必修4第二章平面向量

1、第二章 平面向量本章內(nèi)容介紹向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運算體系.向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實際背景.在本章中，學(xué)生將了解向量豐富的實際背景，理解平面向量及其運算的意義，學(xué)習(xí)平面向量的線性運算、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積、平面向量應(yīng)用五部分內(nèi)容.能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題. 本節(jié)從物理上的

2、力和位移出發(fā)，抽象出向量的概念，并說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后介紹了向量的一些基本概念. （讓學(xué)生對整章有個初步的、全面的了解.）第1課時§2.1 平面向量的實際背景及基本概念教學(xué)目標(biāo)：1. 了解向量的實際背景，理解平面向量的概念和向量的幾何表示；掌握向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量等概念；并會區(qū)分平行向量、相等向量和共線向量.2. 通過對向量的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步認(rèn)識現(xiàn)實生活中的向量和數(shù)量的本質(zhì)區(qū)別.3. 通過學(xué)生對向量與數(shù)量的識別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.教學(xué)重點：理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會表示向量.

3、教學(xué)難點：平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.學(xué) 法：本節(jié)是本章的入門課，概念較多，但難度不大.學(xué)生可根據(jù)在原有的位移、力等物理概念來學(xué)習(xí)向量的概念，結(jié)合圖形實物區(qū)分平行向量、相等向量、共線向量等概念.教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)授課類型：新授課教學(xué)思路：一、情景設(shè)置：ABCD如圖，老鼠由A向西北逃竄，貓在B處向東追去，設(shè)問：貓能否追到老鼠？（畫圖）結(jié)論：貓的速度再快也沒用，因為方向錯了.分析：老鼠逃竄的路線AC、貓追逐的路線BD實際上都是有方向、有長短的量.引言：請同學(xué)指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小沒有方向？二、新課學(xué)習(xí)： （一）向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫

4、向量（二）請同學(xué)閱讀課本后回答：（可制作成幻燈片）1、數(shù)量與向量有何區(qū)別？2、如何表示向量？3、有向線段和線段有何區(qū)別和聯(lián)系？分別可以表示向量的什么？4、長度為零的向量叫什么向量？長度為1的向量叫什么向量？5、滿足什么條件的兩個向量是相等向量？單位向量是相等向量嗎？6、有一組向量，它們的方向相同或相反，這組向量有什么關(guān)系？7、如果把一組平行向量的起點全部移到一點O，這是它們是不是平行向量？這時各向量的終點之間有什么關(guān)系？ （三）探究學(xué)習(xí)1、數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大?。幌蛄坑蟹较?，大小，雙重性，不能比較大小. A(起點) B（終點）a2.向量的表示方

5、法：用有向線段表示；用字母、（黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點與終點字母：；向量的大小長度稱為向量的模，記作|. 3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.4、零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的.注意0與0的含義與書寫區(qū)別.長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向

6、量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量、平行，記作.6、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量與相等，記作；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān).7、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關(guān)）.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.（四）理解和鞏固： 例

7、1 書本86頁例1.例2判斷：（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（平行向量）（6）兩個非零向量相等的當(dāng)且僅當(dāng)什么？（長度相等且方向相同）（7）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）例3下列命題正確的是（ ）A.與共線，與共線，則與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點C.向量與不共線，則與都是非零向量D.有相同起點的兩個非零向量不平行解：由于零向量與任一向量

8、都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若與不都是非零向量，即與至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有與共線，不符合已知條件，所以有與都是非零向量，所以應(yīng)選C.例4 如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量、相等的向量.變式一：與向量長度相等的向量有多少個？（11個）變式二：是否存在與向量長度相等、方向相反的向

9、量？（存在）變式三：與向量共線的向量有哪些？（）課堂練習(xí)：1判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；單位向量都相等；任一向量與它的相反向量不相等；四邊形ABCD是平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng) 一個向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.解：不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上.不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的. 、正確.不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.2書本88頁練習(xí)三、小結(jié) ：1

10、、 描述向量的兩個指標(biāo)：模和方向.2、 平行向量不是平面幾何中的平行線段的簡單類比.3、 向量的圖示，要標(biāo)上箭頭和始點、終點.四、課后作業(yè)： 書本88頁習(xí)題2.1第3、5題（吳春霞）第2課時§2.2.1 向量的加法運算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo)：1、 掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義； 2、 會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問題的能力； 3、 通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進行類比，使學(xué)生掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法；教學(xué)重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.教學(xué)難點

