必修一函數(shù)經(jīng)典例的題目

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔 log4n n1.11當(dāng)0cm1, 0n1時，得一1 0 ,log4m log4nlog4n log4m ,0n m 1 .當(dāng)0cm1時，得10g4m0 , 0 log4n ,0m1 ,0cm11或0nm1或0m1 0且a*1).解：(1)令t= x +3 ,則y = log21,. t 0, y w R ,即函數(shù)值域?yàn)镽.(2)令t =3x2,則0t W3,y 3,當(dāng)a1時，y loga3 ,即值域?yàn)閘oga3,收)，當(dāng)0a1時，y x恒成立,故f(x)的定義域?yàn)?3，)，f (-x) =log2(. x21 x)=-log2=-log2收+1 -x = -f (x),

2、所以，f(x)為奇函數(shù)。例7.求函數(shù)y =210gl(x23x + 2)的單調(diào)區(qū)間。3一人o3 o 13解：令u =x2-3x+2=(x)2在一,收)上遞增，在242又x2-3x+2 0 ,. . x2或x1,故u=x23x+2在(2,收)上遞增，在(-0,1)上遞減，所以，函數(shù)y = 210gl(x23x+2)在(2, +)上遞增，在(-0,1)上遞減。3例8.若函數(shù)y = -log2(x2-ax -a)在區(qū)間(一0,1一J3)上是增函數(shù)，a的取值范圍。 解：令u = g(x) = x2-ax -a ,:函數(shù)y =log2u為減函數(shù)，例4.已知logm4 logn4 ,比較m ,解：logm

3、41, nA1時，得log4m0 - ，log4n1- 0 ,a -1-.3c c K c. . 2,斛仔2 2yj3W a W 2 ,(1之0所以，a的取值范圍為2 -2/3, 2.例 1 已知函數(shù)f(x)=x2bx+c滿足f (1+x) = f(1x),且f(0)=3,則f(bx)與f (cx)的大 小關(guān)系是.分析：先求b, c的值再比較大小，要注意bx, cx的取值是否在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi).解：:f(1 +x) =f (1 -x),:函數(shù)f (x)的對稱軸是x =1.故b =2 ,又f (0) =3 ,c=3 .:函數(shù)f (x)在(q,1 上遞減，在fl,十0)上遞增.若x 0,則3x2x1

4、 ,f (3x) f(2x)；若x0,則3xc2x f (2x).綜上可得f(3x)f(2x),即f(cx)f(bx).評注：比較大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函數(shù)的單調(diào)性或中間量等.對于含有參數(shù) 的大小比較問題，有時需要對參數(shù)進(jìn)行討論.2.求解有關(guān)指數(shù)不等式23x 21 x例 2 已知(a +2a+5) (a +2a+5),則x的取值范圍是 .分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，注意底數(shù)的取值范圍.22斛：-a +2a+5=(a+1) +4 4 1 ,2x:函數(shù)y=(a +2a+5)在(+8)上是增函數(shù)，1_ 13x 1 -x ,解得x - . ： x的取值范圍是.一，+ .44評注：利

5、用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式，并判斷底數(shù)與1的大小，對于含有參數(shù)的要注意對參數(shù)進(jìn)行討論.3.求定義域及值域問題例3求函數(shù)y =4 _6x2的定義域和值域.解：由題意可得1 6x20 ,即6x“ 1 ,x -20 ,故x 0 2 .:函數(shù)f (x)的定義域是(“0 ,2.令t =6x2 ,則y = Ji t ,實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔又x W 2 , x _2 W 0 .0 6x2 0 1 ,即0 t 0 1 . - 0 1 _t 1 ,即0 & y 0且a/1)在區(qū)間1,1上有最大值 14,則a的值是分析：令t =ax可將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，需

