彈塑性力學(xué)5極坐標(biāo)解答1

1、第一節(jié)第一節(jié) 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程第二節(jié)第二節(jié) 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程第三節(jié)第三節(jié) 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程第四節(jié)第四節(jié) 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式第五節(jié)第五節(jié) 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移第六節(jié)第六節(jié) 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫A環(huán)或圓筒受均布?jí)毫Φ诎斯?jié)第八節(jié) 圓孔的孔口應(yīng)力集中圓孔的孔口應(yīng)力集中第九節(jié)第九節(jié) 半平面體在邊界上受集中力半平面體在邊界上受集中力第十節(jié)第十節(jié) 半平面體在邊界上受分布力半平面體在邊界上受分布力例題例題第七節(jié)第七節(jié) 壓力隧洞壓力隧洞5 51 1 極坐標(biāo)中的

2、平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程 微分體上的作用力有微分體上的作用力有：體力- ， 以坐標(biāo)正向?yàn)檎?。?yīng)力- 面， 面分別表示應(yīng)力及其 增量。ff , 應(yīng)力同樣以正面正向，負(fù)面負(fù)向的應(yīng)力為正，反之為負(fù) 。()(d)dddd(d)dsindsin22dd(d)dcosdcosdd0,22f 其中可取dcos1,2ddsin.22-通過形心C的 向合力為0，0F上式中一階微量相互抵消，保留到二階微量，得10 (a)f。dd()d cosd cos22(d )(d )dddd(d )d sind sind d0,22f 略去三階微量，保留到二階微量，得210 (b)f。-通過形心C的 向合力為0，0

3、F。(c) -通過形心C的力矩為0，當(dāng) 考慮到二階微量時(shí)，得0CM 幾何方程幾何方程-表示微分線段上形變和位移之間的幾何關(guān)系式 。,dPA 。dPB 5 52 2 極坐標(biāo)中的幾何方程極坐標(biāo)中的幾何方程 及物理方程及物理方程 過任一點(diǎn) 作兩個(gè)沿正標(biāo)向沿正標(biāo)向的微分線段 ,1.1.只有徑向位移只有徑向位移 ，求形變。，求形變。uP,A,B變形后為 ，各點(diǎn)的位移如圖。BAP, 1cos,P BP C,sintan。,d)d(uuuuPAPAAP線應(yīng)變PBPA線應(yīng)變在小變形假定 下，1轉(zhuǎn)角PA, 0轉(zhuǎn)角PB。uuuuPBBCCPBC1d)d(所以切應(yīng)變?yōu)?。u12. 只有環(huán)向位移只有環(huán)向位移 , ,求形

4、變。求形變。uP,A,B變形后為 ，各點(diǎn)的位移如圖BAP ，線應(yīng)變PA0 ，（略去高階小量）.線應(yīng)變PB;d)d(u1uuuPBPBBP 轉(zhuǎn)角PA,dduuPAAD 轉(zhuǎn)角PB, OPOP變形前切線變形后切線.uP O P ）（使直角擴(kuò)大，為負(fù)值切應(yīng)變?yōu)?。uu 3.3.當(dāng)當(dāng) 和和 同時(shí)存在時(shí)，幾何方程為同時(shí)存在時(shí)，幾何方程為。uuuuuu1,1,(a)uu 平面應(yīng)力問題的物理方程：平面應(yīng)力問題的物理方程：。EEE)1(2),(1),(1 對于平面應(yīng)變問題，只須作如下同樣變換，,12EE。1 邊界條件邊界條件-應(yīng)用極坐標(biāo)時(shí)，彈性體的邊界面通常均為坐標(biāo)面，即：,常數(shù)常數(shù)，或故邊界條件形式簡單。5 5

5、3 3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)數(shù) 與相容方程與相容方程函數(shù)函數(shù)的變換：將式 或 代入，坐標(biāo)變量坐標(biāo)變量的變換：,cosx;siny反之,222yx 。xyarctan( , )(). x y ,(a)(b) 1. 1.從直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的變換從直角坐標(biāo)系到極坐標(biāo)系的變換)(a)(b。cossin,sincosuuvuuu或。cossin,sincosvuuvuu(d)(c)矢量矢量的變換：位移),(),(uuvud將對 的導(dǎo)數(shù)，變換為對 的導(dǎo)數(shù)： yx,xxx.yyy 可看成是 ，而 又是 的函數(shù)，即 是通過中間變量 ，為 的復(fù)合函數(shù)。),(yx(,),yx,yx,有:導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)

6、的變換：而,cosx;siny,sinx。cosy代入，即得一階導(dǎo)數(shù)的變換公式,(e)sin(cossincosx)cos(sincossiny ，。 展開即得： 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的變換公式，可以從式(e) 導(dǎo)出。例如. )sin)(cossin(cos)x(xx22).1(sincos2)11(cos),1(sincos2)11(sin22222222)(sin)(cos2222222222yx)11(sincos222222yx。)1()sin(cos22(f)。)11(2222222222yx)(g拉普拉斯算子拉普拉斯算子的變換：由式（f）得3.3.極坐標(biāo)中應(yīng)力用應(yīng)力函數(shù)極坐標(biāo)中應(yīng)力用應(yīng)

