人教版高中數(shù)學(xué)必修一集合與函數(shù)基礎(chǔ)知識講解

1、集合與函數(shù)概念§11集合（一）集合的有關(guān)概念定義：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，也簡稱集。2.表示方法：集合通常用大括號 或大寫的拉丁字母A,B,C表示， 而元素用小寫的拉丁字母a,b,c表示。3.集合相等：構(gòu)成兩個集合的元素完全一樣。4.元素與集合的關(guān)系：(元素與集合的關(guān)系有“屬于”及“不屬于兩種)若a是集合A中的元素，則稱a屬于集合A，記作aA；若a不是集合A的元素，則稱a不屬于集合A，記作aA。5.常用的數(shù)集及記法：非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N；正整數(shù)集，記作N*或N+；N內(nèi)排除0的集.整數(shù)集，記作Z；有理數(shù)集，記作Q；實數(shù)集，記作R；6.關(guān)于

2、集合的元素的特征 確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）?！爸袊糯拇蟀l(fā)明” （造紙，印刷，火藥，指南針）可以構(gòu)成集合，其元素具有確定性；而“比較大 的數(shù)”，“平面點P周圍的點”一般不構(gòu)成集合，因為組成它的元素是不確定的. 互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示為1,-2,而不是1,1,-2 無序性：即集合中的元素?zé)o順序,可以任意排列、調(diào)換。練1：判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：大于3小于11的偶數(shù)；我國的小河流；非負(fù)奇

3、數(shù)； 方程x2+1=0的解；某校2011級新生； 血壓很高的人；著名的數(shù)學(xué)家； 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第三象限的點7.元素與集合的關(guān)系：(元素與集合的關(guān)系有“屬于”及“不屬于”兩種)若a是集合A中的元素，則稱a屬于集合A，記作aA；若a不是集合A的元素，則稱a不屬于集合A，記作aA。 例如，我們A表示“120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成的集合，則有3A，4A，等等。練：A=2，4，8，16，則4A，8A，32A.（二）例題講解：例1用“”或“”符號填空： 8 N； 0 N； -3 Z； Q； 設(shè)A為所有亞洲國家組成的集合，則中國 A，美國 A，印度 A，英國 A。練：5頁題例2已知集合P的元素為, 若2

4、P且-1P，求實數(shù)m的值。練：考察下列對象是否能形成一個集合？身材高大的人 所有的一元二次方程直角坐標(biāo)平面上縱橫坐標(biāo)相等的點 細(xì)長的矩形的全體比2大的幾個數(shù) 的近似值的全體所有的小正數(shù) 所有的數(shù)學(xué)難題給出下面四個關(guān)系:R,0.7Q,00,0N,其中正確的個數(shù)是:( )A4個 B3個 C2個 D1個下面有四個命題:若-a,則a 若a,b,則a+b的最小值是2集合N中最小元素是1 x2+4=4x的解集可表示為2,2 其中正確命題的個數(shù)是( 由實數(shù)-a, a, ,2, -5為元素組成的集合中,最多有幾個元素?分別為什么?求集合2a,a2+a中元素應(yīng)滿足的條件?若t,求t的值.一、集合的表示方法列舉法

5、：把集合中的元素一一列舉出來, 并用花括號“”括起來表示集合的方法叫列舉法。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；說明：書寫時，元素與元素之間用逗號分開；一般不必考慮元素之間的順序；在表示數(shù)列之類的特殊集合時,通常仍按慣用的次序；集合中的元素可以為數(shù)，點，代數(shù)式等；列舉法可表示有限集，也可以表示無限集。當(dāng)元素個數(shù)比較少時用列舉法比較簡單；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以用列舉法表示。對于含有較多元素的集合，用列舉法表示時，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用省略號，象自然數(shù)集用列舉法表示為例1用列舉法表示下列集合：(1) 小于

6、5的正奇數(shù)組成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合；(3) 從51到100的所有整數(shù)的集合；(4) 小于10的所有自然數(shù)組成的集合；(5) 方程的所有實數(shù)根組成的集合； 由120以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合。描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法。方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。一般格式：如：x|x-3>2，(x,y)|y=x2+1，x|直角三角形，；說明:描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素，如(x,y)|y= x2+3x+2與 y|y= x2+3x+

