2013年高中數(shù)學(xué)《1.1.1算法的概念》教案 新人教A版必修3

1、1.1 算法與程序框圖1.1.1 算法的概念整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 算法在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中是一個(gè)新的概念，但沒有一個(gè)精確化的定義，教科書只對(duì)它作了如下描述：“在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟.”為了讓學(xué)生更好理解這一概念，教科書先從分析一個(gè)具體的二元一次方程組的求解過程出發(fā)，歸納出了二元一次方程組的求解步驟，這些步驟就構(gòu)成了解二元一次方程組的算法.教學(xué)中，應(yīng)從學(xué)生非常熟悉的例子引出算法，再通過例題加以鞏固.三維目標(biāo)1.正確理解算法的概念,掌握算法的基本特點(diǎn).2.通過例題教學(xué)，使學(xué)生體會(huì)設(shè)計(jì)算法的基本思路.3.通過有趣的實(shí)例使學(xué)生了解算法這一概念的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

2、興趣.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：算法的含義及應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：寫出解決一類問題的算法.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課 思路1（情境導(dǎo)入） 一個(gè)人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個(gè)人和兩只動(dòng)物，沒有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量狼就會(huì)吃羚羊.該人如何將動(dòng)物轉(zhuǎn)移過河？請(qǐng)同學(xué)們寫出解決問題的步驟，解決這一問題將要用到我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容算法. 思路2（情境導(dǎo)入） 大家都看過趙本山與宋丹丹演的小品吧，宋丹丹說了一個(gè)笑話，把大象裝進(jìn)冰箱總共分幾步？答案：分三步，第一步：把冰箱門打開；第二步：把大象裝進(jìn)去；第三步：把冰箱門關(guān)上.上述步驟構(gòu)成了把大象裝進(jìn)冰箱的算法，今天我們開始學(xué)習(xí)算法的概念

3、. 思路3（直接導(dǎo)入） 算法不僅是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要基礎(chǔ).在現(xiàn)代社會(huì)里，計(jì)算機(jī)已成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ髦胁豢扇鄙俚墓ぞ?聽音樂、看電影、玩游戲、打字、畫卡通畫、處理數(shù)據(jù)，計(jì)算機(jī)是怎樣工作的呢？要想弄清楚這個(gè)問題，算法的學(xué)習(xí)是一個(gè)開始.推進(jìn)新課新知探究提出問題（1）解二元一次方程組有幾種方法？（2）結(jié)合教材實(shí)例總結(jié)用加減消元法解二元一次方程組的步驟.（3）結(jié)合教材實(shí)例總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟.（4）請(qǐng)寫出解一般二元一次方程組的步驟.（5）根據(jù)上述實(shí)例談?wù)勀銓?duì)算法的理解.（6）請(qǐng)同學(xué)們總結(jié)算法的特征.（7）請(qǐng)思考我們學(xué)習(xí)算法的意義.討論結(jié)果：（1）代入消

4、元法和加減消元法.（2）回顧二元一次方程組的求解過程，我們可以歸納出以下步驟：第一步，+×2，得5x=1.第二步，解，得x=.第三步，-×2，得5y=3.第四步，解，得y=.第五步，得到方程組的解為(3)用代入消元法解二元一次方程組我們可以歸納出以下步驟：第一步，由得x=2y1.第二步，把代入，得2(2y1)+y=1.第三步，解得y=.第四步，把代入，得x=2×1=.第五步，得到方程組的解為(4)對(duì)于一般的二元一次方程組 其中a1b2a2b10,可以寫出類似的求解步驟： 第一步，×b2-×b1，得 （a1b2a2b1）x=b2c1b1c2. 第

5、二步，解，得x=. 第三步，×a1-×a2，得（a1b2a2b1）y=a1c2a2c1. 第四步，解，得y=. 第五步，得到方程組的解為(5)算法的定義：廣義的算法是指完成某項(xiàng)工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機(jī)的使用說明書是操作洗衣機(jī)的算法，菜譜是做菜的算法等等. 在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟. 現(xiàn)在，算法通?？梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問題.(6)算法的特征：確定性：算法的每一步都應(yīng)當(dāng)做到準(zhǔn)確無誤、不重不漏.“不重”是指不是可有可無的，甚至無用的步驟，“不漏” 是指缺少哪一步都無法完成任務(wù).邏輯性：算法從開始的“第一步”直

6、到“最后一步”之間做到環(huán)環(huán)相扣，分工明確，“前一步”是“后一步”的前提， “后一步”是“前一步”的繼續(xù).有窮性：算法要有明確的開始和結(jié)束，當(dāng)?shù)竭_(dá)終止步驟時(shí)所要解決的問題必須有明確的結(jié)果，也就是說必須在有限步內(nèi)完成任務(wù)，不能無限制地持續(xù)進(jìn)行.(7)在解決某些問題時(shí)，需要設(shè)計(jì)出一系列可操作或可計(jì)算的步驟來解決問題，這些步驟稱為解決這些問題的算法.也就是說，算法實(shí)際上就是解決問題的一種程序性方法.算法一般是機(jī)械的，有時(shí)需進(jìn)行大量重復(fù)的計(jì)算，它的優(yōu)點(diǎn)是一種通法，只要按部就班地去做，總能得到結(jié)果.因此算法是計(jì)算科學(xué)的重要基礎(chǔ).應(yīng)用示例思路1例1 （1）設(shè)計(jì)一個(gè)算法，判斷7是否為質(zhì)數(shù).（2）設(shè)計(jì)一個(gè)算法，

