微分方程與差分方程簡介

1、第九章第九章 微分方程與差分方程簡介微分方程與差分方程簡介9.1 9.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定義一、微分方程的定義二、微分方程的解二、微分方程的解定義定義 凡含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)凡含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù) (或微分或微分) 的的方程稱為方程稱為微分方程微分方程，未知函未知函未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱做偏微分方稱做偏微分方本章僅討論常微分方程本章僅討論常微分方程,并簡稱為微分方程并簡稱為微分方程.一、微分方程的定義一、微分方程的定義有時有時簡稱為方程簡稱為方程，數(shù)是一元函數(shù)的微分方程數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱做常微分方程稱做常微分方程，程程.(

2、(1) ) y= kx, k 為常數(shù)；例如，下列方程都是微分方程例如，下列方程都是微分方程 ( (其中其中 y, q q 均為未知函數(shù)均為未知函數(shù)).).( (2) ) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；;113yay ( (4) ).,(0sind22為常數(shù)lglgtqqd( (5) )32)(22xyxy( (3) )微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為數(shù)，稱為微分方程的階微分方程的階.例如，方程例如，方程 (1) - (3) 為為通常，通常，n 階微分方程的一般形式為階微分方程的一般形式為F(x, y, y , , y(n

3、) = 0，其中一定含有其中一定含有 y(n).方程方程 (4) - (5) 為二階微分方程為二階微分方程.一階微分方程，一階微分方程，如果方程如果方程 F(x, y, y , , y(n) = 0中左端函數(shù)中左端函數(shù)F為為)(,nyyy的線性函數(shù)（即一次函數(shù)），的線性函數(shù)（即一次函數(shù)），稱該方程為稱該方程為n階階線性線性(常常)微分方程微分方程,其一般形式為其一般形式為則則).()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn 不是線性微分方程的微分方程不是線性微分方程的微分方程,統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為非線非線性微分方程性微分方程.二、微分方程的解二、微分方程的解定義定義 任何代入微分方程后

4、能使其左右任何代入微分方程后能使其左右兩端相等的函數(shù)，都叫做該方程的解兩端相等的函數(shù)，都叫做該方程的解. .用顯函數(shù)表示方程的解，該解稱為方程的用顯函數(shù)表示方程的解，該解稱為方程的顯式解顯式解； 用隱函數(shù)表示方程的解，該解稱為方用隱函數(shù)表示方程的解，該解稱為方程的程的隱式解隱式解； 若微分方程的解中含有任意常數(shù)若微分方程的解中含有任意常數(shù)C C的個的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，數(shù)與方程的階數(shù)相同， 且這些任意常數(shù)是相互且這些任意常數(shù)是相互獨(dú)立的（即不能合并），則稱此解為該方程的獨(dú)立的（即不能合并），則稱此解為該方程的通解通解( (或一般解或一般解).). 若再給出若干個條件（稱為若再給出若干個條件（

5、稱為初始條件初始條件），），以確定通解中的所有任意常數(shù)，所得到的解，以確定通解中的所有任意常數(shù)，所得到的解，稱為微分方程滿足初始條件的稱為微分方程滿足初始條件的特解特解. .例如函數(shù)例如函數(shù)y = x2 + + C 是微分方程是微分方程 y = 2x 的的通解；通解；而而 y = x2 +3就是方程就是方程 y = 2x 的的再如函數(shù)再如函數(shù)y =Cex 是微分方程是微分方程的通解；的通解；如果給出初始條件如果給出初始條件yy 的的y(0) = 0 ，可得可得C = 0 ， 從而就得到特解從而就得到特解y=0.特解特解.二階微分方程的初始條件是二階微分方程的初始條件是,|0000yyyyxxx