7、2是不同的兩個集合，只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如：整數(shù)，即代表整數(shù)集Z。辨析：這里的 已包含“所有”的意思，所以不必寫全體整數(shù)。寫法實數(shù)集，R也是錯誤的。用符號描述法表示集合時應(yīng)注意：、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是數(shù)還是點、還是集合、還是其他形式？、元素具有怎么的屬性？當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例2用描述法表示下列集合：(1) 由適合x2-x-2>0的所有解組成的集合;(2) 到定點距離等于定長的點的集合;(3) 方程的所有實數(shù)根組成的集合(4) 由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。 說明：列

8、舉法與描述法各有優(yōu)點，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意， 一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。練習(xí)：5頁2題1用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯希捍笥?的所有奇數(shù)2集合Ax|Z，xN，則它的元素是 。3.已知集合Ax|-3<x<3，xZ，B(x,y)|yx+1，xA，則集合B用列舉法表示是 .判斷下列兩組集合是否相等？ （1）A=x|y=x+1與B=y|y=x+1; (2)A=自然數(shù)與B=正整數(shù)二、集合的分類觀察下列三個集合的元素個數(shù)1. 4.8, 7.3, 3.1, -9; 2. xR0<x<3; 3. xRx2+1=0由此可以得到集合的分類三、文氏圖集合

9、的表示除了上述兩種方法以外，還有文氏圖法，即3,9,27A畫一條封閉的曲線,用它的內(nèi)部來表示一個集合，如下圖所示： 表示3，9，27表示任意一個集合A 典型例題【題型一】元素與集合的關(guān)系、設(shè)集合A，a,b,B=a,a,ab,且A=B，求實數(shù)a，b.、已知集合Aa+2，（a+1)，a+3a+3若1A,求實數(shù)a的值。【題型二】元素的特征、 已知集合M=xNZ,求M已知集合C=ZxN,求C點拔：要注意M與C的區(qū)別，集合M中的元素是自然數(shù)x，滿足是整數(shù)，集合C是的元素是整數(shù)，滿足條件是xN練習(xí)：.給出下列四個關(guān)系式：R；Q；0N；0其中正確的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4.方程組的解組成

10、的集合是( ) A.2,1 B.-1,2 C.（2,1） D.（2,1）3. 把集合-3x3,xN用列舉法表示，正確的是( ) A.3,2,1 B.3,2,1,0 C.-2,-1,0,1,2D.-3,-2,-1,0,1,2,34.下列說法正確的是( )A.0是空集B.xQZ是有限集C.xQx2+x+2=0是空集 D.2,1與1,2是不同的集合二填空題：、 以實數(shù)為元素構(gòu)成的集合的元素最多有個；、 以實數(shù)a，2-a.,4為元素組成一個集合A，A中含有個元素，則的a值為 .、集合M=yZy=,xZ,用列舉法表示是M。、已知集合A2a,a2-a，則a的取值范圍是。三、解答題：、設(shè)Axx2+(b+2)

11、x+b+1=0,bR求A的所有元素之和。10.已知集合Aa,2b-1,a+2bB=xx3-11x2+30x=0,若A=B，求a,b的值。集合間的基本關(guān)系比較下面幾個例子，試發(fā)現(xiàn)兩個集合之間的關(guān)系：（1），；（2），；（3），觀察可得：子集：對于兩個集合A，B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這 兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集（subset）。 記作： 讀作：A包含于B，或B包含AB A表示： 當(dāng)集合A不包含于集合B時，記作AB(或BA) 用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系： 集合相等定義：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A與集合B 中的元素

12、是一樣的，因此集合A與集合B相等，即若，則。 如：A=x|x=2m+1，mZ，B=x|x=2n-1，nZ，此時有A=B。真子集定義：若集合，但存在元素，則稱集合A是集合B的真子集。 記作：A B（或B A） 讀作：A真包含于B（或B真包含A）4.空集定義：不含有任何元素的集合稱為空集。記作：用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨?； 0 ； ； 5.幾個重要的結(jié)論： 空集是任何集合的子集；對于任意一個集合A都有A。 空集是任何非空集合的真子集； 任何一個集合是它本身的子集； 對于集合A，B，C，如果，且，那么。練習(xí)：填空： 2 N； N； A; 已知集合Ax|x3x20，B1,2，Cx|x<8,xN，則 A

