MATLAB在微積分中的應(yīng)用

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上MATLAB在微積分中的應(yīng)用MATLAB是公司于1982年推出的一套高性能的數(shù)值計(jì)算和可視化數(shù)學(xué)軟件被譽(yù)為“巨人肩上的工具”用Matlab編寫程序猶如在演算紙上排列出公式與求解問題，所以又被稱為演算紙式科學(xué)算法語言在這個(gè)環(huán)境下，對(duì)所要求解的問題，用戶只需簡單地列出數(shù)學(xué)表達(dá)式，其結(jié)果便以數(shù)值或圖形方式顯示出來§MATLAB入門1.1 matlab的數(shù)值計(jì)算運(yùn)行MATLAB的可執(zhí)行文件,進(jìn)入Matlab工作窗口,在提示符“>>”后輸入算術(shù)表達(dá)式，按Enter鍵即可得到該表達(dá)式的值，就象在計(jì)算器中運(yùn)算一樣加、減、乘、除、乘方的算符依次為+、-、*、/、

2、例1 計(jì)算的值解在Matlab工作區(qū)輸入命令：2+3*59，按Enter鍵，可得計(jì)算結(jié)果2+3*59ans = MATLAB會(huì)將最近一次的運(yùn)算結(jié)果直接存入一變量ans，變量ans代表MATLAB運(yùn)算後的答案，并將其數(shù)值顯示到屏幕上也可以將計(jì)算結(jié)果賦值給一個(gè)自定義的變量，自定義變量應(yīng)遵循以下命名規(guī)則：(1)MATLAB對(duì)變量名的大小寫是敏感的(2)變量的第一個(gè)字符必須為英文字母，而且不能超過31個(gè)字符(3)變量名可以包含下劃線、數(shù)字，但不能為空格符、標(biāo)點(diǎn)例2 計(jì)算的值，并將其賦值給變量a.解a=11.3*1.90.23+sin(1)a = 13.9391如果在上述的例子結(jié)尾加上”;”，則計(jì)算結(jié)果

3、不會(huì)顯示在指令視窗上，要得知計(jì)算值只須鍵入該變量名即可MATLAB可以將計(jì)算結(jié)果以不同的精確度的數(shù)字格式顯示，我們可以在命令窗口的File 菜單下點(diǎn)擊preferences子菜單,在隨之打開的preferences對(duì)話框中,選取Command Window選項(xiàng),設(shè)置Numerical Format參數(shù)，或者直接在matlab工作區(qū)鍵入以下指令:format short (這是默認(rèn)的), format long等1.2 Matlab的數(shù)組運(yùn)算Matlab數(shù)組是Matlab進(jìn)行運(yùn)算的單元?jiǎng)?chuàng)建數(shù)組就像我們?cè)诩埳蠈懸粋€(gè)數(shù)組一樣，元素與元素用“，”號(hào)或空格進(jìn)行分隔，行與行用“；”號(hào)進(jìn)行分隔例 命令a=1

4、 2 3 4 5 6建立一個(gè)行列的數(shù)組該命令與a=1,2,3,4,5,6是一樣的命令b=1 2 3;4 5 6建立一個(gè)行列的數(shù)組數(shù)組運(yùn)算的運(yùn)算符與數(shù)值運(yùn)算一樣例 a=1 1 1;2 2 2 (建立數(shù)組a)a = 1 1 1 2 2 2b=3 3 3;4 4 4 (建立數(shù)組b)b = 3 3 3 4 4 4a+b (求數(shù)組a與數(shù)組b的和)ans = 4 4 4 6 6 6a-b (求數(shù)組a與數(shù)組b的差)ans = -2 -2 -2 -2 -2 -2a+3 (數(shù)組a的每一個(gè)元素都加上)ans = 4 4 4 5 5 52*b (數(shù)組b的每一個(gè)元素都乘以)ans = 6 6 6 8 8 8兩個(gè)同類型

5、數(shù)組的對(duì)應(yīng)元素相乘除的運(yùn)算符是“./”和“.*”例 a.*b (a的對(duì)應(yīng)元素與b的對(duì)應(yīng)元素相乘)ans = 3 3 3 8 8 8a./b （a的對(duì)應(yīng)元素除以b的對(duì)應(yīng)元素)ans = 0.333 0.333 0.333 0.000 0.000 0.000運(yùn)算符“./”及“.*”應(yīng)與運(yùn)算符“/”及“*”相區(qū)別，a*b表示矩陣a與b的乘積，a/b表示矩陣a乘以矩陣b的逆矩陣?yán)? a=1 2;2 1 (建立矩陣a)a = 1 2 2 1b=1 3;0 1 （建立矩陣b）b = 1 3 0 1a*b （求矩陣a與矩陣b的乘積ab） ans = 1 5 2 7a/b (求矩陣a與矩陣b的逆矩陣的乘積)a

