與軸對稱相關線段

1、與軸對稱相關的線段之和最短問題.問題的引入:在學習了作軸對稱圖形之后，人教版八年級上冊P42,有這樣一個問題如圈人提在熄耗管遭上樓建一牛果站分肅A*B兩慎供泵站的件么處才你可減柱f上找?guī)讉€點試一試能笈現(xiàn)什么規(guī)律？卩）佃tS12.2t在這個問題中，利用軸對稱，將折線轉化為直線，再根據(jù)“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，等相關的知識，得到最短線段，這一類問題也是當今中考的熱點題型。通常會以：直線、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等為載體。本文試圖對這一類問題進行分類，在每一類中有若干題型，且給出了基本的解答。若掌握了下面列舉的題型，讓學生能夠明白與軸對稱相關的線段之和最短

2、問題在這些載體中的表現(xiàn)形式，則能收到舉一反三，事倍功半的效果。.數(shù)學模型:B,在直線I上求作一點1如圖，直線I和I的異側兩點A、BP,使PA+PB最小。2如圖，直線I和I的同側兩點A、B,在直線I上求作一點P,使PA+PB最小。3如圖，點P是/MON內的一點，分別在0M,ON上作點A,B。使PAB的周長最小為方便歸類，將以上三種情況統(tǒng)稱為"兩邊之和大于第三邊型”為方便歸類，將以上三種情況統(tǒng)稱為"兩邊之和大于第三邊型”04如圖，點P，Q為/MON內的兩點，分別在0M,ON上作點A,B。使四邊形PAQB的周長最小。ON上作點P,使PA與點P到射線OM的距離為方便歸類，將以上兩種

3、情況，稱為“垂線段最短型”為方便歸類，將這種情況稱為“兩點之間線段最短型”5如圖，點A是/MON外的一點，在射線之和最小6.如圖，點A是/MON內的一點，在射線ON上作點P,使PA與點P到射線OM的距離之和最小三. 兩邊之和大于第三邊型(一)直線類1.如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設水管的費用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少？作點B關于直線CD的對稱點B',連接AB',交CD于點M則AM+BM=AM+

4、B'M=AB'，水廠建在M點時，費用最小如右圖，在直角厶AB'E中，AE=AC+CE=10+30=40EB'=30所以：AB'=50總費用為：50X3=150萬2.如圖，C為線段BD上一動點，分別過點BD作AB丄BDED丄BD連接ACEG已知AB=5DE=1BD=8設CD=x.用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最??？根據(jù)中的規(guī)律和結論，請構圖求出代數(shù)式x2+4+(12-x)2+9的最小值FE'(1)AC=(8-x)2+25,CE二x2+1則AC+CE=(8-x)2+25+x2+1A、C、E三點共線時AC+C撮

5、小連接AE,交BD于點C,則AE就是AC+CE勺最小值最小值是10(3)如右圖，AE的長就是這個代數(shù)式的最小值在直角AEF中,AF=5EF=12根據(jù)勾股定理AE=133.求代數(shù)式.x2+1+j'(4-x)2+4(0<x<4)如右圖，AE的長就是這個代數(shù)式的最小值的最小值在直角AEF中AF=3EF=4貝UAE=5所以，這個代數(shù)式的最小值是5(二)角類4.兩條公路0A、OB相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設為點P,如在兩條公路上各設置一個加油站，請你設計一個方案，把兩個加油站設在何處，可使運油車從油庫出發(fā)，經(jīng)過一個加油站，再到另一個加油站，最后回到油庫所走的路程最短分析這是一

6、個實際問題，我們需要把它轉化為數(shù)學問題，經(jīng)過分析，我們知道此題是求運油車所走路程最短，0A與0B相交，點P在/AOB內部，通常我們會想到軸對稱，分別做點P關于直線0A和0B的對稱點P2，連結P1P2分別交0A、0B于C、D,C、D兩點就是使運油車所走路程最短，而建加油站的地點，那么是不是最短的呢？我們可以用三角形的三邊關系進行說明解：分別做點P關于直線0A和0B的對稱點Pi、P2,連結P1P2分別交0A、0B于C、D,則C、D就是建加油站的位置.若取異于C、D兩點的點，則由三角形的三邊關系，可知在C、D兩點建加油站運油車所走的路程最短點評：在這里沒有詳細說明為什么在C、D兩點建加油站運油車所走