11、：理解向量加法的定義.學(xué) 法：數(shù)能進行運算，向量是否也能進行運算呢？數(shù)的加法啟發(fā)我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學(xué)生順理成章接受向量的加法定義.結(jié)合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則.聯(lián)系數(shù)的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結(jié)合律.教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)授課類型：新授課教學(xué)思路：一、設(shè)置情景：1、 復(fù)習(xí)：向量的定義以及有關(guān)概念強調(diào)：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關(guān)的自由向量，即任何向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置

12、A B C2、 情景設(shè)置：（1）某人從A到B，再從B按原方向到C，C A B 則兩次的位移和：（2）若上題改為從A到B，再從B按反方向到C，A BC 則兩次的位移和：（3）某車從A到B，再從B改變方向到C，A BC 則兩次的位移和：（4）船速為，水速為，則兩速度和：二、探索研究：、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量a、.在平面內(nèi)任取一點，作a，則向量叫做a與的和，記作a，即 a，規(guī)定： a + 0-= 0 +aa aABCa+ba+baabbaa探究：（1）兩相向量的和仍是一個向量；（2）當(dāng)向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|

13、<|+|；OABaaabbb（3）當(dāng)與同向時，則+、同向，且|+|=|+|，當(dāng)與反向時，若|>|，則+的方向與相同，且|+|=|-|；若|<|，則+的方向與相同，且|+b|=|-|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面內(nèi)取一點，作 ，則.加法的交換律和平行四邊形法則問題：上題中+的結(jié)果與+是否相同？ 驗證結(jié)果相同從而得到：）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應(yīng)） ）向量加法的交換律：+=+向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)證：如圖：使， ， 則(+) +=，+

14、(+) =(+) +=+ (+)從而，多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行.三、應(yīng)用舉例：例二（P9495）略練習(xí)：P95四、小結(jié) 1、向量加法的幾何意義；、交換律和結(jié)合律；、注意：|+| | + |，當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時取等號.五、課后作業(yè)：P103第、題六、板書設(shè)計（略）七、備用習(xí)題1、一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，船的實際航行的速度的大小為，求水流的速度.2、一艘船距對岸，以的速度向垂直于對岸的方向行駛，到達對岸時，船的實際航程為8km，求河水的流速.3、一艘船從A點出發(fā)以的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為，船的實際航行的速度的大小為，方向與

15、水流間的夾角是，求和.4、一艘船以5km/h的速度在行駛，同時河水的流速為2km/h，則船的實際航行速度大小最大是km/h，最小是km/h、已知兩個力F1，F(xiàn)2的夾角是直角，且已知它們的合力F與F1的夾角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.、用向量加法證明：兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（吳春霞）第3課時§2.2.2 向量的減法運算及其幾何意義教學(xué)目標(biāo)：1. 了解相反向量的概念；2. 掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義；3. 通過闡述向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想.教學(xué)重點：向量減法的概念和向量減法的

16、作圖法.教學(xué)難點：減法運算時方向的確定.學(xué) 法：減法運算是加法運算的逆運算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量.教 具：多媒體或?qū)嵨锿队皟x，尺規(guī)授課類型：新授課教學(xué)思路：一、 復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則A B D C 向量加法的運算定律：例：在四邊形中， .解：二、 提出課題：向量的減法1 用“相反向量”定義向量的減法（1） “相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作 -a（2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a、b互

17、為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0 （3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差. 即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法.2 用加法的逆運算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法的逆運算：OabBaba-b 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面內(nèi)取一點O， 作= a， = b 則= a - b 即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量. 注意：1&#

18、176;表示a - b.強調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)OABaBb-bbBa+ (-b)ab 2°用“相反向量”定義法作差向量，a - b = a + (-b) 顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.4 探究：） 如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是b - a.a-bAABBBOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-b）若ab， 如何作出a - b？三、 例題：例一、（P 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量a-b、c-d. 解：在平面上取一點O，作= a， = b， = c， = d， ABCbadcDO 作， ， 則= a-b， = c-dA B D C