6、ns = 1 -1 2 -5運(yùn)算符“”表示方陣的冪，而運(yùn)算符“.”表示數(shù)組中每一個(gè)元素的冪例7 a2 (矩陣a的平方)ans = 5 4 4 5a.2 (矩陣（數(shù)組）a的每一個(gè)元素的平方)ans = 1 4 4 11.3 Matlab的符號(hào)運(yùn)算matlab可以進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，需要預(yù)先定義符號(hào)變量使用指令sym或syms定義符號(hào)變量例8 a=sym(x) (將符號(hào)變量x賦值給變量a)a =x sin(a)/cos(a) (符號(hào)表達(dá)式sin(a)/cos(a)ans =sin(x)/cos(x)syms x y (定義符號(hào)變量x和y)b=(x+y)2-4*x*y (將符號(hào)表達(dá)式賦值給變量b)b=(x

7、+y)2-4*x*ya+b (求變量a與b的和)ans =x+(x+y)2-4*x*y1.4 Matlab 的數(shù)學(xué)常數(shù)和函數(shù)Matlab常用數(shù)學(xué)函數(shù)如下表：名稱含義名稱含義名稱含義sin正弦sec正割asinh反雙曲正弦cos余弦csc余割acosh反雙曲余弦tan正切asec反正割atanh反雙曲正切cot余切acsc反余割acoth反雙曲余切asin反正弦sinh雙曲正弦abs絕對(duì)值acos反余弦cosh雙曲余弦sqrt平方根atan反正切tanh雙曲正切expe為底的指數(shù)acot反余切coth雙曲余切l(wèi)og自然對(duì)數(shù)Matlab數(shù)學(xué)常數(shù)如下：pi 數(shù)學(xué)常數(shù)inf 無窮大eps 最小的浮點(diǎn)數(shù)

8、§2 MATLAB繪制一元函數(shù)的圖形2.1 常用命令matlab繪圖命令比較多,我們選編一些常用命令,并簡單說明其作用,這些命令的調(diào)用格式,可參閱例題及使用幫助help查找.表 二維繪圖函數(shù)bar條形圖hist直方圖plot簡單的線性圖形polar極坐標(biāo)圖形表2 基本線型和顏色 符號(hào) 顏色 符號(hào) 線型y黃色.點(diǎn)m紫紅0圓圈c青色xx標(biāo)記r紅色+加號(hào)g綠色*星號(hào)b蘭色-實(shí)線w白色:點(diǎn)線k黑色-.點(diǎn)劃線-虛線表3 二維繪圖工具grid放置格柵gtext用鼠標(biāo)放置文本hold保持當(dāng)前圖形text在給定位置放置文本title放置圖標(biāo)題xlabel放置x軸標(biāo)題ylabel放置y軸標(biāo)題zoom縮

9、放圖形 表4 axis命令axis(x1,x2,y1,y2)設(shè)置坐標(biāo)軸范圍axis square當(dāng)前圖形設(shè)置為方形axis equal坐標(biāo)軸的長度單位設(shè)成相等axis normal關(guān)閉axis equal和axis squareaxis off關(guān)閉軸標(biāo)記、格柵和單位標(biāo)志axis on顯示軸標(biāo)記、格柵和單位標(biāo)志 linspace 創(chuàng)建數(shù)組命令,調(diào)用格式為: x=linspace(x1,x2,n),創(chuàng)建了x1到x2之間有n個(gè)數(shù)據(jù)的數(shù)組.funtool 函數(shù)工具,在matlab指令窗鍵入funtool可打開“函數(shù)計(jì)算器”圖形用戶界面.2.2 繪制函數(shù)圖形舉例 例1 畫出的圖形. 解 首先建立點(diǎn)的坐標(biāo)

10、,然后用plot命令將這些點(diǎn)繪出并用直線連接起來,采用中學(xué)五點(diǎn)作圖法,選取五點(diǎn)、.輸入命令 x=0,pi/2,pi,3*pi/2,2*pi;y=sin(x);plot(x,y) 這里分號(hào)表示該命令執(zhí)行結(jié)果不顯示.從圖上看，這是一條折線，與我們熟知的正弦曲線誤差較大，這是由于點(diǎn)選取的太少的緣故。可以想象,隨點(diǎn)數(shù)增加,圖形越來越接近的圖象.例如,在0到之間取30個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),繪出的圖形與的圖象已經(jīng)非常接近了. x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);plot(x,y).也可以如下建立該圖形. x=0:0.1:2*pi;y=sin(x);plot(x,y)還可以給圖形加標(biāo)記、格柵線