7、的路程最短，請同學們思考弄明白。5.如圖/A0B=45°,P是/A0B內一點，P0=10,P分別是0A、0B上的動點，求PQR周長的最小值.Q、CDB'分別作點P關于OA、OB的對稱點Pi、P2,連接P1P2,交OA、OB于點Q,R，連接OPi,OP2,貝UOP=OPi=OP2=10且/P1OP2=90°由勾股定理得P1P2=102（三）三角形類6. 如圖，等腰RtABC的直角邊長為2,E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點,則PB+PE的最小值為即在AC上作一點P,使PB+PE最小作點B關于AC的對稱點B'，連接B'E，交AC于點P,貝UB

8、9;E=PB'+PE=PB+PEB'E的長就是PB+PE的最小值在直角B'EF中，EF=1,B'F=3根據(jù)勾股定理，B'E=10如圖，在ABC中，AC=BC=2,ZACB=90°,D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，貝UEC+ED的最小值為。即是在直線AB上作一點E,使EC+ED最小作點C關于直線AB的對稱點C',連接DC'交AB于點E,則線段DC'的長就是EC+ED的最小值。在直角DBC'中DB=1,BC=2，根據(jù)勾股定理可得，DC'=57. 等腰ABC中，/A=20°,AB=AC=20,M

9、、N分別是AB、AC上的點，求BN+MN+MC的最小值分別作點C、B關于AB、AC的對稱點C'B'，連接C'B'交AB、AC于點M、N，貝UBN+MN+MC=B'N+MN+MC'=B'C'BN+MN+MC的最小值就是B'C'的值/BAC'=/BAC，/CAB'=/CAB/B'AC'=60°/AC'=AC,AB'=AB,AC=ABAC'=AB' AB'C'是等邊三角形B'C'=208. 如圖，在等邊厶ABC中，A

10、B=6,AD丄BC,E是AC上的一點，M是AD上的一點，且AE=2,求EM+EC的最小值因為點C關于直線AD的對稱點是點B,所以連接BE，交AD于點M，則ME+MD最小,過點B作BH丄AC于點H,則EH=AH-AE=3-2=1,BH=BC2-CH2=62-32=33在直角BHE中，BE=BH2+HE2=(33)2+12=27（四）正方形類9. 如圖，正方形ABCD的邊長為8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一動點，DN+MN的最小值為。即在直線AC上求一點N，使DN+MN最小故作點D關于AC的對稱點B,連接BM,交AC于點N。貝UDN+MN=BN+MN=BM線段EM的長就是DN+MN的最小

11、值在直角ABCM中，CM=6,BC=8,則BM=10故DN+MN的最小值是10如圖所示，正方形ABCD的面積為12,AABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值為（）A.2.3B.2.6C.3D.6即在AC上求一點P,使PE+PD的值最小點D關于直線AC的對稱點是點B,連接BE交AC于點P,貝UBE=PB+PE=PD+PE,BE的長就是PD+PE的最小值BE=AB=23在邊長為2c血的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ，則PBQ周長的最小BQC值為cm（結果不取近似值）.即在AC上求一點P,

12、使PB+PQ的值最小因為點B關于AC的對稱點是D點，所以連接DQ,與AC的交點P就是滿足條件的點DQ=PD+PQ=PB+PQ故DQ的長就是PB+PQ的最小值在直角CDQ中，CQ=1,CD=2根據(jù)勾股定理，得，DQ=5如圖，四邊形ABCD是正方形，AB=10cm,E為邊BC的中點，P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；連接AE，交BD于點P,貝UAE就是PE+PC的最小值在直角ABE中，求得AE的長為55（五）矩形類10. 如圖，若四邊形ABCD是矩形，AB=10cm,BC=20cm,E為邊BC上的一個動點,P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值；C'作點C關于BD的對稱點C&

13、#39;,過點C',作C'B丄BC,交BD于點P,貝UC'E就是PE+PC的最小值20直角BCD中，CH=§錯誤！未定義書簽。直角BCH中，BH=85BCC'的面積為：BHXCH=160所以C'EXBC=2X160貝UCE'=16（六）菱形類11. 如圖，若四邊形ABCD是菱形，AB=10cm，/ABC=45°,E為邊BC上的一個動點,P為BD上的一個動點，求PC+PE的最小值;點C關于BD的對稱點是點A，過點A作AE丄BC,交BD于點P,貝UAE就是PE+PC的最小值在等腰EAB中，求得AE的長為52rtrt（七）直角梯形類

14、已知直角梯形ABCD中，AD/BC,AB丄BC,AD=2,BC=DC=5，點P在BC上移動，則當FA+PD取最小值時，APD中邊AP上的高為（）A、Zt7B、v'17C、17D、3171717作點A關于BC的對稱點A'，連接A'D，交BC于點P7/27A'貝UA'D=PA'+PD=PA+PDA'D的長就是PA+PD的最小值SAPD=4在直角ABP中，AB=4,BP=1根據(jù)勾股定理，得AP=17所以AP上的高為：2X4=8Jyj1717(八)圓類已知OO的直徑CD為4，/AOD的度數(shù)為60°點B是AD的中點，在直徑CD上找一點P,