13、 B； A C； 2 C； 2 C說明：注意集合與元素是“屬于”“不屬于”的關(guān)系，集合與集合是“包含于”“不包含于”的關(guān)系；在分析有關(guān)集合問題時，要注意空集的地位。結(jié)論：一般地，一個集合元素若為n個，則其子集數(shù)為2n個，其真子集數(shù)為2n-1個， 特別地，空集的子集個數(shù)為1，真子集個數(shù)為0。（二）例題講解：【題型】集合的子集問題、 寫出集合a,b,c的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。、 已知集合M滿足2,3M1,2,3,4,5求滿足條件的集合M、 已知集合Ax|x2-2x-3=0,B=x|ax=1若BA，則實數(shù)a的值構(gòu)成的集合是（）A. -1,0, B.-1,0 C.-1,

14、 D.,04.設(shè)集合A=，aB=2,a2-3a+4且BA，求a的值。5.已知集合且，求實數(shù)m的取值范圍。 （）練習(xí)：1、判斷下列集合的關(guān)系. (1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q; (5) A=x| (x-1)2=0，B=y|y2-3y+2=0; (6) A=1,3，B=x|x2-3x+2=0; (7) A=-1,1，B=x|x2-1=0; （8）A=x|x是兩條邊相等的三角形，B=x|x是等腰三角形。2、設(shè)A=0，1，B=x|xA，問A與B什么關(guān)系？3、判斷下列說法是否正確？（1）NZQR； （2）AA； （3）圓內(nèi)接梯形等腰梯形； （4）NZ； （5）； （

15、6）4.有三個元素的集合A，B，已知A=2，x，y，B=2x，2，2y，且A=B，求x，y的值。解答題：1.已知集合，且滿足，求實數(shù)的取值范圍。2.已知三個元素集合Ax,xy,x-y,B=0,x,y且A=B，求x與y的值。1.1.3 集合間的基本運(yùn)算（共1課時）考察下列集合，說出集合C與集合A，B之間的關(guān)系：（1），；（2），；1.并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與集合B 的并集，即A與B的所有部分， 記作AB， 讀作：A并B 即AB=x|xA或xB。 Venn圖表示： 說明：定義中要注意“所有”和“或”這兩個條件。 討論：AB與集合A、B有什么特殊的關(guān)系

16、？AA , A , AB BAABA , ABB .鞏固練習(xí)（口答）： A3,5,6,8，B4,5,7,8，則AB ;設(shè)A銳角三角形，B鈍角三角形，則AB ; Ax|x>3，Bx|x<6，則AB 。 2. 交集定義：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），記作：AB 讀作：A交B 即：ABx|xA，且xB（陰影部分即為A與B的交集）Venn圖表示： 常見的五種交集的情況：ABA(B)B AA B BA說明：當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集討論：AB與A、B、BA的關(guān)系？A

17、A A AB BAABA ABB 鞏固練習(xí)（口答）：A3,5,6,8，B4,5,7,8，則AB ;A等腰三角形，B直角三角形，則AB ; Ax|x>3，Bx|x<6，則AB 。 3.一些特殊結(jié)論 若A,則AB=A； 若B,則AB=A；若A，B兩集合中，B=，,則A=, A=A?！绢}型一】并集與交集的運(yùn)算【例1】-1123設(shè)A=x|-1<x<2,B=x|1<x<3,求AB。 解：AB=x|-1<x<2x|1<x<3=x|-1<x<3.【例2】設(shè)A=x|x>-2，B=x|x<3,求AB。-23解：在數(shù)軸上作出A、B

18、對應(yīng)部分如圖 AB=x|x>-2x|x<3=x|-2<x<3。【例3】已知集合Ay|y=x2-2x-3,xR,B=y|y=-x2+2x+13,xR求AB、AB【題型二】并集、交集的應(yīng)用例：設(shè)集合Aa+1,3,5,B=2a+1,a2+2a,a2+2a-1，當(dāng)AB=，時，求AB解：a+12 a1或-3當(dāng)a1時，集合B的元素a2+2a3，2a+13，由集合的元素應(yīng)具有互異性的要求可知a1.當(dāng)a-3時，集合B=-5， AB=-5，5練：.已知3,4，m2-3m-1m，-=-3,則m。練習(xí)：. 設(shè)A=x|x是等腰三角形，B=x|x是直角三角形，則AB。 x|x是等腰直角三角形。設(shè)