11、. x=0:0.1:2*pi; y=sin(x); plot(x,y,r) title(正弦曲線) xlabel(自變量 x) ylabel(函數(shù)y=sinx) text(5.5,0,y=sinx) grid 上述命令第三行選擇了紅色虛線,第四行給圖加標(biāo)題“正弦曲線”,第五行給軸加標(biāo)題“自變量”,第六行給軸加標(biāo)題“函數(shù)”,第七行在點(diǎn)處放置文本“”,第八行給圖形加格柵線.例2 畫出和的圖象.解 輸入命令 x=-4:0.1:4;y1=2.x;y2=(1/2).x;plot(x,y1,x,y2); axis(-4,4,0,8) matlab允許在一個(gè)圖形中畫多條曲線.plot(x1,y1,x2,y2

12、,x3,y3)指令繪制等多條曲線.matlab自動(dòng)給這些曲線以不同顏色. 例3 畫出的圖象. 解 輸入命令 從圖上看,是有界函數(shù),是其水平漸近線. 例4 在同一坐標(biāo)系中畫出的圖象. 解 輸入命令 x=-pi/2:0.1:pi/2;y1=sin(x);y2=tan(x); plot(x,x,x,y1,x,y2) axis equal axis(-pi/2,pi/2,-3,3) grid從圖上看,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),是和在原點(diǎn)的切線,因此,當(dāng)時(shí),. 例5 畫出及的圖形. 解 輸入命令 x1=-1:0.1:2;y1=10.x1-1;x2=-0.99:0.1:2;y2=log10(x2+1); plot(x1

13、,y1,x2,y2)從圖上看,這兩條曲線與我們所知的圖象相差很遠(yuǎn),這是因?yàn)樽鴺?biāo)軸長度單位不一樣的緣故.與互為反函數(shù),圖象關(guān)于對(duì)稱,為更清楚看出這一點(diǎn),我們?cè)佼嫵龅膱D象. hold on x=-1:0.01:2;y=x;plot(x,y,r) axis(-1,2,-1,2) axis square;hold offplot語句清除當(dāng)前圖形并繪出新圖形,hold on語句保持當(dāng)前圖形. 例6 畫出心形線的圖象. 解 輸入命令 x=-2*pi:0.1:2*pi;r=3*(1+cos(x);polar(x,r) 例7 畫出星形線的圖象. 解 這是參數(shù)方程,可化為極坐標(biāo)方程. 輸入命令 x=0:0.01

14、:2*pi; r=3./(cos(x).2).(1/3)+(sin(x).2).(1/3).(3/2); polar(x,r)注意,如果建立與的關(guān)系,此時(shí)只是參數(shù),不是極坐標(biāo)系下的極角.練習(xí)1.畫出的圖象.2.畫出在之間的圖象.3.在同一坐標(biāo)系中畫出,的圖象.4.畫出的圖象,并根據(jù)圖象特點(diǎn)指出函數(shù)的奇偶性.5.畫出及其反函數(shù)的圖象.6.畫出及其反函數(shù)的圖象.§3 利用MATLAB求一元函數(shù)的極限3.1 常用命令 matlab求極限命令可列表如下:數(shù)學(xué)運(yùn)算matlab命令limit(f)limit(f,x,a)或limit(f,a)limit(f,x,a,left)limit(f,x,

15、a,right) matlab代數(shù)方程求解命令solve調(diào)用格式. solve(函數(shù)) 給出的根.3.2 理解極限概念 數(shù)列收斂或有極限是指當(dāng)無限增大時(shí),與某常數(shù)無限接近或趨向于某一定值,就圖形而言,也就是其點(diǎn)列以某一平行與軸的直線為漸近線. 例1 觀察數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì).解 輸入命令 n=1:100;xn=n./(n+1)得到該數(shù)列的前100項(xiàng),從這前100項(xiàng)看出,隨的增大,與1非常接近,畫出的圖形. stem(n,xn)或 for i=1:100; plot(n(i),xn(i),r) hold on end其中for end語句是循環(huán)語句,循環(huán)體內(nèi)的語句被執(zhí)行100次,n(i)表示n的第