15、使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.即是在直線CD上作一點P,使PA+PB的值最小作點A關于CD的對稱點A',連接A'B,交CD于點P,則A'B的長就是PA+PB的最小值連接OA',OB，則/A'OB=90°,OA'=OB=4根據(jù)勾股定理，A'B=42如圖，MN是半徑為1的OO的直徑，點A在OO上，/AMN=30°B為AN弧的中點，P是直徑MN上一動點，則A2.2B,2C1D2即在MN上求一點P,使PA+PB的值最小作點A關于MN的對稱點A',連接A'B,交MN于點P,則點P就是所要作的點A&

16、#39;B的長就是PA+PB的最小值連接OA'、OB，則OA'B是等腰直角三角形所以A'B=2PA+PB的最小值為(A'(九)一次函數(shù)類佃.在平面直角坐標系中，有A(3,-2),B(4,2)兩點，現(xiàn)另取一點C(1,n),當n=時，AC+BC的值最小.點C(1,n),說明點C在直線x=1上，所以作點A關于直線x=1的對稱點A'，連接A'B，交直線x=1于點C,則AC+BC的值最小J43-2/B1/ihX,rF-3Or>產(chǎn)234A'A£41J43-2/B1/ihX,rF-3Or>產(chǎn)234A'A£41y設

17、直線A'B的解析式為y=kx+b，則-2=-k+b2=4k+b解得：k=(4/5)b=-(6/5)所以：y=(4/5)x-(6/5)當x=1時，y=-(2/5)故當n=-(2/5)時，AC+BC的值最小次函數(shù)y=kx+b的圖象與x、y軸分別交于點A(2,0),B(0,4).(1) 求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標原點，設OA、AB的中點分別為C、D，P為OB上一動點，求PC+PD的最小值，并求取得最小值時P點坐標.(1) 由題意得：0=2x+b4=b解得k=-2，b=4，所以y=-2x+4作點C關于y軸的對稱點C'，連接C'D，交y軸于點P則C'D=C'

18、;P+PD=PC+PDC'D就是PC+PD的最小值連接CD，貝UCD=2，CC'=2在直角C'CD中，根據(jù)勾股定理C'D=22求直線C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)所以，有0=-k+b=k+b解得k=1，b=1，所以y=x+1當x=0時，y=1，貝UP(0，1)k20. 如圖，一次函數(shù)y=尹與反比例函數(shù)y=一交于點A，AM丄x軸于點M，Goam=1x(1) 求k的值,B(1，n)，在x軸上求一點P，使PA+PBB(1，n)，在x軸上求一點P，使PA+PBk點B為雙曲線y=x上不與A重合的一點，且最小由SOAM=1知，k=2作點A關

19、于x軸的對稱點A'連接A'B，交x軸于點連接PA，貝UPA+PB最小。用待定系數(shù)法求直線A'的解析式為y=-3x+5，因為點P在x軸上，所以設y=0，即0=-3x+5，解得x=所以P(5，0)21. 如圖，在平面直角坐標系中，直線I是第一、三象限的角平分線.(1) 由圖觀察易知A(0，2)關于直線I的對稱點A'的坐標為(2,0)，請在圖中分別標明B(5,3)、C(2,5)關于直線I的對稱點B(5,3)、C(2,5)關于直線I的對稱點B'、C'的位置，并寫出他們的坐標:B'-3=k+b-1=-4k+b解得k=-2b=-5，b135所以y=-

20、2135X-5當x=y時,有x=y=-13713則Q點的坐標為(-713P(a,b)關于第(2) 結合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發(fā)現(xiàn)：坐標平面內任一點三象限的角平分線I的對稱點P'的坐標為(不必證明)；運用與拓廣：(3) 已知兩點D(1,3)、E(1,4),試在直線I上確定一點Q,使點Q到D、E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標.點B(5,3)、C(-2,5)關于直線I的對稱點B'(3,5)、C'(5,-2)坐標平面內任一點P(a,b)關于直線I的對稱點P'的坐標為(b,a)作點E關于直線I的對稱點E',連接DE'，交直線I于點Q則QE+QD

