺外角，/ACO=/B'廿BOB=30°+52°=82°故選D.3全等三角形的性質；對頂角、鄰補角；三角形內角和定理.分析：根據(jù)全等三角形的性質得出/A=/DEB=/DEC,/ADB=/BDE=/EDC,根據(jù)鄰補角定義求出/DEC、/EDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內角和定理求出即可.解答：解：ADBEDBEDC,/A=/DEB=/DEC,/ADB=/BDE=/E

9、DC, ./DEB+/DEC=180,/ADB+/BDE+EDC=180,/DEC=90,/EDC=60, ./C=180-/DEC-/EDC,=180-90-60=30°.4分析：根據(jù)旋轉的性質，可得知/ACA'=35；從而求得/A'的度數(shù)，又因為/A的對應角是/A',即可求出/A的度數(shù).解答：解：三角形ABC繞著點C時針旋轉35°,得到AB'C/ACA=35°,/A'DC=90°/A=55；.一/A的對應角是/A',即/A=/A',/A=55;故答案為：55°.點評：此題考查了旋轉地性

10、質；圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉固定角度的位置移動.其中對應點到旋轉中心的距離相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變.解題的關鍵是正確確定對應角.5因為AB=AC三角形ABC是等腰三角形所以AB+AC+BC=2AB+BC=50BC=50-2AB=2(25-AB)又因為AD垂直于BC于D,所以BC=2BDBD=25-ABAB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40AD=40-25=15cm6解：BDIDE,CEXDE./D=ZE /BAD+/BAC+/CAE=180°又./BAC=90°, /BAD+/CAE=90° .在RtAA

11、BD中，/ABD+ZBAD=90°/ABD=/CAE .在ABD與CAE中/ABD=/CAEZD=ZEAB=AC .ABDCAE（AAS）BD=AE,AD=CE ,DE=AD+AE .DE=BD+CE BD=3,CE=2.DE=57證明：:AD是/BAC的平分線/EAD=/FAD又;DE±AB,DFXAC./AED=ZAFD=90°邊AD公共RtAAEDRtAAFD（AAS）AE=AF即AEF為等腰三角形而AD是等腰三角形AEF頂角的平分線AD，底邊EF（等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合（簡寫成主線合一”）8AD平分/BAC,則/EAD=/

12、FAD,/EDA=/DFA=90度，AD=AD所以AEDAAFDDE=DFSAABC=SAAED+SAAFD28=1/2（AB*DE+AC*DF）=1/2（20*DE+8*DE）DE=29AB=AE,/B=/E,/BAC=/EAD則4ABCAAEDAC=ADACD是等腰三角形/CAF=/DAFAF平分/CAD則AFLCD10解：;AD±BC/ADB=/ADC=90 ./CAD+/C=90 BEXAC ./BEC=/ADB=90 ./CBE+ZC=90/CAD=/CBE.AD=BD .BDHAADC（ASA）BH=AC11解：（1）證明：.AD±BC（已知），/BDA=/AD

13、C=90°（垂直定義），.Z1+Z2=90°（直角三角形兩銳角互余）.在RtABDF和RtAADC中，RtABDFRtAADC（）./2=/C（全等三角形的對應角相等）.1+/2=90°（已證），所以/1+ZC=90.Z1+ZC+ZBEC=180°（三角形內角和等于180°）,/BEC=90.BE，AC(垂直定義)；12證明：(1).DAC、EBC均是等邊三角形，AC=DC,EC=BC,/ACD=/BCE=60,/ACD+/DCE=/BCE+/DCE,即/ACE=/DCB.在ACE和DCB中，AC=DC/ACE=/DCBEC=BCACEADCB

14、(SAS).AE=BD(2)由(1)可知：ACEADCB,/CAE=/CDB,即/CAM=/CDN.,DAC、EBC均是等邊三角形，AC=DC,/ACM=/BCE=60.又點A、C、B在同一條直線上，/DCE=180-/ACD-/BCE=180-60-60=60°,即/DCN=60./ACM=/DCN.在ACM和DCN中,/CAM=/CDNAC=DC/ACM=/DCNACMDCN(ASA).CM=CN.由(2)可知CM=CN,/DCN=60°CMN為等邊三角形(4)由(3)知/CMN=/CNM=/DCN=60°./CMN+/MCB=180MN/BC13分析：(1)