16、i個(gè)分量.由圖可看出,隨的增大,點(diǎn)列與直線無限接近,因此可得結(jié)論 =1.對(duì)函數(shù)的極限概念,也可用上述方法理解. 例2 分析函數(shù),當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì). 解 畫出函數(shù)在上的圖形. x=-1:0.01:1;y=x.*sin(1./x);plot(x,y)從圖上看,隨著的減小,振幅越來越小趨近于0,頻率越來越高作無限次振蕩.作出的圖象. hold on;plot(x,x,x,-x) 例3 分析函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì).解 輸入命令 x=-1:0.01:1;y=sin(1./x);plot(x,y) 從圖上看,當(dāng)時(shí),在-1和1之間無限次振蕩,極限不存在.仔細(xì)觀察該圖象,發(fā)現(xiàn)圖象的某些峰值不是1和-1,而我們知道正

17、弦曲線的峰值是1和-1,這是由于自變量的數(shù)據(jù)點(diǎn)選取未必使取到1和-1的緣故,讀者可試增加數(shù)據(jù)點(diǎn),比較它們的結(jié)果. 例4 考察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì). 解 輸入命令 x=linspace(-2*pi,2*pi,100);y=sin(x)./x;plot(x,y)從圖上看,在附近連續(xù)變化,其值與1無限接近,可見 =1. 例5 考察當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì).解 輸入命令 x=1:20:1000;y=(1+1./x).x;plot(x,y)從圖上看,當(dāng)時(shí),函數(shù)值與某常數(shù)無限接近,我們知道,這個(gè)常數(shù)就是. 3.3 求函數(shù)極限 例6 求. 解 輸入命令 syms x;f=1/(x+1)-3/(x3+1);limit(f

18、,x,-1)得結(jié)果ans=-1.畫出函數(shù)圖形. ezplot(f);hold on;plot(-1,-1,r.) 例7 求. 解 輸入命令 limit(tan(x)-sin(x)/x3)得結(jié)果 ans=1/2 例8 求. 解 輸入命令 limit(x+1)/(x-1)x,inf)得結(jié)果 ans=exp(2) 例9 求. 解 輸入命令 limit(xx,x,0,right)得結(jié)果 ans =1 例10 求. 解 輸入命令 limit(cot(x)(1/log(x),x,0,right)得結(jié)果 ans=exp(-1).3.4 求方程的解 例11 解方程. 解 輸入命令 syms a b c x;f

19、=a*x2+b*x+c;solve(f)得結(jié)果 ans= 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2) 如果不指明自變量,系統(tǒng)默認(rèn)為,也可指定自變量,比如指定為自變量. solve(f,b)得結(jié)果 ans=-(a*x2+c)/x. 例12 解方程. 解 輸入命令 f=x5-5*x-1;solve(f)得結(jié)果 ans= -1. -. .e-1 -1.*i .e-1 +1.*i 1.畫出圖象 ezplot(f,-2,2);hold on;plot(-2,2,0,0)練習(xí)1.計(jì)算下列函數(shù)的極限. (1). (2). (3). (4).2.解方

20、程.3.解方程.4.解方程.(、為實(shí)數(shù))§4 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 4.1 常用命令建立符號(hào)變量命令sym和syms調(diào)用格式 x=sym(x), 建立符號(hào)變量x; syms x y z , 建立多個(gè)符號(hào)變量x,y,z; matlab求導(dǎo)命令diff調(diào)用格式 diff(函數(shù)) , 求的一階導(dǎo)數(shù); diff(函數(shù), n) , 求的n階導(dǎo)數(shù)(n是具體整數(shù)) 4.2 導(dǎo)數(shù)一般概念導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的變化率,幾何意義是曲線在一點(diǎn)處的切線斜率. (1) 導(dǎo)數(shù)是一個(gè)極限值 例1 設(shè),用定義計(jì)算. 解 在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)定義為極限: 我們記,輸入命令: syms h;limit(exp(0+h)-exp(0)/h,h,0

21、)得結(jié)果:ans=1.可知 (2) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線的切線斜率 例2 畫出在處()的切線及若干條割線,觀察割線的變化趨勢(shì). 解 在曲線上另取一點(diǎn),則的方程是: .即 取,分別作出幾條割線. h=3,2,1,0.1,0.01;a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3; plot(x,exp(x),r);hold on for i=1:5; plot(h(i),exp(h(i),r.) plot(x,a(i)*x+1) end axis square 作出在處的切線 plot(x,x+1,r)從圖上看,隨著與越來越接近,割線越來越接近曲線的割線. 4.3 求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)的