19、A=4，5，6，8，B=3，5，7，8，則AB。 設(shè)A=x|x是銳角三角形，B=x|x是鈍角三角形，則AB。4. 已知集合Mx|x-2<0,N=x|x+2>0,則MN等于。 設(shè)A不大于20的質(zhì)數(shù)，Bx|x2n+1,nN*，用列舉法寫出集合AB。6.已知集合Mx|y=x2-1,N=y|y=x2-1,那么MN等于（）A.B.NC.MD.R7、 若集合A1，3，x,B=1,x2,AB1，3，x,則滿足條件的實數(shù)x的個數(shù)有（） A.1個 B.2個 C.3個 D.4個8. 滿足條件M11，2，3的集合M的個數(shù)是 。9. 已知集合Ax|-1x2,B=x|2axa+3,且滿足AB，則實數(shù)a的聚取

20、值啊范 圍是 。集合的基本運(yùn)算思考1 U=全班同學(xué)、A=全班參加足球隊的同學(xué)、B=全班沒有參加足球隊的同學(xué)，則U、A、B有何關(guān)系？ 集合B是集合U中除去集合A之后余下來的集合。 （一）. 全集、補(bǔ)集概念及性質(zhì)：全集的定義：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么 就稱這個集合為全集,記作U，是相對于所研究問題而言的一個相對概念。補(bǔ)集的定義：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，叫作集 合A相對于全集U的補(bǔ)集, 記作：，讀作：A在U中的補(bǔ)集，即 Venn圖表示：（陰影部分即為A在全集U中的補(bǔ)集） 說明：補(bǔ)集的概念必須要有全集的限制討論：集合A與之間有什么

21、關(guān)系？借助Venn圖分析 鞏固練習(xí)（口答）：U=2,3,4，A=4,3，B=，則= ，= ；設(shè)Ux|x<8，且xN，Ax|(x-2)(x-4)(x-5)0，則 ； 設(shè)U三角形，A銳角三角形，則 。 【題型1】求補(bǔ)集【例1】設(shè)全集， 求，【例2】設(shè)全集，求， ，。 （結(jié)論：）【例3】設(shè)全集U為R，若 ，求。（答案：）【例4】設(shè)全集Ux|-1x3,A=x|-1x3,B=x|x2-2x-3=0,求，并且判斷和集合B的關(guān)系?！绢}型1】集合的混合運(yùn)算已知全集為R，集合P=x|xa2+4a+1,aR,Q=y|y-b2+2b+3,bR求PQ和P。（III）課堂練習(xí)： 若S=2，3，4，A=4，3，則C

22、SA=2 ；若S=三角形，B=銳角三角形，則CSB=直角三角形或鈍角三角形 ； 若S=1，2，4，8，A=ø，則CSA= S ； 若U=1，3，a2+2a+1，A=1，3，CUA=5，則a= ；-1已知A=0，2，4，CUA=-1，1，CUB=-1，0，2，求B=1，4；設(shè)全集U=2，3，m2+2m-3，A=|m+1|，2，CUA=5，求m的值；（m= - 4或m=2） 已知全集U=1，2，3，4，A=x|x2-5x+m=0，xU，求CUA、m；（答案：CUA=2，3，m=4；CUA=1，4，m=6）已知全集U=R,集合A=x|0<x-15,求CUA,CU(CUA)。 已知M=

23、1，N=1，2，設(shè)A=（x，y）|xM，yN，B=（x，y）|xN，yM，求AB，AB。AB=(1,1),AB=(1,1)，(1,2)，(2,1) 已知集合M4,7,8,且M中至多有一個偶數(shù),則這樣的集合共有( )；A 3個 B 4個 C 6個 D5個 設(shè)集合A=-1,1, B=x|x2-2ax+b=0, 若B, 且B, 求a, b的值 提高內(nèi)容：已知X=x|x2+px+q=0，p2-4q>0,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且，試 求p、q；集合A=x|x2+px-2=0,B=x|x2-x+q=0,若AB=-2，0，1，求p、q；A=2，3，a2+4a+2，B=0，7，a

24、2+4a-2，2-a，且AB =3，7，求B22.某班舉行數(shù)、理、化三科競賽，每人至少參加一科，已知參加數(shù)學(xué)競賽的有27人，參加物理競賽的有25人，參加化學(xué)競賽的有27人，其中參加數(shù)學(xué)、物理兩科的有10人，參加物理、化學(xué)兩科的有7人，參加數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科的有11人，而參加數(shù)、理、化三科的有4人，求全班人數(shù)。集合中元素的個數(shù)在研究集合時，經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個數(shù)問題。我們把含有有限個元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示集合A中元素的個數(shù)。例如：集合A=a,b,c中有三個元素，我們記作card(A)=3. 結(jié)論:已知兩個有限集合A，B，有：card(AB)=card(A)+card(B)