21、的值最小設直線DE'的解析式為：y=kx+b,因為D(1,-3)、E'(-4,-1)，貝U(十)二次函數(shù)類如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為(-2,0),連結0A,將線段0A繞原點0順時針旋轉120。,得到線段OB.(1) 求點B的坐標；(2) 求經(jīng)過A、0、B三點的拋物線的解析式；(3) 在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使厶BOC的周長最??？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由(注意：本題中的結果均保留根號)B(1,(1) 因為點O關于對稱軸的對稱點是點A,則連接AB,交對稱軸于點C,則厶BOC的周長最小y=警x+233x,當x=-1時，y=當所以c（-1,3

22、3）22. 如圖，拋物線y=ax2+bx+c的頂點P的坐標為(1,-士家)，交x軸于A、B兩點，交y軸于點C(0,-3).(1) 求拋物線的表達式.(2) 把厶ABC繞AB的中點E旋轉180°得到四邊形ADBC.判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由.(3) 試問在線段AC上是否存在一點F,使得FBD的周長最小，若存在，請寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由.作點B關于AC的對稱點G,連接DG，交AC于點F,UAFBD的周長最小11因為CF/BD,CG=2BD，所以F(-2,-25.如圖，拋物線y=x2+bx2與x軸交于(1)(2)(3)軸于點C(0,-3).(4) 求拋物線的表達式.

23、(5) 把厶ABC繞AB的中點E旋轉180°得到四邊形ADBC.判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由.(6) 試問在線段AC上是否存在一點F,使得FBD的周長最小，若存在，請寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由.作點B關于AC的對稱點G,連接DG，交AC于點F,UAFBD的周長最小11因為CF/BD,CG=2BD，所以F(-2,-25.如圖，拋物線y=x2+bx2與x軸交于(1)(2)(3)A,B兩點，與y軸交于C點，且A(1,0).求拋物線的解析式及頂點D的坐標；判斷ABC的形狀，證明你的結論；點M(m,0)是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，求m的值.123(1)y=2x

24、-2-2(3)作點C關于x軸的對稱點于點M，貝UMC+MD的值最小,式，即可得到M點的坐標24m=41方法點撥：此類試題往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標軸、拋物線等為背景，但都有一個“軸對稱性”的圖形共同點，解題時只有從變化的背景中提取出“建泵站問題”的數(shù)學模型，再通過找定直線的對稱點把同側線段和轉換為異側線段和，利用“兩點之間線段最短”，實現(xiàn)“折”轉“直”即可解決。有時問題是求三角形周長或四邊形周長的最小值，一般此時會含有定長的線段，依然可以轉化為“建泵站問題”。26. 如圖，在直角坐標系中，A,B,C的坐標分別為(-1，0),(3，0),(0，3),過A，B，C三點的拋

25、物線的對稱軸為直線I，D為直線I上的一個動點，(1)求拋物線的解析式；求當AD+CD最小時點D的坐標；以點A為圓心，以AD為半徑作圓A; 證明：當AD+CD最小時，直線BD與圓A相切;寫出直線BD與圓A相切時，點D的另一個坐標。連接BC,交直線I于點D，貝UDA+DC=DB+DC=BC，BC的長就是AD+DC的最小值BC:y=-x+3則直線BC與直線x=1的交點D(1,2),如圖，已知二次函數(shù)I二1的圖象與坐標軸交于點A(-1,0)和點B(0,-5).(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)已知該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點y=x2-4x-5(1) BC:y=x-5P(2,-3)P,使得ABP的周長最

26、小請求出點P的坐標.P,使得ABP的周長最小請求出點P的坐標.IPBx4C27. 已知等腰三角形ABC的兩個頂點分別是A(0,1)、B(0,3)，第三個頂點C在x軸的正半軸上.關于y軸對稱的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、D(3,-2)、P三點，且點P關于直線AC的對稱點在x軸上.(1)求直線BC的解析式；求拋物線y=ax2+bx+c的解析式及點P的坐標；設M是y軸上的一個動點，求PM+CM的取值范圍.(1)以點A為圓心，AB為半徑作圓，交x軸的正半軸于點C,在直角ACO中OA=1,AC=2根據(jù)勾股定理，得OC=3故C(3,0)設直線BC的解析式為y=kx+b，則=b0=3k+bPP解得k=

27、-3,b=3因為拋物線關于y軸對稱，所以設拋物線的解析式為2r.y=ax+c,貝U1=c-2=9a+c1解得a=-3,在直角ACO中AC=2,OA=1，貝U/ACO=30在直角BCO中OC=3,OB=3，則/BCO=60°所以CA是/BCO的角平分線即直線BC和x軸關于直線AC對稱因為點P關于直線AC的對稱點在x軸上故點P應在直線BC和拋物線上，則有方程組y=-3x+312y=-3X+1解得X1=3y1=0X2=23y=-3所以P(3,0)，或(23,-3)當點M在y軸上運動時，PM+CM沒有最大值，只有最小值，所以求PM+CM的取值范圍，就是要求PM+CM的最小值當點P與點C重合時