19、例二、平行四邊形中，a，b，用a、b表示向量、.解：由平行四邊形法則得： = a + b， = = a-b變式一：當(dāng)a， b滿足什么條件時，a+b與a-b垂直？（|a| = |b|）變式二：當(dāng)a， b滿足什么條件時，|a+b| = |a-b|？（a， b互相垂直）變式三：a+b與a-b可能是相當(dāng)向量嗎？（不可能， 對角線方向不同）練習(xí)：98四、 小結(jié)：向量減法的定義、作圖法|五、 作業(yè)：P103第4、題六、 板書設(shè)計（略）七、 備用習(xí)題：1.在ABC中， =a， =b，則等于( )A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a2.O為平行四邊形ABCD平面上的點，設(shè)=a， =b， =c

20、， =d，則A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0.如圖，在四邊形ABCD中，根據(jù)圖示填空：a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .、如圖所示，O是四邊形ABCD內(nèi)任一點，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a、b、c、d的方向（用箭頭表示），使a+b=，c-d=，并畫出b-c和a+d. 第題（吳春霞）2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示第4課時§2.3.1 平面向量基本定理教學(xué)目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應(yīng)用向量解決實際問題的重要思想方法；（3）能

21、夠在具體問題中適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達. 教學(xué)重點：平面向量基本定理.教學(xué)難點：平面向量基本定理的理解與應(yīng)用.授課類型：新授課教 具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：一、 復(fù)習(xí)引入：1實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：（1）|=|；（2）>0時與方向相同；<0時與方向相反；=0時=2運算定律結(jié)合律：()=() ；分配律：(+)=+， (+)=+ 3. 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使=.二、講解新課：平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+2

22、.探究：(1) 我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量a在給出基底、的條件下進行分解；(4) 基底給定時，分解形式惟一. 1，2是被，唯一確定的數(shù)量三、講解范例：例1 已知向量， 求作向量-2.5+3.例2 如圖 ABCD的兩條對角線交于點M，且=，=，用，表示，和 例3已知 ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點，求證：+=4例4（1）如圖，不共線，=t (tÎR)用，表示. （2）設(shè)不共線，點P在O、A、B所在的平面內(nèi)，且.求證：A、B、P三點共線. 例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2

23、e1+3e2，其中e1，e2不共線，向量c=2e1-9e2，問是否存在這樣的實數(shù)與c共線.四、課堂練習(xí)：1.設(shè)e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個向量，則有( )A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等C.同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =e1+e2(、R)D.若e1、e2不共線，則同一平面內(nèi)的任一向量a都有a =e1+ue2(、uR)2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共線，則a+b與c =6e1-2e2的關(guān)系A(chǔ).不共線 B.共線 C.相等 D.無法確定3.已知向量e1、e2不共線，實數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，則x-y的

24、值等于( )A.3 B.-3 C.0 D.24.已知a、b不共線，且c =1a+2b(1，2R)，若c與b共線，則1= .5.已知10，20，e1、e2是一組基底，且a =1e1+2e2，則a與e1_，a與e2_(填共線或不共線).五、小結(jié)（略） 六、課后作業(yè)（略）：七、板書設(shè)計（略）八、課后記： 第5課時§2.3.2§2.3.3 平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示及運算教學(xué)目的：（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運算；（3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線. 教學(xué)重點：平面向量的坐標(biāo)運算教學(xué)難點：向量的坐標(biāo)表示的理解及運算的準(zhǔn)確性.授課類型：新授課教 具

25、：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+2(1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一. 1，2是被，唯一確定的數(shù)量二、講解新課：1平面向量的坐標(biāo)表示 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做

26、在軸上的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.特別地，.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定.設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)；反過來，點的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.2平面向量的坐標(biāo)運算（1） 若，則，兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.設(shè)基底為、，則即，同理可得（2） 若，則一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).=-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)（3）若和實數(shù)，則.實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原

27、來向量的相應(yīng)坐標(biāo).設(shè)基底為、，則，即三、講解范例：例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐標(biāo).例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐標(biāo).例3 已知平面上三點的坐標(biāo)分別為A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求點D的坐標(biāo)使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點.解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時，由得D1=(2， 2)當(dāng)平行四邊形為ACDB時，得D2=(4， 6)，當(dāng)平行四邊形為DACB時，得D3=(-6， 0)例4已知三個力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力+=，求的坐標(biāo).解：由題設(shè)+= 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x， y)