15、由等邊三角形可得其對應線段相等，對應角相等，進而可由SAS得到CAN叁'MCB,結論得證；(2)由(1)中的全等可得/CAN=/CMB,進而得出/MCF=/ACE,由ASA得出CAEACMF,即CE=CF,又ECF=60°,所以CEF為等邊三角形.解答：證明：(1).ACM,CBN是等邊三角形，AC=MC,BC=NC,/ACM=60,/NCB=60,在CAN和MCB中，AC=MC,/ACN=/MCB,NC=BC,CANAMCB(SAS),AN=BM.CANCMB,/CAN=/CMB,又./MCF=180-/ACM-/NCB=180-60-60=60°,/MCF=/A

16、CE,在CAE和CMF中，/CAE=/CMF,CA=CM,/ACE=/MCF,CAEACMF(ASA),.CE=CF,.CEF為等腰三角形，又./ECF=60,.CEF為等邊三角形.點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質以及等邊三角形的判定問題，能夠掌握并熟練運用.14考點：等邊三角形的性質；全等三角形的判定與性質；旋轉的性質.分析：由題中條件可得ABECBD,得出對應邊、對應角相等，進而得出BGDABFE,ABF0CGB,再由邊角關系即可求解題中結論是否正確，進而可得出結論.解答：解：,ABC與BDE為等邊三角形，AB=BC,BD=BE,/ABC=/DBE=60,/ABE=/CBD,即A

17、B=BC,BD=BE,/ABE=ZCBDABEACBD,AE=CD,/BDC=/AEB,又./DBG=/FBE=60,.BGDABFE,BG=BF,/BFG=/BGF=60, .BFG是等邊三角形，F(xiàn)G/AD, BF=BG,AB=BC,/ABF=/CBG=60,ABFACGB,/BAF=/BCG, ./CAF+ZACB+ZBCD=/CAF+/ACB+/BAF=60+60°=120°,/AHC=60, /FHG+/FBG=120+60°=180°, B、G、H、F四點共圓， FB=GB, ./FHB=/GHB,BH平分/GHF,，題中都正確.故選D.點評：

18、本題主要考查了等邊三角形的性質及全等三角形的判定及性質問題，能夠熟練掌握.15考點：全等三角形的判定與性質.分析：仔細分析題意，若能證明ABFAGCA,則可得AG=AF.在ABF和4GCA中，有BF=AC、CG=AB這兩組邊相等，這兩組邊的夾角是/ABD和/ACG,從已知條件中可推出/ABD=/ACG.在RtAAGE中，/G+/GAE=90,而/G=/BAF,則可得出/GAF=90,即AGXAF.解答：解：AG=AF,AG±AF. BD、CE分別是ABC的邊AC,AB上的高./ADB=/AEC=90 ./ABD=90-ZBAD,/ACG=90-ZDAB,/ABD=/ACG在ABF和G

19、CA中BF=AC/ABD=/ACGAB=CG.ABFAGCA(SAS)AG=AF/G=/BAF又/G+/GAE=90度. ./BAF+ZGAE=90度./GAF=90 AGXAF.點評：本題考查了全等三角形的判定和性質；要求學生利用全等三角形的判定條件及等量關系靈活解題，考查學生對幾何知識的理解和掌握，運用所學知識，培養(yǎng)學生邏輯推理能力，范圍較廣.161、證明： BEXAC ./AEB=90 /ABE+/BAC=90 CFXAB ./AFC=ZAFG=90 /ACF+/BAC=90,/G+/BAG=90/ABE=/ACF BD=AC,CG=ABABDAGCA(SAS) .AG=AD2、AG，A