28、，即P(3,0)點M在原點，PM+CM的值最小，PM+CM=23所以PM+CM>23當卩(2萌,-3)時作點C關于y軸的對稱點E,過點P作x軸的垂線，垂足為在直角EFP中，EF=33,PF=3根據(jù)勾股定理，得EP=6所以PM+CM的最小值是6,貝UPM+CM>628. 如圖，在矩形OABC中，已知A、C兩點的坐標分別為A(4,0)、C(0,2),D為OA的中點.設點P是/AOC平分線上的一個動點(不與點O重合).(1)試證明：無論點P運動到何處，PC總與PD相等；(1) 當點P運動到與點B的距離最小時，試確定過O、P、D三點的拋物線的解析式；(2) 設點E是(2)中所確定拋物線的頂

29、點，當點P運動到何處時，PDE的周長最?。壳蟪龃藭r點P的坐標和厶PDE的周長；(3) 設點N是矩形OABC的對稱中心，是否存在點P,使/CPN=90°?若存在，請直接寫出點P的坐標.(1) OCPBAODP過點B作/AOC的平分線的垂線于點P,點P即為所1求過點P作PM丄BC于點M，貝UPM=2BF=1所以點P的縱坐標為3,又因為點P在/AOC的平分線上，則P(3,3)因為拋物線過原點，故設y=ax2+bx又拋物線經(jīng)過點P(3,3),D(2,0)所以“4a+2b=0解得a=1，b=-2則拋物線的解析式為y=x2-2xC(0,2)設直線CE的解析式為y=kx+b，則C(0,2)設直線C

30、E的解析式為y=kx+b，則-仁k+b2=b解得k=-3,直線CE的解析式為y=-3x+2點P的坐標滿足x=y3x+21解得x=21所以p(2,2)PDE的周長即是CE+DE=10+2(4)存在這樣的點P,使/CPN=90°,坐標是點D關于/AOC的平分線的對稱點是點C,連接CE交OF于點卩，則厶PDE的周長最小拋物線的解析式為y=x2-2x的頂點E(1,-1),11(；,2)或(2,2)2已知：拋物線y=ax+bx+c(a豐0)的對稱軸為x=-1，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,其中A(-3,0)、C(0,-2)(1)求這條拋物線的函數(shù)表達式.(2) 已知在對稱軸上存在一點P

31、,使得PBC的周長最小.請求出點P的坐標.(3) 若點D是線段OC上的一個動點(不與點0、點C重合).過點D作DE/PC交x軸于點E,連接PD、PE.設CD的長為m,PDE的面積為S.求S與m之間的函數(shù)關系式.試說明S是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由.(1)由題意得2a=19a-3b+c=0c=-224解得a=3,b=3,c=-2拋物線的解析式為224y=3x+3x-2(2)點B關于對稱軸的對稱點是點A，連接AC交對稱軸于點卩，則厶PBC的周長最小設直線AC的解析式為y=kx+b,因為A(-3,0),C(0,-2),則ayxA0=-3k+b-2=b2解得k=-3,b=

32、-2所以直線AC的解析式為把x=-1代入得y=(2) S存在最大值DE/PC,DE/PC,OEOAODOC，即OE2-m23OE=；m3OE=3-；m,AE=OA方法一，連接OPS=S四邊形PDOESOED=SPOE+SPOD_SOED=2X(3-；m)x3+2X(2-m)x1-；x(3-；m)x(2-m)323323=-4m+2m=-4(m-1)+43所以，當m=1時，S最大=,4方法二，S=SOAC-SAAEP-SOED_SPCD323323=-4m+2m=-4(m-1)+4(十一)建橋選址類29. 如圖，村莊A、B位于一條小河的兩側，若河岸a、b彼此平行，現(xiàn)在要建設一座與河岸垂直的橋CD

33、，問橋址應如何選擇，才能使A村到B村的路程最近？作法：設a、b的距離為r。 把點B豎直向上平移r個單位得到點B 連接AB'，交a于C;過C作CDb于D； 連接AC、BD。證明：BB'/CD且BB'=CD,四邊形BB'CD是平行四邊形，CB'：BDAC+CD+DB=AC+CB'+B'B=AB'+B'B在a上任取一點C'，作CD，連接AC'、D'B,C'B'同理可得AC'+C'D'+D'B=AC'+C'B'+B'B而AC&#