6、x及或或 y(x0) = y0 與與 y (x0) = y 0，一個微分方程與其初始條件構(gòu)成的問題，稱一個微分方程與其初始條件構(gòu)成的問題，稱為為初值問題初值問題.求解某初值問題，就是求方程的特解求解某初值問題，就是求方程的特解.)(,|0000yxyyyxx或通常一階微分方程的初始條件是通常一階微分方程的初始條件是例例 1 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù) y = 3e x xe x 是方程是方程y + 2y + y = 0 的解的解.解解 求求 y = 3e x xe x 的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，y = - 4e x + xe - x, y = 5e x - xe - x,將將 y，y 及及 y 代入原方程的左邊，

7、代入原方程的左邊，(5e x - xe - x) + 2(- 4e x + xe - x) + 3e x xe x即函數(shù)即函數(shù) y = 3e x xe x 滿足原方程，滿足原方程，得得有有所以該函數(shù)是所給二階微分方程的解所以該函數(shù)是所給二階微分方程的解.= 0，9.2 9.2 最簡單的微分方程最簡單的微分方程一、可分離變量方程一、可分離變量方程二、齊次微分方程二、齊次微分方程如果微分方程可化為如果微分方程可化為形式形式,則該微分方程稱為則該微分方程稱為可分離變量方程可分離變量方程.( (1) ) 分離變量分離變量該類微分方程可按照下面方法求解：該類微分方程可按照下面方法求解：xxfyygdd)

8、()(dxxfdyyg)()( (2) ) 兩邊積分兩邊積分Cxxfyygdd)()(3) 整理后即可得方程通解整理后即可得方程通解.一、可分離變量方程一、可分離變量方程的的例例 1 求方程求方程.1)sin(cos2的通解yxxy解解分離變量，得分離變量，得,)sin(cos12xxxyydd兩邊積分，得兩邊積分，得,cossinarcsinCxxy這就是所求微分方程的通解這就是所求微分方程的通解例例 2 求方程求方程.2的通解xyy 解解,2xxyydd兩邊積分，得兩邊積分，得21|Cxyee,|ln12Cxy化簡得化簡得,e1CC記21e,Cxye 2(0)xyCeC則分離變量，得分離變

9、量，得時，當(dāng)0y 當(dāng)當(dāng)y = 0時，時， 原方程是成立的，原方程是成立的，2,.xyCeC是任意常數(shù)綜上所述原方程的通解是綜上所述原方程的通解是QPalog對數(shù)的一些運(yùn)算公式：對數(shù)的一些運(yùn)算公式：QaP xaalogxQPlnlnPQlnQPlnPQln(2)當(dāng)左邊有取對數(shù)時，不定常數(shù)通常取當(dāng)左邊有取對數(shù)時，不定常數(shù)通常取lnC ，可以簡化計(jì)算過程可以簡化計(jì)算過程.從該道例題可以看出，從該道例題可以看出，（1）有時）有時 將將lny寫成寫成lny, 將不會影響答案而將不會影響答案而且能簡化計(jì)算過程；且能簡化計(jì)算過程；求解過程可簡化為：求解過程可簡化為：,2xdxydy兩邊積分，得兩邊積分，得,

10、lnln2Cxy整理即得通解：整理即得通解：2,xyCe其中其中 C 為任意常數(shù)為任意常數(shù).分離變量，得分離變量，得例例 2 求方程求方程.2的通解xyy 例例 3 求方程求方程 dx + + 2xydy = y2dx + + 2ydy 滿足滿足初始條件初始條件 y(4) =2 的特解的特解.解解將方程整理為將方程整理為.) 1() 1(22xyyxydd分離變量，得分離變量，得,1122xxyyydd兩邊積分，有兩邊積分，有.ln) 1ln() 1ln(2Cxy化簡，得原方程的通解：化簡，得原方程的通解：),1(12xCy即即1) 1(2xCy將初始條件將初始條件 y(4) =2 代入，代入