20、D證明ABDAGCA/BAD=ZG/GAD=/BAD+/BAG=/G+/BAG=90 AGXAD17過E做EG，AF于G,連接EF ABCD是正方形 ./D=ZC=90AD=DC ZDAE=ZFAE,EDLAD,EG±AFDE=EGAD=AGE是DC的中點DE=EC=EG EF=EF RtAEFGRtAECFGF=CFAF=AG+GF=AD+CF18因為：角EDB=60°DE=DB所以：EDB是等邊三角形，DE=DB=EB過A作BC的垂線交BC于F因為：ABC是等腰三角形所以：BF=CF,2BF=BC又：角DAF=30所以：AD=2DF又：DF=DB+BF所以：AD=2(D

21、B+BF)=2DB+2BF=【2DB+BC】(AE+ED)=2DB+BC,其中ED=DB所以：AE=DB+BC,AE=BE+BC19補充：B是FD延長線上一點；ED=DF(角平分線到兩邊上的距離相等)；BD=CD;角EDB=FDC(對頂角)；貝U三角形EDB全等CDF;貝UBE=CF;或者補充：B在AE邊上；ED=DF(角平分線到兩邊上的距離相等)；DB=DC則兩直角三角形EDB全等CDF(HL)即BE=CF20解：AF/DE./D=ZAFC.ZB+ZD=180,ZAFC+ZAFB=180°.B=/AFB.AB=AF=DEAFC和EDC中：/B=/AFB,/ACF=/ECD(對頂角)

22、，AF=DEAFCAEDC.CF=CD21證明：二,點P在/AOB的角平分線OC上，PEXOB,PDXAO,.PD=PE,/DOP=/EOP,/PDO=/PEO=90,./DPF=/EPF,在DPF和EPF中PD=PE/DPF=/EPFPF=PF（SAS）,.DPFAEPFDF=EF.22考點：全等三角形的判定與性質.專題：證明題.分析：（1）根據(jù)全等三角形的判定定理ASA證得BEDACFD;（2）連接AD.利用（1）中的BEDACFD,推知全等三角形的對應邊ED=FD,因為角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，所以點D在/A的平分線上.解答：且F。證明：（1）BFXAC,CEXAB,/BDE=

23、/CDF（對頂角相等），./B=/C（等角的余角相等）；在RtABED和RtACFD中，/B=/CBD=CD（已知）CDF.BEDACFD（ASA）;（2）連接AD.由（1）知，BEDACFD,ED=FD（全等三角形的對應邊相等），AD是/EAF的角平分線，即點D在/A的平分線上.點評：本題考查了全等三角形的判定與性質.常用的判定方法有：ASA,AAS,SAS,SSS,HL等，做題時需靈活運用.23考點：角平分線的性質.分析：要求二者的距離，首先要作出二者的距離，過點O作FGXAB,可以得到FGXCD,根據(jù)角平分線的性質可得，OE=OF=OG,即可求得AB與CD之間的距離.AB.AB/CD,.

24、/BFG+/FGD=180,/BFG=90,/FGD=90,FGXCD,FG就是AB與CD之間的距離.O為/BAC,/ACD平分線的交點，OEAC交AC于E,OE=OF=OG（角平分線上的點，到角兩邊距離相等），AB與CD之間的距離等于2?OE=4.故答案為：4.點評：本題主要考查角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質，作出AB與CD之間的距離是正確解決本題的關鍵.24考點：梯形中位線定理；平行線的性質；三角形內角和定理；等腰三角形的性質.專題：作圖題；探究型.分析：（1）由兩直線平行同旁內角互補，及角平分線的性質不難得出/1+73=90°,再由三角形內角和等于180°,即

25、可得出/AEB是直角的結論；（2）過E點作輔助線EF使其平行于AM,由平行線的性質可得出各角之間的關系，進一步求出邊之間的關系；（3）由（2）中得出的結論可知EF為梯形ABCD的中位線，可知無論DC的兩端點在AM、BN如何移動,只要DC經(jīng)過點E,AD+BC的值總為一定值.解答：解：（1）AM/BN,./MAB+ZABN=180,又AE,BE分別為/MAB、ZNBA的平分線，/1+/3=1根據(jù)平行線等分線段定理得到E為DC中點，ED=EC;（3）由（2）中結論可知，無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經(jīng)過點E,總滿足EF為梯形ABCD中位線的條件，所以總有AD+BC=2EF=AB.點評