34、39;+C'B'>AB'-AC+CD+DB最短。本題是研究AC+CD+DB最短時的C、D的取法，而CD是定值，所以冋題集中在研究AC+DB最小上。但AC、DB不能銜接，可將BD平移Bq處，貝VAC+DB可轉化為AC+CB'，要使AC+CB'最短，顯然，A、C、B'三點要在同一條直線上。30. 如圖，A、B是直線a同側的兩定點，定長線段PQ在a上平行移動，問PQ移動到什么位置時，AP+PQ+QB的長最短？Q'作法：（假設P'Q'就是在直線L上移動的定長線段）1）過點B作直線L的平行線,并在這條平行線上截取線段BB

35、9;,使它等于定長P'Q'；2）作出點A關于直線L的對稱點A'，連接A'B'，交直線L于P;3）在直線L上截取線段PQ=P'Q.則此時AP+PQ+BQ最小.略證：由作法可知PQ=P'Q'=BB'，四邊形PQBB'與P'Q'BB'均為平行四邊形下面只要說明AP+BQ<AP'+BQ'即可點A與A'關于直線L對稱，則AP=A'P,AP'=A'P'.故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B'AP'+B

36、Q'=A'P'+B'P'.顯然,A'B'<A'P'+B'P'；（三角形三邊關系）即AP+BQ<AP'+BQ'.31. 如圖，護城河在CC'處直角拐彎，寬度保持為4米，從A處往B處，經(jīng)過兩座橋：DD'EE；設護城河是東西一一南北方向的，A,B在東西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何設計兩座橋梁DD；EE'的位置，使由A地經(jīng)過兩座橋梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？Aab如圖，作BB'丄a,AA'丄b，且BB'=4,AA&

37、#39;=4，連接A'B',交河岸于點ED分別過點E'、D架設橋梁DDEE',貝UADD'E'EB是最短路線。因為四邊形ADD''、四邊形BEE'都是平行四邊形，所以BE=B'AD=A'因為AB'之間線段最短，所以ADD'E'EB是最短路線，又BF=64,AF=84,所以B'=60,A'=80,在直角三角形A''中，由勾股定理得，A''100，所以最短路線為108米如圖，已知點A(-4,8)和點B(2,n)在拋物線y=ax2上.(1)

38、求a的值及點B關于x軸對稱點P的坐標，并在x軸上找一點Q,使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標；平移拋物線y=ax2，記平移后點A的對應點為A',點B的對應點為B',點C(-2,0)和點D(-4,0)是x軸上的兩個定點.當拋物線向左平移到某個位置時，A'C+CB'最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由.54直線AP的解析式為：y=-3x+3則Q的坐標為(4,0)1 14解法一：CQ=卜2-5I=51214則拋物線y=2x2向左移動5個單位時，A'C+B'

39、;C最短拋物線的解析式為：y=1(x+Y)2A'B'CD的周長最短？若存A'B'CD的周長最短？若存yA”2512解法二：將拋物線y=2x2向左移動m個單位，則A'(-4-m,8),B'(2-m,2)，點A'關于x軸的對稱點是A'(-4-m,-8),554直線A'B'的解析式為：y=5x+3m要使A'C+B'C最短，則點C應在直線A'B'上，將點C(-2，0)的坐標代入到直線A'B'的解14析式，得m=51o14則拋物線y=1X向左移動-5-個單位時，A'C+

40、B'C最短拋物線的解析式為:1142y=2(x+5)拋物線向左或向右平移時，使四邊形ABCD的周長最短，因為A'B'+CD是定值，只要使A'D+B'C最短即可當拋物線向右移動時，因為A'D>AD,B'C>BC，所以A'D+B'C>AD+BC，則在不存在一個向右的位置，使四邊形ABCD的周長最短當拋物線向左移動時，設A'(-4-a,8),B'(2-a,2),因為CD=2,則將點B'向左平移2個單位得到點B'(-a,2).點A'關于x軸的對稱點是A'(-4-a,

41、-8),5直線A的解析式為：y=5x+5m+2要使A'D+B'D最短，點D應在直線A'B'上將點D(-4,0)的坐標代入到直線A'B'的解析式，得m=165長最短，此時拋物線的函數(shù)解析式為/16(x+T故將拋物線向左平移時，否存在一個位置，使四邊形A'B'CD的周A''提示:方法一，A'關于x軸對稱點A",要使AC+CB最短，點C應在直線A"B'上；方法二，由(1)知，此時事實上，點Q移到點C位置，求CQ=1#5,即拋物線左移14/5單位；設拋物線左移b個單位，則A(-4-b,8