11、， 得得 C = 1. .故所求特解為故所求特解為, 1) 1(2 xy.2xy 即1) 1(2xCy例例 4 求求解解分離變量，得分離變量，得,)1 (122xxxyyydd兩邊積分，有兩邊積分，有Cxxyln21)1ln(21ln)1ln(2122即即)ln()1)(1ln(222Cxyx因此因此, ,通解為通解為的通解的通解,以及以及y(1) =2 的特解的特解.)1 (122xxyyy即即,)11(122xxxxyyydd.)1)(1 (222Cxyx.10C于是于是, ,所求的特解為所求的特解為將將y(1) =2 代入通解可得代入通解可得.10)1)(1 (222xyx形如)(xyf

12、y 的方程叫做齊次方程齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,uxuy從而)(ufuxu解法:二、齊次方程二、齊次方程此類方程可通過變換轉(zhuǎn)化為可分離變量微分方程.)(ufuxuxxuufud)(d兩邊積分, 得xxuufud)(d積分后再用xy代替u,便得原方程的通解.分離變量，得例例 5 求解微分方程求解微分方程.tanxyxyy解解，令xyu ，則xuy uxuy從而代入方程得，代入方程得，tanduuxuudx1cot ddu uxx積分得，積分得，lnsinlnlnuxCsinuCx代回原變量，即得通解，代回原變量，即得通解，.sinCxxy原方程可寫成原方程可寫成 解解 2

13、2xxyyy1)(2xyxy例例6 6 2().x yx yy求解方程求解方程代入上式，得代入上式，得, uxy令,xuy 則,uxuy從而12uuuxu1uuux兩邊積分兩邊積分 得得以xy代上式中的 u 得 或?qū)懗苫驅(qū)懗煞蛛x變量分離變量 得得 CxuulnlnCuxu lnCyxy ln1uuuxxdxduuu1作業(yè)：作業(yè)：P371P3713 3 （2 2）（）（3 3）（）（4 4）4 4 （1 1）（）（2 2）知識回顧：知識回顧：（1）微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的）微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，階數(shù)， 稱為稱為微分方程的階微分方程的階；（2）通解、特解；）通解、特

14、解；（3）可分離變量微分方程的求解：）可分離變量微分方程的求解：分離變量；分離變量； 兩邊積分；兩邊積分； 整理即得微分方程的通解整理即得微分方程的通解.(4)(4)形如形如)(xyfy 的方程叫做齊次方程的方程叫做齊次方程 . .令令,xyu ,xuy 則代入原方程得代入原方程得,uxuy從而)(ufuxu解法解法: :下面按照分離變量方程來求解下面按照分離變量方程來求解, ,最后最后回代變量回代變量。9.4 9.4 一階線性微分方程一階線性微分方程1 1、一階線性微分方程的概念、一階線性微分方程的概念2 2、一階線性齊次方程、一階線性齊次方程3 3、一階線性非齊次方程、一階線性非齊次方程一

15、、一階線性微分方程一、一階線性微分方程形如形如)()(xqyxpy的方程稱為一階線性微分方程的方程稱為一階線性微分方程,簡稱簡稱一階線性方程一階線性方程. “線性線性”是指在方程中含有未知函數(shù)是指在方程中含有未知函數(shù)y和它的導(dǎo)和它的導(dǎo)數(shù)數(shù)的一次項(xiàng)，的一次項(xiàng)，的項(xiàng)都是關(guān)于的項(xiàng)都是關(guān)于y、一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程其中其中q(x)稱為稱為自由項(xiàng)自由項(xiàng).yy1 1、一階線性微分方程的概念、一階線性微分方程的概念稱為一階線性齊次微分方程稱為一階線性齊次微分方程, ,簡稱簡稱線性齊次方程線性齊次方程， 0，則稱方程，則稱方程 為一階線性非齊為一階線性非齊次微分方程，簡稱次微分方程，簡稱線性