28、=(0， 0)即： (-5，1)四、課堂練習(xí)：1若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P點的坐標(biāo)2若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 則-2= .3已知：四點A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求證：四邊形ABCD是梯形.五、小結(jié)（略） 六、課后作業(yè)（略）七、板書設(shè)計（略）八、課后記： （王海）第6課時§2.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示教學(xué)目的：（1）理解平面向量的坐標(biāo)的概念；（2）掌握平面向量的坐標(biāo)運算；（3）會根據(jù)向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線. 教學(xué)重點：平面向量的坐標(biāo)運算教學(xué)難點：向量的坐標(biāo)表示的理解及

29、運算的準(zhǔn)確性授課類型：新授課教 具：多媒體、實物投影儀教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1平面向量的坐標(biāo)表示分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)， 特別地，.2平面向量的坐標(biāo)運算若，則，.若，則二、講解新課： (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=0設(shè)=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中¹.由=得， (x1， y1) =(x2， y2) 消去，x1y2-x2y1=0探究：（1）消去時不能兩式相除，y1， y2有可能為0， ¹

30、x2， y2中至少有一個不為0（2）充要條件不能寫成 x1， x2有可能為0(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式： (¹)三、講解范例：例1已知=(4，2)，=(6， y)，且，求y.例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，試判斷A，B，C三點之間的位置關(guān)系.例3設(shè)點P是線段P1P2上的一點， P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1) 當(dāng)點P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標(biāo)； (2) 當(dāng)點P是線段P1P2的一個三等分點時，求點P的坐標(biāo).例4若向量=(-1，x)與=(-x， 2)共線且方向相同，求x解：=(-1，x)與=(-x， 2) 共線

31、 (-1)×2- x(-x)=0 x=± 與方向相同 x= 例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？ 解：=(1-(-1)， 3-(-1)=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2) 又 2×2-4×1=0 又 =(1-(-1)， 5-(-1)=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×6¹0 與不平行 A，B，C不共線 AB與CD不重合 ABCD四、課堂練習(xí)：1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且ab，則y=（ ）A.6 B.

32、5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三點共線，則x的值為（ ）A.-3 B.-1 C.1 D.33.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分別與x、y軸正方向相同且為單位向量). 與共線，則x、y的值可能分別為（ ）A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，44.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且ab，則y= .5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b與2a-b平行，則x的值為 .6.已知ABCD四個頂點的坐標(biāo)為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x= .五、小結(jié) （略）六、課后作業(yè)（略）七、板書設(shè)計（

33、略）八、課后記： （王海）§2.4平面向量的數(shù)量積第7課時一、 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的：1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點：平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：   本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)

34、識.主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算律.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使=.2平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+23平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作4平面向量的坐標(biāo)運算若，則，.若，則5 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=06線段的定比分點及 P1，

35、P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1， P2的任一點，存在實數(shù)，使 =，叫做點P分所成的比，有三種情況：>0(內(nèi)分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)7. 定比分點坐標(biāo)公式：若點P(x1，y1) ，(x2，y2)，為實數(shù)，且，則點P的坐標(biāo)為（），我們稱為點P分所成的比.8. 點P的位置與的范圍的關(guān)系：當(dāng)時，與同向共線，這時稱點P為的內(nèi)分點.當(dāng)()時，與反向共線，這時稱點P為的外分點.9.線段定比分點坐標(biāo)公式的向量形式：在平面內(nèi)任取一點O，設(shè)，可得=.10力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角.二、講

36、解新課：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.說明：（1）當(dāng)時，與同向；（2）當(dāng)時，與反向；（3）當(dāng)時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0°q180°C2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.×探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)

37、積，寫成a×b；今后要學(xué)到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0.（4）已知實數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c.但是a×b = b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b

38、15;c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在實數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0°時投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時投影為 -|b

39、|.4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq2° ab Û a×b = 03° 當(dāng)a與b同向時，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時，a×b = -|a|b|. 特別的a×a = |a|2或4° cosq =5° |a×b| |a|b|三、講解范例：例1 已知|a|=5， |b|=4， a與

40、b的夾角=120o，求a·b.例2 已知|a|=6， |b|=4， a與b的夾角為60o求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a與b不共線，k為何值時，向量a+kb與a-kb互相垂直. 例4 判斷正誤，并簡要說明理由.·00；0·；0；·；若0，則對任一非零有·；·，則與中至少有一個為0；對任意向量，都有（·）（·）；與是兩個單位向量，則.解：上述8個命題中只有正確；對于：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應(yīng)有0·；對于：應(yīng)有·0；對于：由數(shù)量積定義有