25、-card(AB). 例1 學(xué)校先舉辦了一次田徑運(yùn)動會，某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運(yùn)動會，這個班有12名同學(xué)參賽，兩次運(yùn)動會都參賽的有3人，兩次運(yùn)動會中，這個班共有多少名同學(xué)參賽？ 解設(shè)A=田徑運(yùn)動會參賽的學(xué)生，B=球類運(yùn)動會參賽的學(xué)生，AB=兩次運(yùn)動會都參賽的學(xué)生,AB=所有參賽的學(xué)生因此card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)=8+12-3=17.答：兩次運(yùn)動會中，這個班共有17名同學(xué)參賽.在某校高一(5)班的學(xué)生中參加物理課外小組的有20人參加數(shù)學(xué)課外小 組的有25人，既參加數(shù)學(xué)課外小組又參加物理課外小組的有10人，既未參加物理課外小組又未參加數(shù)學(xué)課外

26、小組的有15人，則 這個班的學(xué)生總?cè)藬?shù)是A. 70 B. 55 C. 50 D. 無法確定. 給出下列命題： 給出下列命題： 若card(A)=card(B)，則A=B； 若card(A)=card(B)， 則card(AB)=card(AB) , 若AB= 則card(AB)-card(A)=card(B) 若A= ，則card(AB)=card(A) 若A B，則card(AB)=card(A) ， 其中正確的命題的序號是高一數(shù)學(xué)必修1 集合練習(xí)題1一選擇題1下列說法正確的是（）A某個村子里的年青人組成一個集合B所有小正數(shù)組成的集合C集合，和，表示同一個集合D這些數(shù)組成的集合有五個元素2下

27、面有四個命題：（）集合中最小的數(shù)是否；（）是自然數(shù)；（），是不大于的自然數(shù)組成的集合；（）其中正確的命題的個數(shù)是（）A個個個個3給出下列關(guān)系：（）（）（）（）其中正確的個數(shù)為（）個個個個4給出下列關(guān)系：（）是空集；（）（）集合（）集合其中正確的個數(shù)為（）個個個個下列四個命題：（）空集沒有了集；（）空集是任何一個集合的真子集；（）空集的元素個數(shù)為零；（）任何一個集合必有兩個或兩個以上的子集其中正確的有（）0個1個2個3個已知集合那么等于（），已知全集集合（）二填空題方程的解集為用列舉法表示為_.用列舉法表示不等式組的整數(shù)解集合為_.10已知菱形，正方形，平行四邊形，那么，之間的關(guān)系是_.11已知

28、全集，集合，則用列舉法表示為_.三解答題12已知13已知14若集合則滿足于條件的實數(shù)的個數(shù)有（）個個個個15設(shè)集合，則實數(shù)_16已知全集那么17. 18設(shè)求a的取值范圍19試用適當(dāng)?shù)姆柊堰B接起來20已知集合 的值或取值范圍第1講 § 集合的含義與表示¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關(guān)系；能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用；掌握集合的表示方法、常用數(shù)集及其記法、集合元素的三個特征.¤知識要點：1. 把一些元素組成的總體叫作集合（set），其元素具有三個特征，即確定性、互異性

29、、無序性.2. 集合的表示方法有兩種：列舉法，即把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“ ”括起來，基本形式為，適用于有限集或元素間存在規(guī)律的無限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征來表示，基本形式為，既要關(guān)注代表元素x，也要把握其屬性，適用于無限集.3. 通常用大寫拉丁字母表示集合. 要記住一些常見數(shù)集的表示，如自然數(shù)集N，正整數(shù)集或，整數(shù)集Z，有理數(shù)集Q，實數(shù)集R.4. 元素與集合之間的關(guān)系是屬于（belong to）與不屬于（not belong to），分別用符號、表示，例如，.¤例題精講：【例1】試分別用列舉法和描述法表示下列集合：（1）由方程的所有實數(shù)根組成的集合；（2

30、）大于2且小于7的整數(shù).解：（1）用描述法表示為：； 用列舉法表示為.（2）用描述法表示為：； 用列舉法表示為.【例2】用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨阂阎?，則有： 17 A； 5 A； 17 B.解：由，解得，所以；由，解得，所以；由，解得，所以.【例3】試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海ń滩腜6 練習(xí)題2， P13 A組題4）（1）一次函數(shù)與的圖象的交點組成的集合； （2）二次函數(shù)的函數(shù)值組成的集合；（3）反比例函數(shù)的自變量的值組成的集合.解：（1）.（2）.（3）.點評：以上代表元素，分別是點、函數(shù)值、自變量. 在解題中不能把點的坐標(biāo)混淆為，也注意對比（2）與（3）中的兩個集合，自變量的范圍和函數(shù)值的范