26、：本題是計算與作圖相結合的探索.對學生運用作圖工具的能力，以及運用直角三角形、等腰三角形性質，三角形內角和定理，及梯形中位線等基礎知識解決問題的能力都有較高的要求.rI251且如圖，ABC的三邊AB,BC,CA長分另是20,30,40,其三條角平分線將ABC分為三個三角形，則Saabo:Sabco:Smao等于()A.1:1:1B,1:2:3C.2:3:4D,3:4:5考點：角平分線的性質.專題：數(shù)形結合.分析：利用角平分線上的一點到角兩邊的距離相等的性質，可知三個三角形高相等，底分別是20,30,40,所以面積之比就是2:3:4.解答：解：利用同高不同底的三角形的面積之比就是底之比可知選C.

27、故選C.點評：本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質及三角形的面積公式.做題時應用了三個三角形的高時相等的，這點式非常重要的.26解:正方形ABCD AB=BC,AO=BO=CO,ZABC=ZAOB=ZCOB=90,/ABO=/BCO=45 ./BOF+ZCOF=90 ./EOF=90 ./BOF+/BOE=90 ./COF=ZBOE .BOEACOF(ASA)BE=CF CF=4BE=4 AE=3 .AB=AE+BE=3+4=7BF=BC-CF=7-4=3 SABEF=BEXBF/2=4X3/2=627考點：線段垂直平分線的性質；全等三角形的判定與性質.專題：證明題.分析：證明

28、出DBP0EBP,即可證明BC垂直且平分DE.解答：證明：在ADC中，/DAH+ZADH=90,/ACH+/ADH=90,/DAH=/DCA, /BAC=90,BE/AC,/CAD=/ABE=90.又AB=CA, 在ABE與CAD中，DAH=/DCACAD=/ABEAB=ACABEACAD(ASA),AD=BE,又AD=BD,BD=BE,在RtAABC中，/ACB=45,/BAC=90,AB=AC,故/ABC=45. BE/AC,/EBD=90,/EBF=90-45=45°,DBPAEBP(SAS),DP=EP,即可得出BC垂直且平分DE.點評：此題關鍵在于轉化為證明出DBPEBP.

29、通過利用圖中所給信息，證明出兩三角形相似，而證明相似可以通過證明角相等和線段相等來實現(xiàn).281)證明：./ACB=90°, /ACD+/BCE=90,而AD，MN于D,BEMN于E, ./ADC=/CEB=90,/BCE+/CBE=90,/ACD=/CBE.在RtAADC和RtACEB中，/ADC=/CEB/ACD=ZCBEAC=CB, RtAADCRtACEB(AAS),AD=CE,DC=BE,DE=DC+CE=BE+AD;(2)證明：在4ADC和CEB中，/ADC=/CEB=90/ACD=/CBEAC=CB,ADCACEB(AAS),AD=CE,DC=BE,DE=CE-CD=AD

30、-BE;(3)DE=BE-AD.證明的方法與(2)相同已贊同9|評論(2)第十一章全等三角形11.1全等三角形教學目標：1了解全等形及全等三角形的的概念；2 理解全等三角形的性質3 在圖形變換以及實際操作的過程中發(fā)展學生的空間觀念，培養(yǎng)學生的幾何直覺，4學生通過觀察、發(fā)現(xiàn)生活中的全等形和實際操作中獲得全等三角形的體驗在探索和運用全等三角形性質的過程中感受到數(shù)學的樂趣重點：探究全等三角形的性質難點：掌握兩個全等三角形的對應邊，對應角教學過程：我們上學期學習了三角形本身的一些性質，如邊角之間關系等。我們把問題更深入一步想：三角形之間有什么樣的關系呢？要研究這個問題，首先我們從兩個完全一樣的三角形去研究，也就是今天要講的全等三角形。觀察下列圖案(課本p2),指出這些圖案中中形狀與大小相同的圖形問題：你還能舉出生活中一些實際例子嗎？這些形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形思考：（課本p3）思考在圖13.1中，把AH沿克慢8平悖，得到在圖】3.>2中,把ABC沿直致BC翻折180得到QBC.在圖】31-3中.把八反,旋轉180得到AER各國中的前個三角形全等嗎？1)&c圖13.13一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等。