41、3;··cos，這里是與的夾角，只有或時，才有··；對于：若非零向量、垂直，有·；對于：由·可知可以都非零；對于：若與共線，記.則·（）·（·）（·），（·）·（·）（·）（·）若與不共線，則(·)（·）.評述：這一類型題，要求學(xué)生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律.例6 已知，當(dāng)，與的夾角是60°時，分別求·.解：當(dāng)時，若與同向，則它們的夾角°，··cos0°3&

42、#215;6×118；若與反向，則它們的夾角180°，·cos180°3×6×（-1）18；當(dāng)時，它們的夾角90°，·；當(dāng)與的夾角是60°時，有·cos60°3×6×9評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0°，180°，因此，當(dāng)時，有0°或180°兩種可能.四、課堂練習(xí)：1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A.60° B.30° C.135° D.

43、°2.已知|a|=2，|b|=1，a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ）A.2 B.2 C.6 D.123.已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的（ ）A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知向量a、b的夾角為，|a|=2，|b|=1，則|a+b|·|a-b|= .5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么a·b= .6.已知ab、c與a、b的夾角均為60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，

44、則(a+2b-c)_.7.已知|a|=1，|b|=，(1)若ab，求a·b；(2)若a、b的夾角為°，求|a+b|；(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角.8.設(shè)m、n是兩個單位向量，其夾角為°，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.9.對于兩個非零向量a、b，求使|a+tb|最小時的t值，并求此時b與a+tb的夾角.五、小結(jié)（略） 六、課后作業(yè)（略）七、教學(xué)后記： （王海）第8課時二、平面向量數(shù)量積的運算律教學(xué)目的：1.掌握平面向量數(shù)量積運算規(guī)律；2.能利用數(shù)量積的5個重要性質(zhì)及數(shù)量積運算規(guī)律解決有關(guān)問題；3.掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂

45、直，以及能解決一些簡單問題. 教學(xué)重點：平面向量數(shù)量積及運算規(guī)律.教學(xué)難點：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教 具：多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析：  啟發(fā)學(xué)生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎(chǔ)上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關(guān)問題的特點，以熟練地應(yīng)用數(shù)量積的性質(zhì). 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.

46、 3“投影”的概念：作圖C 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0°時投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時投影為 -|b|.4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq； 2° ab Û a×b = 03° 當(dāng)a與b同

47、向時，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時，a×b = -|a|b|. 特別的a×a = |a|2或4°cosq = ；5°|a×b| |a|b|二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運算律1交換律：a × b = b × a證：設(shè)a，b夾角為q，則a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2數(shù)乘結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)證：若> 0，(a)×b =|a|b|

48、cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面內(nèi)取一點O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq =

49、 |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c說明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性質(zhì)：，（）（）····()·三、講解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與

50、b的夾角.解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 兩式相減：2a×b = b2代入或得：a2 = b2設(shè)a、b的夾角為q，則cosq = q = 60°例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.解：如圖：平行四邊形ABCD中，=|2=而= ，|2=|2 + |2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，且····，試問四邊形ABCD是什么

51、圖形?分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.解：四邊形ABCD是矩形，這是因為：一方面：0，（），()（）即··由于··，同理有由可得，且即四邊形ABCD兩組對邊分別相等.四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，由··，有（），而由平行四邊形ABCD可得，代入上式得·(2)，即·，也即ABBC.綜上所述，四邊形ABCD是矩形.評述：(1)在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義

52、式中含有邊、角兩種關(guān)系.四、課堂練習(xí)：1.下列敘述不正確的是（ ）A.向量的數(shù)量積滿足交換律 B.向量的數(shù)量積滿足分配律C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 D.a·b是一個實數(shù)2.已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為°，則(a+2b)·(a-3b)等于（ ）A.72 B.-72 C.36 D.-363.|a|=3，|b|=4，向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（ ）A.平行 B.垂直 C.夾角為 D.不平行也不垂直4.已知|a|=3，|b|=4，且a與b的夾角為150°，則(a+b) .5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，則|a+b|=_，|a-b|= .6.設(shè)|a|=3，|b|=5，且a+b與ab垂直，則 .五、小結(jié)（略） 六、課后作業(yè)（略）七、板書設(shè)計（