31、圍，有著本質(zhì)上不同，分析時一定要細(xì)心.*【例4】已知集合，試用列舉法表示集合A解：化方程為：應(yīng)分以下三種情況：方程有等根且不是：由 =0，得，此時的解為，合方程有一解為，而另一解不是：將代入得，此時另一解，合方程有一解為，而另一解不是：將代入得，此時另一解為，合綜上可知，點評：運(yùn)用分類討論思想方法，研究出根的情況，從而列舉法表示. 注意分式方程易造成增根的現(xiàn)象.第2講 § 集合間的基本關(guān)系¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義；能利用Venn圖表達(dá)集合間的關(guān)系.¤知識要點：1. 一般地，對于兩個集合A、B

32、，如果集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，則說兩個集合有包含關(guān)系，其中集合A是集合B的子集（subset），記作（或），讀作“A含于B”（或“B包含A”）.2. 如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），即集合A與集合B的元素是一樣的，因此集合A與集合B相等，記作. 3. 如果集合，但存在元素，且，則稱集合A是集合B的真子集（proper subset），記作AB（或BA）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），記作，并規(guī)定空集是任何集合的子集.5. 性質(zhì)：；若，則； 若，則；若，則.¤例題精講：【例1】用適當(dāng)?shù)姆柼羁眨海?）菱形 平行四邊形

33、； 等腰三角形 等邊三角形.（2） ； 0 0； 0； N 0.解：（1）， ；（2）=， ， ，.B A B C D【例2】設(shè)集合，則下列圖形能表示A與B關(guān)系的是（ ）.解：簡單列舉兩個集合的一些元素，易知BA，故答案選A另解：由，易知BA，故答案選A【例3】若集合，且，求實數(shù)的值.解：由，因此，.（i）若時，得，此時，；（ii）若時，得. 若,滿足，解得.故所求實數(shù)的值為或或.點評：在考察“”這一關(guān)系時，不要忘記“” ，因為時存在. 從而需要分情況討論. 題中討論的主線是依據(jù)待定的元素進(jìn)行.【例4】已知集合A=a,a+b,a+2b，B=a,ax,ax2. 若A=B，求實數(shù)x的值.解：若a+

34、ax2-2ax=0, 所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.當(dāng)a=0時，集合B中的元素均為0，故舍去；當(dāng)x=1時，集合B中的元素均相同，故舍去.若2ax2-ax-a=0.因為a0，所以2x2-x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又x1，所以只有.經(jīng)檢驗，此時A=B成立. 綜上所述.點評：抓住集合相等的定義，分情況進(jìn)行討論. 融入方程組思想，結(jié)合元素的互異性確定集合.第3講 § 集合的基本運(yùn)算（一）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集；能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)

35、算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.¤知識要點：集合的基本運(yùn)算有三種，即交、并、補(bǔ)，學(xué)習(xí)時先理解概念，并掌握符號等，再結(jié)合解題的訓(xùn)練，而達(dá)到掌握的層次. 下面以表格的形式歸納三種基本運(yùn)算如下.并集交集補(bǔ)集概念由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（union set）由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的交集（intersection set）對于集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集（complementary set）記號（讀作“A并B”）（讀作“A交B”）（讀作“A的補(bǔ)集”）符號圖形

36、表示UA¤例題精講：【例1】設(shè)集合.AB-1359x解：在數(shù)軸上表示出集合A、B，如右圖所示：，【例2】設(shè)，求：（1）； （2）.解：.（1）又，；（2）又，得. .【例3】已知集合，且，求實數(shù)m的取值范圍.-2 4 m xB A 4 m x解：由，可得.在數(shù)軸上表示集合A與集合B，如右圖所示：由圖形可知，.點評：研究不等式所表示的集合問題，常常由集合之間的關(guān)系，得到各端點之間的關(guān)系，特別要注意是否含端點的問題.【例4】已知全集，求， ，并比較它們的關(guān)系. 解：由，則. 由，則 由，則，.由計算結(jié)果可以知道，.另解：作出Venn圖，如右圖所示，由圖形可以直接觀察出來結(jié)果.點評：可用V