16、非齊次方程線性非齊次方程.通常方程通常方程 稱為方程稱為方程 所對應(yīng)的線性齊次方程所對應(yīng)的線性齊次方程., 0)(yxpy若若 q (x)若若 q (x) 0，則方程成為，則方程成為一階線性齊次方程一階線性齊次方程0)(yxpy是可分離變量方程是可分離變量方程.,)(xxpyydd兩邊積分，得兩邊積分，得,ln)(lnCdxxpy所以，方程的通解公式為所以，方程的通解公式為.)(xxpCyde分離變量，得分離變量，得2 2、 一階線性齊次方程一階線性齊次方程對比發(fā)現(xiàn)只差自由項(xiàng)不同，對比發(fā)現(xiàn)只差自由項(xiàng)不同，)()(xqyxpyxxpCyde)(已知一階線性齊次方程已知一階線性齊次方程0)(yxp

17、y的通解公式為的通解公式為因此猜想將齊次因此猜想將齊次方程通解中的方程通解中的C改為函數(shù)改為函數(shù)u(x),xxpxuyde)()(即3 3、一階線性非齊次方程、一階線性非齊次方程),()(xqyxpy)()()(xuxuxxpde代入將y)()(xxpxuyde由于xxpde)()(xpyxpxuxxp)()()(de)()()(xqxuxxpdexxpxqxude)()()(Cdxxqxuxxpde)()()()()()(Cdxxqyxxpxxpddee這就是一階線性非齊次方程這就是一階線性非齊次方程)()(xqyxpyCdxxqxuxxpde)()()(xxpxuyde)()(代入的通解。

18、的通解。上述討論中所用的方法，是將常數(shù)上述討論中所用的方法，是將常數(shù)C變?yōu)樽優(yōu)榇ùㄔ偻ㄟ^確定再通過確定u(x) 而求得方程而求得方程的通解，這樣的方法稱為的通解，這樣的方法稱為常數(shù)變易法常數(shù)變易法.函數(shù)函數(shù) u(x)，例例 1 求方程求方程 2y - - y = ex 的通解的通解.解解法一法一 使用常數(shù)變易法求解使用常數(shù)變易法求解將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,e2121xyy 這是一個線性非齊次方程，它所對應(yīng)的線性齊次方程為這是一個線性非齊次方程，它所對應(yīng)的線性齊次方程為dxdyy211設(shè)所給線性非齊次方程的通解為設(shè)所給線性非齊次方程的通解為,)(2xxuye

19、021yyCxyln21lnxCey21將將 y 及及 y 代入該方程，得代入該方程，得xxxuee21)(2于是，有于是，有xxuxde221)(因此，原方程的通解為因此，原方程的通解為2)(xxuye221)(xxue,2Cx e22)(xxC ee .2xxCee 解法解法二二 將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,2121xyye則)()()(Cdxxqyxxpxxpddee例例 1 求方程求方程 2y - - y = ex 的通解的通解.,21)(xp,e21)(xxq則原方程的通解為則原方程的通解為)()()(Cdxxqyxxpxxpddee21)21()21(

20、Cdxexxxddee)21(22Cdxexxxee)21(22Cdxxxee)(22Cxxee.2xxCee 例例 2 求解初值問題：求解初值問題：. 1)(,cos yxyyx解解將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,cos1xxyxy則則,cos)(xxxq,1)(xxp因此，所給線性非齊次方程的通解為因此，所給線性非齊次方程的通解為)()()(Cdxxqyxxpxxpddee)cos(11Cdxxxxxxxddee)cos(lnlnCdxxxxxee)cos(1Cxdxxxx).(sin1Cxx)(sin1Cxxy將初始條件 y() = 1 代入，).(sin1xxy所以，所求的特解為得 C = ，例例 3求方程求方程 x2dy + (y - - 2xy - - x2)dx = 0 的通解的通解.解解將原方程改寫為22)21 (xyxyx則,21)(2xxxpq(x) = 1., 1212yxxy代入一階線性非齊次方程的通解公式，有代入一階線性非齊次方程的通解公式，有)(222121Cxxxxxxxdeedd)()()(Cdxxqyxxpxxpddee)21(