42、)、B，(2-b,2)。/CD=2二B，左移2個單位得到B(-b,2)位置，要使AD+CB7最短，只要AD+DB最短。則只有點D在直線AB上。(十二)立體圖形桌上有一個圓柱形玻璃杯(無蓋)，高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，突然發(fā)現(xiàn)了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達蜜糖所在的位置。析：展開圖如圖所示，作A點關于杯口的對稱點A'則BA''92+12=15厘米AA36.只螞蟻欲從圓柱形桶外的A點爬到桶內的B點處尋找食物，已知點A到桶口的距離AC為12cm，點B到

43、桶口的距離BD為8cm，CD的長為15cm，那么螞蟻爬行的最短路程是多少？B'*i-OE展開圖如右圖所示，作點B關于CD的對稱點B'連接AB'交CD于點P,則螞蟻爬行路線AtPtB為最短，且AP+PB=AB+PB'在直角AEB'中，AE=CD=12,EB'=ED+DB'=AC+BD=12+8=20由勾股定理知，AB'=25所以，螞蟻爬行的最短路程是25cm兩點之間線段最短型37.恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側，AB=50k

44、m,A、B到直線X的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務區(qū)P，向A、B兩景區(qū)運送游客.小民設計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P）,P到A、B的距離之和0=PAPB，圖（2）是方案二的示意圖（點A關于直線X的對稱點是A，連接BA交直線X于點P）,P到A、B的距離之和§=PAPB.（1）求S、S2，并比較它們的大小；（2）請你說明SPAPB的值為最小；（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，B到直線Y的距離為30km，請你在X旁和Y旁各修建一服務區(qū)P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長

45、最小并求出這個最小值.提示：涉及勾股定理、點對稱、設計方案。第(3)問是“三折線”轉“直”問題。再思考設計路線要根據(jù)需要設計，是P處分別往A、B兩處送呢，還是可以先送到A接著送到B。本題是對所給方案進行分析，似乎還容易一些，若要你設計方案，還需考慮一個方案路線，PtAtB。(1) 在圖(1)中過點A作AC丄BQ于點C,貝UBC=BQ-CQ=40-10=30,AB=40,在RtABC中，根據(jù)勾股定理，得AC=40,所以PQ=40在RtBPQ中，根據(jù)勾股定理，得PB=402所以Si=PA+PB=10+402在圖中S1=A'B=PA+PB=A'C2+BC2=502+402=1041(

46、2) 在圖(1)中過點A作AC丄BQ于點C,貝UBC=BQ-CQ=40-10=30,AB=40,在RtABC中，根據(jù)勾股定理，得AC=40,所以PQ=40在RtBPQ中，根據(jù)勾股定理，得PB=402所以Si=PA+PB=10+402在圖中S1=A'B=PA+PB=A'C2+BC2=502+402=1041如圖(2)在厶EA'B中，有EB+EA'>A'B因為S1=EB+EA',S2=A'B所以S1>S2B'如圖(3)分別作點A、B關于x軸、y軸的對稱點A',B'，連接A'B'，交x軸、y軸

47、于點P、Q,則四邊形PABQ的周長最小構造如圖在RtA'B'C中，B'C=30+30+40=100,A'C=10+40=50所以A'B'=1002+502=50538.如圖，四邊形38.如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形,M為對角線BD(不含B點)上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得至UBN，連接EN、AM、CM求證：AMBENB;當M點在何處時，AM+CM的值最??；當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由;當AM+BM+CM的最小值為3+1時，求正方形的邊長連接AC,交BD于點M，則AM+CM的值最小

48、連接CE交BD于點M，則AM+BM+CM的值最小/AM=EN,BM=NM,AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根據(jù)“兩點之間，線段最短”，可知EN+NM+MC=EC最短過點E作CB的延長線的垂線，垂足為F設正方形ABCD的邊長為2xBF=3x則在直角厶BEF中，/EBF=30。，所以，EF=x，根據(jù)勾股定理:得方程:在直角CEF中，根據(jù)勾股定理：CE2=EF2+FC2(3+1)2=x2+(3x+2x)解得:所以：2x=2分析：本題在最短矩離這一問題中，利用了數(shù)形結合的思想，綜合考查學生幾何、代數(shù)知識的運用能力。整個過程充分顯示了學生學習數(shù)學新知的一般過程：認知一一論證一一應用。本題的難點在