7、力函數(shù) 表示表示0,224(h)2.2.極坐標(biāo)中的相容方程極坐標(biāo)中的相容方程)(,應(yīng)用應(yīng)力變換公式（下節(jié)）.sincossincossincossincos2222yx2xy222222xyyx22, ().2221 11 4.4.極坐標(biāo)系中按應(yīng)力函數(shù)極坐標(biāo)系中按應(yīng)力函數(shù) 求解，應(yīng)滿足求解，應(yīng)滿足：(1)(1) A 內(nèi)相容方程. 04 (2) 上的應(yīng)力邊界條件（設(shè)全部為應(yīng) 力邊界條件）。ss(3)(3) 多連體中的位移單值條件。 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換關(guān)系：5 54 4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式1、已知 ，求 。xyyx,d ,d cos,d sin,bcsabsacs設(shè)則由 ,（

8、含 ）的三角形微分體，厚度為1，如下圖 A，考慮其平衡條件。取出一個(gè)包含x面y(含 )和 面xyyx,0,Fsinsincoscosdsdsdsyx, 0cossinsincosdsdsyxxy得22cossin2cossin .xyxy同理，由(a), 0F22()cossin(cossin).yxxy(b)得, 0F22sincos2cossin .xyxy(c) 類似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分體，厚度為1，如圖B，考慮其平衡條件，得 應(yīng)用相似的方法，可得到2、已知 ，求.,xyyx,).sin(coscossin)(,cossin2cossin,cossin2sincos

9、222222xyyx軸對稱應(yīng)力問題：軸對稱應(yīng)力問題：5 55 5 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移位移. 0應(yīng)力數(shù)值軸對稱應(yīng)力數(shù)值軸對稱- - 僅為僅為 的函數(shù)，的函數(shù)，應(yīng)力方向軸對稱應(yīng)力方向軸對稱- ,dd1,dd22.0(a)0,)dddd(2212其中 ),dd(dddddd22112應(yīng)力函數(shù) （1 1）相容方程4dddd()0, (b)dddd11 22lnln (c)ABCD。 相容方程成為常微分方程，積分4次得 的通解，22(1 2ln)2 ,(32ln)2 , (d)0.ABCABC (2) 應(yīng)力通解應(yīng)力通解 將應(yīng)變代入幾何方程，對應(yīng)第一、二式分別積分，,u; )(dfu

10、 應(yīng)變通解：將應(yīng)力(d)代入物理方程，得 對應(yīng)的應(yīng)變分量的通解。應(yīng)變 也為軸對稱。,(4)(4)求對應(yīng)的位移：,u1u, uu()d)1uuf (。分開變量，兩邊均應(yīng)等于同一常量F, ,dddddFffff11,0uuu1將 代入第三式，,uu由兩個(gè)常微分方程，,d)(d)(11Fff1 ( );f HF,)d(d)(dFff22d( )( )0,df f 。得：KIfsincos)( 其中1 (1)2(1)(ln1) (1 3 )2(1)cossin (e)4sincosAuBBECIKBuHIKE ，。代入 ，得軸對稱應(yīng)力對應(yīng)的位移通解，軸對稱應(yīng)力對應(yīng)的位移通解，,uuI，K為x、y向的剛

11、體平移，H 為繞o點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。說明說明（2）在軸對稱應(yīng)力條件下，形變也是軸對稱 的,但位移不是軸對稱的。（3）實(shí)現(xiàn)軸對稱應(yīng)力的條件是，物體形狀、 體力和面力應(yīng)為軸對稱。（1）在軸對稱應(yīng)力條件下，式 (c),(d),(e) 為應(yīng)力函數(shù)、應(yīng)力和位移的通解，適用 于任何軸對稱應(yīng)力問題。(4) 軸對稱應(yīng)力及對應(yīng)的位移的通解 (d) 、(e) 已滿足相容方程，它們還必須滿足邊界 條件及多連體中的位移單值條件，并由 此求出其系數(shù)A、B及C。(5) 軸對稱應(yīng)力及位移的通解(d) 、 (e) ， 可以用于求解應(yīng)力或位移邊界條件下的 任何軸對稱問題。(6) 對于平面應(yīng)變問題，只須將 換為E,。1,12E 圓環(huán)(平面應(yīng)力問題)和圓筒(平面應(yīng)變問題)受內(nèi)外均布?jí)毫?，屬于軸對稱應(yīng)力軸對稱應(yīng)力問題，可以引用軸對稱應(yīng)力問題的通解。 5 56 6 圓環(huán)或圓筒受均布?jí)毫A環(huán)或圓筒受均布?jí)毫吔鐥l件是12(),()0,(b)(),()0. r r R Rqq22(12ln)2 ,1(32ln)2 ,(a)0.ABCBC 考察多連體中的位移單值條件多連體中的位移單值條件： 圓環(huán)或圓筒，是有兩個(gè)連續(xù)邊界的多連體。而在位移解答中， 4,(c)BuE是一個(gè)多值函數(shù)：對于 和 是同一點(diǎn)，但式(c)卻得出兩個(gè)位移值。由于同一點(diǎn)的位移只能為單值，因此 ,2B = 0。由B=0 和邊界條件 (b) ，