6、注意換元后t的取值范圍.x2 xx2解：令t =a，則t 0 ,函數(shù)y =a +2a -1可化為y =(t +1) -2 ,其對稱軸為t = 1 .當(dāng)a 1時，x w 1-1,1 ,&ax &a ,即二0 t & a aa2 當(dāng)t=a時，ymax=(a+1) 2=14.解彳導(dǎo)a =3或a = -5(舍去)；當(dāng)0 a 1時，丁xw,1,v11a ax 0),上述方程可化為9t2-80t -9 = 0 ,1x解彳11=9或1=(舍去)，：3 =9, x = 2,經(jīng)檢驗(yàn)原方程的解是x = 2. 9評注：解指數(shù)方程通常是通過換元轉(zhuǎn)化成二次方程求解，要注意驗(yàn)根.6 .圖象變換及應(yīng)

7、用問題例 6 為了得到函數(shù)y =9父3、+5的圖象，可以把函數(shù)y=3x的圖象().A.向左平移 9 個單位長度，再向上平移 5 個單位長度8.向右平移 9 個單位長度，再向下平移 5 個單位長度C.向左平移 2 個單位長度，再向上平移 5 個單位長度實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔D.向右平移 2 個單位長度，再向下平移 5 個單位長度位長度，可得到函數(shù)y=9x3x+5的圖象，故選評注：用函數(shù)圖象解決問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法，利用其直觀性實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解題，所以要熟悉基 本函數(shù)的圖象，并掌握圖象的變化規(guī)律，比如：平移、伸縮、對稱等.習(xí)題1、比較下列各組數(shù)的大小：aE（L+oa）mj。，且儀二6,，比較 a

8、與 b； 用北Ql）,x“W，且二獷 ,比較 a 與 b.(a-bc ,a/)0,c0a/)0,cb0曰1 1 1 1，故力.又C。1由13131 11，因。）6）。，故占 .又。i(4) 應(yīng)有a 0，故.從而口w,這與已知屋二獷矛盾.(a實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔故獷V,從而,這與已知小二曠矛盾.小結(jié)：比較通常借助相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖象來求解.實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔111解：(1) ;*，0, ： y = 2xJ3的定義域?yàn)?x | x Rl. x3.又: 一!_ w 0, : 2x，1 ,x -31 .y = 2xJ3的值域?yàn)?y | y0 且 y w 1.(2)y =4x+2x+1+1

9、的定義域?yàn)?R. 2x0, y = 4x+2x+1+1 = (2x)2+2 - 2x+1 = (2x+1)21. .y = 4x+2x+1+1 的值域?yàn)?y I y1.4 已知-1 x2,求函數(shù) f(x)=3+2 - 3x+1-9的最大值和最小值1解：設(shè) t=3 ,因?yàn)?1 x2,所以一 Mt E 9,且 f(x)=g(t)=-(t-3)+12，故當(dāng) t=3 即 x=1 時，f(x)取取大3值 12,當(dāng) t=9 即 x=2 時 f(x)取最小值-24。I5、設(shè)，求函數(shù)了=4-3 2 +5的最大值和最小值._ 1 ,i(1)y=2xJ3; (2)y4x+2x+1+1.ahc d abdc bac

10、 dbad 1,0 L0a1,0h1）在區(qū)間1,1上的最大值是 14,求a的值.解:y =a2x+2ax-1(a 1),換元為y = t22t.1、-1( t 1 , t = a ,即 x=1 時取最大值，略解彳導(dǎo)a=3 （a= 5 舍去）7.已知函數(shù) /（了）=1-%、2且 qhI ）（1）求/的最小值；（2）若/國0，求的取值范圍.v/W = -r+2 = （-）a-.解：（1）24,.：當(dāng)331口才二 一 1 二 logm 一 / 2即2時，八川有最小值為4？/=/-3F+2=g*7W-2）0；當(dāng)Mal時，1%2工。2.8（1。分）（1）已知 f （x）= + m 是奇函數(shù)，求常數(shù)3 -