22、一階導(dǎo)數(shù) 例3 求的導(dǎo)數(shù). 解 打開matlab指令窗,輸入指令dy_dx=diff(sin(x)/x).得結(jié)果dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x2. matlab的函數(shù)名允許使用字母、空格、下劃線及數(shù)字,不允許使用其他字符,在這里我們用dy_dx表示. 例4 求的導(dǎo)數(shù). 解 輸入命令dy_dx=diff(log(sin(x).得結(jié)果dy_dx=cos(x)/sin(x).在matlab中,函數(shù)用log(x)表示,而log10(x)表示. 例5 求的導(dǎo)數(shù). 解 輸入命令 dy_dx=diff(x2+2*x)20).得結(jié)果dy_dx=20*(x2+2*x)19*(2*x+2). 注意

23、輸入時(shí)應(yīng)為2*x. 例6 求的導(dǎo)數(shù). 解 輸入命令 dy_dx=diff(xx).得結(jié)果dy_dx =xx*(log(x)+1).利用matlab 命令diff一次可以求出若干個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 例7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): ， ， ， . 解 輸入命令 a=diff(sqrt(x2- 2*x+5),cos(x2)+2*cos(2*x),4(sin(x),log(log(x).得結(jié)果 a= 1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2),-2*sin(x2)*x-4*sin(2*x), 4sin(x)*cos(x)*log(4), 1/x/log(x). dy1_dx=a(1). dy1_dx

24、=1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2). dy2_dx=a(2). dy2_dx=-2*sin(x2)*x-4*sin(2*x). dy3_dx=a(3). dy3_dx=4sin(x)*cos(x)*log(4). dy4_dx=a(4). dy4_dx=1/x/log(x). 由本例可以看出,matlab函數(shù)是對(duì)矩陣或向量進(jìn)行操作的,a(i)表示向量a的第i個(gè)分量. (2) 參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)參數(shù)方程確定函數(shù),則的導(dǎo)數(shù). 例8設(shè),求.解 輸入命令 dx_dt=diff(a*(t-sin(t);dy_dt=diff(a*(1-cos(t); dy_dx=dy_dt

25、/dx_dt.得結(jié)果dy_dx=sin(t)/(1-cos(t).其中分號(hào)的作用是不顯示結(jié)果. 4.4 求高階導(dǎo)數(shù) 例9設(shè) ,求.解輸入命令 diff(x2*exp(2*x),x,20).得結(jié)果 ans = *exp(2*x)+*x*exp(2*x)+*x2*exp(2*x)練習(xí) 1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) ； (2)；(3) ； (4)2.求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) ； (2).設(shè),求.驗(yàn)證滿足關(guān)系式:§5 matlab自定義函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 函數(shù)關(guān)系是指變量之間的對(duì)應(yīng)法則,這種對(duì)應(yīng)法則需要我們告訴計(jì)算機(jī),這樣,當(dāng)我們輸入自變量時(shí),計(jì)算機(jī)才會(huì)給出函數(shù)值,matlab

26、軟件包含了大量的函數(shù),比如常用的正弦、余弦函數(shù)等.matlab允許用戶自定義函數(shù),即允許用戶將自己的新函數(shù)加到已存在的matlab函數(shù)庫中,顯然這為matlab提供了擴(kuò)展的功能,無庸置疑,這也正是matlab的精髓所在.因?yàn)閙atlab的強(qiáng)大功能就源于這種為解決用戶特殊問題的需要而創(chuàng)建新函數(shù)的能力.matlab自定義函數(shù)是一個(gè)指令集合,第一行必須以單詞function作為引導(dǎo)詞,存為具有擴(kuò)展名“.m”的文件,故稱之為函數(shù)M-文件.5.1 函數(shù)M-文件的定義格式函數(shù)M-文件的定義格式為:function 輸出參數(shù)=函數(shù)名(輸入?yún)?shù))函數(shù)體函數(shù)體一旦函數(shù)被定義,就必須將其存為M-文件,以便今后可隨