7、判斷35是否為質(zhì)數(shù).算法分析：（1）根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，可以這樣判斷：依次用26除7，如果它們中有一個(gè)能整除7，則7不是質(zhì)數(shù)，否則7是質(zhì)數(shù).算法如下：（1）第一步，用2除7，得到余數(shù)1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以2不能整除7.第二步，用3除7，得到余數(shù)1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以3不能整除7.第三步，用4除7，得到余數(shù)3.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以4不能整除7.第四步，用5除7，得到余數(shù)2.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以5不能整除7.第五步，用6除7，得到余數(shù)1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以6不能整除7.因此，7是質(zhì)數(shù).（2）類似地，可寫出“判斷35是否為質(zhì)數(shù)”的算法：第一步，用2除35，得到余數(shù)1.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以2不能整除

8、35.第二步，用3除35，得到余數(shù)2.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以3不能整除35.第三步，用4除35，得到余數(shù)3.因?yàn)橛鄶?shù)不為0，所以4不能整除35.第四步，用5除35，得到余數(shù)0.因?yàn)橛鄶?shù)為0，所以5能整除35.因此，35不是質(zhì)數(shù).點(diǎn)評(píng)：上述算法有很大的局限性，用上述算法判斷35是否為質(zhì)數(shù)還可以，如果判斷1997是否為質(zhì)數(shù)就麻煩了，因此，我們需要尋找普適性的算法步驟.變式訓(xùn)練 請(qǐng)寫出判斷n(n>2)是否為質(zhì)數(shù)的算法.分析：對(duì)于任意的整數(shù)n(n>2)，若用i表示2(n-1)中的任意整數(shù)，則“判斷n是否為質(zhì)數(shù)”的算法包含下面的重復(fù)操作：用i除n,得到余數(shù)r.判斷余數(shù)r是否為0，若是，則不是質(zhì)

9、數(shù)；否則，將i的值增加1，再執(zhí)行同樣的操作. 這個(gè)操作一直要進(jìn)行到i的值等于(n-1)為止. 算法如下：第一步，給定大于2的整數(shù)n. 第二步，令i=2. 第三步，用i除n,得到余數(shù)r. 第四步，判斷“r=0”是否成立.若是，則n不是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否則，將i的值增加1，仍用i表示. 第五步，判斷“i（n-1）”是否成立.若是，則n是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法；否則，返回第三步.例2 寫出用“二分法”求方程x2-2=0 (x>0)的近似解的算法.分析：令f(x)=x2-2,則方程x2-2=0 (x>0)的解就是函數(shù)f(x)的零點(diǎn). “二分法”的基本思想是：把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間a,b(滿

10、足f(a)·f(b)<0）“一分為二”，得到a,m和m,b.根據(jù)“f(a)·f(m)<0”是否成立，取出零點(diǎn)所在的區(qū)間a,m或m,b，仍記為a,b.對(duì)所得的區(qū)間a,b重復(fù)上述步驟，直到包含零點(diǎn)的區(qū)間a,b“足夠小”，則a,b內(nèi)的數(shù)可以作為方程的近似解.解：第一步，令f(x)=x2-2,給定精確度d.第二步，確定區(qū)間a,b，滿足f(a)·f(b)<0.第三步，取區(qū)間中點(diǎn)m=.第四步，若f(a)·f(m)<0，則含零點(diǎn)的區(qū)間為a,m；否則，含零點(diǎn)的區(qū)間為m,b.將新得到的含零點(diǎn)的區(qū)間仍記為a,b.第五步，判斷a,b的長度是否小于d或f

11、(m）是否等于0.若是，則m是方程的近似解；否則，返回第三步.當(dāng)d=0.005時(shí)，按照以上算法，可以得到下表.ab|a-b|12111.50.51.251.50.251.3751.50.1251.3751.437 50.062 51.406 251.437 50.031 251.406 251.421 8750.015 6251.414 062 51.421 8750.007 812 51.414 062 51.417 968 750.003 906 25 于是，開區(qū)間（1.414 062 5,1.417 968 75）中的實(shí)數(shù)都是當(dāng)精確度為0.005時(shí)的原方程的近似解.實(shí)際上，上述步驟也是求