37、enn圖研究與 ，在理解的基礎(chǔ)記住此結(jié)論，有助于今后迅速解決一些集合問題.第4講 § 集合的基本運(yùn)算（二）¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握集合、交集、并集、補(bǔ)集的有關(guān)性質(zhì)，運(yùn)行性質(zhì)解決一些簡單的問題；掌握集合運(yùn)算中的一些數(shù)學(xué)思想方法.¤知識要點：1. 含兩個集合的Venn圖有四個區(qū)域，分別對應(yīng)著這兩個集合運(yùn)算的結(jié)果. 我們需通過Venn圖理解和掌握各區(qū)域的集合運(yùn)算表示，解決一類可用列舉法表示的集合運(yùn)算. 通過圖形，我們還可以發(fā)現(xiàn)一些集合性質(zhì)：,.2. 集合元素個數(shù)公式：.3. 在研究集合問題時，常常用到分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等. 也常由新的定義考查創(chuàng)新思維.¤例題精

38、講：【例1】設(shè)集合，若，求實數(shù)的值.解：由于，且，則有：當(dāng)解得，此時，不合題意，故舍去；當(dāng)時，解得.不合題意，故舍去；，合題意.所以，.【例2】設(shè)集合，求, .（教材P14 B組題2）解：.當(dāng)時，則，；當(dāng)時，則，；當(dāng)時，則，；當(dāng)且且時，則，.點評：集合A含有參數(shù)a，需要對參數(shù)a進(jìn)行分情況討論. 羅列參數(shù)a的各種情況時，需依據(jù)集合的性質(zhì)和影響運(yùn)算結(jié)果的可能而進(jìn)行分析，不多不少是分類的原則.【例3】設(shè)集合A =|， B =|，若AB=B，求實數(shù)的值解：先化簡集合A=. 由AB=B，則BA，可知集合B可為，或為0，或4，或.(i)若B=，則，解得；(ii)若B，代入得=0=1或=，當(dāng)=1時，B=A，

39、符合題意；當(dāng)=時，B=0A，也符合題意(iii)若4B，代入得=7或=1，當(dāng)=1時，已經(jīng)討論，符合題意；當(dāng)=7時，B=12，4，不符合題意綜上可得，=1或點評：此題考查分類討論的思想，以及集合間的關(guān)系的應(yīng)用. 通過深刻理解集合表示法的轉(zhuǎn)換，及集合之間的關(guān)系，可以把相關(guān)問題化歸為解方程的問題，這是數(shù)學(xué)中的化歸思想，是重要數(shù)學(xué)思想方法解該題時，特別容易出現(xiàn)的錯誤是遺漏了A=B和B=的情形，從而造成錯誤這需要在解題過程中要全方位、多角度審視問題. 【例4】對集合A與B，若定義，當(dāng)集合，集合時，有= . （由教材P12 補(bǔ)集定義“集合A相對于全集U的補(bǔ)集為”而拓展）解：根據(jù)題意可知，由定義，則.點評：

40、運(yùn)用新定義解題是學(xué)習(xí)能力的發(fā)展，也是一種創(chuàng)新思維的訓(xùn)練，關(guān)鍵是理解定義的實質(zhì)性內(nèi)涵，這里新定義的含義是從A中排除B的元素. 如果再給定全集U，則也相當(dāng)于.第5講 § 函數(shù)的概念¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過豐富實例，進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域.¤知識要點：1. 設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應(yīng)，那么就稱：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)（func

41、tion），記作=，其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫作定義域（domain），與x的值對應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫值域（range）.2. 設(shè)a、b是兩個實數(shù)，且a<b，則：x|axba,b 叫閉區(qū)間； x|a<x<b(a,b) 叫開區(qū)間；x|ax<b， x|a<xb，都叫半開半閉區(qū)間.符號：“”讀“無窮大”；“”讀“負(fù)無窮大”；“+”讀“正無窮大”. 則，.3. 決定函數(shù)的三個要素是定義域、值域和對應(yīng)法則. 當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)定義域、對應(yīng)法則分別相同時，函數(shù)才是同一函數(shù). ¤例題精講：【例1】求下列函數(shù)的定義域： （1）；（2）.解：（1）由，解得且