49、距離最小。第一小問設計由簡單的三角形全等的證明讓學生得出邊之間的相等關系，這里隱藏著由旋轉角60°得出的等邊三角形，從而得出BM=MN;第二小問設計的是一個探究過程，讓學生綜合學習過的基本數(shù)學知識進行探索，看學生對“兩點之間，線段最短”的掌握，要求學生具備轉化能力，建模能力等；第三小問的設計主要是將所探究的結論進行運用，拓展，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想理念。整個過程體現(xiàn)了特殊問題中的一般規(guī)律，是數(shù)學知識和問題解決方法的一種自然回歸。是近幾年中考壓軸題的基本模型。四. 垂線段最短型如圖，在銳角厶ABC中，AB=4/2，/BAC=45°,/BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD

50、和AB上的動點，貝UBM+MN的最小值是.作點B關于AD的對稱點B'，過點B'作B'E丄AB于點E,交AD于點F,則線段B'E的長就是BM+MN的最小值在等腰RtAEB'中，根據(jù)勾股定理得到，B'E=4CCB'39. 如圖，ABC中，AB=2，/BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，則這個最小值作AB關于AC的對稱線段AB'，過點B'作B'N丄AB，垂足為N，交AC于點M，貝UB'N=MB'+MN=MB+MNB'N的長就是MB+MN的最小值則/B&#

51、39;AN=2/BAC=60°,AB'=AB=2，/ANB'=90。，/B'=30°。所以AN=1在直角AB'N中，根據(jù)勾股定理B'N=340. 某縣社會主義新農(nóng)村建設辦公室，為了解決該縣甲、乙兩村和一所中學長期存在的飲水困難問題，想在這三個地方的其中一處建一所供水站，由供水站直接鋪設管道到另外兩處。如圖，甲、乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段（村子和公路的寬均不計），點M表示這所中學。點B在點M的北偏西30°的3km處，點A在點M的正西方向，點D在點M的南偏西60°的23km處。為使供水

52、站鋪設到另兩處的管道長度之和最短，現(xiàn)有如下三種方案：方案一：供水站建在點M處，請你求出鋪設到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（線段CD某處），甲村要求管道鋪設到A處，請你在圖中，畫出鋪設到點A和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（線段AB某處），請你在圖中，畫出鋪設到乙村某處和點M處的管道長度之和最小的線路圖，并求其最小值。綜上，你認為把供水站建在何處，所需鋪設的管道最短？點M到甲村的最小距離是MB,MB=3，點M到乙村的最小距離是MD,MD=23,所以，最小值是3+23萬案一作點M關于0E的對稱點M'，連接AM

53、9;，交CD于點P,貝UPA+PM=PA+PM'=AM',AM'的長就是點P到A點和M點的距離之和的最小值在RtAMM'中，用勾股定理求得AM'=43作點M關于OF的對稱點M'，過點M'作M'H丄0E于點H，交OF于點P、交AM于點G/GM=3,HE=3DE=3,二H與D重合在RtHM'M中，M'H=2DH=432已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-4,3)、B(2,0)兩點，當x=3和x=-3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，經(jīng)過點C(0,-2)的直線l與X軸平行，O為坐標原點。(1) 求直線AB和這條拋物

54、線的解析式：(2) 以A為圓心、AO為半徑的圓記為圓A，判斷直線I與圓A的位置關系，并說明理由(3) 設直線AB上的點D的橫坐標為-1,P(m,n)是拋物線y=ax2+bx+c上的動點，當PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積。(1)AB:y=-拋物線：y=x2-1A到直線(2)AO=5，點3D(-1,2),過點P作PH丄l，垂足為的距離這3+2=5,所以，直線l與圓A相切H，延長HP交x軸于點G,設P(m,n),OP2=OG2+GP2=m2+1)2,.OP=4m2+1則yp=；m2-112212(4m-1)=(4m+1212PH=yp-yH=4m-1-(-2)=m+1OP=PH要使PDO

55、的周長最小，因為OD是定值，所以只要OP+PD最小，/OP=PH，只要PH+PD最小D、P、H三點根據(jù)“直線外一點到這條直線上訓點的連線中，垂線段最短”，可知，當點共線時，PH+PD最小因此，當點D、P、H三點共線時，PDO的周長最小41. 如圖：在平面直角坐標系中，已知四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在X軸上，D在Y軸上，AB/CD,AB=5,CD=3,AD=BC=.17，拋物線y=-x2+bx+c過A、B兩點。(1) 直接寫出點A、B、C、D的坐標及拋物線的解析式。(2) 設M是第一象限內拋物線上的一個動點，它到x軸與y軸的距離之和為d,求d的最大值。(3) 當(2)中的M點運動到d取最大值時，記此時的點M為點N,設線段AC與y軸交于點E,F