27、時(shí)調(diào)用.比如我們希望建立函數(shù),在matlab工作區(qū)中輸入命令: syms x;y=x2+2*x+1;不能建立函數(shù)關(guān)系,只建立了一個(gè)變量名為y的符號(hào)表達(dá)式,當(dāng)我們調(diào)用y時(shí),將返回這一表達(dá)式. y y=x2+2*x+1當(dāng)給出x的值時(shí),matlab不能給出相應(yīng)的函數(shù)值來. x=3;y y=x2+2*x+1如果我們先給x賦值. x=3;y=x2+2*x+1得結(jié)果:y=16若希望得出的值,輸入: x=2;y得結(jié)果:y=16,不是時(shí)的值.讀者從這里已經(jīng)領(lǐng)悟到在matlab工作區(qū)中輸入命令:y=x2+2*x+1不能建立函數(shù)關(guān)系,如何建立函數(shù)關(guān)系呢?我們可以點(diǎn)選菜單FillNewM-fill打開matlab文

28、本編輯器,輸入: function y=f1(x) y=x2+2*x+1;存為f1.m.調(diào)用該函數(shù)時(shí),輸入: syms x;y=f1(x)得結(jié)果:y= x2+2*x+1.輸入: y1=f1(3)得結(jié)果:y1=16matlab求最小值命令fmin調(diào)用格式:fmin(fun,a,b) 給出在上的最小值點(diǎn). 5.2 自定義函數(shù)例1建立正態(tài)分布的密度函數(shù)解打開文本編輯器,輸入 function y=zhengtai(x,a,b) y=1/sqrt(2*pi)/a*exp(-(x-b).2/2/a2);存為zhengtai.m.調(diào)用時(shí)可輸入命令 y=zhengtai(1,1,0)得結(jié)果y=0.2420.

29、此即的值.如果想畫出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖象,輸入 ezplot(zhengtai(x,1,0)例2解一元二次方程.解我們希望當(dāng)輸入的值時(shí),計(jì)算機(jī)能給出方程的兩個(gè)根.在文本編輯器中建立名為rootquad.m的文件. function x1,x2=rootquad(a,b,c) d=b*b-4*a*c; x1=(-b+sqrt(d)/(2*a) x2=(-b-sqrt(d)/(2*a)比如求方程的根,可用語句 r1,r2=rootquad(2,3,-7)，得結(jié)果r1=1.2656 r2=-2.76565.3 驗(yàn)證羅必塔法則羅必塔法則是指在求及的極限時(shí),可用導(dǎo)數(shù)之比的極限來計(jì)算(如果導(dǎo)數(shù)之比

30、的極限存在或) 例3以為例驗(yàn)證羅必塔法則.解這是型極限f=ax-bx;g=x;L=limit(f/g,x,0)得結(jié)果:L=log(a)-log(b) df=diff(f,x);dg=diff(g,x);L1=limit(df/dg,x,0)得結(jié)果:L1=log(a)-log(b)從結(jié)果看出L=L1,即= 5.4 函數(shù)的單調(diào)性與極值 例4求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值,就是求導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間與正負(fù)區(qū)間的分界點(diǎn),利用matlab解決該問題,我們可以先求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),再畫出函數(shù)圖象,根據(jù)圖象可以直觀看出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.輸入命令 f=x3-6*x2+9*x+3;df=di

31、ff(f,x);s=solve(df)，得結(jié)果ans=1,3,畫出函數(shù)圖象. ezplot(f,0,4)從圖上看,的單調(diào)增區(qū)間為、,單調(diào)減區(qū)間是,極大值,極小值.我們可以建立一個(gè)名為dandiao.m的M文件,用來求求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. disp(輸入函數(shù)(自變量為x) syms x f=input('函數(shù)f(x)=') df=diff(f); s=solve(df) a=; for i=1:size(s); a(i)=s(i); end ezplot(f,min(a)-1,max(a)+1)要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值,可調(diào)用dandiao.m.輸入 dandiao在matlab工

32、作區(qū)出現(xiàn)以下提示 輸入函數(shù)(自變量為x) 函數(shù)f(x)=在光標(biāo)處輸入:x-log(1+x),可得結(jié)果s=0.從圖上看,的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間是,極小值. 5.5 函數(shù)的最值 調(diào)用求函數(shù)最小值命令fmin時(shí),可得出函數(shù)的最小值點(diǎn),為求最小值,必須建立函數(shù)M文件. 例5求函數(shù)在區(qū)間上的最小值. 解我們可以建立一個(gè)名為f.m的函數(shù)M-文件. function y=f(x) y=(x-3).2-1;并且調(diào)用fmin x=fmin(f,0,5)得:x=3,在最小值點(diǎn)處的值(函數(shù)最小值)是.求最大值時(shí)可用x=fmin(-f(x),a,b)練習(xí)1.建立函數(shù),當(dāng)為何值時(shí),該函數(shù)在處取得極值,它是極大值還是