12、的近似值的一個(gè)算法.點(diǎn)評(píng)：算法一般是機(jī)械的，有時(shí)需要進(jìn)行大量的重復(fù)計(jì)算，只要按部就班地去做，總能算出結(jié)果，通常把算法過程稱為“數(shù)學(xué)機(jī)械化”.數(shù)學(xué)機(jī)械化的最大優(yōu)點(diǎn)是它可以借助計(jì)算機(jī)來完成，實(shí)際上處理任何問題都需要算法.如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評(píng)判準(zhǔn)則；而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、勝負(fù)的評(píng)判準(zhǔn)則；再比如申請(qǐng)出國有一系列的先后手續(xù)，購買物品也有相關(guān)的手續(xù)思路2例1 一個(gè)人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個(gè)人和兩只動(dòng)物，沒有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量就會(huì)吃羚羊.該人如何將動(dòng)物轉(zhuǎn)移過河？請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)算法.分析：任何動(dòng)物同船不用考慮動(dòng)物的爭(zhēng)斗但需考慮承載的

13、數(shù)量，還應(yīng)考慮到兩岸的動(dòng)物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構(gòu)造過程中盡可能保證船里面有狼，這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢(shì).解：具體算法如下：算法步驟：第一步：人帶兩只狼過河，并自己返回.第二步：人帶一只狼過河，自己返回.第三步：人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回.第四步：人帶一只羊過河，自己返回.第五步：人帶兩只狼過河.點(diǎn)評(píng)：算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當(dāng)?shù)?這就要求我們?cè)趯懰惴〞r(shí)應(yīng)精練、簡(jiǎn)練、清晰地表達(dá)，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴(yán)密性和完整性.本題型解決問題的算法中某些步驟重復(fù)進(jìn)行多次才能解決，在現(xiàn)實(shí)生活中，很多較復(fù)雜的

14、情境經(jīng)常遇到這樣的問題，設(shè)計(jì)算法的時(shí)候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復(fù)，不但可以使得問題變得簡(jiǎn)單，而且可以提高工作效率.例2 喝一杯茶需要這樣幾個(gè)步驟：洗刷水壺、燒水、洗刷茶具、沏茶問：如何安排這幾個(gè)步驟？并給出兩種算法，再加以比較分析：本例主要為加深對(duì)算法概念的理解，可結(jié)合生活常識(shí)對(duì)問題進(jìn)行分析，然后解決問題解：算法一：第一步，洗刷水壺.第二步，燒水.第三步，洗刷茶具.第四步，沏茶.算法二：第一步，洗刷水壺.第二步，燒水，燒水的過程當(dāng)中洗刷茶具.第三步，沏茶.點(diǎn)評(píng)：解決一個(gè)問題可有多個(gè)算法，可以選擇其中最優(yōu)的、最簡(jiǎn)單的、步驟盡量少的算法上面的兩種算法都符合題意，但是算法二運(yùn)用了統(tǒng)籌方法的原

15、理，因此這個(gè)算法要比算法一更科學(xué)例3 寫出通過尺軌作圖確定線段AB一個(gè)5等分點(diǎn)的算法.分析：我們借助于平行線定理，把位置的比例關(guān)系變成已知的比例關(guān)系，只要按照規(guī)則一步一步去做就能完成任務(wù).解：算法分析：第一步，從已知線段的左端點(diǎn)A出發(fā)，任意作一條與AB不平行的射線AP.第二步，在射線上任取一個(gè)不同于端點(diǎn)A的點(diǎn)C，得到線段AC.第三步，在射線上沿AC的方向截取線段CE=AC.第四步，在射線上沿AC的方向截取線段EF=AC.第五步，在射線上沿AC的方向截取線段FG=AC.第六步，在射線上沿AC的方向截取線段GD=AC，那么線段AD=5AC.第七步，連結(jié)DB.第八步，過C作BD的平行線，交線段AB于

16、M，這樣點(diǎn)M就是線段AB的一個(gè)5等分點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：用算法解決幾何問題能很好地訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，并能幫助我們得到解決幾何問題的一般方法，可謂一舉多得，應(yīng)多加訓(xùn)練.知能訓(xùn)練 設(shè)計(jì)算法判斷一元二次方程ax2+bx+c=0是否有實(shí)數(shù)根.解：算法步驟如下： 第一步，輸入一元二次方程的系數(shù)：a，b，c.第二步，計(jì)算=b24ac的值.第三步，判斷0是否成立.若0成立，輸出“方程有實(shí)根”；否則輸出“方程無實(shí)根”，結(jié)束算法.點(diǎn)評(píng)：用算法解決問題的特點(diǎn)是：具有很好的程序性，是一種通法.并且具有確定性、邏輯性、有窮性.讓我們結(jié)合例題仔細(xì)體會(huì)算法的特點(diǎn).拓展提升 中國網(wǎng)通規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時(shí)，如果不超過3分鐘，則收取話費(fèi)0.22元；如果通話時(shí)間超過3分鐘，則超出部分按每分鐘0.1元收取通話費(fèi)，不足一分鐘按一分鐘計(jì)算.設(shè)通話時(shí)間為t（分鐘），通話費(fèi)用y（元），如何設(shè)計(jì)一個(gè)程序，計(jì)算通話的費(fèi)用.解：算法分析：數(shù)學(xué)模型實(shí)際上為：y關(guān)于t的分段函數(shù).關(guān)系式如下：y=其中t3表示取不大于t3的整數(shù)部分.算法步驟如下：第一步，輸入通話時(shí)間t.第二步，如果t3，那么y=0.22；否則判斷tZ 是