42、，所以原函數(shù)定義域為.（2）由，解得且，所以原函數(shù)定義域為.【例2】求下列函數(shù)的定義域與值域：（1）； （2）.解：（1）要使函數(shù)有意義，則，解得. 所以原函數(shù)的定義域是.，所以值域為.（2）. 所以原函數(shù)的定義域是R，值域是.【例3】已知函數(shù). 求：（1）的值； （2）的表達(dá)式 解：（1）由，解得，所以.（2）設(shè)，解得，所以，即.點評：此題解法中突出了換元法的思想. 這類問題的函數(shù)式?jīng)]有直接給出，稱為抽象函數(shù)的研究，常常需要結(jié)合換元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函數(shù).（1）求的值；（2）計算：.解：（1）由.（2）原式點評：對規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，能使我們實施巧算. 正確探索出前一問的結(jié)論，是

43、解答后一問的關(guān)鍵.第6講 § 函數(shù)的表示法¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ▓D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用；了解映射的概念.¤知識要點：1. 函數(shù)有三種表示方法：解析法（用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點：簡明，給自變量可求函數(shù)值）；圖象法（用圖象表示兩個變量的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢）；列表法（列出表格表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值）.2. 分段函數(shù)的表示法與意義（一個函數(shù)，不同范圍的x，對應(yīng)法則不同）.3. 一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集

44、合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)為從集合A到集合B的一個映射（mapping）記作“”. 判別一個對應(yīng)是否映射的關(guān)鍵：A中任意，B中唯一；對應(yīng)法則f.¤例題精講：【例1】如圖，有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數(shù)式是_，這個函數(shù)的定義域為_ 解：盒子的高為x，長、寬為，所以體積為V. 又由，解得. 所以，體積V以x為自變量的函數(shù)式是，定義域為.【例2】已知f(x)= ，求ff(0)的值.解： ， f(0)=. 又 &

45、gt;1， f()=()3+()-3=2+=，即ff(0)=.【例3】畫出下列函數(shù)的圖象：（1）； （教材P26 練習(xí)題3）（2）. 解：（1）由絕對值的概念，有.所以，函數(shù)的圖象如右圖所示.（2），所以，函數(shù)的圖象如右圖所示. 點評：含有絕對值的函數(shù)式，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù)，然后根據(jù)定義域的分段情況，選擇相應(yīng)的解析式作出函數(shù)圖象.【例4】函數(shù)的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，當(dāng)時，寫出的解析式，并作出函數(shù)的圖象. 解：. 函數(shù)圖象如右：點評：解題關(guān)鍵是理解符號的概念，抓住分段函數(shù)的對應(yīng)函數(shù)式.第7講 § 函數(shù)的單調(diào)性¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過已

46、學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義；學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 理解增區(qū)間、減區(qū)間等概念，掌握增（減）函數(shù)的證明和判別.¤知識要點：1. 增函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasing function）. 仿照增函數(shù)的定義可定義減函數(shù).2. 如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，就說f(x)在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫f(x)的單調(diào)區(qū)間. 在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖

47、象是從左向右是上升的（如右圖1），減函數(shù)的圖象從左向右是下降的（如右圖2）. 由此，可以直觀觀察函數(shù)圖象上升與下降的變化趨勢，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.3. 判斷單調(diào)性的步驟：設(shè)x、x給定區(qū)間，且x<x；計算f(x)f(x) 判斷符號下結(jié)論.¤例題精講：【例1】試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性.解：任取(0,1)，且. 則. 由于，故，即. 所以，函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù). 【例2】求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性.解：設(shè)任意，且. 則 .若，當(dāng)時，有，即，從而，即，所以在上單調(diào)遞增. 同理可得在上單調(diào)遞減.【例3】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）.解

48、：（1），其圖象如右. 由圖可知，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2），其圖象如右.由圖可知，函數(shù)在、上是增函數(shù)，在、上是減函數(shù).點評：函數(shù)式中含有絕對值，可以采用分零點討論去絕對值的方法，將函數(shù)式化為分段函數(shù). 第2小題也可以由偶函數(shù)的對稱性，先作y軸右側(cè)的圖象，并把y軸右側(cè)的圖象對折到左側(cè)，得到的圖象. 由圖象研究單調(diào)性，關(guān)鍵在于正確作出函數(shù)圖象.【例4】已知，指出的單調(diào)區(qū)間.解： ， 把的圖象沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸向上平移3個單位，得到的圖象，如圖所示.由圖象得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.點評：變形后結(jié)合平移知識，由平移變換得到一類分式函數(shù)的圖象. 需知平移變換規(guī)律. 第8講 § 函數(shù)最大（小）值¤學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的最大（小）值及其幾何意義；學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì). 能利用單調(diào)性求函數(shù)的最大（小）值.¤知識要點：1. 定義最大值：設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果存在實數(shù)