33、極小值,并求此極值.2.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1) ； (2)；(3) ； (4)3.求下列函數(shù)的最大值、最小值： (1)，；(2)§6 一元函數(shù)積分的計(jì)算 6.1 常用命令matlab積分命令int調(diào)用格式: int(函數(shù)) 計(jì)算不定積分； int(函數(shù),變量名) 計(jì)算不定積分； int(函數(shù)) 計(jì)算定積分；int(函數(shù)變量名) 計(jì)算定積分6.2 計(jì)算不定積分 例1計(jì)算解輸入命令 int(x2*log(x) 可得結(jié)果 ans=1/3*x3*log(x)-1/9*x3注意設(shè)置符號(hào)變量. 例2計(jì)算下列不定積分: 1.； 2.； 3. 解首先建立函數(shù)向量. syms x syms

34、a real y=sqrt(a2-x2),(x-1)/(3*x-1)(1/3),x2*asin(x);然后對(duì)y積分可得對(duì)y的每個(gè)分量積分的結(jié)果. int(y,x) ans = 1/2*x*(a2-x2)(1/2)+1/2*a2*asin(1/a2)(1/2)*x), -1/3*(3*x-1)(2/3)+1/15*(3*x-1)(5/3), 1/3*x3*asin(x)+1/9*x2*(1-x2)(1/2)+2/9*(1-x2)(1/2) 6.3 求和運(yùn)算 sum(x),給出向量x的各個(gè)元素的累加和,如果x是矩陣,則sum(x)是一個(gè)元素為x的每列列和的行向量. 例1 x=1,2,3,4,5,6

35、,7,8,9,10; sum(x) ans=55 例2 x=1,2,3;4,5,6;7,8,9 x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sum(x) ans=12 15 18 符號(hào)表達(dá)式求和命令symsum調(diào)用格式. symsum(s,n), 求 symsum(s,k,m,n),求當(dāng)x的元素很有規(guī)律,比如為表達(dá)式是的數(shù)列時(shí),可用symsum求得x的各項(xiàng)和,即 symsum= symsum 例3 syms k n symsum(k,1,10) ans=55 symsum(k2,k,1,n) ans=1/3*(n+1)3-1/2*(n+1)2+1/6*n+1/6 matlab求定積分命令int調(diào)

36、用格式 int(函數(shù)) , 計(jì)算定積分； int(函數(shù)變量名) ， 計(jì)算定積分 6.4 定積分的概念 定積分是一個(gè)和的極限.取,積分區(qū)間為,等距劃分為20個(gè)子區(qū)間. x=linspace(0,1,21); 選取每個(gè)子區(qū)間的端點(diǎn),并計(jì)算端點(diǎn)處的函數(shù)值. y=exp(x);取區(qū)間的左端點(diǎn)乘以區(qū)間長度全部加起來. y1=y(1:20);s1=sum(y1)/20 s1=1.6757s1可作為的近似值.若選取右端點(diǎn) y2=y(2:21);s2=sum(y2)/20 s2=1.7616s2也可以作為的近似值.下面我們畫出圖象. plot(x,y);hold on for i=1:20 fill(x(i)

37、,x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i),y(i),0,b) end如果選取右端點(diǎn),則可畫出圖象. for i=1:20; fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i+1),y(i+1),0,b) hold on end plot(x,y,r) 在上邊的語句中,for end是循環(huán)語句,執(zhí)行語句體內(nèi)的命令20次,fill命令可以填充多邊形,在本例中,用的是蘭色(blue)填充.從圖上看,當(dāng)分點(diǎn)逐漸增多時(shí),的值越來越小,讀者可試取50個(gè)子區(qū)間看一看結(jié)果怎樣.下面按等分區(qū)間計(jì)算 syms k n s=symsum(exp(k/n)/

38、n,k,1,n); limit(s,n,inf)得結(jié)果 ans=exp(1)-1 6.5 計(jì)算定積分和廣義積分 例4 計(jì)算.解 輸入命令:int(exp(x),0,1)得結(jié)果ans=exp(1)-1.這與我們上面的運(yùn)算結(jié)果是一致的. 例 計(jì)算解 輸入命令 int(abs(x-1),0,2)得結(jié)果ans =1.本例用mathematica軟件不能直接求解. 例 判別廣義積分、與的斂散性,收斂時(shí)計(jì)算積分值. 解 對(duì)第一個(gè)積分輸入命令 syms p real;int(1/xp,x,1,inf)得結(jié)果ans =limit(-1/(p-1)*x(-p+1)+1/(p-1),x = inf).由結(jié)果看出當(dāng)