11、1m勺值;（2）畫出函數(shù)y =|3x1的圖象，并利用圖象回答:X . 一一k為何值時，方程|3 1 I =卜無解？有一解？有兩解?解：（1）常數(shù)m=1（2）當(dāng)k0 時，直線y=k與函數(shù)y =|3x-1 |的圖象無交點(diǎn)，即方程無解當(dāng)k=0 或k1 時，直線y=k與函數(shù)y=|3 一1|的圖象有唯一的交點(diǎn)，所以方程有一解當(dāng) 0k1 時，直線y=k與函數(shù)y弓3x1|的圖象有兩個不同交點(diǎn)，所以方程有兩解。fM = +49.若函數(shù)2 1是奇函數(shù)，求 Q 的值.解：二 為奇函數(shù)， ，杷）/尸力-3Tful,函數(shù)成為2，儀I】，J ,對稱軸遠(yuǎn),實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔解：由已知得(3、)2-1

12、0 - 3x+9 01 3x 9 故 0Wx02則 y=f (t) =4t2-4t+2=4 (t-)2當(dāng) t=即 x=1 時，ymin=12當(dāng) t=1 即 x=0 時，ymax=22飛（311.已知1-16，即2,故所求函數(shù)的值域?yàn)楫?dāng) xC（-8,3）時，u 為減函數(shù),2a =-則2-112- 2-,一110.已知 9x-10.3x+9 0,求函數(shù)1-2y= (1)4x-1-4 （ 1）x+2 的最大值和最小值2而 y=( )x-1-4 1 ( )x+2= 4 1()4.1令 t= ( _ )221,(-t 1)4得(3x-9 ) (3x-1 ) 02+1的值域.2八、1產(chǎn)解：由：2屆23，即

13、/ +d4-2彳12.（9 分）求函數(shù)y 2-x22x 2的定義域，值域和單調(diào)區(qū)間定義域?yàn)?R 值域（0, 8。（3）在（-8, 1上是增函數(shù) 在1 ,+00）上是減函數(shù)。13 求函數(shù) yx2J3x 211 、| 的單調(diào)區(qū)間.分析 這是復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的問題可設(shè) y1邛| ,u = x2-3x+2 ,其中 y1；為減函數(shù)0 且 a，1).ax1求 f(x)的定義域和值域；(2)討論 f(x)的奇偶性；(3)討論 f(x)的單調(diào)性.解：(1)易得 f(x)的定義域?yàn)?x | x R.;f(x)的值域?yàn)?y I -1 y1 時，: ax+1 為增函數(shù)，且 ax+10.ax-1a1為減函數(shù).2，一

14、，為減函數(shù),ax1從而f(x)1-L_ax1xa -1 ,一一 ,為增函數(shù).2當(dāng) 0a1ax1時，類似地可得f(x)15、已知函數(shù)f (x)=a-二x21(ae R),(1)(2)(1)證明:求證：對任何a e Rf (x)為增函數(shù).若f (x)為奇函數(shù)時，求a的值。設(shè)x1 0(1 2x1)(1 2x2)故對任何aGR f (x)為增函數(shù).(2) x乏R ,又f (x)為奇函數(shù)二f(0) =0得到a1=0。即a=12x16、定義在 R 上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期為 2,且xW(0,1)時，f (x)=4x- 1(1)求f (x)在1, 1上的解析式；(2)判斷f(x)在(0, 1)上的單調(diào)

15、性;(3)當(dāng)為何值時，方程f(x)= *MxE1,1上有實(shí)數(shù)解.解(1) .xGR 上的奇函數(shù)：f(0)=0又二2為最小正周期 f(1)=f (2 -1) =f(1) - -f (1)u0設(shè) x e (1, 0),則一 x e (0, 1), f(y)=-42x=-f (x)ax-1設(shè)丫=a1,解彳taxax1上口: ax0 當(dāng)且僅當(dāng)-m0 時，方程有解y -1y -1一y 1.I 星-0 得-1y1.y-1(3)f(x)(ax1) -2實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案精彩文檔;在(0, 1)上為減函數(shù)。(3) f (x)在(0, 1)上為減函數(shù)。:f(1)f(x)f(0)即f(x)(2,l) 5 2_.一,12同理f (x)在(一1, 0)時,f(x)(