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1、2.4平面向量的數(shù)量積一、 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義教學(xué)目的:1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義;2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律;3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題;4.掌握向量垂直的條件.教學(xué)重點(diǎn):平面向量的數(shù)量積定義教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型:新授課教 具:多媒體、實(shí)物投影儀內(nèi)容分析: 本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義,理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律,然后通過(guò)概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí).主要知識(shí)點(diǎn):平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義;平面向量數(shù)量積的5個(gè)重
2、要性質(zhì);平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.教學(xué)過(guò)程:一、復(fù)習(xí)引入:1 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是:有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù),使=.2平面向量基本定理:如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1,2使=1+23平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底.任作一個(gè)向量,由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使得把叫做向量的(直角)坐標(biāo),記作4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1 / 14若,則,.若,則5 ()的充要條件是x1y2-x2y1=06線段的定比分點(diǎn)及 P1, P2是直線l上的兩點(diǎn),P是l上不同于P1, P2的任一點(diǎn),存在實(shí)數(shù),使
3、 =,叫做點(diǎn)P分所成的比,有三種情況:0(內(nèi)分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-1 0,(a)b =|a|b|cosq, (ab) =|a|b|cosq,a(b) =|a|b|cosq,若 0,(a)b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq,(ab) =|a|b|cosq,a(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律:(a + b)c = ac + bc 在平面內(nèi)取一點(diǎn)O,作= a, = b,= c, a + b (即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即 |a +
4、b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2, c(a + b) = ca + cb 即:(a + b)c = ac + bc說(shuō)明:(1)一般地,()()(2),0(3)有如下常用性質(zhì):,()()()三、講解范例:例1 已知a、b都是非零向量,且a + 3b與7a - 5b垂直,a - 4b與7a - 2b垂直,求a與b的夾角.解:由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 7a2 + 16ab -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 7a2 - 30
5、ab + 8b2 = 0 兩式相減:2ab = b2代入或得:a2 = b2設(shè)a、b的夾角為q,則cosq = q = 60例2 求證:平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和.解:如圖:平行四邊形ABCD中,=|2=而= ,|2=|2 + |2 = 2= 例3 四邊形ABCD中,且,試問(wèn)四邊形ABCD是什么圖形?分析:四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定,關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量.解:四邊形ABCD是矩形,這是因?yàn)椋阂环矫妫?,(),()()即由于,同理有由可得,且即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等.四邊形ABCD是平行四邊形另一方面,由,有(),而由平行四邊形ABCD可得,代入上
6、式得(2),即,也即ABBC.綜上所述,四邊形ABCD是矩形.評(píng)述:(1)在四邊形中,是順次首尾相接向量,則其和向量是零向量,即0,應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用;(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積,因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.四、課堂練習(xí):1.下列敘述不正確的是( )A.向量的數(shù)量積滿足交換律 B.向量的數(shù)量積滿足分配律C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 D.ab是一個(gè)實(shí)數(shù)2.已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為,則(a+2b)(a-3b)等于( )A.72 B.-72 C.36 D.-363.|a|=3,|b|=4,向量a+b與a-b的位置關(guān)系為( )A.平行 B.垂直 C.夾
7、角為 D.不平行也不垂直4.已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為150,則(a+b) .5.已知|a|=2,|b|=5,ab=-3,則|a+b|=_,|a-b|= .6.設(shè)|a|=3,|b|=5,且a+b與ab垂直,則 .五、小結(jié)(略) 六、課后作業(yè)(略)七、板書設(shè)計(jì)(略)八、課后記:第9課時(shí)三、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角教學(xué)目的:要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件,及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.能用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)綜合問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn):平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用授課類型:新授課教 具:多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)
8、過(guò)程:一、復(fù)習(xí)引入:1兩個(gè)非零向量夾角的概念已知非零向量與,作,則()叫與的夾角.C2平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義:已知兩個(gè)非零向量與,它們的夾角是,則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積,記作ab,即有ab = |a|b|cosq,().并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3向量的數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.4兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量,e是與b同向的單位向量.1 ea = ae =|a|cosq; 2 ab ab = 03 當(dāng)a與b同向時(shí),ab = |a|b|;當(dāng)a與b反向時(shí),ab = -|a|b|. 特別的aa = |a
9、|2或4 cosq = ;5|ab| |a|b|5平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律:a b = b a數(shù)乘結(jié)合律:(a)b =(ab) = a(b)分配律:(a + b)c = ac + bc二、講解新課: 平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量,試用和的坐標(biāo)表示.設(shè)是軸上的單位向量,是軸上的單位向量,那么,所以又,所以這就是說(shuō):兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.即2. 平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式一、 設(shè),則或.(2)如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)二、 向量垂直的判定設(shè),則三、 兩向量夾角的余弦() cosq =四、 講解范例:五、 設(shè)a
10、 = (5, -7),b = (-6, -4),求ab及a、b間的夾角(精確到1o)例2 已知A(1, 2),B(2, 3),C(-2, 5),試判斷ABC的形狀,并給出證明.例3 已知a = (3, -1),b = (1, 2),求滿足xa = 9與xb = -4的向量x. 解:設(shè)x = (t, s), 由 x = (2, -3)例4 已知a(,),b(,),則a與b的夾角是多少?分析:為求a與b夾角,需先求ab及ab,再結(jié)合夾角的范圍確定其值.解:由a(,),b(,)有ab(),a,b記a與b的夾角為,則又,評(píng)述:已知三角形函數(shù)值求角時(shí),應(yīng)注重角的范圍的確定.例5 如圖,以原點(diǎn)和A(5,
11、2)為頂點(diǎn)作等腰直角OAB,使B = 90,求點(diǎn)B和向量的坐標(biāo).解:設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)(x, y),則= (x, y),= (x-5, y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即:x2 + y2 -5x - 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即:10x + 4y = 29由B點(diǎn)坐標(biāo)或;=或 例6 在ABC中,=(2, 3),=(1, k),且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角,求k值.解:當(dāng)A = 90時(shí),= 0,21 +3k = 0 k = 當(dāng)B = 90時(shí),= 0,=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k-3) = 0 k = 當(dāng)C = 90時(shí),= 0,-1 + k(k-3) = 0 k = 六、 課堂練習(xí):1.若a=(-4,3),b=(5,6),則3|a|ab( )A.23 B.57 C.63 D.832.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),則ABC為( )A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.不等邊三角形3.已知a=(4,3),向量b是垂直a的單位向量,則b等于( )A.或 B.或C.或 D.或4.a=(2,3),b=(-2,4),則(a+
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