39、時(shí),x(-p+1)為無窮,當(dāng)時(shí),ans=1/(p-1),這與課本例題是一致的. 對(duì)第二個(gè)積分輸入命令 int(1/(2*pi)(1/2)*exp(-x2/2),-inf,inf)得結(jié)果: ans=32913/*2(1/2)*pi(1/2)由輸出結(jié)果看出這兩個(gè)積分收斂.對(duì)后一個(gè)積分輸入命令 int(1/(1-x)2,0,2)結(jié)果得ans=inf.說明這個(gè)積分是無窮大不收斂. 例 求積分解 輸入命令:int(sin(x)/x,0,t),可得結(jié)果sinint(t),通過查幫助(help sinint)可知sinint(t)=,結(jié)果相當(dāng)于沒求!實(shí)際上matlab求出的只是形式上的結(jié)果,因?yàn)檫@類積分無法

40、用初等函數(shù)或其值來表示.盡管如此,我們可以得到該函數(shù)的函數(shù)值.輸入vpa(sinint(0.5)可得sinint(0.5)的值.練習(xí)1.計(jì)算下列不定積分：(1)； (2) ； (3) ；(4)； (5) ； (6)2.計(jì)算下列定積分: (1) ； (2)； (3) ； (4)3.求并用diff對(duì)結(jié)果求導(dǎo).4.求擺線的一拱()與軸所圍成的圖形的面積.§7 常微分方程 7.1 常用命令 matlab求解微分方程命令dsolve，調(diào)用格式為： dsolve(微分方程)給出微分方程的解析解，表示為t的函數(shù)； dsolve(微分方程，初始條件)給出微分方程初值問題的解，表示為t的函數(shù)； dso

41、lve(微分方程，變量x)給出微分方程的解析解，表示為x的函數(shù)； dsolve(微分方程，初始條件，變量x)給出微分方程初值問題的解，表示為x的函數(shù). 7.2 求解一階微分方程 微分方程在輸入時(shí)，應(yīng)輸入Dy，應(yīng)輸入D2y等，D應(yīng)大寫例 求微分方程的通解解 輸入命令 dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x2)') 結(jié)果為 ans = 1/2*(1+2*exp(-2*x*t)*C1*exp(x2)/exp(x2) 系統(tǒng)默認(rèn)的自變量是t，顯然系統(tǒng)把x當(dāng)作常數(shù)，把y當(dāng)作t的函數(shù)求解輸入命令 dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x2)','

42、x') 得正確結(jié)果 ans = 1/2*(x2+2*C1)/exp(x2) 例 求微分方程在初始條件下的特解解 輸入命令 dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y(1)=2*exp(1)','x') 得結(jié)果為 ans = 1/x*(exp(x)+exp(1) 例 求微分方程在初始條件下的特解解 輸入命令 dsolve('(x2-1)*Dy+2*x*y-cos(x)=0','y(0)=1','x') 得結(jié)果為 ans =1/(x2-1)*(sin(x)-1) 7.3 求解二階微分

43、方程例 求的通解解 輸入命令 dsolve('D2y+3*Dy+exp(x)=0','x') 得結(jié)果 ans =-1/4*exp(x)+C1+C2*exp(-3*x) 例 求解微分方程解輸入命令 dsolve('D2y-exp(2*y)*Dy=0','x') 得結(jié)果 ans = 1/2*log(-2*C1/(-1+exp(2*x*C1+2*C2*C1)+x*C1+C2*C1 練習(xí)求下列微分方程的通解：1 ； 2；3 ； 4；5 ； 6；7；8 §8 空間圖形的繪制atlab繪制空間曲線的命令為plot3，調(diào)用格式繪制平面

44、曲線的命令plot類似。例1 畫出螺旋線，的圖形解 輸入命令t=linspace(0,4*pi,300);x=2*cos(3*t);y=2*sin(3*t);z=1.5*t;plot3(x,y,z)結(jié)果如圖所示例畫出圓錐螺線，的圖形解輸入命令t=linspace(0,4*pi,300);x=t.*cos(3*t);y=t.*sin(3*t);z=1.5*t;plot3(x,y,z)結(jié)果如圖所示。Matlab繪制空間曲面的命令為mesh和surf，mesh繪制網(wǎng)格形狀的曲面，surf繪制由小平面組成的曲面。例3畫出拋物面的圖形解輸入命令x=linspace(-2,2,20);y=linspace(-3,3,30);x,y=meshgrid(x,y);z=x.2+y.2;mesh(x,y,z